AV2 - Cálculo Vetorial - Uninassau

Prévia do material em texto

Academic: Módulo B - 80733 . 7 - Disciplina -CALCULO VETORIAL 
AV2 – Cálculo Vetorial
Questão 1 -Analise as afirmações a seguir:  
I. Se f (x, y) tem um máximo local no ponto (a, b) e as derivadas parciais de 1ª ordem existem então o plano tangente a superfície z = f (x, y) no ponto (a, b) é horizontal.
II. Todos os pontos críticos de uma função f (x, y) são máximos locais ou mínimos locais de f (x, y). 
III. Se ∇ f (a, b) = (0, 0) então o ponto (a, b) é ponto crítico da função f (x, y).
Estão corretas as afirmações:
Alternativa correta:
·  a) I e III.
Justification : São verdadeiras apenas as afirmações I e II.  As justificativas são respectivamente: I=  se (a, b) é um ponto de máximo local e as derivadas parciais existem, então ∂ f/∂ x (a, b) = ∂ f/∂ y (a, b) = 0 . III= pela definição de ponto crítico, temos que: Um ponto (a, b) échamado de ponto crítico de f se ∂ f/∂ x (a, b) = 0 e ∂ f/∂ y (a, b) = 0 ou se uma das derivadas parciais ∂ f/∂ x (a, b) ou ∂ f/∂ y (a, b) não existe.
Questão 2 - Seja D a região interior ao trapézio de vértices (2, 2); (4, 2); (5, 4) e (1. 4). 
Calcule  
Alternativa correta:
·  c) 448
Questão 3 - Sendo , utilize o teorema de Fubini para calcular as integrais iteradas.
Alternativa correta:
·  d) 1
Questão 4 - As taxas de variações, podem ser encontradas mediante as derivadas em relação às variáveis x e y da função f(x,y)= x²+ 2y³ +x³y², Apresente, respectivamente, a variação de fx no ponto (3, 1) e fy no ponto (3,1).
Alternativa correta:
·  a) 33 e 60
Questão 5 - Utilizando as propriedades de limite, determine o limite da função f(x, y)= , com (x, y) tendendo à (2, 2).
Alternativa correta:
·  c) 1.
Questão 6 - Um pesquisador, analisa o movimento de uma partícula no espaço. O movimento é dado pelo vetor posição r(t)= 2 cos(t) i+2 sen(t) j+5cos²(t)k. Determine a função que representa a velocidade da partícula.
Alternativa correta:
·  e) v(t)= -2 sen(t) i+2cos(t) j-5sen(2t )k
Questão 7 - Nas funções com mais de uma variável, as variáveis de acordo com o diferencial indicado, se tornam constantes.  Com base no conteúdo estudado sobre derivadas parciais, determine a derivada parcial de primeira ordem fw  da função  f(t, w)=t 
Alternativa correta:
·  a) 
Na função f(t, w)=t , quando derivada em relação à w, a variável t se torna constante. Logo a solução é 
Questão 8 - Dada a função de duas variáveis f(x, y), determine o domínio da função f (x, y) = x y/ x² + y².
Alternativa correta:
·  d) D = (x, y) ≠ (0, 0).
Justification: Nas funções racionais, a restrição em relação ao domínio, é em relação ao denominador, ou seja, o denominador diferente de zero, logo (x, y) ≠ (0, 0)
Questão 9 - Determine a derivada parcial fx de f (x, y) = .
Alternativa correta:
·  a) - 2x 
Na função com mais de uma variável , quando derivada em relação à x, a variável y se torna constante. Logo a solução é ∂f/∂x= −2x 
Questão 10 - Calcule a integral dupla   onde R= [0,1] x [0,1].
Alternativa correta:
·  d) 6