928541_Prova2 AL - 2015 1 Eletronica

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Prova 2 de A´lgebra Linear - Engenharia Eletroˆnica e de Telecomunicac¸o˜es
Professor Luiz Ota´vio - 03/06/2015
Instruc¸o˜es A prova tem a durac¸a˜o de 1h40. O material na˜o podera´ ser consultado e na˜o
sera˜o permitidas perguntas durante a aplicac¸a˜o. Os celulares devem ficar desligados durante
a aplicac¸a˜o. Escreva suas respostas a caneta. Valor: 40 pontos. Boa prova!
Nome:
Questa˜o 1 (12 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3, definida pela lei
de formac¸a˜o: T (x, y, z) = (x− y, x− y − z,−x+ y + z).
a) Escreva o conjunto Ker(T ).
b) Determine uma base e a dimensa˜o para o nu´cleo de T .
c) Determine a dimensa˜o de Im(T ).
d) Diga se T e´ invers´ıvel.
1
Questa˜o 2 (6 pontos) Uma base β = {u1, u2, ..., un} e´ dita ortonormal se 〈ui, uj〉 = 0, para
todo i 6= j e |ui| = 1 para todo i = 1, ..., n. Encontre uma base ortonormal de R3 (considerando
como produto interno o produto escalar) diferente da base canoˆnica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Questa˜o 3 (4 pontos) Verifique se as bases de R2, com produto escalar, sa˜o ortonormais:
a) {(−1, 2), (2, 1)}
b)
{(√
2
2
,
√
2
2
)
,
(
−√2
2
,
√
2
2
)}
2
Questa˜o 4 (9 pontos) Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto S na˜o-vazio de V e´
um subespac¸o vetorial de V se tambe´m e´ um espac¸o vetorial. Uma forma de verificar se S e´
um subespac¸o vetorial de V e´ atrave´s do Teorema que afirma que se u, v ∈ S e k ∈ R implicam
u+ v ∈ S e ku ∈ S, enta˜o S e´ um subespac¸o vetorial de V .
Diga se S e´ um subespac¸o vetorial de V em cada caso:
a) V = R3 e S e´ o conjunto soluc¸a˜o de
{
x− y + z = 0
x− y = 0
b) V = R3 e S = {(x, y, 1);x, y, z ∈ R}
c) V = M2×1(R) e S =
{(
x
2x
)
, x ∈ R
}
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Questa˜o 5 (9 pontos) Considere a matriz A =
 3 0 02 1 0
0 1 5
.
a) Encontre os autovalores da matriz A.
b) Encontre os autoespac¸os da A.
c) Verifique se A e´ diagonaliza´vel.
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