AP1-MD2-2022-2 - GABARITO

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GABARITO – AP1 – Métodos Determinísticos II – 2/2022
Código da disciplina EAD06077
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
Para cada par de funções reais abaixo, determine f ◦ g e g ◦ f . Encontre também os domínios de f ◦ g e de
g ◦ f .
Questão 1 [1,0 pto] f (x x) = ln( ) e g (x) =
p
x
Solução: Sendo f (x) = ln(x) e , temos queg (x) =
p
x
( f ◦ g )(x) = f ( (g x)) = f (
p
x) = ln(
p
x), donde Dom( f ◦ g ) =]0, ).+∞
E também,
( ( ( (g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g (ln x)) =
p
ln x), donde Dom(g ◦ f ) = [1,+∞), pois ln x)> 0 ⇔ x > 1.
Questão 2 [1,0 pto] f (x) =
1
x
e g (x) = 3
p
x
Solução: Sendo f (x) =
1
x
e g (x) = 3
p
x, temos que
( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( 3
p
x) =
1
3
p
x
, donde Dom( f ◦ g ) =R− {0} .
E também,
( (g ◦ f )(x) = g ( f x)) = g
µ
1
x
¶
= 3
r
1
x
= 1
3
p
x
, donde novamente temos que Dom( .g ◦ f ) =R− {0}
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 3 E 4.
O lucro (ou prejuízo) médio por unidade de produto fabricada por uma indústria, em reais, é dado aproxi-
madamente pela função L(x) = 3−
10000
x
, onde x representa a quantidade de produto produzida.
Questão 3 [1,0 pto] Calcule o valor de (2) e interprete o resultado obtido.L
Solução: Observe que L(2) = 3−
10000
2
= 3−5000 =−4997.
Isso indica que, ao produzir duas unidades do produto, a empresa terá um prejuízo médio de R$4.997,00
por item, possivelmente pelo custo do maquinário, que só fornece algum lucro se for usado para fabricar
em grande quantidade de itens.
Questão 4 [1,0 pto] Calcule lim
x→+∞
L(x) e interprete o resultado.
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Solução: Temos que lim
x→+∞
L(x) = lim
x→+∞
3−
10000
x
= 3, pois lim
x→+∞
10000
x
= 0.
Portanto, o lucro médio por unidade tende a estabilizar no valor de R$ 3,00 por unidade para grandes quan-
tidades de produto fabricadas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Considere a função f (x) =
−5−2x
x2 +5x +6
e faça as questões 5 e 6, apresentando todos os cálculos efetuados.
Questão 5 [2,0 pts] Determine as assíntotas verticais do gráfico da função .f
Solução: Note que Dom( , pois 3 e 2.f )=R− {−3,−2} x2 +5x +6 = (x +3)(x +2) 6= 0 ⇔ x 6=− x 6=−
Logo, as retas 3 ex = − x = −2 são candidatas a assíntotas verticais do gráfico da função . Para compro-f
var isso, precisaremos calcular os seguintes limites: lim
x→−3+
f (x), lim
x→−3−
f (x), lim
x→−2+
f (x) e lim
x→−2−
f (x). Dessa
forma,
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
−5−2x
x2 +5x +6
= lim
x→−3+
%1
z }| {
−5−2x
(x +2)
| {z }
&−1
(x +3)
| {z }
&0+
=−∞;
lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3−
−5−2x
x2 +5x +6
= lim
x→−3−
%1
z }| {
−5−2x
(x +2)
| {z }
&−1
(x +3)
| {z }
&0−
=+∞;
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
−5−2x
x2 +5x +6
= lim
x→−2+
%−1
z }| {
−5−2x
(x +2)
| {z }
&0+
(x +3)
| {z }
&1
=−∞;
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
−5−2x
x2 +5x +6
= lim
x→−2−
%−1
z }| {
−5−2x
(x +2)
| {z }
&0−
(x +3)
| {z }
&1
=+∞.
Portanto, as retas 3 e 2 são assíntotas verticais do gráfico de .x =− x =− f
Questão 6 [1,0 pt] Determine as assíntotas horizontais do gráfico da função .f
Solução: Para verificar se o gráfico de possui assíntotas horizontais, devemos calcular os limites limf
x→+∞
f (x)
e lim
x→−∞
f (x). Assim,
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
−5−2x
x2 +5x +6
= lim
x→+∞
x2
µ−5
x2
− 2
x
¶
x2
µ
1+ 5
x
+ 6
x2
¶ = lim
x→+∞
−5
x2
− 2
x
1+ 5
x
+ 6
x2
= 0.
Analogamente, obtemos que lim
x→−∞
f (x) = 0.
Portanto, a reta 0 (eixo OX) é a única assíntota horizontal do gráfico de .y = f
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 7 A 9.
Calcule os limites abaixo, caso existam, apresentando todos os cálculos desenvolvidos. Caso algum limite
abaixo não exista, explique o porquê.
Questão 7 [1,0 pto] lim
x→7
|x −7|
x −7
+7
Solução: Note que
|x −7|
x −7
=
½
1, se x > 7
−1, se x < 7 .
Portanto,
lim
x→7+
|x −7|
x −7
+ +7 = 1 7 = 8 e lim
x→7−
|x −7|
x −7
+ +7 =−1 7 = 6.
Dessa forma, como os limites laterais calculados acima são distintos, concluímos que lim
x→7
|x −7|
x −7
+ 7 não
existe.
Questão 8 [1,0 pto] lim
x→+∞
ex + 2x
7ex + 5x
Solução: lim
x→+∞
ex + 2x
7ex + 5x
= lim
x→+∞
ex
¡
1+ 2
xex
¢
ex
¡
7+ 5xex
¢ = lim
x→+∞
1+ 2xex
7+ 5
xex
= 1
7
.
Questão 9 [1,0 pto] lim
x→0
p
x2 + − +9
p
x 9
5x
Solução: lim
x→0
p
x2 + − +9
p
x 9
5x
= lim
x→0
p
x2 + −9
p
x +9
5x
× (
p
x2 +9+
p
x +9)
(
p
x2 +9+
p
x +9)
= lim
x→0
x2 + −9 (x +9)
5x( 9)
p
x2 +9+
p
x +
= lim
x→0
x2 −x
5x(
p
x2 +9+ +
p
x 9)
= lim
x→0
x(x −1)
5x(
p
x2 +9+ +
p
x 9)
= lim
x→0
x −1
5(
p
x2 +9+ +
p
x 9)
= −1
5× (3+3)
=− 1
30
.