03b - Questões de Provas antigas de tensões em vigas

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Coleção de questões antigas de provas sobre esforços e tensões em vigas 
Prof. Ney Augusto Dumont 
 
[G2_C_2010.1] 
Determinar as expressões e traçar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor da viga ao lado. 
As reações de apoio já foram calculadas, 
observando-se a existência de uma rótula em 
1x m . 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
2 5V x kN   ( 30  x ) 
Diagrama de momento fletor: 
2 5 4M x x kNm    ( 20  x ) 
2 5 6M x x kNm    ( 32  x ) 
 
 
 
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
x 
M=2 kNm 
1m 1m 1m 
q =2 kN/m 
1BR
5AR
4AM
5
1
V
M
4-
2
0,25
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[G2_C_2010.1] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = 2,33 kN e By = 6,67 kN. Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 200cm, y = 4cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
 
 
 
 
 (+) 
 
 
DMF 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
3
5 42,5.10
12
z
bh
I m  
1) 311.10máxM Nm para x = 3 m 
 
 
 
3
2
5
3
2
5
11.10
( 3 ; 5 ) 5.10 22 ;
2,5.10
11.10
( 3 ; 5 ) 5.10 22
2,5.10
máx
x x
mín
x x
x m y cm MPa
x m y cm MPa
 
 




    
       
3 2 4
5
2) 6,67 para 6 (à esquerda)
6,67.10 10 .10
( 6 , 0) 0 0,33
2,5.10 8
máx
máx
xy xy
V kN x m
x m y MPa 




 
 
       
 
 
3
2
5
3) (2 ) 8,67
8,67.10
( 2 ; 4 ; 0 ) 4 .10 13,87MPa
2,5.10
x
M m kNm
x m y cm z cm 


    
 
 
 
 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
z 
y 
30 cm 
10 cm 
3 m 3 m 
M = 4 kNm q = 2 kN/m 
A B 
x 
3 kN 
2,33kN 
4kNm 
11kNm 
-6,67kN 
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[G2_BF_2010.1] 
A viga biapoiada ao lado está submetida a um 
carregamento triangular de expressão q(x) = 3x 
kN/m e a uma carga momento M = 6kNm na seção 
que dista 1m do apoio esquerdo, conforme indicado. 
As reações de apoio são RA = 5kN e RB = 1kN. 
Determinar as expressões e traçar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
5
2
3 2  xV ( 20  x ) 
 
Diagrama de momento fletor: 
xxM 5
2
1 3  ( 10  x ) 
65
2
1 3  xxM ( 21  x ) 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
x 
M=6 kNm 
1m 1m 
q =6 kN/m 
5AR 1BR
V
5
1
5,3
M
4,5
1,5-
0,1
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[G2_C_2010.1] 
As reações nos apoios da viga da figura abaixo são VA=9,9 N e VB=15,1 N. A seção reta da viga é quadrada e tem 
20cm de lado. 
Determine as tensões normais extremas e a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorrem na viga e na 
seção reta. 
 
 
 
 
3
4 41,33.10
12
z
bh
I m  
 
 
2
4
2
4
1 19,8 para 2
19,8
( 2 ; 10 ) 10.10 14,8
1,33.10
19,8
( 2 ; 10 ) 10.10 14,8
1,33.10
máx
máx
x x
mín
x x
M Nm x m
x m y cm kPa
x m y cm kPa
 
 




  
    
       
 
2 4
4
2 15,1 para 5 (à esquerda)
15,1 20 .10
( 5 ; 0) 0 567,6
1,33.10 8
máx
máx
xy xy
V N x m
x m y Pa 




  
 
      
 
 
 
 
M(x) 
V(x) 
-3 Nm 
10 N 
2 m 3 m 1 m 
0, 5 m 
6 N 
A 
5 N/m 
B 
6 N 
9,9 N 
-15,1 N 
19,8 Nm 
12
bh
I e )
2
y
8
h
(bQ ; Q
bI
V
 ; y
I
M 3
z
22
z
xy
z
x  
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[G2_AE_2010.1] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay 
= 2,33 kN e By = 6,67 kN. Determinar as 
expressões e traçar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
Força cortante 
V = 2,33kN (0 < x < 3m) 
V = –2x + 5,33 (3m < x < 6m) 
 
Momento fletor 
M = 2,33x + 4 (0 < x ≤ 3m) 
M = –x2 + 5,33x + 4 (3m ≤ x < 6m) 
 
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
V 
M 
2,33 
4 
-6,67 
11 
-0,67 
3 m 3 m 
M = 4 kNm q = 2 kN/m 
A B 
x 
3 kN 
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[G2_AE_2010.1] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = -2,5 N e By = 14,5 N. Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 200cm, y = 10cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
 
 
 
DMF 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
3
4 416.10
12
z
bh
I m  
 
 
1
4
1
4
1 12 para 2
12
( 2 ; 20 ) 2.10 1,5
16.10
12
( 2 ; 20 ) 2.10 1,5
16.10
máx
máx
x x
mín
x x
M Nm x m
x m y cm kPa
x m y cm kPa
 
 




   

      

     
 
2
4
2 8,5 para 2 (à esquerda)
8,5 16.10
( 2 ; 0) 0 0,106
16.10 8
máx
máx
xy xy
V N x m
x m y kPa 




  
 
       
 
 
1
4
3 (2 ) 12
12
( 2 ; 10 ; 0 ) 10 -0,75 Pa
16.10
x
M m Nm
x m y cm z cm k 

  

    
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
z 
y 
30 cm 
40 cm 
2 m 2 m 
M = 3 Nm 
q = 6 N/m 
A B 
6 N 
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
x ( m)
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
x ( m)
x
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
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[G2_D_2010.1] 
Para a viga ao lado, submetida ao 
carregamento indicado, já foram calculadas 
as reações de apoio. Também já foram 
calculados e traçados os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor no 
trecho mais à direita: 
3, 25 4,5m x m  : 4,2)( xV kN 
3, 25 4,5m x m  : 
( ) 3 2, 4( 3, 25)M x x kNm   
Determinar as expressões e traçar os 
diagramas de esforço cortante e momento 
fletor nos trechos restantes. 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
Expressão analítica do esforço cortante 
(em kN): 
20  x : xxV )( 
2 4,5x  : 4,2)( xV 
 
Expressão analítica do momento fletor (em kNm): 
20  x : 
2
)(
2x
xM  
25,32  x : )2(4,22)(  xxM 
5,425,3  x : )25,3(4,23)(  xxM 
 
-2,4 
q = 1 kN/m 
2,0 m 1,25 m 1,25 m 
M = 8 kNm 
x 0,4 2,4 
-2 
-2,4 
- 
(V) 
(M) 
-2 
3 
-5 
- 
+ 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
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[G2_D_2010.1] 
As reações nos apoios da viga da figura abaixo são VA=13 N e MA=60,25 Nm. A seção reta da viga é quadrada e tem 
25cm de lado. 
Determine as tensões normais extremas e a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorrem na viga e na 
seção reta. 
 
 
 
3
4 43, 26.10
12
z
bh
I m  
 
 
2
4
2
4
1 60, 25 para 0 (à direita)
60, 25
( 0 ; 12,5 ) 12,5.10 23,1
3, 26.10
60, 25
( 0 ; 12,5 ) 12,5.10 23,1
3, 26.10
máx
máx
x x
mín
x x
M Nm x m
x m y cm kPa
x m y cm kPa
 
 

 

 

   

     

      
 
2 4
4
2 13 para 0 3 
13 25 .10
(0 3 ; 0) 0 311,5
3, 26.10 8
máx
máx
xy xy
V N x m
x m y Pa 


   
 
       
 
 
 
2 m 1 m 1,5 m 
0, 5 m 
2 N 
2 N 
10 N 
2 N/m 
M(x) 
V(x) 
-60,25 Nm 
-34,25 Nm 
-33,25Nm -20,25 Nm 
13 N 
A 
12
bh
I e )
2
y
8
h
(
I
V
 ; y
I
M 3
z
22
z
xy
z
x  
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[G2_G_2010.1] 
Dada a viga abaixo, com carregamento e reações de apoio indicados, traçar os diagramas de esforço cortante V e 
momento fletor M. Escrever também suas expressões analíticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
1V x kN  no trecho 0 2x m  ; 3V x kN  no trecho 2 3m x m  
Diagrama de momento fletor: 
20,5 2M x x kNm    no trecho 0 2x m  ; 
24,5 2 3M x x kNm    no trecho 2 3m x m  
)(
)(
xq
dx
xdV

)(
)(
xV
dx
xdM

x
q
M
V
dx
V dV
M dM
x
CB
A
V
M
2m m1
mkNq /10,5kNm
kN2kN1
0kN
kN1
kNm5,0
kN1
kN1
kNm5,0
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[G2_G_2010.1] 
Para a viga da Figura 1, as reações no apoio A são Ay = 20 kN e MA = -10 kNm. 
Determine as tensões normais extremas e a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorrem na viga, 
fazendo referência à seção reta representada na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DMF 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
3
44,5.10
12
z
bh
I   
 
 
3
2
4
3
2
4
1 20 para x = 4m
20.10
( 4 ; 15 ) 15.10 6,67
4,5.10
20.10
( 4 ; 15 ) 15.10 6,67
4,5.10
máx
máx
x x
mín
x x
M kNm
x m y cm MPa
x m y cm MPa
 
 




 
    
       
 
3 2
4
2 20 para 0 1
20.10 9.10
(0 1 , 0) 0 500
4,5.10 8
máx
máx
xy xy
V kN x m
x m y kPa 


   
 
       
 
 
 
 
 
 
 
12 kN 
M=20 kN.m 
x 
1m 1m 2m 
q2=2 kN/m 
q1=4 kN/m 
A 2 2
 ; 
 
8 2
x
z
xy
z
M
y
I
V h y
I



 
  
 
z 
y 
20 cm 
30 cm 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
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[G2_AF_2010.2] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay 
= 4 kN e By = -2,5 kN (para baixo). 
Determinar as expressões e traçar os 
diagramas de esforço cortante e momento 
fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
 
 
 
 
 
Expressão do carregamento: 
1 / 0 3
3
x
q kN m x m    
Força cortante: 
2
4 0 3
6
x
V x kN x m      
Momento fletor: 
2 3
2 3
4 0 1
2 18
4 9 1 3
2 18
x x
M x kNm x m
x x
M x kNm x m

     

       
 
 
V 
M 
1 m 2 m 
A B 
x 
4kN 2,5kN
9kNm
1 /kN m
4
32 / 9
49 / 9
2,5
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
y
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[G2_AF_2010.2] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = 2,33kN e By = 6,67k N. 
Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 400cm, y = 10cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura: 1 Diagramas M(kNm) e V(kN) Figura 2 
 
3
4 416,10
12
z
bh
I m 
 max1 x 3m 11
( 20 ) 1,375
( 20 ) 1,375
x
x
M kNm
y cm MPa
y cm MPa


  
 
   
 
2 x 6m, y 0 ,
6,67
83,375xy
cm
V kN
kPa
  
 
 
 
 
3 x 4m, y 10 ,
9,34 .
0,584x
cm
M kN m
MPa
  


 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
z 
y 
30 cm 
40 cm 
V 
M 
2,33 
4 
-6,67 
11 
-0,67 
3 m 3 m 
M = 4 kNm q = 2 kN/m 
A B 
x 
3 kN 
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[G2_BG_2010.2] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay = 
30 kN e By = -6 kN (para baixo). Determinar as 
expressões e traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
 
 
 
 
 
Força cortante: 
30 8 0 1
6 1 2
V x kN x m
V kN x m
   

  
 
Momento fletor: 
230 4 0 1
6 12 1 2
M x x kNm x m
M x kNm x m
    

   
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
V 
M 
1 m 1 m 
A B 
x 
30kN 6kN
32kNm
8 /kN m
16kN
30
22
6 6
26
6
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[G2_BG_2010.2] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = 5kN, By = 1kN e MA = -4kNm. 
Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 100cm, y = -4cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura: 1 Diagramas M(kN.m) e V(kN) Figura 2 
 
3
4 40,25.10
12
z
bh
I m  
 
max1 x 0m 4 .
( 5 ) 8
( 5 ) 8
x
x
M kN m
y cm MPa
y cm MPa


   
  
  
 
2 x 0 m, y 0
5
0, 25xy
V kN
MPa
  

 
 
 
3 x 1,0m, y 4 ,
0
1,78x
cm
M
kPa
   

 
 
 
x 
M=2 kNm 
1m 1m 1m 
q =2 kN/m 
1BR
5AR
4AM
5
1
V
M
4-
2
0,25
z 
y 
30 cm 
10 cm 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
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[G2_C_2010.2] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay = 
6 kN e By = -2 kN (para baixo). Determinar 
as expressões e traçar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
 
 
 
 
Força cortante: 
6 0 1
4 1 2
V x kN x m
V x kN x m
    

    
 
Momento fletor: 
2
2
2 6 4 0 1
2 4 2 1 2
M x x kNm x m
M x x kNm x m
      

    
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
V 
M 
1 m 1 m 
A B 
x 
6kN 2kN
4kNm
1 /kN m2kN
4kNm
6 5
3
2
4
1,5
4
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[G2_C_2010.2] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = 1,5kN e By = 2,5kNm. 
Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 300cm, y = -5,5cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Diagramas M(kNm) e V(kN) Figura 2 
3
4 41, 27.10
12
z
bh
I m  
max1 x 4m 5
( 7,5 ) 2,93
( 7,5 ) 2,93
x
x
M kNm
y cm MPa
y cm MPa


  
 
   
 
2 x 6m, y 0 ,
2,5
55, 4xy
cm
V kN
kPa
  
 
 
 
 
3 x 3m, y -5,5 ,
2,5 .
1,08x
cm
M kN m
MPa
  
 

 
 
z 
y 
45 cm 
15 cm 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
-2,5kN 
(M) 
x 1,5 kN 2,5 kN 
-2kN 
-0,5kN 
- 
(V) 
-2kNm 
5kNm 
-3kNm 
- 
+ 
q = 1kN/m 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 
M = 8kNm 
P = 2kN 
A B 
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[G2_D_2010.2] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay = 11 
kN e By = 1 kN. Determinar as expressões e traçar 
os diagramas de esforço cortante e momento 
fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
 
 
 
 
 
Força cortante: 
8 11 0 1
8 12 1 1,5
V x kN x m
V x x m
    

    
 
Momento fletor: 
2
2
4 11 0 1
4 12 9 1 1,5
M x xkNmx m
M x x kNm x m
     

     
 
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
V 
M 
1 m 0,5 m 
A B 
x 
11kN 1kN
8kNm
8 /kN m
11
43
7
1
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[G2_D_2010.2] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são Ay = -0,5 N e By = 16,5 N. 
Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 150cm, y = 7,5cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 
 
 
 
 
 
 
M 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Diagramas M(N.m) e V(N) Figura 2 
 
3
4 43,375.10
12
z
bh
I m  
max1 x 2m 12
( 15 ) 5,33
( 15 ) 5,33
x
x
M Nm
y cm kPa
y cm kPa


   
  
  
 
2 x 2m, y 0
10,5
0,35xy
V N
kPa
  
 
 
 
3 x 1,5m, y 7,5 ,
8 .
1,78x
cm
M N m
kPa
  
 
 
 
2 m 2 m 
M = 3 Nm 
q1 = 8 N/m 
A 
B 
6 N 
q2 = 2 N/m 
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
00 01 01 02 02 03 03 04 04
V
 (
N
)
x (m)
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
00 01 01 02 02 03 03 04 04
M
 (
N
m
)
x (m)
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
z 
y 
15 cm 
30 cm 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 
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[G2_E_2010.2] 
As reações de apoio da viga ao lado são Ay = -3 
kN (para baixo) e By = 7 kN. Determinar as 
expressões e traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor. 
 
)(
)(
xq
dx
xdV
 
 
)(
)(
xV
dx
xdM
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força cortante: 
8 0 0,5
7 0,5 1,5
V x kN x m
V kN x m
   

   
 
Momento fletor: 
24 0 0,5
7 2,5 0,5 1,5
M x kNm x m
M x kNm x m
    

    
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
V 
M 
0,5 m 1 m 
A 
B 
x 3kN
7kN
8kNm
8 /kN m
4
7 7
1
8
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[G2_E_2010.2] 
As reações de apoio da viga da Figura 1, com a seção reta da Figura 2, são kN30Ay  e 0By  . 
Determine: 
1- as tensões normais extremas, dizendo o local em que ocorrem na viga e na seção; 
2- a máxima tensão cisalhante, dizendo o local em que ocorre na viga e na seção; 
3- a tensão normal no ponto P de coordenadas x = 150cm, y = -12,5cm e z = 0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura: 1 Diagramas M(kN.m) e V(kN) Figura 2 
 
3
4 426,04.10
12
z
bh
I m  
max1 x 6m 30
( 25 ) 2,88
( 25 ) 2,88
x
x
M kNm
y cm MPa
y cm MPa


  
 
   
 
2 x 1 m, y 0
20
240xy
V kN
kPa
  

 
 
 
3 x 1,5m, y 7,5 ,
0
00x
cm
M

  


 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
z 
y 
25 cm 
50 cm 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bh
y I
I
V h y
I


 
 
  
 1m 1m 2m 2m 
10 kN 10 kN 
q=2,5 kN/m 
x 
M = 30kN.m 
A B 
-10 kN 
+ 
30kN.m 
+ 
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[P3_A_2012.1] 
A viga da figura está submetida ao carregamento abaixo. Obtenha os diagramas de esforço cortante (V) e momento 
fletor (M), determinando também as suas expressões algébricas. As reações de apoio já estão indicadas na figura. 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM

 
 
 
 
0 4x  : ( ) 10,6 4V x x  , 2( ) 10, 6 2M x x x  
4 7x  : ( ) 8,6 4V x x  , 2( ) 8,6 2 8M x x x   
7 10x  : ( ) 44 4V x x  , 2( ) 44 2 240M x x x   
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
10,6 kN 35,4 kN 
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[P3_A_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=10 cm e h=30 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 
Ay = 2,33 kN 
By = 6,67 kN 
 










2
y
8
h
bQ
bI
VQ
12
bh
I
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
)qq,m0,m6(,kPa100
)qq,m15,0,m3(,MPa337,7
m10x25,2I
x
44
z


 

 
 
3 m 3 m 
M = 4 kNm q = 2 kN/m 
A B 
x 
3 kN 
DEC 
DMF 
2,33 
4 
11 
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[P3_BG_2012.1] 
A viga da figura está submetida ao carregamento abaixo. Obtenha os diagramas de esforço cortante (V) e momento 
fletor (M), determinando também as suas expressões algébricas. As reações de apoio já estão indicadas na figura. 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM

 
 
 
 
 
0 6x  : ( ) 43, 2 10V x x  , 2( ) 43,2 5M x x x  
6 8x  : ( ) 16,8V x   , ( ) 180 16,8M x x  
8 10x  : ( ) 26,8V x   , ( ) 260 26,8M x x  
10 12x  : ( ) 4V x  , ( ) 4 48M x x  
 
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
30,8 kN43, 2 kN
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[P3_BG_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=25 cm e h=15 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 
 










2
y
8
h
bQ
bI
VQ
12
bh
I
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 
 
Resposta: 
)qq,m0,m4(,kPa100
)qq,m075,0,m6 e m4 entre(,MPa3,5
m10x03,7I
x
45
z


 

 
 
x 1,5kN 2,5 kN 
DEC 
DMF 
5 
q =1kN/m 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 
M = 8kNm 
P = 2kN 
A B 
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[P3_C_2012.1] 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de esforço cortante 
(kN) e momento fletor (kNm) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio. 
b) As distâncias marcadas. 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas). 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor. 
 
 
 
 
Resposta: a), b) e c) marcadas na figura 
 
d) 
0 4x  : ( ) 10,6 4V x x  , 2( ) 10,6 2M x x x  
4 7x  : ( ) 8, 6 4V x x  , 2( ) 8,6 2 8M x x x   
7 10x  : ( ) 44 4V x x  , 2( ) 44 2 240M x x x   
10,6 kN 35,4 kN 
( )
( )
dV x
q x
dx
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
( )
( )
dM x
V x
dx

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[P3_C_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=30 cm e h=30 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1- as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 
Ay = -2,5 N 
By = 14,5 N 
 








2
y
8
h
bQ,
bI
VQ
12
bh
I,
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 
 DEC 
 
 
 
 
 
 
 
 DMF 
 
 
 
Resposta: 
)qq,m0,m2(,Pa4,133
)qq,m15,0,m2(,kPa67,2
m10x75,6I
x
44
z


 

 
 
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
00 01 01 02 02 03 03 04 04
x (m)
2 m 2 m 
M = 3 Nm 
q = 6 N/m 
A 
B 
6 N 
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
00 01 01 02 02 03 03 04 04
x (m)
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[P3_D_2012.1] 
A viga da figura está submetidaa um determinado carregamento, apresentando os diagramas de esforço cortante 
(kN) e momento fletor (kNm) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio. 
b) As distâncias marcadas. 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas). 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor. 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM

 
 
 
 
 
Resposta: a), b) e c) marcadas na figura 
 
d) 
0 6x  : ( ) 43, 2 10V x x  , 2( ) 43,2 5M x x x  
6 8x  : ( ) 16,8V x   , ( ) 180 16,8M x x  
8 10x  : ( ) 26,8V x   , ( ) 260 26,8M x x  
10 12x  : ( ) 4V x  , ( ) 4 48M x x  
 
 
43,2 kN 30,8 kN 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
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[P3_D_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=15 cm e h=40 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 










2
y
8
h
bQ
bI
VQ
12
bh
I
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 
 
 
Resposta: 
)qq,m0,m2,2(,kPa260
)qq,m2,0,m5,0 e 0 entre(,MPa5
m10x8I
x
44
z


 

 
 
10,4kN 
DEC 
(kN) 
DMF 
(kNm) 
q = 2 kN/m 
0,5 m 0,5 m 1,2 m 
M = 20 kNm 
x 
P = 8 kN 4,96kNm 
-8 -10,4 
20 
16 
4,96 
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[P3_E_2012.1] 
A viga da figura está submetida ao carregamento abaixo. Obtenha os diagramas de esforço cortante (V) e momento 
fletor (M), determinando também as suas expressões algébricas. As reações de apoio já estão indicadas na figura. 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM

 
 
 
 
 
0 1x  : ( ) 85V x  , ( ) 85 315M x x  
1 3x  : ( ) 100 15V x x  , 2( ) 100 7,5 322,5M x x x   
3 5x  : ( ) 95 15V x x  , 2( ) 95 7,5 307,5M x x x   
5 6x  : ( ) 20V x  , ( ) 20 120M x x  
 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
85 kN 
315 kNm 
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[P3_E_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=10 cm e h=50 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
kNm18M
kN20A
A
y


 








2
y
8
h
bQ,
bI
VQ
12
bh
I,
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 
 DEC 
 
 
 
 
 DMF 
Resposta: 
)qq,m0,m0(,MPa6,0
)qq,m25,0,m1(,MPa8,4
m10x4,10I
x
44
z


 

 
 
5kN 
x 
M=20 kNm 
1m 1m 2m 
12 kN 
q2=2 kN/m 
q1=4 kN/m 
Ay 
MA 
20kN 
10kN 
15kN 
-20kNm 
-15kNm 
-10kNm 
-5kNm 
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[P3_F_2012.1] 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de esforço cortante 
(kN) e momento fletor (kNm) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
)(
)(
xq
dx
xdV

 
)(
)(
xV
dx
xdM

 
 
 
 
 
Resposta: a), b) e c) marcadas na figura 
 
d) 
0 1x  : ( ) 85V x  , ( ) 85 315M x x  
1 3x  : ( ) 100 15V x x  , 2( ) 100 7,5 322,5M x x x   
3 5x  : ( ) 95 15V x x  , 2( ) 95 7,5 307,5M x x x   
5 6x  : ( ) 20V x  , ( ) 20 120M x x  
85 kN 
315 kNm 
x
q
M
V
dx
V dV
M dM
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[P3_F_2012.1] 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=10 cm e h=45 cm, e para a qual já são fornecidos os diagramas 
e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 
 
 
 








2
y
8
h
bQ
bI
VQ
12
bh
I;
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x


 
 
 DEC 
 
 
 
 DMF 
 
 
 
 
 
Ay = 20 kN 
MA = 10 kNm 
x 
1m 1m 2m 
q2=2 kN/m 
q1=4 kN/m 
Ay 
MA 
M=20 kN.m 
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