Apostila_Geometria_euclidiana

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
Geometria Euclidiana 
JUNHO DE 2015 
Prof. Bruno Machado Leal 
 
 2 
 
 
Introdução 
Existem indícios de que os primeiros conhecimentos de Geometria foram 
desenvolvidos por volta de 2000 a.C. pelos babilônios, e cerca de 1300 anos a.C. 
pelos egípcios, na tentativa de resolver problemas do cotidiano, como a 
demarcação de terras ou a construção de edifícios. 
No entanto,foram os gregos, por volta de 600 a.C., os primeiros a 
sistematizar e organizar tudo quese conhecia sobre o assunto até sua época. 
O principal trabalho dos gregos foi feito por Euclides, por volta de 300 
a.C., que escreveu um tratado de Geometria, chamado Elementos. 
A preocupação central de Euclides em sua obra é a demonstração de 
propriedades geométricas com o auxílio da Lógica. 
Da mesma forma que Euclides, iniciamos este capítulo com os conceitos 
primitivos, definições, postulados e teoremas, que serão básicos para o 
desenvolvimento da Geometria, aqui chamada euclidiana 
 
Bons Estudos! 
 
 3 
 
 
Objetivos: 
 
 Conhecer os conceitos primitivos e as definições básicas da Geometria 
Euclidiana. 
 Saber trabalhar com medidas de segmentos de reta e ângulos. 
 Saber definir triângulo e reconhecê-los quanto aos lados e quanto aos 
ângulos. 
 Saber utilizar as desigualdades dos triângulos. 
 Saber aplicar os casos de congruência de triângulos. 
 Reconhecer retas paralelas e retas concorrentes. 
 Compreender o significado de reta transversal a retas paralelas. 
 Saber definir quadrilátero. 
 Saber definir polígono. 
 Conhecer a denominação dos polígonos quanto ao número de lados. 
 Conhecer as propriedades gerais dos polígonos tais como número de 
diagonais, soma 
 dos ângulos internos, etc e saber aplicá-las na resolução de problemas. 
 Saber definir circunferência e disco. 
 Conhecer os pontos notáveis de um triângulo e suas propriedades. 
 Conhecer as posições relativas entre uma reta e uma circunferência, e, 
entre duas circunferências. 
 Saber definir ângulo central, ângulo inscrito, ângulo semi-inscrito e arco, e, 
conhecer suas propriedades. 
 Compreender o conceito de área. 
 Conhecer as fórmulas básicas que dão as áreas do triângulo e dos 
principais quadriláteros e saber aplicá-las. 
 Compreender os casos de semelhança de triângulos e saber aplicá-los na 
resolução de problemas. 
 
 
 4 
 
 Sumário 
Unidade 1 
1- Retas e Planos ...................................................................................................... 8 
1.1- Noções Primitivas e Conceitos .................................................................. 8 
1.2- Segmentos de reta – Conceitos ................................................................... 9 
Exercícios propostos ......................................................................................... 9 
2- Postulados da Geometria ................................................................................ 10 
2.1- Postulado da Existência ........................................................................... 10 
2.2- Postulado da Determinação ..................................................................... 10 
2.3- Postulado da Inclusão .............................................................................. 11 
2.4- Postulado da Separação ........................................................................... 11 
3- Paralelismo e Perpendicularismo ................................................................... 12 
3.1- Paralelismo .............................................................................................. 12 
3.2- Perpendicularismo ................................................................................... 13 
3.3- Teorema de Tales e Teoremas das Bissetrizes ......................................... 14 
3.3.1 Teorema de Tales .............................................................................. 14 
3.3.2 Teorema das Bissetrizes ..................................................................... 16 
4- Retas e planos perpendiculares no espaço ..................................................... 20 
4.1 Reta perpendicular a plano ....................................................................... 20 
4.2 Teorema fundamental do perpendicularismo ........................................... 20 
4.3 Teorema das três perpendiculares ............................................................. 23 
4.4 Propriedades do perpendicularismo de reta com plano ........................... 23 
4.5 Plano perpendicular a plano ...................................................................... 24 
4.6 Propriedades do perpendicularismo de planos ......................................... 25 
Exercício proposto .......................................................................................... 26 
Exercício de fixação ........................................................................................ 28 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 Unidade 2 
5- Ângulos ............................................................................................................. 32 
5.1- Definições .................................................................................................... 32 
5.2-Bissetriz de um ângulo .................................................................................. 32 
5.3- Tipos de Ângulos ........................................................................................ 33 
5. 3.1 Ângulos Consecutivos ........................................................................ 33 
5. 3.2 Ângulos Adjacentes ............................................................................. 33 
5. 3.3 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v) .............................................. 33 
5.3.4- Ângulos Complementares ................................................................. 34 
5.3.5- Ângulos Suplementares .................................................................... 34 
5.3.6- Ângulos Replementares ...................................................................... 34 
5.2.7- Ângulo reto ......................................................................................... 35 
5.2.8- Ângulo agudo ..................................................................................... 35 
Exercício de fixação ..................................................................................... 36 
6-Triângulos .......................................................................................................... 38 
6.1 – Conceitos, elementos e classificação ........................................................ 38 
6.2 – Congruência de triângulos ........................................................................ 39 
6.3-Desigualdade Triangular ............................................................................. 43 
6.4 – Pontos notáveis dos triângulos ................................................................. 44 
6.4.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas) ............................... 44 
6.4.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas) ................... 44 
6. 4.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) ......................... 44 
6. 4.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas) .................................... 44 
6.5 – Semelhança de Triângulos ......................................................................... 45 
6.6– Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras ......................................... 47 
6.6.1 Diagonal do quadrado ......................................................................... 47 
6.6.2Teorema de Pitágoras .......................................................................... 47 
Exercício de fixação ...................................................................................... 48 
7-Polígonos ........................................................................................................... 50 
Exercícios propostos .......................................................................................... 52 
7.1-Quadriláteros ............................................................................................... 53 
7.1.1 Trapézio .............................................................................................. 53 
7.1.2 Paralelogramo ...................................................................................... 54 
7.1.3 Retângulo ............................................................................................ 55 
7.1.4 Losango ............................................................................................... 55 
7.1.5 Quadrado .............................................................................................. 56 
Exercício proposto ........................................................................................ 57 
 
 6 
 
 Unidade 3 
8- Área dos Polígonos ........................................................................................... 61 
8.1 Área do Retângulo ...................................................................................... 62 
8.2 Área do quadrado ......................................................................................... 62 
8.3 Área do paralelogramo ............................................................................... 62 
8.4 Área do triângulo ........................................................................................ 62 
8.5 Área do losango ......................................................................................... 62 
8.6 Área do trapézio ........................................................................................ 62 
Exercício de fixaçao .......................................................................................... 64 
9- Circunferência .................................................................................................. 68 
9.1 Definições e elementos ................................................................................ 68 
9.2 Posições relativas de reta e Circunferência ................................................. 70 
9.3 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis ................................ 71 
Exercício proposto ............................................................................................. 71 
9.4 Ângulos da circunferência ........................................................................... 73 
Exercício propostos ........................................................................................... 76 
9.5 – Comprimento da circunferência ............................................................... 79 
Exercícios propostos .......................................................................................... 80 
10-Áreas do círculo e suas partes ........................................................................ 81 
10.1 Área do círculo ......................................................................................... 81 
10.2 Área do setor circular ................................................................................ 81 
10.3 Área da coroa circular ............................................................................... 82 
Exercícios propostos ........................................................................................... 84 
11-História da geometria ..................................................................................... 86 
 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 
 
 Retas e Planos 
 Postulados da Geometria 
 Paralelismo e Perpendicularismo 
 Retas e planos perpendiculares no espaço 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1- Noções Primitivas e Conceitos 
 
Ponto: Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. A marca de 
uma ponta de lápis no papel dá a idéia do que é um ponto. 
 
Reta: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por 
eles. 
Pontos colineares:São pontos que pertencem a uma mesma reta. 
 
Plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por 
eles. 
Pontos coplanares: São pontos que pertencem ao um mesmo plano. 
 
Os pontos A,B e C são coplanares pois todos pertencem ao mesmo plano α. 
 
 
1) Classifique como verdadeiras(V) ou falsas(F) as sentenças abaixo: 
 
a)Por um ponto passam infinitas retas 
 
b)Por dois pontos distintos passa uma reta 
 
c)Uma reta contém dois pontos distintos 
 
d)Dois pontos distintos determinam uma só reta 
 
e)Por três pontos dados passa uma só reta 
 
 
 
Solução: V/V/V/V/F 
 
1- Retas e Planos 
 
 9 
 
 
1.2- Segmentos de reta – Conceitos 
 
Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Sendo assim, o 
segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. 
 
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se a 
extremidade de um deles é também extremidade do outro. 
 
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa 
mesma reta 
 
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes 
se possuem em comum apenas uma extremidade, ou seja, não possuem pontos 
internos comuns. 
 
 
AD e DB são consecutivos, colineares e adjacentes. 
 
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. 
Obs: “~” é o símbolo de congruência ( AB~CD) 
 
Ponto médio de um segmento: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB 
somente se M está entre A e B e AM=MB. 
 
Semirreta: A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, 
possui início, mas não tem fim. 
 
 
 
1) Determine AB sendo M o ponto médio. 
 
2) Determine PQ, sendo AB=31 
 
 
 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Postulados da Geometria 
 
 Postulado da existência; 
 
 Postulado da determinação; 
 
 Postulado da inclusão; 
 
 Postulado da separação. 
 
2.1 Postulado da Existência 
 
 
 Existem pontos, retas e planos; 
 
 Em cada reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos; 
 
 Em cada plano, bem como fora dele, existem infinitas retas, e conseqüentemente, 
infinitos pontos. 
 
2.2- Postulado da Determinação 
 
 Dois pontos distintos determinam uma única reta; 
 Três pontos não colineares determinam um único plano. 
 
 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3- Postulado da Inclusão 
 Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está 
contida nesse plano. 
 
2.4- Postulado da Separação 
 
 Uma reta r contida num plano α divide esse plano em duas regiões chamadas 
semi-planos 
 Um plano α divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços. 
 
 
 12 
3.1- Paralelismo 
 
Duas retas distintas r e s serão ditas paralelas (r//s) quando estiverem no 
mesmo plano (coplanares) e não possuíremponto de interseção, de maneira que, se 
colocarmos uma em cima da outra, irão se tornar uma única reta (coincidentes). Veja, 
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Paralelismo e Perpendicularismo 
 
 
1)Se a reta r é paralela a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações são 
verdadeiras ou falsas: 
 
a)r e s se cortam 
 
b) r e w se cortam 
 
c ) s e w se cortam 
 
d)s é paralela a w 
 
c)As três são paralelas entre si 
 
Resposta: F, F, F, V, V 
 
 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2- Perpendicularismo 
 
 
Duas retas distintas r e s são ditas perpendiculares quando elas são concorrentes, ou 
seja, cruzam-se e o ângulo de interseção é um ângulo reto (90º). Veja, a seguir: 
 
 
 
: 
 
2) Se a reta r é perpendicular a s e a reta r é paralela a w, diga se as 
seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 
 
a) s e w são paralelas 
 
b) r e s se cortam e o ângulo de interseção é 90º 
 
c) s e w se cortam e o ângulo de interseção é 60º 
 
d) r e w não se cortam 
 
e) As três retas se cortam 
 
 
 
Resposta: V, V, F, V, F 
 
 
 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3- Teorema de Tales e Teoremas das 
Bissetrizes 
3.3.1 Teorema de Tales 
 
O Teorema de Tales afirma que quando duas retas transversais 
cortam um feixe de retas " paralelas, as medidas dos segmentos 
delimitados nas transversais são proporcionais. Veja, a seguir: 
 
 
De acordo com o teorema, teremos a seguinte proporção: o segmento AD 
está para o segmento AB, assim como AE está para AC. De maneira que, 
 
 
 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) De acordo com a figura abaixo, calcule o valor de x: 
 
De acordo com o teorema, teremos: 
 . 
 
4)Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales 
determine p valor de x 
 
De acordo com o teorema, teremos: 
 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.2 Teorema das Bissetrizes 
 
 
O Teorema das Bissetrizes é dividido em dois, o das internas e o das externas. 
O primeiro diz que, em qualquer triângulo, a bissetriz de um triângulo interno 
estabelece no seu lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse mesmo 
ângulo. 
 
De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, teremos que o segmento AB 
está para BE, assim como AC está para CE, de maneira que: 
 
1) Seja AG a bissetriz do ângulo CÂB, calcule AB: 
De acordo com o teorema, teremos: 
 
 
 
𝑨𝑪
𝑪𝑬
 
𝑨𝑩
𝑩𝑬
 
 
 17 
 
 
2) Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP 
é bissetriz do ângulo BÂC. 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o teorema, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dado o triangulo ABC, descubra se AD é bissetriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para AD ser bissetriz, é preciso que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, AD não é bissetriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema da Bissetriz Externa diz que sempre que a bissetriz de um ângulo 
externo de certo triângulo cortar a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecido 
nesta mesma reta dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo. 
 
De acordo com o Teorema da Bissetriz Externa, teremos que o segmento AB 
está para BE, assim como AC está para CE, de maneira que: 
 
 
4) Seja AE uma bissetriz externa, calcule o valor de BE: 
 
De acordo com o teorema, teremos que: 
 
 
 
 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
5) De acordo com o Teorema das Bissetrizes Externas, determine se o 
segmento AD é uma bissetriz externa ou não. 
 
Para que AD seja bissetriz externa, temos que: 
 
5/10 = 3/6 -> 30 = 30 
 
Logo, AD é bissetriz externa. 
 
 
 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.Retas e planos perpendiculares no espaço 
 
4.1 Reta perpendicular a plano 
 
Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, ela é 
perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto onde ela intercepta 
o plano. O ponto onde ela intercepta o plano é chamado “pé da perpendicular." 
 
4.2 Teorema fundamental do perpendicularismo 
 
A condição necessária e suficiente para que uma reta seja perpendicular a um 
plano é que forme ângulo reto com duas concorrentes do plano. 
 
Para as condições deste teorema temos três casos possíveis: 
 
a) A reta t é perpendicular às duas retas concorrentes do plano. 
 
 
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simbolicamente: 
 
b) A reta t é perpendicular a uma das retas concorrentes e ortogonal à outra. 
 
Simbolicamente: 
 
c) A reta t é ortogonal às duas retas concorrentes. 
 
 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se uma rete é perpendicular a um plano então ela forma ângulo reto 
com todas as retas do plano. 
 
 
 23 
 
 
 
 
 
 
4.3 Teorema das três perpendiculares 
 
Seja r perpendicular a α no ponto P, s contida em α passando por P, t contida em 
α não passando por P e perpendicular a s em Q. 
. 
 
Se R é um ponto qualquer de r, então a reta é perpendicular a t. 
 
4.4 Propriedades do perpendicularismo de reta com 
plano 
 
a) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
 24 
 
 
b) Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos. 
 
Simbolicamente: 
 
4.5 Plano perpendicular a plano 
 
Dizemos que dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém 
uma reta perpendicular ao outro. 
 
Simbolicamente: 
 
 
 25 
 
 
4.6 Propriedades do perpendicularismo de planos 
 
a) Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer plano que a contenha é 
perpendicular ao primeiro. 
 
Simbolicamente: 
 
b) Se dois planos secantes são perpendiculares a um terceiro plano, a sua 
intersecção tambémserá perpendicular a este terceiro plano. 
 
Simbolicamente: 
 
 
 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Se dois planos são perpendiculares, toda reta de um, perpendicular à 
intersecção, é perpendicular ao outro. 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
1) Sobre a posição relativa de planos no espaço, é correto afirmar: 
 
A) Se os planos α e β são perpendiculares a um plano λ, então α é paralelo a β. 
B) Se dois planos, α e β, são paralelos entre si, então a interseção de qualquer 
outro plano λ com estes é um par de retas paralelas. 
C) Por uma reta r perpendicular a um plano passam apenas dois planos, β e λ, 
perpendiculares ao plano α. 
D) Por um ponto P não pertencente a um plano α passam infinitos planos 
paralelos ao plano α. 
E) Dois planos, α e β, paralelos a uma mesma reta r são paralelos entre si. 
 
 
 
 27 
 
 
2) Sejam 𝛼 e β dois planos paralelos e seja r uma reta de . Assinale a sentença 
verdadeira: 
a) Toda reta de  é paralela a r. 
b) Toda reta perpendicular a  é perpendicular a r. 
c) Não existe em  uma reta paralela a r. 
d) Se s é uma reta de , não paralela a r, existem em  uma reta concorrente com s e 
paralela a r. 
e) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em  uma reta paralela a s, que é 
paralela a r. 
 
3) Sobre retas e planos no espaço, verifica-se: 
1- Se uma reta r é paralela a um plano a, qualquer plano que contém r é paralelo a a. 
2- Dois planos paralelos a uma reta r podem ser paralelos entre si. 
4- Duas retas no espaço são sempre concorrentes ou paralelas ou coincidentes. 
8- Uma reta ortogonal a duas retas de um plano é perpendicular a esse plano. 
16- Por uma reta perpendicular a um plano a passa uma infinidade de planos 
perpendiculares a a. 
32- Três pontos não alinhados determinam um plano. 
A soma das assertivas verdadeiras é: ________ 
4) Leia as afirmativas abaixo e escolha a alternativa correta: 
 
I. Dados um plano 𝛼 e dois pontos A e B fora dele é sempre possível passar por A e 
B um plano perpendicular a 𝛼 . 
II. Dadas 2 retas reversas a e b não existe nenhum plano eqüidistante das duas retas. 
III. Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas ou reversas. 
IV. Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente 5 planos. 
V. Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será 
perpendicular ao outro. 
 
São verdadeiras: 
A) apenas uma afirmação. 
B) apenas duas afirmações. 
C) apenas três afirmações. 
D) apenas quatro afirmações. 
E) todas são falsas. 
 
 
 28 
 
 
1) Seja a reta r perpendicular a s e também perpendicular a w, diga quais 
as afirmações são verdadeiras e falsas: 
 
a) r e s não se cortam 
 
b) r e w não se cortam 
 
c) w e s se cortam 
 
d) O ângulo de interseção entre r e w é 90º 
 
e) O ângulo de interseção entre s e w é 90º 
 
2) Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As 
divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a 
rua "B" de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m? 
 
 
 
 
 
3) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas: 
 
 
 
 29 
 
 
 
4) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua 
B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 
para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para 
a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 
 
 
 
5) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as 
medidas dos lados AB e AC do triângulo. 
 
 
 
 
6) Usando os Teoremas da Bissetriz Interna e Externa, determine o valor de x: 
 
 
 
 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Num triângulo ABC, as medidas de AB e BC são, respectivamente, 
20cm e 12cm. A bissetriz BP do ângulo B divide o lado AC em dois 
segmentos, sendo um deles igual a 15cm. Qual a medida do outro 
segmento do lado AC? 
 
 
 
8) Na figura abaixo, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna 
e externa do triangulo ABC. Se BQ = 8m e QC = 6m, então a medida 
QP, em metro é: 
 
 
 31 
 
 
Unidade 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÂNGULOS 
 TRIÂNGULOS 
 POLÍGONOS 
 
 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-Ângulos 
 
5.1- Definições 
 
Definição: Denomina-se ângulo a figura geométrica constituída por duas semi-
retas de mesma origem. 
 
Indica-se: AÔB = α ou Ô = α . 
 
A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau(1º). 
5.2-Bissetriz de um ângulo 
 
 
Uma semi-reta OB interna a um ângulo AÔC é bissetriz do ângulo AÔC se, e 
somente se: 
 
AÔB=BÔC 
 
 
Se OP é bissetriz de AÔB, determine x: 
 
Solução 
3x-5=2x+10 
 
3x-2x=10+5 
 
x=15° 
 
 
 
 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3- Tipos de Ângulos 
 
5. 3.1 Ângulos Consecutivos 
 
Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados. 
 
 
 
5. 3.2 Ângulos Adjacentes 
 
Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi 
retas opostas. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm 
pontos internos comuns. 
 
 . 
 
5. 3.3 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v) 
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um dele são as 
respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Note que duas retas concorrentes 
determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 
 
 
 
 Observação: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
AÔB e AÔC são consecutivos. OA é o lado comum. 
AÔC e BÔC são consecutivos. OC é o lado comum. 
AÔB e BÔC são consecutivos. OB é o lado comum. 
 
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes 
 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.4- Ângulos Complementares 
 
Dois Ângulos cujas medidas somam 90°. 
 
5.3.5- Ângulos Suplementares 
 
Dois Ângulos cujas medidas somam 180°. 
 
5.3.6- Ângulos Replementares 
 
Dois Ângulos cujas medidas somam 360°. 
 
 
 Observação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao resolver um problema em que se pedia a medida do complemento de um 
certo ângulo, um aluno calculou a medida do suplemento, encontrado, assim, 
um valor sete vezes maior que o solicitado. Se indicarmos a medida do 
ângulo por x, então x é igual a: 
 
180°-x=7(90°-x) 
 
180-x=630-7x 
 
6x=450° 
 x=75° 
 
 
Se indicarmos a medida de um ângulo por x, então: 
 
90°-x é a medida do seu complemento 
 
180°-x é a medida do seu suplemento 
 
360°-x é a medida do seu replemento 
 
 
 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.7- Ângulo reto : 
 
Ângulo cuja a medida é 90° . 
 
 
5.3.8- Ângulo agudo : 
 
Ângulo cuja a medida é < 90° . 
 
 
 
Calcule o valor de x sabendo que o ângulo SÔR é reto.Solução4x+3x+2x=90° 
 
9x=90° 
 
x=10° 
 
 
 
 
 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1)Classifique em V ou F: 
 
a)Três pontos distintos são sempre colineares 
 b)Três pontos distintos são sempre coplanares 
 
c)Quatro pontos todos distintos determinam duas retas 
 d)Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta 
e)Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares 
2)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: 
a)100° 
 
b)144° 
 
c)36° 
 
d)80° 
 
3)Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66° ? 
 
 
 
4)Determine o valor de α: 
 
 
5)Determine o valor de x: 
 
 
 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine o valor de X: 
 
Respostas 
 
1) a)F b)V c)F d)V e)F 
2) A 
3) 123° 
4) 60° 
5) 55° 
6) 30º 
 
 
 
 
 
 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6-Triângulos 
 
6.1 – Conceitos, elementos e classificação 
 
Conceito 
No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno 
limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos 
diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. 
Dados três pontos A, B e C não colineares, a reunião dos segmentos AB, AC 
e BC chama-se triângulo ABC. Também representado por: Triângulo ABC = 
Δ ABC, C = 𝐴𝐵 U 𝐴𝐶 U 𝐵𝐶 
Elementos 
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ΔABC. 
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados 
do triângulo. 
Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A�̂�C ou �̂� e A�̂�B ou �̂� são os ângulos do ΔABC (ou 
ângulos internos do ΔABC). 
Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, e são, respectivamente, opostos. 
 
Classificação 
a) Quanto aos lados 
 
 
 
ΔABC Equilátero ΔRST Isósceles ΔMNP Escaleno 
 
Equilátero ( 3 lados iguais) Isósceles (2 lados iguais) Escaleno (3 lados diferentes) 
 
 
 
 
 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quanto aos ângulos 
 
 
 
 
 
ΔABC Retângulo em A ΔDEF Acutângulo ΔMNP Obtusângulo em S 
1 ângulo reto (=90°) 3 ângulos agudos(>0°;<90°) 1 ângulo obtuso (>90°;<180°) 
 
 
6.2 – Congruência de triângulos 
 
Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma 
correspondência entre seus vértices de modo que: 
 
 Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro; 

 Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≈ Â ≈ Â 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C 
 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≈ ≈ �̂�’ 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Caso: L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado) 
 
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo 
compreendido, então eles são congruentes.” 
Exemplo: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // ≈ 
 
2º Caso: A.L.A. (Ângulo – Lado - Ângulo) 
 
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a 
eles adjacentes, então esses são congruentes.” 
 
Exemplo: 
 
 ≈ ≈ 
 
 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C 
3º Caso: L.L.L. (Lado - Lado – Lado) 
 
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses são 
triângulos são congruentes.” 
 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≈ // ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C 
 
 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto) 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e 
o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes. 
 
Exemplo: 
 
 
𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // Â ≈ Â 
5º Caso: Caso especial de congruência no triângulo retângulo. 
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e 
a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes. 
 
Exemplo: 
 
 
 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. AB = 2x – 7 // AC= x + 5 
 
Resposta: Como o triângulo é isósceles e, pela definição 
possui os lados AB e AC iguais, podemos fazer: 
 
2x – 7 = x + 5 
 
2x – x = 7 + 5 
x = 13 u.c 
 
2) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. = 2x -10° // = 
30º 
 
Respostas: Sabendo que o triângulo isósceles possui os 
ângulos da base com valor semelhante, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x – 10° = 30° 2x = 30° + 10° 2x = 40° x =20° 
 
3) Se o perímetro de um triângulo eqüilátero é de 75 cm, quanto mede 
cada lado? 
 
 
Respostas: Como o triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, fazemos: 
 
3x = 75 x = 25 cm 
4) Os pares de triângulos abaixo são congruentes. Indique o caso de 
congruência. 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3-Desigualdade Triangular 
a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo 
 
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a 
eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado. 
 
b) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado 
 
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados 
opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior 
lado. 
 
c) A desigualdade triangular 
 
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois 
 
 
 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 – Pontos notáveis dos triângulos 
 
6.4.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas) 
 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto 
que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que 
contém o vértice é o dobro da outra. 
 
6. 4.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas) 
 
As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem para um 
mesmo igual distância dos lados do triângulo. 
 
 Observação: O incentro é o centro da circunferência inscrita no ΔABC. 
 
 
6. 4.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) 
 
As mediatrizes de um triângulo concorrem para um mesmo 
ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo. 
 
 
6. 4.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas) 
 
As três alturas de um triângulo concorrem para um mesmo 
ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5 – Semelhança de Triângulos 
 
Definição 
 
Exemplo: 
 
 
 
 46Observações: 
1) Se dois triângulos possuem dois 
ângulos ordenadamente congruentes, 
então eles são semelhantes” 

2) Se dois lados de um triângulo são 
proporcionais aos homólogos de 
outro triângulo e os ângulo 
compreendidos são congruentes, 
então os triângulos são semelhantes" 

 
 
3) “Se dois triângulo têm os 
lados homólogos proporcionais, 
então eles são semelhantes”

 
 
 
 
 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.6– Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras 
 6.6.1 Diagonal do quadrado 
 
Dado um quadrado de lado a, calcular sua diagonal d. 
Sendo ABCD o quadrado de lado a, aplicando o 
teorema de Pitágoras no ΔABC, temos? 
 
 
d² = a² + a² => d² = 2 a² 
 
6.6.2 Teorema de Pitágoras 
 
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática, 
mostrada abaixo, entre os três lados de qualquer 
triângulo retângulo. 
 
a² = b² + c² 
 
 
 
Calcular o valor de x em cada um dos triângulos retângulos: 
a) b) 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
x² = 12² + 5² 
x² = 144 + 25 
x² = 169 
x=√169 
x = 13 
 
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
7,5² = 4,5² + x² 
56,25 = 20,25 + x² 
x² = 56,25 – 20,25 
x² = 36 
x = √36 
x = 6 
 
 
 
 
 
 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABS é eqüilátero. 
 
2) Se o perímetro de um triangulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, 
quanto mede cada um dos outros lados? 
 
 
 
3) Determine o valor de x nos casos: 
 
4) Determine o valor de x nos casos: 
 
 
 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine os valores de x e y nos casos: 
 
 6) Considerando congruentes os segmentos com “ marcas iguais”, 
determine os valores das incógnitas nos casos: 
 
 
 
 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-Polígonos 
 
A partir da definição de polígonos pode-se compreendê-los e identificá-los 
com mais facilidade. Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por 
uma linha poligonal fechada, onde os segmentos de retas são consecutivos e não-
colineares. Dessa forma são exemplos de polígonos as figuras abaixo: 
 
E não são exemplo de polígonos, para n = 5, os dois casos abaixo: 
 
Os polígonos são classificados de acordo com o número n de lados, recebendo a 
seguinte denominação: 
Número de lados Denominação Número de lados Denominação 
 
n = 3 Triângulo ou trilátero n = 9 Eneágono 
 
n = 4 Quadrâgulo ou quadrilátero n = 10 Decágono 
 
n= 5 Pentágono n = 11 Undecágono 
 
n = 6 Hexágono n = 12 Dodecágono 
 
n = 7 Heptágono n = 15 Pentadecágono 
 
n = 8 Octógono n = 20 Icoságono 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGONAL 
 
É o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um 
polígono. No exemplo abaixo ABCD é um quadrilátero e AB e CD são suas 
diagonais. 
 
Para a compreensão de cálculo das diagonais, ângulos externos e internos, é 
necessário entender as expressões abaixo, onde n é o número de lados do 
polígono: Sendo d o número de diagonais de um polígono convexo, temos que: 
 
 
 
 
Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, temos que: 
 
 
 
 
Sendo Se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, tem-se: 
 
 
 
Sendo Ai o ângulo interno de um polígono regular, temos que: 
 
 
 
 
Cada ângulo externo de um polígono regular pode ser calculado através de: 
 
 
 
 
Podemos dizer, então que: Ai + Ae = 180 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quantas diagonais podem ser traçadas em um polígono convexo de 15 lados? 
 
Aplicando a fórmula acima tem-se 
 
E portanto, d = 90 diagonais. 
 
 
 
1) Determine o ângulo interno e externo de um triângulo equilátero. 
 
2) Determine o ângulo interno e externo de um quadrado. 
 
3) Determine o ângulo interno e externo de um pentágono regular. 
 
4) Determine o ângulo interno e externo de um hexágono regular. 
 
 
5) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono. 
 
6) Calcule o número de diagonais de um decágono. 
 
7) Calcule o número de diagonais de um icoságono. 
 
8) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de 
lados. 
 
9) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do 
número de lados. 
 
 
GABARITO: 
 
1) 60º e 120º 2) 90º e 90º 3) 108º e 72º 4) 120º e 60º 
5) 3240º 6) 35 7) 170 8) Eneágono 
9Undecágono 
 
 
 
 
 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1-QUADRILÁTEROS 
 
Os quadriláteros são todos os polígonos que possuem 4 lados. Sejam A, B, C e D 
quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos 
AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro 
segmentos é um quadrilátero. Observe as figuras abaixo: 
 
Um quadrilátero possui duas diagonais (d = 2), a soma dos ângulos internos igual a 
360° e a soma dos ângulos externos também igual a 360°. 
 
Os quadriláteros notáveis são os triângulos, paralelogramos, retângulo, losango e 
quadrado. 
 
 
7.1.1 TRAPÉZIO 
 
 
É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. ABCD é trapézio, sendo 
AB//CD ou AD//BC. Os lados paralelos são as bases do trapézio. 
 
Os trapézios são classificados em: 
 
- Trapézio isósceles: é aquele que possui dois lados congruentes. 
 
- Trapézio escaleno: é aquele que possui todos os lados com medidas diferentes. 
 
- Trapézio retângulo: é aquele que possui dois ângulos retos. 
 
 
 
 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD, temos: 
 + = + = 180° 
E para os trapézios isósceles os ângulos de cada base são congruentes e 
as diagonais também são congruentes. 
 
- AB e CD são as bases do trapézio isósceles, logo ≡ e  ≡ 
 
- ABCD é trapézio de bases AB e CD e AD ≡ BC. Logo as diagonais são 
congruentes 
 
AC ≡ BD. 
 
7.1.2 PARALELOGRAMO: 
 
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. 
 
 
ABCD é paralelogramo e AB // CD e DA // BC. 
 
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. 
Assim, todo retângulo é paralelogramo. Na figura, percebe-se que ≡ Â 
e ≡ . 
 
 
 
 
 
 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em todo paralelogramos dois lados opostos quaisquer são 
congruentes. Logo, todo losango é paralelogramo. Observe na figura 
abaixo, AD ≡ CB e AB ≡ CD.Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos 
médios. 
 
Observe na figura que AM ≡ CM e BM ≡ DM. 
 
7.1..3 RETÂNGULO: 
 
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro 
ângulos congruentes. ABCD é um retângulo, logo  ≡ ≡ 
 
Em todo retângulo as diagonais são congruentes. ABCD é um retângulo 
AC ≡ DA. 
 
7.1.4 LOSANGO: 
 
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os 
quatro lados congruentes. ABCD é um losango, portanto AB ≡ BC≡ CD ≡ 
DA. 
 
 
 
 
 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todo losango tem diagonais perpendiculares. ABCD é um losango, então 
AC┴ BD. 
 
7.1.5 QUADRADO: 
 
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, 
possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD 
é um quadrado, assim AB ≡ BC≡ CD ≡ DA e  ≡ ≡ . 
 
Todo quadrado é também retângulo e losango. ABCD é quadrado, 
logo AC ≡ DA e AC┴ BD. 
 
 
 
 
 
 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a) Todo retângulo é um paralelogramo. 
b) Todo paralelogramo é retângulo. 
c) Todo quadrado é retângulo 
d) Todo retângulo é quadrado. 
e) Todo paralelogramo é losango. 
f) Todo quadrado é losango. 
 
Solução: a) V b) F c) V d) F e) F f) V 
 
 
 
 
 
 
1) Determine o valor de x: 
 
2) Determine o valor de x: 
 
3) Determine o valor de x: 
 
 
 
 58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Se ABCD é trapézio de bases AB e CD, determine x e y. 
 
 
5) Se o trapézio ABCD é isósceles de base AB e CD, determine Â. 
 
 
6) Se ABCD é um paralelogramo e  = 2x e = x + 70º, determine . 
 
 
7) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): 
 
a) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado. 
 
b) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes é losango. 
 
c) Se um paralelogramo tem dois ângulos consecutivos congruentes, então 
ele é um retângulo. 
 
d) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é 
um paralelogramo. 
8) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): 
 
a) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é 
paralelogramo. 
 
b) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é 
um paralelogramo. 
 
c) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, 
então ele é um paralelogramo. são bissetrizes dos seus ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): 
 
a) As diagonais de um losango são congruentes. 
 
b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares. 
 
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos. 
 
10) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo 
que a base excede a altura em 4 cm. 
 
 
 
GABARITO: 
 
 
1) 120º 
2) 75º 
3) 70º 
 
4) 80º e 105º 
 
5) 115º 
 
6) 40º 
 
7) a) F b) V c) V d) V 
 
8) a) F b) F c) V 
 
9) a) F b) F c) F 
 
10) 12 cm e 8 cm 
 
 
 60 
 
 
Unidade 3 
 
 
 
 Área dos Polígonos 
 Circunferência 
 Área do círculo e suas partes 
 História da Geometria 
 
 61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje 
quando topógrafos, geólogos e arquitetos fazem os seus mapeamentos e plantas, o 
cálculo de área tem sido uma preocupação constante na historia da Matemática. 
 Agora você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas . 
8.1 Área do Retângulo 
 A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura . 
 
 
8.2 Área do quadrado: 
A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do lado. 
 
 
 
A = lado x lado 
A = l x l = l2 
 
8 Área dos Polígonos 
 
 
 62 
 
 
8.3 Área do paralelogramo 
A área do paralelogramo é igual ao produto da medida de sua base pela sua altura . 
 
 
 
 
 
8.4 Área do triângulo 
A área do triângulo é igual a metade do produto da medida da base pela a medida da altura. 
 
 
 
 
8.5 Área do losango 
A área do losango é a metade do produto das medidas das diagonais. 
 
 
 
 
 
8.6 Área do trapézio 
A área do trapézio é igual à metade do produto da soma das bases pela altura . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
 
1) Calcular a área da figura abaixo, supondo as medidas em centimetros. 
 
 
 
 
 
 64 
 
 
1) Calcule a área das figuras, supondo as medidas em cm: 
 
 
2) Calcule a área da figura, supondo as medidas em cm: 
 
3) Calcule a área dos polígonos, supondo as medidas em cm: 
 
 
 65 
 
 
 
 
 
 
 66 
 
 
 
 
8) Calcule a área da figura sombreada, sabendo que o lado do quadrado maior 
mede 8m e do quadrado menor 5 m. 
 
 
9) Calcule a área da figura, supondo as medidas em cm: 
 
 
 67 
 
 
10) Calcule a área dos polígonos,supondo as medidas em cm: 
 
 
 
 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 Definições e elementos 
 
Circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até certo ponto O é a 
mesma para todos eles. Essa distância é indicada na figura ao lado como r. 
 
Pontos externos à circunferência (lambda) são aqueles cuja distância até o 
centro O é maior que r. Analogamente, pontos internos são aqueles cuja distancia 
até o centro O é menor que r. Os pontos indicados ao lado são: I (interno) e E 
(externo). Abaixo, a figura mostra as regiões externa e interna à circunferência. 
 
Devem-se definir alguns elementos da circunferência: 
 
Corda é um segmento interno cujas extremidades pertencem à 
circunferência. A reta AB indicada na figura abaixo é uma corda. 

Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Ele mede sempre o dobro do 
raio r. A reta CD indicada na figura é um diâmetro. 

Raio é um seguimento que tem como extremidades o centro O e um 
ponto pertencente à circunferência. A reta OP indicada na figura é 
um raio. 
 
 
9- Circunferência 
 
 
 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arco de circunferência ou semicircunferência: 


O arco AB representa a reunião do conjunto de pontos que estão no exterior 
do ângulo AÔB. Podem ser traçados dois arcos a partir dos pontos A e B da 
circunferência: o arco maior AB e o arco menor AB. 
 
Círculo (ou disco) é o conjunto de pontos cuja distancia até o centro é 
menor que a distancia r. A diferença entre círculo e circunferência é que a 
circunferência é uma “linha”, já o círculo é uma “área”, um conjunto de 
pontos. Na figura ao lado, são mostrados dois pontos que pertencem ao 
circulo. 
Setor circular é a região delimitada de um círculo por dois raios. Na 
figura ao lado, os raios que delimitam os setores indicados são AO e OB. 
Assim como nos arcos, podem-se delimitar dois setores com os raios AO e 
OB: um setor com maior área e um com menor área. A diferença em 
relação a um arco e um setor é semelhante à diferença entre circunferencia 
e circulo: os primeiros representam linhas, já setores e círculos 
representam áreas. 


 
 
 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2 Posições relativas de reta e Circunferência 
 
Secantes: 


 Uma reta secante a uma circunferência é aquela que intercepta a 
circunferência em dois pontos distintos. Diz-se que a reta e a 
circunferência são secantes. Ao lado, um exemplo de reta secante AB à 
circunferência (lambda). 

Propriedade da secante: 
Se a secante intercepta a circunferência sem passar 
pelo ponto 
O, e o ponto M é ponto médio da reta AB, então o 
segmento 
OM é perpendicular à reta AB, ou à secante s. 
Além disso, AM = MB. 
 
 Tangentes: 
Uma reta tangente a uma circunferência é 
aquela que intercepta a circunferência em 
apenas um ponto, o ponto de tangencia. Na 
figura, este ponto é indicado como T. Ele é 
comum à circunferência e à reta tangente t. 
Diz-se que a circunferência (lambda) e a reta 
t são tangentes. 

 Exteriores: 
Uma reta exterior a uma circunferência é aquela 
que não intercepta a circunferência em nenhum 
ponto. Não há interseções de pontos entre a reta 
e a tangente. Diz-se que a reta e indicada na 
figura é exterior à circunferência (lambda). 

 
 
 
 
 
 71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.3 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis 
 
 
Se de um ponto P traçarmos duas retas tangentes à 
circunferência (lambda), então os dois segmentos 
pertencentes a essa retas (PA e PB) são iguais. PA = PB. 
 
Quando um quadrilátero convexo é circunscrito a uma 
circunferência, isso indica que todos os lados desse 
quadrilátero são tangentes à circunferência. Além disso, 
 Vale a seguinte relação: 
 
 
 
 
1) A circunferência ao lado tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7 cm do centro. 
Determine a distância entre P e a circunferência. 
 
 
2) As circunferências da figura ao lado são tangentes externamente. Se a distância 
entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é de 8 cm, determine os raios. 
 
 
 
 
 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 
cm. Se a distancia entre os centros é de 6 cm, determine os raios. 
 
4) Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os centros são os 
vértices do trianculgo ABC. Sendo AB = 7 cm, AC = 5 cm e BC = 6 cm, 
determine os raios das circunferências. 
 
5) Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a circunferência 
de centro O está inscrita no triangulo ABD, e que os lados AB, BC e AC medem 
respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm. 
 
6) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. 
 
7) Determine a medida do diâmetro de um circulo inscrito num triangulo 
retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. 
 
 
 
 
 
 73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.4 Ângulos da circunferência 
 
Circunferencias congruentes: são aquelas que tem o mesmo raio. 

 Arcos congruentes: Dois arcos AB e CD são congruentes se, e 
somente se, os arcos CÔD e AÔB forem congruentes. 

 Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem 
o vértice no centro O da circunferência e extremidades na linha da mesma. 
AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB. 


Observação: Para simplificar, chamaremos o ângulo AÔB de (beta). 

Ângulo inscrito a uma circunferência é aquele ângulo que possui 
vértice (V) e extremidades (A e B) pertencentes à circunferência, como 
mostra a figura. 




 
 
 
 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos as propriedades de Ângulo inscrito a uma circunferência. 
Propriedade 1 
 
 α = β/2 
 
 
Propriedade 2 
Se o arco do ângulo inscrito for 180º, isso implica que o 
ângulo inscrito terá valor 90º. Daí, O triangulo formado pelas 
extremidades e pelo vértice do ângulo é um triangulo 
retângulo. 
 
 
 
Propriedade 3 
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma 
circunferência, isso implica que os anglos opostos são 
complementares (somam 180º). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito a uma circunferência é um 
ângulo que tem vértice na circunferência (ponto A), um lado secante (linha t) e o 
outro lado tangente à circunferência (linha AB)., como indicado na figura ao 
lado. 

 
Vejamos as propriedades do Ângulo de segmento 
Propriedade 1: Medida do ângulo de segmento 
 
 
 
 
Propriedade 2: Arco capaz 
Seja AÔB um ângulo central (beta) = 2(alfa). Os vértices dos 
ângulos inscritos ou semi-inscritos relativos à circunferência que tem 
lados passando por A e B formarão ângulos (alfa), que medem a metade 
do ângulo central (beta). 

Propriedade 3: Ângulos excêntricos 
 
 
Em caso de excentricidade exterior, há três possíveis casos. 

. Em qualquer um deles, 

 
 


 
 
 
 
 
α = 
𝜷
𝟐
 
 
 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determine o valor do ângulo x nos casos: 
 
2) Determine o valor do arco x nos casos: 
 
 
 
 
 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Na figura, o arco CMD é igual a 100º e o arco ANB mede 30º. Calcule o valor 
de x. 
 
4) Determine a medida do ângulo α, sabendo que, na figura abaixo, CD = R. 
 
5) Calcule x nas figuras: 
 
 
 
6) Nas figuras, calcule o valor de x. 
 
 
 78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Nas figuras, calcule o valor de 
 
8) Nas figuras, calcule o valor do arco ABC. 
 
 
9) Nas figuras, calcule x. 
 
10) Na figura ao lado, sendo ABC = 260º, calcule o valor de α. 
 
 
 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.5 – Comprimento da circunferência 
 
Depois de vários estudos sobre o comprimento da circunferência, 
chegou-se a um resultado: 
 
Percebeu-se que o comprimento da uma circunferência é 
diretamente proporcional ao dobro do raio, e que a constante de 
proporcionalidade é (PI). 

 
Proporcionalidade entre secções circulares: 
 
Pode-se calcularo comprimento l (menor que o comprimento 
total C) através da medida do ângulo central referente a ele e do 
comprimento do raio R da circunferência. 
 
 
 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determine o comprimento da circunferência nos casos: 
 
2) Determine o comprimento do arco menor AB, dado o raio de 90 cm e 
o ângulo central correspondente, nos casos: 
 
 
3) Determine o comprimento da linha cheia nos casos (os arcos são 
centrados em O1, O2, e O3) 
 
 
 
 
 
 
 81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- Áreas do círculo e suas partes 
 10.1 Área do círculo: 
 
A área do círculo é igual ao produto de pi pelo quadrado da medida do raio. 
 
 
 
 
 
 
10.2 Área do setor circular : 
 
A área do setor circular é dada pela regra de três abaixo : 
 
 
 
 
 82 
 
 10.3 Área da coroa circular 
 
 
 
 83 
 
 
 
1) Calcule a área de uma coroa circular de raio 3cm e 5cm 
solução 
 
 
 
 
 84 
 
 
 
 
 
 
 
 85 
 
 
 
 
 
 
 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11- História da Geometria 
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o 
movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a 
demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos 
geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no 
desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos 
conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da 
Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas 
figuras geométricas. 
Uma medida para a vida 
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as 
necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir 
casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas 
atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. 
Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons 
conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é 
que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos 
anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um 
trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de 
Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o 
introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito. 
 
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, 
que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a 
escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que 
envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam 
a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para 
o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e 
proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de 
maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o 
círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria 
chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-
euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. 
 
 
 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O corpo como unidade 
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo 
humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na 
Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus 
projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a 
longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas 
medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as 
primeiras medidas oficiais de comprimento. 
Ângulos e figuras 
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham 
forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os 
arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual 
reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por 
meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida 
prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de 
circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam 
perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. 
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a 
perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o 
vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o 
solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um 
triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades 
respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a 
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao 
ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25. 
 Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem 
triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma 
de esquadros. 
Para medir superfícies 
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra 
provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples 
golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos 
quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para 
conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número 
tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: 
multiplicar a base pela altura. 
 
 
 
 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio 
extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um 
retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 
"casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. 
Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois 
triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado. 
 
Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem 
triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício 
conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a 
todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido 
em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso 
até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos 
curvos. 
De fato, muitos terrenos seguem o contorno de 
um morro ou o curso de um rio. E construçõeshá que 
requerem uma parede curva. Assim, um novo problema 
se apresenta: como determinar o comprimento de uma 
circunferência e a área de um círculo. Por 
circunferência entende-se a linha da periferia do 
círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos 
geômetras observavam que, para demarcar círculos, 
grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, 
longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, 
que era a estaca cravada no solo como centro da figura. 
 O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com 
o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a 
circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um 
pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o 
resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: 
 a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior 
que o de seu raio; 
b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o 
comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28. 
 
 E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e 
interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava 
diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito 
era encontrar a área da figura. 
 
 
 
 
 
 
 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em 
determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do 
círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse 
como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava 
contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um 
sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um 
círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a 
respectiva área por 3,14. 
 O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no 
um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolop ("pi") representa esse número 
irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. 
Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, 
significando circunferência. 
Novas figuras 
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales 
e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da 
Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação 
e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. 
Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo 
instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo 
aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e 
não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora 
fáceis de calcular. 
 Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa 
"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio 
de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros 
aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria 
sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. 
Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o 
cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma 
construção. 
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a 
costa, recorria-se a um curioso artifício. 
 
 
 
 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois observadores se postavam de maneira que um 
deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com 
relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. 
Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam 
exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque 
os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os 
catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os 
dois observadores para conhecer a distância do barco até a 
costa. 
O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é 
também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante 
em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela 
estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a 
sombra para conhecer a altura. 
 
 
 
 
 91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática -Vol 2. Editora Moderna. São Paulo, 1995. 
(2) BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro, SBM, 
1995. 
 (3) LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Rio de Janeiro, SBM 1991. 
(4) MOISE, Edwin E. Geometria Moderna - Vols. 1 e 2. ed. Edgar Blücher Ltda. 
 (5) DOLCE, Osvaldo e POMPEO, J. Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar - 
Vols. 9 e 10. Atual Editora, São Paulo, 1993. 
(6) BOYER,Carl B.-História da Matemática. Editora Edgard Blücher LTDA., São 
Paulo, 1974. 
(7) HOWARD, Eves; Introdução à História da Matemática. 1ª edição. Campinas: 
UNICAMP, 1.995. 
 (8) Dante, L.R., Matemática, volume único. São Paulo: Ática, 2008. 
(9) Iezzi, G ; Dolce, O.; Degenszajn, D.; Périgo, R., de Almeida, N. Matemática ciência e 
aplicações, vol.2. São Paulo: Atual, 2005. 
 
REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRÁFICAS 
 
 92