AP1-MD2-2023-2-GABARITO METODOS DETERMINISTICOS II

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP1 – Métodos Determinísticos II – 2/2023
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [1,0 pto] Encontre o domínio da função g (x) =
3
p
x
x2 +1 , justificando todos os cálculos efetuados.
Solução: Observe que no numerador de g (x) temos uma raiz cúbica, que está definida para todos os núme-
ros reais; já no denominador, a expressão “x2 +1” nunca se anula, pois x2 +1 > 0, para todo x ∈R. Portanto,
Dom(g ) =R.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 2 A 4.
Considere as funções f (x) = x2 +2x −1 e g (x) = 2x −3.
Questão 2 [1,0 pto] Encontre a função inversa g−1(x), caso exista.
Solução: A função g é inversível, pois é bijetiva de R em R. Logo, é possível encontrar a lei de formação de
g−1(x). Assim,
x = 2y −3 ⇒ 2y = x +3 ⇒ y = x +3
2
.
Portanto, g−1(x) = x +3
2
.
Questão 3 [1,0 pto] Calcule (g ◦ f )(1), caso exista.
Solução: Como Dom( f ) =R e Dom(g ) =R, não há restrições para o cálculo de (g ◦ f )(1). Dessa forma,
(g ◦ f )(1) = g ( f (1)) = g (12 +2 ·1−1) = g (1+2−1) = g (2) = 2 ·2−3 = 4−3 = 1.
Logo, (g ◦ f )(1) = 1.
Questão 4 [1,0 pto] Encontre g ◦ g ◦ g .
Solução:
(g◦g◦g )(x) = g (g (g (x))) = g (g (2x−3)) = g (2(2x−3)−3) = g (4x−6−3) = g (4x−9) = 2(4x−9)−3 = 8x−18−3 = 8x−21.
Assim, (g ◦ g ◦ g )(x) = 8x −21.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Calcule os limites abaixo, caso existam, apresentando todos os cálculos desenvolvidos. Caso algum limite
abaixo não exista, explique o porquê.
Questão 5 [1,0 pto] lim
x→−4
1
4 + 1x
x +4 .
Solução: lim
x→−4
1
4 + 1x
x +4 = limx→−4
x+4
4x
x +4 = limx→−4
x +4
4x
· 1
x +4 = limx→−4
1
4x
=− 1
16
.
Questão 6 [1,0 pto] lim
x→9
9−x
3−px .
Solução: lim
x→9
9−x
3−px = limx→9
(9−x) · (3+px)
(3−px) · (3+px) = limx→9
(9−x) · (3+px)
32 − (px)2 = limx→9
(9−x) · (3+px)
9−x = limx→9 3+
p
x = 6.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 7 E 8.
Considere a função h(x) =
p
x2 +1
x −5 .
Questão 7 [2,0 pts] Determine as assíntotas verticais do gráfico de h, caso existam.
Solução: Como Dom(h) = R− {5}, significa que a reta x = 5 é uma candidata a assíntota vertical do gráfico
de h, caso ela exista. Para verificar isso, basta calcular os limites:
lim
x→5+
h(x) e lim
x→5− h(x).
Logo,
lim
x→5+
h(x) = lim
x→5+
↗p26︷ ︸︸ ︷√
x2 +1
x −5︸ ︷︷ ︸
↘0+
=+∞.
e também
lim
x→5− h(x) = limx→5−
↗p26︷ ︸︸ ︷√
x2 +1
x −5︸ ︷︷ ︸
↘0−
=−∞.
Dessa forma, a reta x = 5 é a única assíntota vertical do gráfico de h.
Questão 8 [2,0 pts] Determine as assíntotas horizontais do gráfico de h, caso existam.
Solução: Para encontrar assíntotas horizontais do gráfico de h, caso existam, basta calcular os limites:
lim
x→+∞h(x) e limx→−∞h(x).
Assim,
lim
x→+∞h(x) = limx→+∞
p
x2 +1
x −5 = limx→+∞
√
x2
(
1+ 1
x2
)
x
(
1− 5x
) = lim
x→+∞
p
x2
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
) = lim
x→+∞
|x|
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
)
= lim
x→+∞
x
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
) = lim
x→+∞
√
1+ 1
x2
1− 5x
= lim
x→+∞
p
1
1
= 1.
E também,
lim
x→−∞h(x) = limx→−∞
p
x2 +1
x −5 = limx→−∞
√
x2
(
1+ 1
x2
)
x
(
1− 5x
) = lim
x→−∞
p
x2
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
) = lim
x→−∞
|x|
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
)
= lim
x→−∞
−x
√
1+ 1
x2
x
(
1− 5x
) = lim
x→−∞−
√
1+ 1
x2
1− 5x
= lim
x→−∞−
p
1
1
=−1.
Dessa forma, as retas y =−1 e y = 1 são as assíntotas horizontais do gráfico de h.
2