solução_aval_2 matematica aplicada ufrgs fabio e esequia

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MAT01068 - Matemática Aplicada II
Avaliação de Análise Vetorial
Resolução de questões
Questão 1
A posição de uma part́ıcula é dada pela função:
~r(t) = −4 cos(t)~i+ 2 sin(t)~j − 3
t− 2
~k, t > 2
Marque a opção que melhor aproxima a curvatura da curva descrita pela da trajetória no
instante t = 6:
Primeiramente calculamos as derivadas:
~r(t) = −4 cos(t)~i+ 2 sin(t)~j − 3
t− 2
~k
~r′(t) = 4 sin(t)~i+ 2 cos(t)~j +
3
(t− 2)2
~k
~r′′(t) = 4 cos(t)~i− 2 sin(t)~j − 3
(t− 2)3
~k
Substituindo os valores em t = 6, temos:
~r′(6) = ~r ′(t) = −1, 117~i+ 1, 920~j − 0, 1875~k
~r′′(6) = ~r ′′(t) = 3, 841~i+ 0, 5588~j + 0, 09375~k
Agora, calculamos ‖~r′(6)‖ e ‖~r′(6)× ~r′′(6)‖
‖~r′(6)‖ = 2.23
~r′(6)× ~r′′(6) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1, 117 1, 920 −0, 1875
3, 841 0, 5588 0, 09375
∣∣∣∣∣∣ = 0, 2848~i− 0, 6155~j − 7, 9989~k
‖~r′(6)× ~r′′(6)‖ = 8.028
Finalmente, a curvatura
κ =
‖~r ′(t)× ~r ′′(t)‖
‖~r ′(t)‖3
=
8.028
2.233
= 0.724
1
joseh
Carimbo novo
Questão 2
Considere o campo ~F = 2y2~i + x2~j + 2z~k e a curva C : ~r = 3t~i + 4t2~j + t3~k, 0 ≤ t ≤ 1.
Marque a alternativa que apresenta o valor da integral de linha
∫
C
~F · d~r.
Alguns cálculos intermediários:
~r′ = 3~i+ 8t~j + 3t2~k
~F (~r) = 2(4t2)2~i+ (3t)2~j + 2(t3)~k = 32t4~i+ 9t2~j + 2t3~k
~F · r′ = 96t4 + 72t3 + 6t5
Assim, ∫
C
~F · d~r =
∫ 1
0
(
96t4 + 72t3 + 6t5
)
dt =
96
5
+
72
4
+
6
6
= 38, 2
2
Questão 3
Considere o campo conservativo ~F = (2y2z3 + 10 cos(5x))~i+ (4xyz3 + 9e−3y)~j + 6xy2z2~k e a
curva C : ~r = 2t2 cos(t)~i+ 2te−t~j − sinh(t)~k, 0 ≤ t ≤ 2.
a) Marque a alternativa que apresenta a função potencial.
b) Complete com o valor da integral de linha
∫
C
~F · d~r.
Solução: Integramos a primeira componente com respeito a x.
f(x, y, z) =
∫
(2y2z3 + 10 cos(5x))dx = 2xy2z3 + 2 sin(5x) + C1(y, z)
A derivada com respeito a y deve ser igual a segunda componente:
∂f(x, y, z)
∂y
= 4xyz3 +
∂C1(y, z)
∂y
= (4xyz3 + 9e−3y)
Assim:
∂C1(y, z)
∂y
= 9e−3y ⇒ C1(y, z) = −3e−3y + C2(z)
Logo:
f(x, y, z) = 2xy2z3 + 2 sin(5x)− 3e−3y + C2(z)
A derivada com respeito a z é igual a terceira componente
∂f(x, y, z)
∂z
= 6xy2z2 +
∂C2(z)
∂y
= 6xy2z2.
Assim:
∂C2(z)
∂y
= 0⇒ C2(z) = C
Logo:
f(x, y, z) = 2xy2z3 + 2 sin(5x)− 3e−3y + C
Para a integral de linha, podemos usar o teorema fundamental das linhas:
~r(2) = 8 cos(2)~i+ 4e−2~j − sinh(2)~k = −3.3291~i+ 0.5413~j − 3.6269~k
~r(0) = ~0
Portanto,∫
C
~F · d~r = 2(−3.3291)(0.5413)2(−3.6269)3 + 2 sin(5(−3.3291))− 3e−3(0.5413) − (−3) = 97.1
3
Questão 4
A temperatura em uma região do espaço é dada pela função T (x, y, z) = 270+36e−z/9 (3 + x2 + y2)
−1/2
.
Em determinado instante, uma abelha está no ponto (8, 0, 3) e se desloca com velocidade
~v = 3~i − 2~y + ~k. Seja f a taxa de variação da temperatura percebida pela abelha como
função do tempo. Todas as unidades estão no S.I.
a) Indique a opção que melhor aproxima o valor de ‖~∇T‖ no ponto dado.
∇T (x, y, z) = −36xe−z/9
(
3 + x2 + y2
)−3/2~i− 36ye−z/9 (3 + x2 + y2)−3/2~j
− 4e−z/9
(
3 + x2 + y2
)−1/2 ~k
∇T (8, 0, 3) = −36 · 8e−3/9
(
3 + 82
)−3/2~i− 4e−3/9 (3 + 82)−1/2 ~k
∇T (8, 0, 3) = −288e
−1/3
673/2
~i− 4e
−1/3
671/2
~k
= −0.3763~i− 0.3502~k
‖∇T (8, 0, 3)‖ = 0.514
b) Indique a opção que melhor aproxima o valor de f no ponto dado.
∂T
∂t
(8, 0, 3) = ∇T (8, 0, 3) · ~v
= (−0.3763~i− 0.3502~k) · (3~i− 2~y + ~k) = −1.4791
4
Questão 5
Seja o campo dado por ~F = −2x3z ı̂− 2y3z ̂− 4x2 k̂ e as superf́ıcies S1 : z = 0, x2 + y2 ≤ 4
e S2 : z = 4 − (x2 + y2), z ≥ 0. A superf́ıcie S1 está orientada no sentido negativo do eixo
z e S2 está orientada no sentido positivo do eixo z. Seja também S = S1 ∪ S2 a superf́ıcie
fechada composta da união de S1 e S2, orientada para fora.
(a) Qual o valor do fluxo de ~F através de S1?
(b) Indique a opção que melhor aproxima o valor do fluxo de ~F através de S2 :
(c) Indique a opção que melhor aproxima o valor do fluxo de ~F através de S :
Solução: (a) A superf́ıcie S1 é um disco de raio 2 no plano {(x, y) : z = 0}; como está
orientada no sentido negativo do eixo z, então n̂S1 = − k̂. Disto temos ~F · n̂S1 = 4x2. O
fluxo ΦS1 de ~F através de S1 pode ser calculado, então, utilizando coordenadas polares,
ΦS1 =
∫∫
S1
~F · n̂S1 dS =
∫∫
S1
4x2 dS =
∫ 2π
0
∫ 2
0
4r2 cos2(θ) r dr dθ
=
∫ 2
0
4r3 dr
∫ 2π
0
cos2(θ) dθ = r4
∣∣∣2
0
(
θ
2
+
sin(2θ)
4
)∣∣∣∣2π
0
≈ 50,2655 .
(c) Primeiramente, calculemos o divergente de ~F ,
~∇ · ~F = ∂(−2x
3z)
∂x
+
∂(−2y3z)
∂y
+
∂(−4x2)
∂z
= −6 (x2 + y2) z .
Utilizando o Teorema da Divergência temos que o fluxo Φ de ~F sobre S pode ser calculado
por
Φ =
∫∫
S
~F · n̂ dS =
∫∫∫
V
~∇ · ~F dV ,
em que V é o volume limitado pelo parabolóide S2 e o plano S1, orientado para fora. Pela
geometria do problema convém a introdução do sistema de coordenadas ciĺındricas [ x =
r cos(θ), r sin(θ), z, r =
√
x2 + y2 ]. Dessa forma, a integral de fluxo pode ser computada por
Φ = −6
∫ 4
0
∫ 2π
0
∫ √4−z
0
r2z r dr dθ dz = −12π
∫ 4
0
z
∫ √4−z
0
r3 dr dz
= −3π
∫ 4
0
z (4− z)2 dz = −3π
(
8z2 − 8z
3
3
+
z4
4
)∣∣∣∣4
0
≈ −201,06 ,
em que os limites superiores de integração em r e z são obtidos pela equação z = 4− r2 que
define o parabolóide S2.
(b) De posse dos fluxos ΦS1 e Φ observamos que as orientações de S1 e S2 definem a
orientação de S = S1∪S2 para fora como no cálculo de Φ através do Teorema da Divergência.
Portanto, para computar ΦS2 basta utilizar a propriedade aditiva da integral de fluxo, Φ =
ΦS1 + ΦS2 , o que resulta em
ΦS2 = Φ− ΦS1 ≈ −201,06− 50,2655 = −251,3255 .
5
Questão 6
Seja o campo dado por ~F = −2zexz ı̂+ (xy3 + 8y) ̂+ (3xy2 − 2xexz) k̂ e a curva C poligonal
cujos vértices são P1 = (0, 0, 0), P2 = (4, 0, 0), P3 = (4, 1, 5) e P4 = (0, 1, 5), orientada no
sentido P1 → P2 → P3 → P4 → P1.
(a) Qual o valor da norma do rotacional do campo ~F no ponto (1, 1, 1)?
(b) Indique a opção que melhor aproxima o valor da integral de linha W =
∫
C
~F · d~r :
Solução: (a) Utilizando a fórmula mnemônica do determinante,
~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ı̂ ̂ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−2zexz xy3 + 8y 3xy2 − 2xexz
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6xy ı̂− 3y
2 ̂+ y3 k̂ .
Computando no ponto (1, 1, 1) chega-se a ~∇× ~F = 6 ı̂−3 ̂+ k̂. Portanto, ‖~∇× ~F‖ = 6,7823
no ponto (1, 1, 1).
(b) É fácil notar que a poligonal C define um plano diagonal a um paraleleṕıpedo de
arestas 4, 1 e 5 nas direções dos eixos x, y e z respectivamente, isto é a região D delimitada
por C é a interseção do plano de equação z = 5y e o paraleleṕıpedo.
Sabemos que pelo Teorema de Stokes,
W =
∫
C
~F · d~r =
∫∫
D
~∇× ~F · n̂ dS =
∫∫
R
~∇× ~F · ~∇GdA ,
em que R na integral a direita é o retângulo de arestas 4 na direção x e 1 na na direção y
que é projeção de D no plano {(x, y)} e G é a função auxiliar. A função auxiliar deve ser
definida de maneira a preservar a orientaçao da integral de caminho (que neste caso deve ser
a superf́ıcie D orientada na direção de k̂)p. ??, ??. Definimos, então a nossa função auxiliar
como G(x, y, z) = z − 5y. Dáı que ~∇G = −5 ̂+ k̂ e ~∇× ~F · ~∇G = 15y2 + y3. Portanto,
W =
∫ 1
0
∫ 4
0
~∇× ~F · ~∇G dx dy = 4
∫ 1
0
(15y2 + y3) dy = 21,0 .
6