AD2 Métodos determinísticos II 2022 1_gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AD2 - Métodos Determinísticos II (2022-1)
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [4,0pt s] Responda às seguintes questões a respeito da função f (x) = x3 −4x2 +4x, justificando
sua resposta:
(a) Determine o domínio de f ;
(b) Calcule o limite da função f quando x →−∞;
(c) Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente;
(d) Determine, quando existir, os máximos e mínimos locais e globais.
Solução:
(a) Temos que Dom( f ) =R, pois a função f é do tipo polinomial.
(b) Podemos fazer o cálculo utilizando o seguinte artifício
lim
x→−∞ f = limx→−∞x
3(1
x3
x3
−4 x
2
x3
+4 x
x3
) = lim
x→−∞x
3(1−4 1
x
+4 1
x2
).
Neste novo formato à direita da última igualdade, podemos notar que
lim
x→−∞x
3 =−∞
e que
lim
x→−∞1−4
1
x
+4 1
x2
= 1.
Portanto,
lim
x→−∞ f =−∞.
(c) Faremos esta análise através do teste da derivada primeira.
f ′(x) = 3x2 −4.2x +4 = 3x2 −8x +4.
Calculando as raízes da função cujo gráfico é uma parábola, obtemos 4±23 . Devido ao coeficiente positivo
3 > 0 que acompanha o termo x2, a concavidade da parábola está para cima. Assim sendo, os valores da
coordenada y dela terão valores positivos quando a primeira coordenada x > 2 ou x < 23 e terão valores
negativos quando 23 < x < 2.
Portanto, pelo teste da derivada primeira, a função f é crescente nos intervalos (−∞, 23 )∪ (2,∞) e de-
crescente no intervalo ( 23 ,2).
(d) Utilizando os cálculos do item anterior, se a função apresenta os seguintes comportamentos de cresci-
mento e decrescimento:
• Cresce para valores de x < 23 ;
• Decresce para valores de 23 < x < 2.
Logo, a função apresenta um máximo local em x = 23 .
Podemos observar também que a função f :
• Decresce para valores de 23 < x < 2;
• Cresce para valores de x > 2.
Logo, a função apresenta um mínimo local em x = 2.
Continuando a análise da função f , podemos perceber pelo item (a) e por cálculos semelhantes que
lim
x→−∞ f =−∞
e também
lim
x→∞ f =∞.
Donde concluímos que a função não apresenta máximos e mínimos globais, apenas máximos e míni-
mos locais.
Questão 2: [3,0pt s] Determine a equação da reta tangente à curva y = 1x que passa pelo ponto (2, 12 ).
Solução:
Primeiramente, vamos denotar nossa reta tangente pela equação y = ax +b. Calculamos a derivada da
função determinada pela equação y = 1x . Vamos chamar a função de f (x) = 1x A derivada tem equação
f ′(x) = −1
x2
.
Como a reta tangente deve passar pelo ponto (x = 2, y = 12 ), o coeficiente angular da reta tangente é a = −122 =−1
4 . Assim, procuramos uma reta tangente com gráfico determinado por equação no seguinte formato
y = −1
4
x +b
e que passe pelo ponto (2, 12 . Logo,
1
2
= −1
4
2+b ⇒ b = 1.
Portanto, a reta tangente tem equação
y = −1
4
x +1.
Questão 3: [3,0pt s] Considere que a derivada da função sen(x) é igual a cos(x), a derivada da função
exponencial ex é a própria função exponencial ex e a derivada da função logaritmo l n(x) é igual a função
1
x . Determine, utilizando a Regra da Cadeia, as derivadas primeiras das seguintes funções:
(a) sen(ex );
(b) ln(sen(x)).
Solução:
(a) (sen(ex ))′ = sen′(ex ).(ex )′ = cos(ex ).ex .
(b) (l n(sen(x)))′ = ln′(sen(x)).sen′(x) = 1sen(x) .cos(x).
Boa AD2!!!
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