ep1_metdet_ii_2021_2_tutor

Prévia do material em texto

Métodos Determińısticos II
Gabarito do EP1
Questão 1: Seja F , definida por
F (x) =

1− x se x ≤ 1
5 se 1 < x ≤ 3
2x + 1 se x > 3.
a) Faça o esboço do gráfico de F ;
b) Determine o domı́nio e a imagem de F ;
c) Analise o comportamento (crescimento) de F nos intervalos de definição.
Solução:
a) RESOLVIDA EM VÍDEO, VEJA O AQUIVO NA PÁGINA DA SEMANA 1.
b) Da definição da F , percebemos que seu domı́nio é todo o conjunto dos números reais. Pelo
gráfico, vemos que a imagem é o intervalo [0,+∞). Assim, D(F ) = R e Im(F ) = [0,+∞).
c) A função F será decrescente em (−∞, 1], constante em (1, 3] e crescente em (3,+∞).
Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, e g ◦ g, explicitando seus
domı́nios:
a) f(x) = x− 5 e g(x) = x2 − 1 b) f(x) =
√
x e g(x) = 2x− 3
Solução:
a) Sendo f(x) = x− 5 e g(x) = x2 − 1, então
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 − 1) = x2 − 1− 5 = x2 − 6.
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x− 5) = (x− 5)2 − 1 = x2 − 10x + 25− 1 = x2 − 10x + 24.
(f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(x− 5) = x− 5− 5 = x− 10.
(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(x2 − 1) = (x2 − 1)2 − 1 = x4 − 2x2 + 1− 1 = x4 − 2x2.
Como todos são polinômios o domı́nio de todos são todos os Reais.
b) Sendo f(x) =
√
x e g(x) = 2x− 3, então
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x− 3) =
√
2x− 3. Como 2x− 3 ≥ 0⇔ x ≥ 3
2
, D(f ◦ g) = [3
2
,+∞).
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x) = 2
√
x− 3. Logo, D(g ◦ f) = [0,+∞).
(f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(
√
x) =
√√
x = (x1/2)1/2 = x1/4 = 4
√
x. D(f ◦ f) = [0,+∞).
(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(2x− 3) = 2(2x− 3)− 3 = 4x− 6− 3 = 4x− 9. D(g ◦ g) = R.
1
Questão 3: Sejam f e g funções definidas pelos gráficos abaixo e considerando D(f) = D(g) = R,
encontre (f ◦ g)(−2) e (g ◦ f)(4).
Figure 1: Gráfico de f(x) Figure 2: Gráfico de g(x)
Solução: Queremos calcular (f ◦ g)(−2) = f(g(−2)), mas g(−2) = 0 e f(0) = 8. Dáı (f ◦ g)(−2) =
f(g(−2)) = f(0) = 8. Para calcular (g ◦ f)(4) = g(f(4)), veja que f(4) = 0 e g(0) = −4.
(g ◦ f)(4) = g(f(4)) = g(0) = −4.
Questão 4: Determine a inversa das seguintes funções:
a) f(x) = 5x− 7 b) f(x) = 2x+3x−1
Solução: Para todos os caos vamos chamar f(x) = y e tentar isolar o x.
a) Em y = 5x− 7⇔ y + 7 = 5x. Dáı que f−1(x) = x+75 .
b) Em y = 2x+3x−1 ⇔ y(x − 1) = 2x + 3 ⇔ yx − 2x = x(y − 2) = y + 3. Dáı que se y 6= 2 temos
f−1(x) = x+3x−2 .
Questão 6: Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de R$15, 00
por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de x reais, então o número de
relógios vendidos por semana será dado pela expressão 125− x.
a) Dê a expressão do custo total dos relógios vendidos por semana.
b) A partir da expressão obtida no item anterior, determine o preço de venda de cada relógio em
função do custo total.
c) Relacione a expressão encontrada no item anterior com a noção de função inversa.
2
Solução:
a)
c(x) = ( preço por unidade )× ( quantia de relógios vendidos ) = 15× (125− x) = 1875− 15x.
b) Como c = c(x) = 1875− 15x segue que c− 1875 = −15x⇒ x = 1875−c15 .
c) A partir da função c(x) = 1875 − 15x foi obtida uma outra função para expressar o preço de
venda do relógio em função do custo c. Repare que o procedimento usado para a determinar o preço
foi o mesmo utilizado para o cálculo da inversa de uma função. Portanto, podemos dizer que a função
preço de venda é a função inversa do custo.
3