Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace 
Prof. Dr. Rafael Rorato Londero 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Referências 
• Alexander, C.K., Sadiku, M.N.O., Fundamentos de 
Circuitos Elétricos, 5ª ed., Bookman, 2013. 
 
• Dorf, R.C., Svoboda, J.A., Introdução aos Circuitos 
Elétricos, 8ª ed., LTC, 2012. 
 
 
 
Conteúdo 
1. Definição da Transformada de Laplace 
2. Propriedades da Transformada de Laplace 
3. Transformada Inversa de Laplace 
 3.1 Polos Reais e Distintos 
 3.2 Polos Repetidos 
 3.3 Polos Complexos Conjugados 
4. Análise de Circuitos no Domínio-s 
5. Função de Transferência 
6. Estabilidade de Circuitos no Domínio-s 
7. Variáveis de Estado 
 
 
1. Definição da Transformada de Laplace 
 A transformada de Laplace é definida, 
matematicamente, por: 
 
 
 
 Para que a transformada de f(t) exista, a integral 
deve convergir, ou seja, 
 
 
 js 





0
)( dtetf st
  




0
)()()( dtetfsFtfL st
1. Definição da Transformada de Laplace 
 Continuando, 
 
 
 
 
 
 





0
)( dtetf tj





0
)( dttfee tjt 





0
)( dttfee tjt 





0
)( dttfe t
1
)()( tuetf t
)()( tueetfe ttt   
  )()( 1 tuetfe tt   
1. Definição da Transformada de Laplace 
 Dessa forma temos a Região de Convergência da 
Transformada de Laplace. 
 
 
 
 
 A transformada inversa de Laplace é definida, 
matematicamente, por: 
 
c 
  


 



j
j
stdsesF
j
tfsFL
1
1
)(
2
1
)()(1
1. Definição da Transformada de Laplace 
 A transformada de Laplace é usada para facilitar a 
análise de problemas mais complexos. 
1. Definição da Transformada de Laplace 
 Algumas funções possuem transformadas simples. 
 
• Função Impulso Unitário: 
 
 
 
• Função Degrau Unitário: 
 
 
 
 
  




0
0 1)()( edtettL st
   
s
ee
s
e
s
dtetuL stst
11
][
1
)1()( 0
0
0
 





Exemplo 1.1: Função Exponencial 
 Calcule a transformada de Laplace de f(t) = e-at, para 
a > 0. 
 
   




0
)()( dtetftfL st
  




0
dteeeL statat
  




0
)( dteeL astat
 
  



0
as
e
eL
ast
at
 
as
eL at


1
Exemplo 1.2: Função Seno 
 Calcule a transformada de Laplace de f(t) = sen(ωt), 
para ω > 0. 
 
 Pela identidade de Euler, a função seno pode ser 
escrita como: 
2j
ee
tsen
tjtj 



Exemplo 1.2: Função Seno 
 Aplicando a transformada de Laplace: 
 
 
 
 
 
 Utilizando a transformada da exponencial: 
  




 


2j
ee
LtsenL
tjtj 

   tjtj eeL
j
tsenL  
2
1
 
as
eL at


1
Exemplo 1.2: Função Seno 
 Continuando, 
  











jsjsj
tsenL
11
2
1
 
 
   












jsjs
jsjs
j
tsenL
2
1
  








222
1



s
jsjs
j
tsenL
Exemplo 1.2: Função Seno 
 Portanto, 
  







22
2
2
1



s
j
j
tsenL
 
22 




s
tsenL
Tabela de Transformadas de Laplace 
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Linearidade: 
 
 
• Fator de Escala: 
 
 
– Exemplo: 
 
  )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL 
  






a
s
F
a
atfL
1
)(
 
22 




s
tsenL
 
2
2
2
2
1
)2(










s
tsenL
  )()( sFtfL 
Exemplo 2.1: Prop. da Linearidade 
 Determine a transformada de Laplace da função: 
)(3)(2)()( 2 tuetuttf t
   )(3)(2)()( 2 tuetutLtfL t 
     )(3)(2)()( 2 tueLtuLtLsF t 
2
32
1)(


ss
sF
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Deslocamento no Tempo: 
 
 
– Exemplo: 
 
  )()()( sFeatuatfL as
 
22
cos




s
s
tL
 
22
)()(cos



 
s
s
eatuatL as
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Deslocamento na Frequência: 
 
 
– Exemplo: 
 
)()]()([ asFtutfeL at 
 
22
cos




s
s
tL
22)(
)(
)]()cos([





as
as
tuteL at
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Diferenciação no Tempo: 
 
 
 
 
)0()()( 





fssFtf
dt
d
L
)0()0()()( 2
2
2
 





fsfsFstf
dt
d
L 
)0(...)0()()( 101  




 nnn
n
n
fsfssFstf
dt
d
L
Exemplo 2.2: Diferenciação no Tempo 
 Calcule a transformada de Laplace de f(t) = cos(ωt), 
para ω > 0. 
 
 Podemos escrever o coseno em termos da derivada 
do seno. 
 
 
 
 
 tsen
dt
d
t 

 
1
cos
   





 tsen
dt
d
LtL 


1
cos
Exemplo 2.2: Diferenciação no Tempo 
 Utilizando a propriedade da diferenciação no tempo: 
)0()()( 





fssFtf
dt
d
L
   





 tsen
dt
d
LtL 


1
cos
    )0(1cos  sentsenLstL 


   tsenLstL 

 
1
cos
Exemplo 2.2: Diferenciação no Tempo 
 Pela transformada da função seno: 
 
 
 Logo, 
 
 
 
 
22 




s
tsenL
  







22
1
cos




s
stL
 
22
cos




s
s
tL
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Integração no Tempo: 
 
 
 
• Diferenciação na Frequência: 
 
 
 
s
sF
dttfL
)(
)( 
  )()( sF
ds
d
tftL 
Exemplo 2.3: Diferenciação na Frequência 
 Determine a transformada de Laplace da função: 
f(t) = t2sen(2t) 
 Sabemos que: 
 
 
 
 Aplicando a propriedade da diferenciação na frequência: 
 
22 




s
tsenL  
4
2
2
2 

s
tsenL
  







4
2
2
2sds
d
tsentL
Exemplo 2.3: Diferenciação na Frequência 
 Continuando, 
 
 
 Aplicando novamente a propriedade da diferenciação 
na frequência: 
 
22 )4(
4
2


s
s
tsentL
  







22
2
)4(
4
2
s
s
ds
d
tsentL
32
2
)4(
1612
)(



s
s
sF
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Periodicidade no Tempo: 
Considere a função periódica f(t). 
 
 
 
 
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
Portanto, 
 
 
 Aplicando a Transformada de Laplace, 
 
 Utilizando a propriedade do Deslocamento no Tempo: 
...)()()()( 321  tftftftf
...)2()2()()()()( 111  TtuTtfTtuTtftftf
        ...)2()2()()()()( 111  TtuTtfLTtuTtfLtfLtfL
...)()()()( 2111 
 TsTs esFesFsFsF
...]1)[()( 21 
 TsTs eesFsF
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
Porém, 
 
 
Portanto, 
 
 
 
sTe
sF
sF


1
)(
)( 1
x
xxx


1
1
...1 32
...]1)[()( 21 
 TsTs eesFsF
Exemplo 2.4: Função Periódica 
 Calcule a transformada de Laplace da função 
periódica abaixo. 
Exemplo 2.4: Função Periódica 
 Percebe-se que a função possui período T = 2. 
 A função que descreve o 1º período f1(t) é uma 
função dente de serra, representada como: 
t 
 2 
1 
x(t) = 2t 
t 
1 
1 
= X 
p(t) = u(t) – u(t – 1) 
 2 
f1(t) = x(t)·p(t) 
t 
1 
Exemplo 2.4: Função Periódica 
 Portanto, 
 )1()(2)(1  tututtf
)1(2)(2)(1  tuttuttf
)1()11(2)(2)(1  tuttuttf
)1(2)1()1(2)(2)(1  tututtuttf
Exemplo 2.4: Função Periódica 
 Agora vamos obter a transformada de Laplace de f1(t). 
s
e
s
e
s
sF
ss 

222
)(
221
)1(
2
)(
21
ss see
s
sF  
       )1(2)1()1(2)(2)(1  tuLtutLtutLtfL
Exemplo 2.4: Função Periódica 
 Logo, 
sTe
sF
sF


1
)(
)( 1
)1(
)1(
2
)(
22
ss
s
see
es
sF 




2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Teorema do Valor Inicial: 
 O valor inicial de uma função é dado por: 
 
 
 Considere a propriedade da Diferenciação no Tempo: 
 
 
 Aplicando a definição da Transformada de Laplace ao 
1º membro da equação: 
0
)(lim
)0(


t
tf
f
)0()( fssF
dt
df
L 





)0()(
0
fssFdte
dt
df st 


2. Propriedades da Transf. de Laplace 
 Tomando o limite para s →∞ em ambos os lados da 
equação: 
 )0()(
limlim
0
fssF
s
dte
dt
df
s
st 







 

  )0()(
lim
0 fssF
s



)(
lim
)0( ssF
s
f


2. Propriedades da Transf. de Laplace 
• Teorema do Valor Final: 
 O valor final de uma função é dado por: 
 
 
 Utilizando novamente a propriedade da Diferenciação 
no Tempo e a definição da Transformada de Laplace, 
temos: 


t
tf
f
)(lim
)(
)0()(
0
fssFdte
dt
df st 


2. Propriedades da Transf. de Laplace 
 Tomando o limite para s →0 em ambos os lados da 
equação: 
 )0()(
0
lim
0
lim
0
fssF
s
dte
dt
df
s
st 







 


  )0()(
0
lim
0
fssF
s
df 



  )0()(
0
lim
)0()( fssF
s
ff 


2. Propriedades da Transf. de Laplace 
 Portanto, 
)(
0
lim
)( ssF
s
f


O Teorema do Valor Final só pode ser aplicado se os polos 
de F(s) possuem parte real negativa, exceto ao menos um 
polo que pode ser nulo (s = 0). 
  0,,0Re  ji pip
Exemplo 2.5: Valor Final da Função Seno 
 Calcule o valor final de f(t) = sen(2t) para t > 0. 
 Sabemos que o limite não existe: 
 
 A transformada de Laplace da função seno é: 
 
 
 Aplicando o Teorema do Valor Final (TVF): 


t
tsen
f
2lim
)(
 
4
2
2)(
2 

s
tsenLsF
0
4
2
0
lim
)(
0
lim
)(
2







s
s
s
ssF
s
f
Nesse caso, o TVF não 
deveria ser aplicado, 
pois, mais de um polo, 
temos Re{pi} = 0. 
22,1 js 
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
2. Propriedades da Transf. de Laplace 
3. Transformada Inversa de Laplace 
 Considere uma função F(s) dada por: 
 
 
 
 onde n > m, pi são os polos e zi os zeros. 
 A função F(s) pode ser expandida em Frações Parciais, 
da seguinte maneira: 
 
     
     n
m
n
n
n
n
m
m
m
m
pspsps
zszszs
bsbsb
asasa
sD
sN
sF










...
...
...
...
)(
)(
)(
21
21
0
1
1
0
1
1
n
n
ps
sR
ps
sR
ps
sR
sF






)(
...
)()(
)(
2
2
1
1
Resíduo 
3.1 Polos Reais e Distintos 
 Quando D(s) possui polos reais e distintos, F(s) pode 
ser expandida da seguinte forma: 
 
 
 
 
 Multiplicando ambos os lados de F(s) por (s + p1): 
n
n
ps
R
ps
R
ps
R
sF





 ...)(
2
2
1
1
))...()((
)(
)(
21 npspsps
sN
sF


n
n
ps
Rps
ps
Rps
RsFps






)(
...
)(
)()( 1
2
21
11
3.1 Polos Reais e Distintos 
 Vamos substituir s = –p1 na equação anterior: 
 
 
 
 
 Generalizando, 
 
ips
ii sFpsR  )( Fórmula de Heaviside 
n
n
ps pp
Rpp
pp
Rpp
RsFps







1
11
21
211
11
)(
...
)(
)()(
1
11
1
)()( RsFps
ps


Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Um circuito de 2ª ordem é descrito pela equação 
diferencial abaixo. Determine y(t) utilizando a 
transformada de Laplace. Considere todas as 
condições inicias nulas. 
)(32)(32)(12)(
2
2
tutyty
dt
d
ty
dt
d

Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Primeiramente vamos aplicar a transformada de 
Laplace em ambos os lados da equação: 
 
 
 
 Aplicando a propriedade da diferenciação no tempo: 
 )(32)(32)(12)(
2
2
tuLtyty
dt
d
ty
dt
d
L 






)0(...)0()()( 101  




 nnn
n
n
fsfssFstf
dt
d
L
Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Continuando, 
   
s
sYysssYyyssYs
32
)(32)0()(12)0()0()(2  
s
sYssYsYs
32
)(32)(12)(2 
 
s
sssY
32
3212)( 2 
Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Continuando, 
 
 
 
 Y(s) pode ser expandido da seguinte forma: 
)3212(
32
)(
2 

sss
sY
)8()4(
32


sss
84
)( 321




s
R
s
R
s
R
sY
Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Os resíduos podem ser calculados da seguinte forma: 
1
)8()4(
32
)(
0
01





s
s ss
sYsR
2
)8(
32
)()4(
4
42





s
s ss
sYsR
1
)4(
32
)()8(
8
83





s
s ss
sYsR
Exemplo 3.1: Polos Reais e Distintos 
 Logo, 
 
 
 Aplicando a transformada inversa, o 1º termo é a 
função degrau, e os outros termos são exponenciais. 
8
1
4
21
)(




sss
sY
)()21()( 84 tueety tt  
Exemplo 3.2: Valor Inicial e Final 
 Considere a função: 
 
 
 
 Calcule o valor inicial e final utilizando: 
 a) a função F(s); 
 b) a transformada inversa Laplace. 
)2)(1(
4
)(
2



sss
s
sF
Exemplo 3.2: Valor Inicial e Final 
 a) Utilizando o Teorema do Valor Inicial obtemos: 
 
 
 
 Nesse caso vamos aplicar a regra de L’Hospital: 












)2)(1(
4lim
)2)(1(
4lim
)0(
22
ss
s
ssss
s
s
s
f












32
2lim
)('
)('lim
)0(
s
s
ssD
sN
s
f
Exemplo 3.2: Valor Inicial e Final 
 Aplicando novamente a regra L’Hospital: 
 
 
 
 Utilizando o Teorema do Valor Final: 
1
2
2lim
)('
)('lim
)0( 









ssD
sN
s
f
2
)2)(1(
4
0
lim
)2)(1(
4
0
lim
)(
22










ss
s
ssss
s
s
s
f
Exemplo 3.2: Valor Inicial e Final 
 b) Primeiramente, vamos expandir F(s) em frações 
parciais: 
21
)( 321




s
R
s
R
s
R
sF
2
)2)(1(
4
)(
0
2
01






s
s ss
s
sFsR
5
)2(
4
)()1(
1
2
12






s
s ss
s
sFsR
4
)1(
4
)()2(
2
2
23






s
s ss
s
sFsR
Exemplo 3.2: Valor Inicial e Final 
 Aplicando a transformada inversa de Laplace, 
 
 
 
 
 Os valores inicial e final são: 
2
4
1
52
)(




sss
sF
)()452()( 2 tueetf tt  
1
0
)(lim
)0( 


t
tf
f 2
)(lim
)( 


t
tf
f
3.2 Polos Repetidos 
 Considere que D(s) possua o polo p1 repetido r vezes 
e os demais polos reais e distintos. Então, F(s) deve 
ser expandida da seguinte forma: 
 
 
 
n
nrr
ir
i
r ps
R
ps
R
ps
R
ps
R
ps
R
sF









 

......
)(
...
)(
)(
2
1
1
1
11
1
))...(()(
)(
)(
21 n
r pspsps
sN
sF


 
ri
ds
sFpsd
i
R
ps
i
ri
i ,...,2
)()(
)!1(
1
1
1
1
1








Exemplo 3.3: Polos Repetidos 
 Determine y(t) sabendo que: 
 
 
 
 Y(s) deve ser expandida da seguinte forma: 
2)2()1(
2
)(


ss
sY
12)2(
)( 32
2
1






s
R
s
R
s
R
sY
Exemplo 3.3: Polos Repetidos 
 Os resíduos podem ser calculados da seguinte 
maneira: 
2
)2(
2
)()1(
1
213





s
s s
sYsR
2
)1(
2
)()2(
2
2
2
1 




s
s s
sYsR
 
 
2
2
12
12
2 )()2(
!12
1






s
sYs
ds
d
R
2
1
2









s
sds
d 2
)1(
2
2
2




s
s
Exemplo 3.3: Polos Repetidos 
 Portanto, 
 
 
 
 Aplicando a transformada inversa de Laplace, 
1
2
2
2
)2(
2
)(
2 





sss
sY
)()222()( 22 tueetety ttt  
3.3 Polos Complexos Conjugados 
 Considere que D(s) possua p1,2 = σ ± jω polos 
complexos conjugados e os demais polos reais e 
distintos. Então, F(s) deve ser expandida da seguinte 
forma: 
 
 
 
))...(()(
)(
)(
3
2
npspsbass
sN
sF


n
n
ps
R
ps
R
bass
RsR
sF






 ...)(
3
3
2
21
Fração associada aos Polos 
Complexos Conjugados 
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Calcule y(t) sabendo que: 
 
 
 
 Pelo fato das raízes do denominador serem 
complexas, Y(s) deve ser expandida da seguinte 
forma: 
)52(
3
)(
2 

sss
sY
52
)(
2
321



ss
RsR
s
R
sY
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Continuando, 
3)()52( 32
2
1  RsRsssR
35)2()( 131
2
21  RRRssRR
35020 13121  RRRRR
)52(
3
52
)(
22
321





sssss
RsR
s
R
sY
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Resolvendo as equações, 
5
30
5
602
5
335
221
331
11



RRR
RRR
RR
52
5
6
5
3
5
3
)(
2 


ss
s
s
sY
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 O termo com raízes complexas conjugadas pode ser 
transformado em seno ou coseno amortecido, 
conforme o par de transformadas: 
22 212
5
6
5
3
5
3



ss
s
s
 
22)( 




as
tseneL at  
22)(
)(
cos




as
as
teL at
2)1( s222 2)( aassas 
52
5
6
5
3
5
3
)(
2 


ss
s
s
sY
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Continuando, 









22 2)1(
2
5
35
3
)(
s
s
s
sY











2222 2)1(
1
2)1(
1
5
35
3
)(
ss
s
s
sY











2222 2)1(
1
2
2
2)1(
1
5
35
3
)(
ss
s
s
sY
 
22)( 




as
tseneL at
 
22)(
)(
cos





as
as
teL at
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Continuando, 
 
 
 
 Finalmente, aplicando a transformada inversa: 











2222 2)1(
2
2
1
2)1(
1
5
35
3
)(
ss
s
s
sY
)(2
2
1
2cos
5
3
5
3
)( tutsenetety tt 











 
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Continuando, 
 
 
 
 As funções seno e coseno entre parênteses podem 
ser somadas utilizando fasores. 
 
 
 
 
)(2
2
1
2cos
5
3
5
3
)( tutsentety t 











 
 0902cos
2
1
2cos)(  tttv
 






 
09022
2
1
Re)( tjtj eetv
v(t) 
Exemplo 3.4: Polos Complexos Conjugados 
 Continuando, 
 
 
 
 
 
 
 
   )(56,262cos
10
53
5
3
)( 0 tutety t 





 












 
0902
2
1
1Re)( jtj eetv
















 
056,262
2
5
Re)( jtj eetv  056,262cos
2
5
 t
4. Análise de Circuitos no Domínio-s 
• Resistor: 
 
• Indutor: 
 
 
 
)()( tiRtv  )()( sIRsV 
 L
)()( ti
dt
d
Ltv 
 L
)]0()([)(  issILsV
)0()()(  iLsIsLsV
4. Análise de Circuitos no Domínio-s 
• Capacitor: 
)()( tv
dt
d
Cti 
 L
)]0()([)(  vssVCsI
s
v
sC
sI
sV
)0()(
)(


4. Análise de Circuitos no Domínio-s 
 Caso o circuito possua condições iniciais nulas, a 
impedância dos elementos será dada conforme a 
tabela abaixo. 
Exemplo 4.1: Circuito com Cond. Inic. Nulas 
 Encontre a tensão vo(t) para o circuito abaixo, 
assumindo condições iniciais nulas. 
Exemplo 4.1: Circuito com Cond. Inic. Nulas 
 Vamos transformar o circuito para o domínio-s e 
encontrar Vo(s). 
  0)()(3)(1 211  sIsIssIs
 
s
sI
ss
sI 1)(331)( 21 
  0)()(5)()(3 2212  ssIsIsIsIs
  )(35
3
1)( 2
2
1 sIsssI 
Exemplo 4.1: Circuito com Cond. Inic. Nulas 
 Substituindo I1(s), 
 
 
 Isolando I2(s), 
 
 
 Mas V0(s) é dado por: 
   
s
sI
s
sI
s
ss 1)(3)(3135
3
1
22
2 
sss
sI
188
3
)(
232 

)188(
3
)(
22 

sss
sI
188
3
)()(
220 

ss
ssIsV 222 2)( asasas 
Exemplo 4.1: Circuito com Cond. Inic. Nulas 
 Continuando, 
 
 
 
2)4(
3
)(
20 

s
sV     22 




as
tseneL at
220 )2()4(
3
)(


s
sV
2
2

220 )2()4(
2
2
3
)(


s
sV )(2
2
3
)( 40 tutsenetv
t






 
 1L
Exemplo 4.2: Circuito com Cond. Inic. ≠ 0 
 Encontre vo(t) para o circuito abaixo. Assuma que 
vo(0) = 5 V. 
Exemplo 4.2: Circuito com Cond. Inic. ≠ 0 
 Vamos transformar o circuito para o domínio-s e 
calcular a tensão no capacitor Vo(s). 
s
sVsV
sV
s oo
o
10
)(
10
)(
25,0
10
)(
1
10



Exemplo 4.2: Circuito com Cond. Inic. ≠ 0 
 Continuando, 
10
)(
10
)(
5,2
10
)(
1
10
ssVsV
sV
s oo
o



)()(25)(
1
10
ssVsVsV
s
ooo 

 2)(25
1
10


ssV
s
o
Exemplo 4.2: Circuito com Cond. Inic. ≠ 0 
 Isolando Vo(s), 
2
25
)2)(1(
10
)(




sss
sVo
2
25
21
)( 21






ss
R
s
R
sVo
10
2
10
1
1 


ss
R
10
1
10
2
2 


ss
R
 1L
)()1510()( 20 tueetv
tt  
2
15
1
10
)(




ss
sVo
Exemplo 4.3: Análise no Domínio-s 
 Encontre a tensão no capacitor considerando que 
vs(t) = 10u(t) e que em t = 0, uma corrente de –1A 
flui pelo indutor e uma tensão de +5V está sob o 
capacitor. 
Exemplo 4.3: Análise no Domínio-s 
 Vamos desenhar o circuito no domínio-s e calcular a 
tensão no capacitor V1(s). 
s
i
s
sV
s
sV
s
v
sV
s )0(
5
)(
10
)(
)0(
3
10
)(10
1
11




ss
sVssVsVs 1
5
)(
10
)(5
10
)(330
11
1




10)(2)(5)(330 11
2
1  sVsVssssV
Exemplo 4.3: Análise no Domínio-s 
 Isolando a tensão no capacitor V1(s), 
)2)(1(
405
23
405
)(
21 





ss
s
ss
s
sV
21
)( 211




s
R
s
R
sV
35)()1(
111

s
sVsR
30)()2(
212

s
sVsR
 1L
)()3035()( 21 tueetv
tt  
2
30
1
35
)(1




ss
sV
Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
 Considere que o circuito abaixo não possui energia 
armazenada inicialmente e que is = 10u(t). Encontre: 
 (a) Vo(s) usando o Teorema de Thevenin. 
 (b) os valores inicial vo(0
+) e final vo(∞). 
 (c) vo(t). 
Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
(a) Primeiramente vamos obter a tensão de circuito 
aberto VTh removendo o resistor de 5 Ω. 
s
VTh
50

Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
 Para determinar a impedância de Thevenin ZTh vamos 
calcular a corrente de curto-circuito Isc nos terminais 
a-b. 
sc
sc I
IsV
s



5
2)(10 1
scII
s

10
I 
scIssV  2)(1
sc
scsc I
IIs
s



5
2210
)32(
50


ss
I sc
Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
 Dessa forma, a impedância de Thevenin é: 
32
)32(
50
50


 s
ss
s
I
V
Z
sc
Th
Th
Th
Th
o V
Z
sV 


5
5
)(
)4(
125
)(


ss
sVo
ss
sVo
50
532
5
)( 


Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
(b) Aplicando o Teorema do Valor Inicial: 
 
 
 
 Aplicando o Teorema do Valor Final: 
0
)4(
125lim
)(
lim
)0( 




ss
s
s
ssV
s
v oo
25,31
)4(
125
0
lim
)(
0
lim
)( 




ss
s
s
ssV
s
v oo
Exemplo 4.4: Teorema de Thevenin 
(c) A tensão vo(t) pode ser obtida através da 
transformada inversa de Laplace de Vo(s). 
4)4(
125
)( 21




s
R
s
R
ss
sVo
25,31)(
01

so
sVsR
25,31)()4(
42

so
sVsR
4
25,3125,31
)(


ss
sVo
)()1(25,31)( 4 tuetv to

5. Função de Transferência 
 A Função de Transferência H(s) de um circuito é dada 
pela relação entre a saída Y(s) e a entrada X(s), 
assumindo condições iniciais nulas. 
 
 
 
 
 onde “z” são os zeros e “p” são os polos. 
 
 
    
    n
n
pspsps
zszszs
K
sD
sN
sH



...
...
)(
)(
)(
21
31
5. Função de Transferência 
 Conhecida a entrada X(s) e a Função de Transferência 
do circuito H(s), podemos obter a saída Y(s). 
 
 
 Para o caso onde x(t) = δ(t) (impulso unitário), temos 
que X(s) = 1. Portanto, 
)()()( sXsHsY 
)()( sHsY 
   )()( 11 sHLsYL  
)()( thty 
Resposta ao Impulso 
A transformada inversa de H(s) 
é a resposta ao impulso h(t). 
Exemplo 5.1: Função de Transferência 
 Um circuito linear tem resposta y(t) = (10e-tcos4t)u(t) 
quando a entrada é x(t) = e-tu(t). Encontre a função 
de transferência do circuito e a resposta ao impulso. 
 
 Sabemos que: 
)()( tuetx t
)()4cos10()( tutety t
1
1
)(


s
sX
22 4)1(
)1(10
)(



s
s
sY
 L
 L
Exemplo 5.1: Função de Transferência 
 Portanto, 
1
1
4)1(
)1(10
)(
)(
)(
22




s
s
s
sX
sY
sH
16)1(
)1(10
)(
2
2



s
s
sH
172
)12(10
)(
2
2



ss
ss
sH
Exemplo 5.1: Função de Transferência 
 Nota-se que o grau de N(s) é o mesmo de D(s). 
Assim, devemos fazer a divisão de polinômios antes 
de expandir H(s) em frações parciais para obter h(t). 
172
102010
)(
)(
)(
2
2



ss
ss
sD
sN
sH
102010 2  ss 172
2  ss
101702010
2  ss
160
)()()()( sRsQsDsN 
Exemplo 5.1: Função de Transferência 
 Portanto, 
)(
)(
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(
sD
sR
sQ
sD
sRsQsD
sD
sN
sH 


172
160
10)(
2 

ss
sH
22 4)1(
4
4010)(


s
sH
)()440()(10)( tutsenetth t 
Exemplo 5.2: Obter H(s) de Circuito 
 Considere o circuito abaixo no domínio-s. Determine 
a função de transferência H(s) = Vo(s)/Io(s). 
Exemplo 5.2: Obter H(s) de Circuito 
 Vamos aplicar a regra do divisor de corrente para 
obter I2. 
o
eq
I
Z
ZI 
2
2
21
21
21 //
ZZ
ZZ
ZZZeq



Z1 
Z2 
oI
Z
ZZ
ZZ
I 


2
21
21
2
Exemplo 5.2: Obter H(s) de Circuito 
 Continuando, 
 
 
 Mas, 
oI
ZZ
Z
I 


21
1
2 o
I
s
s
s
I 



2
16
4
2
22IVo 
oo I
s
s
s
V 



2
16
)4(2
1122
)4(4
)(
2 


ss
ss
I
V
sH
o
o
6. Estabilidade de Circuitos no Domínio-s 
 Para que um circuito seja matematicamente estável, 
devemos ter: 
 
 
 Sabemos que h(t) ↔ H(s). Dessa forma, podemos 
analisar a estabilidade do circuito através de H(s). 
finito
t
th


|)(|lim
    npspsps
sN
sH


...
)(
)(
21
6. Estabilidade de Circuitos no Domínio-s 
 Vamos considerar o caso particular onde todos os 
polos de H(s) são reais e distintos. Logo, 
n
n
ps
R
ps
R
ps
R
sH





 ...)(
2
2
1
1
tp
n
tptp neReReRth

 ...)( 21 21
0
|)(|lim

t
th
O circuito será estável, se todos pi > 0, 
ou seja, se todos os polos estão no 
semi-plano esquerdo (s = -pi). 
6. Estabilidade de Circuitos no Domínio-s 
 Vamos generalizar para o caso pi = σi + jωi. Logo, 
tj
n
tjtj nneReReRth
)()(
2
)(
1 ...)(
2211   
tjt
n
tjttjt nn eeReeReeRth
  
 ...)( 2211 21
|...||)(| 2211 21
tjt
n
tjttjt nn eeReeReeRth
  

||||...|||||||||)(| 2211 21
tjt
n
tjttjt nn eeReeReeRth
 


||...|||||)(| 21 21
t
n
tt neReReRth
 

6. Estabilidade de Circuitos no Domínio-s 
 Assim, chegamos a conclusão geral: 
0
|)(|lim

t
th O circuito é estável se a parte real σi 
de todos os polos de H(s) estiver 
localizada no semi-plano esquerdo. 
Exemplo 6.1: Estabilidade no Domínio-s 
 O circuito abaixo encontra-se no domínio-s. Para que 
valores de k o circuito é estável? 
Exemplo 6.1: Estabilidade no Domínio-s 
 Vamos aplicar Leis das Malhas para o circuito. 
0
)( 21
1 


sC
II
RIVi
iV
sC
I
I
sC
R 





 21
1
0
)( 12
12 


sC
II
kIRI
    011 21  IsCRIsCk
Exemplo 6.1: Estabilidade no Domínio-s 
 Podemos escrever o sistema de equações na forma 
matricial: 
 
 
 
 Calculando o determinante, podemos escrever a 
equação característica e fazendo D(s) = 0 para 
encontrar os polos. 
  





















011
11
2
1 iV
I
I
sC
R
sC
k
sCsC
R
  011
11
det 










sC
R
sC
k
sCsC
R
Exemplo 6.1: Estabilidade no Domínio-s 
 Continuando, 
0
111
2













sCsC
k
sC
R
0
112
2222
2 
CssC
k
CssC
R
R
022  kRsCR
Exemplo 6.1: Estabilidade no Domínio-s 
 Vamos resolver a equação para s, ou seja, encontrar 
o polo de H(s). 
 
 
 Para que o circuito seja estável, o polo deve ser 
negativo. 
CR
Rk
s
2
2

02  Rk
Rk 2
Exemplo 6.2: Função de Transferência 
 A função de transferência abaixo representa um filtro 
ativo (um circuito com amplificador operacional). 
Para que valores de k o filtro é estável? 
1)4(
)(
2 

sks
k
sH
Exemplo 6.2: Função de Transferência 
 Para avaliar a estabilidade precisamos calcular os 
polos de D(s) = 0. 
01)4(2  sks
2
4)4()4( 2
2,1


kk
s 04  k
4k
Para que o circuito seja 
estável, os polos s1,2 
devem ser negativos. 
Logo: 
7. Variáveis de Estado 
 A técnica das Variáveis de Estado é utilizada para 
sistemas com várias entradas e várias saídas. 
Variáveis de Estado é um conjunto de variáveis 
internas que definem o comportamento futuro do 
sistema dadas as entradas. 
7. Variáveis de Estado 
 Em circuitos elétricos, as variáveis de estado 
adotadas são a corrente no indutor e a tensão no 
capacitor. 
 
DzCxy
BzAxx















nx
x
x
x

2
1
Vetor de 
Estados 
[n x 1] 













mz
z
z
z

2
1
Vetor de 
Entradas 
[m x 1] 















py
y
y
y

2
1
Vetor de 
Saídas [p x 1] 
A: Matriz do Sistema [n x n] 
B: Matriz de Entradas [n x m] 
C: Matriz de Saídas [p x n] 
D: Matriz de Transmissão 
Direta[p x m] 
7. Variáveis de Estado 
 Desejamos conhecer a função de transferência H(s) 
que relaciona as entradas com as saídas. 
 Aplicando a Transformada de Laplace a equação de 
estados. 
)()()0()( sBZsAXxssX 
)())(( sBZAsIsX 
)()()( 1 sBZAsIsX 
7. Variáveis de Estado 
 Vamos substituir a equação de X(s) na equação de 
saída. 
)()()( sDZsCXsY 
)()()()( 1 sDZsBZAsICsY  
)(])([)( 1 sZDBAsICsY  
DBAsIC
sZ
sY
sH  1)(
)(
)(
)(
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Encontre a representação em espaço de estados para 
o circuito abaixo. Determine a função de 
transferência onde vs é a entrada e ix é a saída. 
Dados: R = 1 Ω, L = 0,5 H e C = 0,25 F. 
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Desejamos escrever a representação do circuito no 
Espaço de Estados, onde os estados do circuito são a 
corrente no indutor i e a tensão no capacitor v. 
 
 
 
 
DzCxy
BzAxx









i
v
x x
iy 
svz 
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Aplicando Lei das Correntes ao nó 1. 
dt
dv
C
R
v
i 
Cx iii 
i
C
v
RCdt
dv 11

Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Aplicando Lei das Malhas a malha esquerda. 
0 v
dt
di
Lvs
0 vvv Ls
sv
L
v
Ldt
di 11

v
R
ix
1

Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Agora temos a representação no Espaço de Estados. 
 
 
 
 
 Substituindo valores, 
sv
Li
v
L
CRC
i
v
dt
d
































1
0
0
1
11













i
v
R
ix 0
1
sv
i
v
i
v
dt
d


























2
0
02
44
  






i
v
ix 01
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 A função de transferência H(s) é dada por: 
DBAsICsH  1)()(





 















s
s
s
s
AsI
2
44
02
44
0
0
)(
84
42
4
det
)(
2
1








 
ss
s
s
Adj
AsI
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Finalmente, 
  















2
0
84
42
4
01)(
2 ss
s
s
sH
 
84
82
8
01)(
2 








ss
s
sH
84
8
)(
2 

ss
sH
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 O circuito abaixo possui duas entradas e duas saídas. 
As entradas são vs e vi, e as saídas vo e io. Escreva a 
representação no Espaço de Estados e calcule a 
função de transferência do circuito. 
Exemplo 7.1: Variáveis de Estado 
 Vamos escolher os estados sendo a tensão no 
capacitor e a corrente no indutor. Portanto, 
 
 
 
 
DzCxy
BzAxx









i
v
x







o
o
i
v
y






i
s
v
v
z
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 Vamos aplicar a Lei das Correntes ao nó 1. 
 21 iii
sviv
dt
di
22
6
1
3 
2
1
1
vv
ivvs


vvivvs  11 222
1322 vvivs sviv
dt
di
442 
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 Vamos aplicar a Lei das Correntes ao nó 2. 
oC iii 2
dt
dv
vv
dt
di
i 225
6
1
3 
33
1
2
1 ivv
dt
dvvv 


ivv
dt
dv
vv 22233 1 
dt
dv
vvv i 2253 1  
dt
dv
vvviv is 225442
2
1

iC 
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 Portanto, 
 
 
 A equação para a saída vo foi escrita anteriormente. 
is vviv
dt
dv
 2
vvvo  1
v
dt
di
vo 
6
1
  vvivv so  442
6
1
so vivv
3
2
3
2
3
2

Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 A equação para a saída io foi utilizada anteriormente. 
 
 
 Finalmente, a representação no Espaço de Estados. 
 
3
i
o
vv
i


33
i
o
vv
i 
































i
s
v
v
i
v
i
v
dt
d
04
11
42
12








































i
s
o
o
v
v
i
v
i
v
3
1
0
0
3
2
0
3
1
3
2
3
2
Exemplo 7.2: MúltiplasEntradas e Saídas 
 Nesse caso, a função de transferência é uma matriz. 
DBAsICsH  1)()(























42
12
42
12
0
0
)(
s
s
s
s
AsI
106
22
14
det
)(
2
1









 
ss
s
s
Adj
AsI
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 Continuando, 








































3
1
0
0
3
2
04
11
106
22
14
0
3
1
3
2
3
2
)(
2 ss
s
s
sH






















 

10
02
3
1
106
2104
4
01
22
3
1
)(
2 ss
s
ss
sH
Exemplo 7.2: Múltiplas Entradas e Saídas 
 Finalmente, 
































10
02
106
4
1222010
3
1
)(
2 ss
ss
ss
sH
106
65
12222
3
1
)(
2
2
2










ss
sss
sss
sH
Exemplo 7.3: Equação Diferencial 
 Um circuito elétrico é descrito pela equação 
diferencial abaixo, onde y(t) é a saída e z(t) a entrada. 
Obtenha a representação no Espaço de Estados e a 
função de transferência. 
zy
dt
dy
dt
yd
523
2
2

Exemplo 7.3: Equação Diferencial 
 Para um sistema de 2ª ordem, devemos ter duas 
variáveis de estado (x1 e x2). Então, façamos: 
 
 
 
 Agora podemos obter as matrizes A e B através da 
equação diferencial do circuito. 
yx 1 yx  1
yx 2 yx
 2
zyyy 523  
zxxx 523 122 
zxxx 532 212 
21 xx  1xy 
Exemplo 7.3: Equação Diferencial 
 Assim, podemos escrever a representação do circuito 
no Espaço de Estados. 
  































2
1
2
1
2
1
01
5
0
32
10
x
x
y
z
x
x
x
x


Exemplo 7.3: Equação Diferencial 
 Novamente, a função de transferência é dada por: 
DBAsICsH  1)()(






















32
1
32
10
0
0
)(
s
s
s
s
AsI
23
2
13
det
)(
2
1









 
ss
s
s
Adj
AsI
Exemplo 7.3: Equação Diferencial 
 Finalmente, 
  
















5
0
23
2
13
01)(
2 ss
s
s
sH
 
23
5
5
01)(
2 







ss
s
sH
23
5
)(
2 

ss
sH