AP1-MD2-2021-1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 - Métodos Determinísticos II (2021-1)
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1 [1,5 pts]: Seja a função f :R→R tal que
lim
x→4
f (x) = 2.
Classifique os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso :(F)
a) [0,5 pts] Podemos afirmar que f (4) 2.=
b) [0,5 pts] Podemos afirmar que lim
x→4−
f (x) = lim
x→4+
f (x) = 2.
c) [0,5 pts] Existe algum número real , no domínio da função, tal que ) esteja entre 1,99 e 2,2.x0 f (x0
Solução:
a) O valor do limite depende dos valores que a função assume quando está próximo ao 4, mas nãox
depende do falor específico de x = 4. (F)
b) Podemos afirmar que lim
x→4−
f (x) = lim
x→4+
f (x) = 2. (V)
c) Quando escrevemos lim
x→4
f (x) = 2 estamos efetivamente afirmando que sempre conseguiremos va-
lores de próximos de 4 tal que f(x) esteja tão próximo de 2 quanto precisemos. Assim sendo, ob-x
servando que para f (x) bem próximo de 2 estaremos no inervalo entre 1,99 e 2,2, a afirmativa é
verdadeira. (V)
Questão 2 [2,0 pts]: Calcule os limites abaixo:
a) [1,0 pts] lim
x→−4
x2 −16
x2 −x −20
.
b) [1,0 pts] lim
x→2
2−x
p
2−
p
x
.
Solução:
a) lim
x→−4
x2 −16
x2 −x −20
= lim
x→−4
(x −4)( 4)x +
(x +4)(x −5)
= lim
x→−4
x −4
x −5
=
−4−4
−4−5
=
−8
−9
.
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b) lim
x→2
2−x
p
2−
p
x
= lim
x→2
( )( )
p
2+
p
x
p
2−
p
x
p
2−
p
x
= lim
x→2
p
2+
p
x
1
= 2
p
2.
Questão 3 [3,0 pts]: Considere a função
f (x) =
3x
p
x2 −9
e faça os seguintes itens:
a) [1,0 pts] Determine as assíntotas verticais.
b) [1,0 pts] Determine as assíntotas horizontais.
c) [1,0 pts] Esboce o gráfico da função.
Solução:
a) Para determinar as candidatas a assíntotas verticais do gráfico de f(x), precisamos encontrar números
b tais que os limites
lim
x→b+
f (x) ou lim
x→b−
f (x)
sejam iguais a . Para que isso ocorra, buscamos primeiramente que o número torne o+∞ ou −∞ b
denominador de ) nulo ( tais valores não estarão no domínio def (x f (x)). No caso da função f (x) =
3xp
x2−9
, precisamos que
p
x2 −9 = 0. Logo, 3.x =±
Esses dois valores de 3 e 3 são apenas candidatos. Precisamos calcular os limitesx = x =−
lim
x→3+
f (x), lim
x→3−
f (x), lim
x→−3+
f (x) e lim
x→−3−
f (x).
Para facilitar o entendimento, observe o gráfico da função 9.g (x) = x2 −
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Observamos que x2 −9 → 0+, quando x → 3+. Portanto, o denominador e também o
p
x2 −9 → 0+
numerador 3x → 9 quando . Donde concluímos que o primeiro limitex → 3+
lim
x→3+
3x
p
x2 −9
=+∞.
Analogamente,
lim
x→−3−
3x
p
x2 −9
=−∞.
Ainda precisamos calcular lim
x→3−
3x
p
x2 −9
e lim
x→−3+
3x
p
x2 −9
, mas ambos limites não estão definidos, pois
o intervalo [ 3,3] não está no domínio da função, visto que não existe 9 é nega-−
p
x2 −9, quando x2 −
tivo.
De todo exposto acima, concluímos que as retas 3 e 3 são as assíntotas verticais.x = x =−
b) Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites
lim
x→+∞
f (x) e lim
x→−∞
f (x).
Observe que lim
x→+∞
3x
p
x2 −9
= lim
x→+∞
3x
q
x2(1− 9
x2
)
= lim
x→+∞
3x
p
x2
= lim
x→+∞
3x
|x|
= lim
x→+∞
3x
x
= 3. Na última
igualdade usamos que , pois 0.|x| = x quando x →+∞ x >
Por outro lado, lim
x→−∞
3x
p
x2 −9
= lim
x→+∞
3x
|x|
= lim
x→+∞
3x
−x
=−3. Na última igualdade usamos que |x| =−x
quando x →−∞, pois 0.x <
Logo, as retas 3 e 3 são as assíntotas horizontais do gráfico da função .y = y =− f
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c) O gráfico da função é
Questão 4 [3,5 pts]: Considere a função
f (x) =
½
|x +1|−2, x ≤ 2
x +1, x > 2.
e resolva os itens a seguir.
a) [1,0 pts] Esboce o gráfico.
b) [0,5 pts] Determine f(2).
c) [1,0 pts] Determine lim
x→2+
f (x).
d) [1,0 pts] A função é contínua em x = 2? Justifique.
Solução:
a) O gráfico da função é
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b) Temos, pela lei de formação da função, que f(2)=|2+1|-2=1.
c) Temos lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
x +1 = =2+1 3.
d) Para ser contínua em 2, precisamos que limx =
x→2
f (x) = f (2). Analisando os limites laterais lim
x→2+
f (x) =
3 e lim
x→2−
f (x) = 1, observamos que lim
x→2
f (x) não existe. Portanto, a função não é contínua em 2.x =