AP2 MÉTODOS DETERMINISTICOS 2 - 2023-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito – AP2 – Métodos Determińısticos II – 2/2023
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [2,0 ptos] Esboce o gráfico de uma função real f de sua escolha cujo doḿınio seja
Dom(f) = [0, 2) (ou seja, o intervalo real de 0 ao 2, incluindo o extremo 0 e excluindo o extremo 2)
e que possua uma única descontinuidade em x = 1. Marque no gráfico todos os valores de x para
os quais o gráfico da função muda entre crescente, constante e decrescente.
Obs.: Não é necessário apresentar a expressão algébrica da função f , podendo ser fornecido somente
o esboço do gráfico. Contudo, o esboço deve conter todas as informações pedidas no enunciado.
Resposta:
Questão 2 [1,0 pto] Determine explicitamente (utilizando a notação matemática adequada) os
intervalos de crescimento e decrescimento da função f da questão anterior, excluindo de todos os
intervalos o ponto x = 1.
Resposta: Intervalo de crescimento: [0, 1).
Métodos Determińısticos II AP2 2
Intervalo de decrescimento: (1, 2).
Questão 3 [2,0 ptos] Determine os candidatos a pontos de máximo e ḿınimo locais da função real
f(x) = x3+x2−2 utilizando o teste da derivada primeira. Confirme se esses pontos são efetivamente
pontos de máximo e ḿınimo locais através do teste da derivada segunda.
Resposta: Os candidatos a pontos de máximo e ḿınimo locais devem ter a coordenada x tal que
f ′(x) = 0. Procedendo o cálculo da derivada
f ′(x) = 3x2 + 2x = 0
x(3x + 2) = 0
Logo, temos x = 0 e x = −2/3 como candidatos a coordenada x dos pontos de extremos locais
(máximo ou ḿınimo).
Agora faremos o teste da derivada segunda. Calculamos f ′′(x) = (3x2 + 2x)′ = 6x + 2. Logo, em
x = 0 temos f ′′(0) = 2 indicando que a concavidade está voltada para cima. Portanto, juntando
as informações de que para x = 0 a derivada primeira é nula f ′(0) = 0 e que a derivada segunda
é positiva f ′′(0) = 2, temos que x = 0 é a primeira coordenada de um ponto de ḿınimo. Para
encontrar a segunda coordenada substitúımos x = 0 na expressão da função f(x), obtendo
f(0) = 03 + 02 − 2 = −2
Portanto, Pm = (0, −2) é um ponto de ḿınimo local.
Faremos o mesmo procedimento para x = −2/3.
A derivada segunda é negativa f ′′(−2/3) = −2. Logo, a concavidade para x = −2/3 será para baixo.
Juntando com a informação da derivada primeira ser nula f ′(−2/3) = 0, obtemos que x = −2/3 é a
primeira coordenada de um ponto de máximo. Para obter a segunda coordenada devemos substituir
x = −2/3 na expressão da função f(x). Assim, obtemos:
f(−2/3) = (−2/3)3 + (−2/3)2 − 2 = −50/27
.
Assim, temos que PM = (−2/3, −50/27) é ponto de máximo local.
Questão 4 [2,0 ptos] Uma empresa de consultoria encontrou a seguinte função lucro L(t) =
t2ln(0, 002t) que pode indicar lucro quando L(t) > 0 ou prejúızo quando L(t) < 0. O tempo t está
em dias desde a fundação da empresa. Sabe-se que a função L(t) alcança seu menor valor quando
t = 500√
e
. Justifique essa afirmação através do estudo de sinal da derivada primeira.
Resposta: A derivada primeira da função é L′(t) = 2tln(0, 002t) + t20,002t0, 002 = 2tln(0, 002t) + t.
Colocando a variável t em evidência L′(t) = t(2ln(0, 002t) + 1). Logo, para termos candidatos a
ḿınimo precisamos que L′(t) = 0.
Calculando 2ln(0, 002t) + 1 = 0, obtemos
2ln(0, 002t) + 1 = 0
ln(0, 002t) = −1/2
e−
1
2 = 0, 002t
t = 500√
e
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Métodos Determińısticos II AP2 3
A função logaritmo natural é crescente, assim como 2ln(0, 002t)+1. Portanto, 2ln(0, 002t)+1 terá
sinal negativo antes de t = 500√
e
e positivo depois. O mesmo ocorrerá com L′(t) = t(2ln(0, 002t)+1)
por ser produto de uma fator positivo t > 0 com o fator (2ln(0, 002t) + 1).
Conclúımos que o menor valor de L(t) será alcançado quando t = 500√
e
, pois a função é decrescente
antes e crescente depois deste valor de t.
Questão 5 [3,0 ptos] Se o preço de determinado produto oscila diariamente de acordo com a função
f(t), por exemplo barris de petróleo, e uma empresa mantém uma venda constante de 500 unidades
por dia, então a receita arrecadada entre os dias t = d1 e t = d2 pode ser dada por
∫ d2
d1
500f(t)dt.
Se em determinado peŕıodo de t = 2 dias e t = 10 dias o produto teve uma valorização segundo
a função f(t) = t2 + 5, determine o preço do produto quanto t = 2, o preço do produto quando
t = 10 e a receita obtida neste intervalo de tempo considerando a venda de 500 unidades por dia.
Resposta:O preço do produto quando t = 2 é dado por f(2) = 22 + 5 = 9.
O preço do produto quando t = 10 é dado por f(10) = 102 + 5 = 105.
A receita obtida é dada por
∫ 10
2
500(x2 + 5)dt = 500
∫ 10
2
(x2 + 5)dt = 500[x
3
3 + 5x]
10
2
= 500[9923 + 40] =
556000
3 .
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