Questão resolvida - Encontre a medida dos semieixos, os focos e a excentricidade da elipse 16 x 36 y 576 - Álgebra Linear I - UNIPAC

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• Encontre a medida dos semieixos, os focos e a excentricidade da elipse 
.16x + 36y = 5762 2
 
A) a = 4, b = 6, F - , 0 e F , 0 , e =1 5 2 5 5
B) a = 6, b = 4, F -2 , 0 e F 2 , 0 , e =1 5 2 5
3
 5
C) a = -6, b = 4, F 2 , 0 e F -2 , 0 , e =1 5 2 5
3
 5
D) a = -4, b = 6, F , 0 e F - , 0 , e =1 5 2 5
3
 5
E) a = 6, b = -4, F -2 , 0 e F 2 , 0 , e =1 5 2 5 5
 
Resolução:
 
Veja que só há termos na expressão com expoente 2, dessa forma, o expressão geral para a 
elipse é;
 
+ = 1, com a > b
x
a
2
2
y
b
2
2
 
ou 
 
+ = 1, com a > b
y
a
2
2
x
b
2
2
 
Vamos reduzir a expressão da elipse a 1 desses 2 tipos;
 
16x + 36y = 576 16x + 36y = 576 ÷ 576 + =2 2 → 2 2 →
16x
576
2 36y
576
2 576
576
 
+ = 1 + = 1 + = 1
x2
576
16
y2
576
36
→
x
36
2 y
16
2
→
x
6
2
( )2
y
4
2
( )2
 
 
(1)
(2)
Logo, a elipse tem o tipo de equação 1. Assim, os valores de e são, respectivamente 6 e a b
4.
Perceba que essa elipse tem seu eixo sobre coincidindo com o eixo x, dessa forma as 
coordenadas dos pontos dos focos são;
 
F c, 0 e F -c, 01( ) 2( )
 
Com isso, devemos achar o valor de c, dado pela seguinte relação;
 
a = b + c2 2 2
Essa relação sai do seguinte triângulo retângulo definido por e na elipse, como visto a a b
seguir;
 
 
Substitundo os valores de e , temos que o valor de é;a b c
 
a = b + c 6 = 4 + c 4 + c = 6 c = 6 - 42 2 2 → ( )2 ( )2 2 → ( )2 2 ( )2 → 2 ( )2 ( )2
 
c = 36 - 16 c = 20 c = c = c = ⋅ c = 22 → 2 → 20 → 4 ⋅ 5 → 4 5 → 5
Com isso, os pontos dos focos são;
 
F 2 , 0 e F -2 , 01 5 2 5
 
 
b = 4 
a = 6 
y
xc 6 -6
-4
4
cF -c, 02( ) F c, 01( )
A exentricidade e é dada por;
e =
c
a
Substituindo os valores de c e a, temos;
 
e = e =
2
6
5
→
3
5