AD1-MD2-2024_1_gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
1o Semestre de 2024
AD1
GABARITO
Questão 1: [[3,0 pts] Considere as seguintes funções f : [0,+∞) → [0, 1) e g : R → R,
definidas respectivamente por f(x) =
x√
1 + x2
e g(x) = ex. Determine o que se pede em cada
um dos itens a seguir. Justifique todas as suas respostas.
a) Encontre o domı́nio da função f ◦ g.
b) Calcule (f ◦ g)(0), se existir.
c) Encontre a lei de formação de f−1.
Solução:
a) Observe que:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(ex) = e
x√
1 + (ex)2
=
ex√
1 + e2x
.
Logo, f ◦ g está definida para todo número real, pois e2x > 0 para todo x ∈ R. Portanto,
Dom(f ◦ g) = R.
b) (f ◦ g)(0) = f(g(0)) = e
0
√
1 + e2·0
=
1√
1 + 1
=
1√
2
=
√
2
2
.
2
c) Como f é injetiva, então f é inverśıvel. Assim, seja f−1 : [0, 1) → [0, ,+∞). Para
encontrar a lei de formação de f−1, escreveremos x = f(y) e isolaremos a variável y na
expressão encontrada. Assim,
x =
y√
1 + y2
⇔ x2 =
(
y√
1 + y2
)2
⇔ x2 = y
2
1 + y2
⇔ x2(1 + y2) = y2 ⇔
⇔ x2 + x2y2 = y2 ⇔ x2 = y2 − x2y2 ⇔ x2 = y2(1− x2)⇔ x
2
1− x2
= y2 ⇔
⇔ y = |x|√
1− x2
=
x√
1− x2
, ∀x ∈ [0, 1).
Portanto, temos que lei de formação da função inversa de f é dada por f−1(x) =
x√
1− x2
.
Questão 2: [2,0 pts] Encontre o conjunto solução da inequação abaixo, apresentando todos
os cálculos efetuados.
ln
(
1 + x
1− x
)
> 0.
Solução:
ln
(
1 + x
1− x
)
> 0⇔ 1 + x
1− x
> 1⇔ 1 + x
1− x
− 1 > 0⇔ 1 + x− (1− x)
1− x
> 0⇔ 2x
1− x
> 0
⇔ x > 0 ou x < 1.
Portanto, o conjunto solução da inequação apresentada é dado por S = {x ∈ R; 0 < x < 1}
ou, equivalentemente, por S =]0, 1[.
Questão 3: [2,0 pts] Uma imobiliária cobra uma comissão de 12% do valor da venda de um
imóvel, mais R$ 25,00 fixo para as despesas de correio e divulgação. Denote por x o valor do
imóvel (em reais) e por f(x) a comissão cobrada pela imobiliária. Responda o que se pede em
cada item abaixo.
a) Encontre a lei de formação de f(x).
b) Qual o valor recebido pela imobiliária pela venda de um imóvel por R$ 185.000,00?
Justifique sua resposta.
3
Solução:
a) f(x) = 12%x + 25 =
12
100
x + 25 =
3
25
x + 25.
Logo, f(x) =
3
25
x + 25.
b) O valor recebido pela imobiliária na venda do imóvel é dado por f(185.000). Portanto,
basta calcular esse valor para responder a questão. Assim:
f(185.000) =
3
25
· 185.000 + 25 = 555.000
25
+ 25 = 22.200 + 25 = 22.225.
Dessa forma, a imobiliária irá receber o valor de R$ 22.225, 00 pela venda do imóvel.
Questão 4: [3,0 pts] Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
b) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
c) lim
x→0
√
9 + x− 3
x
Solução:
a) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
= lim
x→4
√
x− 2
x− 4
×(
√
x + 2)
(
√
x + 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(
√
x + 2)
= lim
x→4
1√
x + 2
=
1√
4 + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
.
b) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
= lim
x→1
3
√
x− 1
( 3
√
x− 1)(( 3
√
x)2 + 3
√
x + 1)
= lim
x→1
1
( 3
√
x)2 + 3
√
x + 1
=
1
3
.
c) lim
x→0
√
9 + x− 3
x
= lim
x→0
√
9 + x− 3
x
×(
√
9 + x + 3)
(
√
9 + x + 3)
= lim
x→0
(9 + x)− 9
x(
√
9 + x + 3)
= lim
x→0
x
x(
√
9 + x + 3)
= lim
x→0
1√
9 + x + 3
=
1√
9 + 3
=
1
3 + 3
=
1
6
.