Matematica no Ensino Fundamental I - Unidades 3 e 4

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Luciane Martins de Barros
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ducação Infantil
Matemática no 
 Ensino Fundamental
Os Pcn’s e o Ensino 
Fundamental em 
Matemática
3
Caro (A) Aluno (A)
 Seja bem-vindo!
 Nesta terceira unidade, destacamos a importância da 
Matemática, seus objetivos, conteúdos, suas competências no 
Ensino Fundamental, dos blocos do conhecimento: números e 
operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento es-
tatístico, através dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs).
 Bons estudos!
 Objetivos da Unidade
Ao concluir esta unidade, você deverá ser capaz de: 
	 •	 Saber	 a	 importância	 da	Matemática	 para	 o	 Ensino	
Fundamental como Ciência formadora da cidadania;
	 •	Escrever	os	objetivos	gerais	da	Matemática	para	o	En-
sino Fundamental;
	 •	Saber	o	ponto	de	vista	dos	PCNs,	a	organização	dos	
conteúdos para o Ensino Básico - 1º e 2º ciclos.
 Conteúdos da Unidade
3.1- Objetivos gerais dos PCNs para o Ensino Fundamental em 
Matemática.
3.2- A Matemática do Ensino Fundamental - 1º ciclo - Ensino 
Básico.
3.3- A Matemática do Ensino fundamental - 2º ciclo - Ensino 
Básico.
3.4- A Matemática do Ensino fundamental - 3º ciclo.
3.5- A Matemática do Ensino fundamental - 4º ciclo.
3.1 Objetivos gerais dos PCNs 
para o Ensino Fundamental 
em Matemática
 Neste capítulo, enfocaremos o significado da Mate-
mática no Ensino Fundamental, do ponto de vista dos PCNs. 
Seu significado é amplo ao aluno, ou seja, promove o raciocínio, 
integra-o	ao	ambiente	social,	possibilita	a	imaginação	com	ou-
tras áreas do conhecimento. Como diz os PCNs
“Para tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equili-
brada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades 
intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do ra-
ciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações 
da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à 
construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.”
45
46
 A Matemática, como já dissemos, é uma Ciência dinâ-
mica, segundo os PCNs:
‘’É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo 
aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvi-
mento do seu raciocínio, de sua sensibilidade expressiva, de sua 
sensibilidade estética e de sua imaginação’’ (PCNs, 1997). 
 Neste sentido, os PCNs colocam em xeque todas as 
práticas escolares que têm como ponto central o caráter me-
canicista,	 que	 impede	 sua	 imaginação	 e,	 consequentemente,	 a	
relação	da	importância	daquele	conteúdo	com	a	sua	realidade.		
 O ensino da Matemática, segundo os PCNs, também 
reforçam os aspectos de:
“Contribuir para a construção da cidadania e, para isso, o 
professor deve desenvolver metodologias que enfatizem a cons-
trução de estratégias, a comprovação e justificativa de resul-
tados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo, 
a autonomia advinda da confiança na própria capacidade de 
enfrentar problemas”. (BRASIL 1997)
 Os PCNs foram determinantes para que fossem ame-
nizados problemas no ensino da Matemática, principalmente, 
os relacionados com o fracasso dos alunos no entendimento da 
mesma, e que a qualidade fosse alcançada, porém as Secretarias 
Municipais e Estaduais buscam, a todo o momento, adequarem-
-se a essas novas medidas. No Ensino fundamental, os PCNs, 
Matemática, foram divididos em orientações para o Ensino Bá-
sico (1ª a 4ª séries) (1997) e orientações para as séries de 5ª a 8ª 
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(1998). Esses dois documentos trazem, no início, um histórico 
do ensino da Matemática no Brasil e os objetivos gerais para o 
Ensino Fundamental de Matemática:
  Identificar os conhecimentos matemáticos como 
meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e 
perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Mate-
mática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o 
espírito	de	investigação	e	o	desenvolvimento	da	capacidade	para	
resolver problemas;
  Fazer observações sistemáticas de aspectos quantita-
tivos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabe-
lecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando 
para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, 
métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); 
selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para 
interpretá-las e avaliá-las criticamente;
  Resolver situações-problema, sabendo validar estra-
tégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e pro-
cessos,	como	dedução,	indução,	intuição,	analogia,	estimativa,	e	
utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como 
instrumentos tecnológicos disponíveis;
  Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, 
representar	 e	 apresentar	 resultados	 com	precisão	 e	 argumentar	
sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabele-
cendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
  Estabelecer conexões entre temas matemáticos de di-
ferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras 
áreas curriculares;
  Sentir-se seguro da própria capacidade de construir 
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a 
perseverança na busca de soluções;
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  Interagir com seus pares de forma cooperativa, tra-
balhando coletivamente na busca de soluções para problemas 
propostos,	identificando	aspectos	consensuais	ou	não	na	discus-
são	de	um	assunto,	respeitando	o	modo	de	pensar	dos	colegas	e	
aprendendo com eles.
 No decorrer das orientações PCNs para o Ensino Funda-
mental	da	Matemática	as	mudanças	são	significativas	para	as	séries	
iniciais (1ª à 4ª) e as séries finais (5ª à 8ª). Para as séries iniciais e 
finais,	os	objetivos	e	conteúdos	são	organizados	em	4	ciclos.	No	1º	
ciclo, o ensino de Matemática (PCNs 1997), deve levar o aluno a:
 Construir o significado do número natural a partir de seus 
diferentes usos no contexto social, explorando situações-problema 
que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos;
  Interpretar e produzir escritas numéricas, levantan-
do	hipóteses	sobre	elas,	com	base	na	observação	de	regulari-
dades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais 
e da linguagem matemática;
  Resolver situações-problema e construir, a partir delas, 
os significados das operações fundamentais, buscando reconhecer 
que	uma	mesma	operação	está	relacionada	a	problemas	diferentes,	
e um mesmo problema resolvido pelo uso de diferentes operações;
  Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, 
exato,	aproximado	—	pela	observação	de	regularidades	e	de	proprie-
dades	das	operações	e	pela	antecipação	e	verificação	de	resultados;
  Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calcu-
ladora como instrumento para produzir e analisar escritas;
  Estabelecer pontos de referência para situar-se, posi-
cionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar re-
lações	de	posição	entre	objetos	no	espaço;	interpretar	e	fornecer	
instruções, usando terminologia adequada;
  Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no 
espaço, identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, 
49
em situações que envolvam descrições orais, construções e re-
presentações;
  Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimen-
to, massa, capacidade e elaborar estratégias pessoais de medida;
  Utilizar informações sobre tempo e temperatura;
 	Utilizar	instrumentos	de	medida,	usuais	ou	não,	esti-
mar	resultados	e	expressá-los	por	meio	de	representações	não,	
necessariamente, convencionais;
  Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a 
leitura	e	interpretação	de	informações	e	construir	formas	pesso-
ais de registro para comunicar informações coletadas. 
 
 Observamos que o primeiro ciclo fundamenta-se em 
um trabalho de base, reforçando os conhecimentos dos núme-
ros e suas operações, das medidas, com elementos explorando 
as formas e espaço, resgatando, para isso, o que a criança já 
“sabe” e assegurando que oconhecimento seja importante para 
o desenvolvimento do seu potencial. Para isso, o professor deve 
trabalhar com situações do seu cotidiano e ir avançando nos 
conceitos para situações de raciocínio mais elaboradas.
 Ao depararmo-nos com os objetivos descritos acima, 
percebemos	 que	 a	missão	 do	 professor	 vai	 além	do	 que,	 tra-
dicionalmente, conhecemos, pois colocar em prática os PCNs 
exigirá mudança de filosofia de ensino. O mais preocupante é 
que	os	PCNs	já	vão	completar	14	anos	e	as	necessidades	de	mu-
danças permanecem, principalmente, na maneira de organizar e 
executar o trabalho docente.
 Porém, os PCNs também nos indicam como devemos 
selecionar e organizar os conteúdos e quais projetos realizar 
para que os conceitos matemáticos sejam aprendidos de forma 
mais satisfatória, respeitando-se a regionalidade de cada um.
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Segundo os PCNs (1997):
a) Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal
  Reconhecimento de números no contexto diário;
 	 Utilização	 de	 diferentes	 estratégias	 para	 quantificar	
elementos	de	uma	coleção:	contagem,	pareamento,	estimativa	e	
correspondência de agrupamentos;
 	 Utilização	 de	 diferentes	 estratégias	 para	 identificar	
números em situações que envolvem contagens e medidas;
 	Comparação	e	ordenação	de	coleções	pela	quantidade	
de	elementos	e	ordenação	de	grandezas	pelo	aspecto	da	medida;
 	Formulação	de	hipóteses	sobre	a	grandeza	numérica,	
pela	identificação	da	quantidade	de	algarismos	e	da	posição	ocu-
pada por eles na escrita numérica;
 	Leitura,	escrita,	comparação	e	ordenação	de	números	
familiares ou frequentes;
 	Observação	de	critérios	que	definem	uma	classifica-
ção	de	números	(maior	que,	menor	que,	estar	entre)	e	de	regras	
usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade);
  Contagem em escalas ascendentes e descendentes de 
um em um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez 
etc., a partir de qualquer número dado;
 	Identificação	de	regularidades	na	série	numérica	para	
nomear, ler e escrever números menos frequentes;
 	Utilização	de	 calculadora	para	produzir	 e	 comparar	
escritas numéricas;
 	Organização	em	agrupamentos	para	facilitar	a	conta-
3.2 A Matemática do Ensino 
Fundamental -1º ciclo- Ensino Básico
51
gem	e	a	comparação	entre	grandes	coleções;
 	 Leitura,	 escrita,	 comparação	 e	 ordenação	 de	 anota-
ções	numéricas	pela	compreensão	das	características	do	sistema	
de	numeração	decimal	(base,	valor	posicional).
b) Operações com Números Naturais
 	Análise,	interpretação,	resolução	e	formulação	de	si-
tuações-problema, compreendendo alguns dos significados das 
operações,	em	especial	da	adição	e	da	subtração;
  Reconhecimento de que diferentes situações-proble-
ma	podem	ser	resolvidas	por	uma	única	operação	e	de	que	dife-
rentes operações podem resolver um mesmo problema;
 	Utilização	de	sinais	convencionais	 (+,	-,	x,	 :	 ,	=)	na	
escrita das operações;
 	Construção	dos	fatos	básicos	das	operações	a	partir	
de	situações-	problema,	para	constituição	de	um	repertório	a	ser	
utilizado no cálculo;
 	 Organização	 dos	 fatos	 básicos	 das	 operações	 pela	
identificação	de	regularidades	e	propriedades;
 	 Utilização	 da	 decomposição	 das	 escritas	 numéricas	
para	a	realização	do	cálculo	mental	exato	e	aproximado;
 	Cálculos	de	adição	e	subtração,	por	meio	de	estraté-
gias pessoais e algumas técnicas convencionais;
 	Cálculos	de	multiplicação	e	divisão	por	meio	de	estra-
tégias pessoais;
 	Utilização	de	estimativas	para	avaliar	a	adequação	de	
um resultado e uso de calculadora para desenvolvimento de es-
tratégias	de	verificação	e	controle	de	cálculos.
c) Espaço e Forma
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 	Localização	de	pessoas	ou	objetos	no	espaço,	com	base	
em	diferentes	pontos	de	referência	e	algumas	indicações	de	posição;
 	Movimentação	 de	 pessoas	 ou	 objetos	 no	 espaço,	
com base em diferentes pontos de referência e algumas indi-
cações	de	direção	e	sentido;
 	Descrição	da	localização	e	movimentação	de	pessoas	
ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia;
  Dimensionamento de espaços, percebendo relações 
de tamanho e forma;
 	 Interpretação	 e	 representação	 de	 posição	 e	 de	
movimentação	no	espaço,	a	partir	da	análise	de	maquetes,	
esboços, croquis e itinerários;
 	Observação	de	formas	geométricas	presentes	em	ele-
mentos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas 
características:	arredondadas	ou	não,	simétricas	ou	não	etc;
  Estabelecimento de comparações entre objetos do 
espaço físico e objetos geométricos — esféricos, cilíndricos, cô-
nicos, cúbicos, piramidais, prismáticos — sem uso obrigatório 
de nomenclatura;
 	Percepção	de	semelhanças	e	diferenças	entre	cubos	e	
quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, 
esferas e círculos;
 	Construção	e	representação	de	formas	geométricas.
d) Grandezas e Medidas
 	Comparação	de	 grandezas	 de	mesma	natureza,	 por	
meio de estratégias pessoais e uso de instrumentos de medida 
conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc;
 	Identificação	de	unidades	de	tempo	—	dia,	semana,	
mês,	bimestre,	semestre,	ano	—	e	utilização	de	calendários;
 	Relação	entre	unidades	de	tempo	—	dia,	semana,	mês,	
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bimestre, semestre, ano;
  Reconhecimento de cédulas e moedas que circu-
lam no Brasil e de possíveis trocas entre cédulas e moedas 
em	função	de	seus	valores;
 	Identificação	dos	elementos	necessários	para	comu-
nicar	o	resultado	de	uma	medição	e	produção	de	escritas	que	
representem	essa	medição;
  Leitura de horas, comparando relógios digitais e de 
ponteiros.
e) Tratamento da Informação
 	Leitura	e	 interpretação	de	 informações	contidas	em	
imagens;
 	Coleta	e	organização	de	informações;
 	Criação	de	 registros	pessoais	para	comunicação	das	
informações coletadas;
 	Exploração	da	 função	do	número	 como	código	na	
organização	de	informações	(linhas	de	ônibus,	telefones,	placas	
de carros, registros de identidade, bibliotecas, roupas, calçados);
 	Interpretação	e	elaboração	de	listas,	tabelas	simples,	de	du-
pla	entrada	e	gráficos	de	barra	para	comunicar	a	informação	obtida;
 	Produção	de	textos	escritos	a	partir	da	interpretação	
de gráficos e tabelas;
  Desenvolvimento de atitudes favoráveis à aprendiza-
gem de Matemática;
  Confiança na própria capacidade para elaborar estra-
tégias pessoais diante de situações-problema;
 	Valorização	da	troca	de	experiências	com	seus	pares	
como forma de aprendizagem;
  Curiosidade por questionar, explorar e interpretar 
os diferentes usos dos números, reconhecendo sua utilidade 
54
na vida cotidiana;
  Interesse e curiosidade por conhecer diferentes estra-
tégias de cálculo;
 	Valorização	da	utilidade	dos	elementos	de	referência	
para	localizar-se	e	identificar	a	localização	de	objetos	no	espaço;
 	Sensibilidade	pela	observação	das	formas	geométri-
cas na natureza, nas artes, nas edificações;
 	Valorização	da	importância	das	medidas	e	estimativas	
para resolver problemas cotidianos;
  Interesse por conhecer, interpretar e produzir mensa-
gens, que utilizam formas gráficas para apresentar informações;
 	Apreciação	da	organização	na	elaboração	e	apresentação	
dos trabalhos.
 A partir destas propostas gerais, quanto aos quatro blo-
cos do conhecimento matemático para o Ensino Fundamental: 
Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas 
de	 Tratamento	 da	 Informação,	 o	 professor	 pode	 determinar	
quais	competências	deseja	atingir	com	relação	ao	aprendizado	do	
aluno, ao final do primeiro ciclo. Quanto ao bloco de números e 
operações espera-se que o aluno, em linhas gerais, seja capaz de:
  Resolver problemas, através da leitura de situações- 
problema propostas;
 	Saiba	raciocinar	com	relação	ao	cálculo	escolhido,	seja	
pessoal ou convencional;
  Saiba, principalmente, somar e subtrair;
  Utilizar o número como instrumento de representa-
ção	para	situações	do	seu	dia	a	dia,	principalmente	que	 tenha	
conhecimento do sistema decimal;
  Utilizar instrumentos de medidas, que seja capaz de 
estimar medições;	Localizar-se	no	espaço,	ou	seja,	definir	sua	posição.
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 Neste ciclo, o ensino de Matemática, segundo os PCNs 
(1997), deve levar o aluno a:
 Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situa-
ções-problema e pelo reconhecimento de relações e regularidades;
 Construir o significado do número racional e de suas re-
presentações (fracionária e decimal), a partir de seus dife-
rentes usos no contexto social;
 Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as re-
gras	do	sistema	de	numeração	decimal	e	estendendo-as	para	a	
representação	dos	números	racionais	na	forma	decimal;
 Resolver problemas, consolidando alguns significados das 
operações fundamentais e construindo novos, em situações que 
envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais;
 Ampliar os procedimentos de cálculo — mental, escrito, 
exato, aproximado — pelo conhecimento de regularidades 
dos fatos fundamentais, de propriedades das operações e 
pela	antecipação	e	verificação	de	resultados;
 Refletir sobre procedimentos de cálculo que levem à amplia-
ção	do	significado	do	número	e	das	operações,	utilizando	a	cal-
culadora	como	estratégia	de	verificação	de	resultados;
 Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar 
a	localização	e	movimentação	de	pessoas	ou	objetos,	utilizando	
terminologia adequada para descrever posições;
 Identificar características das figuras geométricas, percebendo 
semelhanças	e	diferenças	entre	elas,	por	meio	de	composição	e	
decomposição,	simetrias,	ampliações	e	reduções;
 Recolher dados e informações, elaborar formas para organizá-los 
e expressá-los, interpretar dados apresentados sob forma de tabelas 
3.3 A Matemática do Ensino 
Fundamental - 2º ciclo- Ensino Básico
56
e	gráficos	e	valorizar	essa	linguagem	como	forma	de	comunicação;
 Utilizar diferentes registros gráficos — desenhos, esquemas, 
escritas numéricas — como recurso para expressar ideias; aju-
dar	a	descobrir	formas	de	resolução	e	comunicar	estratégias	e	
resultados;
 Identificar características de acontecimentos previsíveis ou 
aleatórios a partir de situações-problema, utilizando recursos 
estatísticos e probabilísticos;
 Construir o significado das medidas, a partir de situações-pro-
blema que expressem seu uso no contexto social e em outras 
áreas	do	conhecimento	e	possibilitem	a	comparação	de	grande-
zas de mesma natureza;
 Utilizar procedimentos e instrumentos de medida usuais ou 
não,	selecionando	o	mais	adequado	em	função	da	situação-pro-
blema	e	do	grau	de	precisão	do	resultado;
 Representar resultados de medições, utilizando a terminologia 
convencional para as unidades mais usuais dos sistemas de me-
dida, comparar com estimativas prévias e estabelecer relações 
entre diferentes unidades de medida;
 Demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em di-
ferentes contextos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, 
os conceitos e procedimentos matemáticos abordados neste ciclo;
	Vivenciar	processos	de	resolução	de	problemas,	percebendo	
que para resolvê-los é preciso compreender, propor e executar 
um	plano	de	solução,	verificar	e	comunicar	a	resposta.
 Neste segundo ciclo, além de reforçar os conhecimentos 
adquiridos no primeiro, devemos permitir que o aluno avance na 
construção	dos	conceitos	e	procedimentos	matemáticos,	que	fun-
damentam	sua	ascensão	para	as	séries	seguintes	através	de	práticas	
específicas, que proporcionem autoconfiança, para a perfeita evolu-
ção	no	conhecimento	matemático	de	toda	sua	vida	acadêmica.
 Quanto ao desenvolvimento dos conteúdos é sugerido 
57
ao professor, assim como no primeiro ciclo, que:
 
a) Números naturais, sistema de numeração decimal e 
números racionais 
 Reconhecimento de números naturais e racionais no con-
texto diário;
	Compreensão	e	utilização	das	regras	do	sistema	de	numeração	
decimal,	para	leitura,	escrita,	comparação	e	ordenação	de	núme-
ros naturais de qualquer ordem de grandeza;
	Formulação	de	hipóteses	sobre	a	grandeza	numérica,	pela	
observação	da	posição	dos	algarismos	na	representação	de-
cimal de um número racional;
	 Extensão	 das	 regras	 do	 sistema	 de	 numeração	 decimal	
para	compreensão,	leitura	e	representação	dos	números	ra-
cionais na forma decimal;
	Comparação	e	ordenação	de	números	racionais	na	forma	decimal;
	 Localização	 na	 reta	 numérica,	 de	 números	 racionais	 na	
forma decimal;
	 Leitura,	 escrita,	 comparação	 e	 ordenação	 de	 representações	
fracionárias de uso frequente;
 Reconhecimento de que os números racionais admitem dife-
rentes (infinitas) representações na forma fracionária;
	Identificação	e	produção	de	frações	equivalentes,	pela	observação	
de representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas;
	Exploração	dos	diferentes	significados	das	frações	em	situa-
ções-problema:	parte/	todo,	quociente	e	razão;
	Observação	de	que	os	números	naturais	podem	ser	expressos	
na forma fracionária;
	Relação	entre	representações	fracionária	e	decimal	de	um	mes-
mo número racional;
58
 Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário.
b) Operações com Números Naturais e Racionais
•	Análise,	 interpretação,	 formulação	 e	 resolução	de	 situações-
-problema, compreendendo diferentes significados das opera-
ções envolvendo números naturais e racionais;
 Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem 
ser	resolvidas	por	uma	única	operação	e	de	que	diferentes	ope-
rações podem resolver um mesmo problema;
	Resolução	das	operações	com	números	naturais,	por	meio	de	
estratégias pessoais
e do uso de técnicas operatórias convencionais, com compreen-
são	dos	processos	nelas	envolvidos;
	Ampliação	do	repertório	básico	das	operações	com	números	
naturais para o desenvolvimento do cálculo mental e escrito;
	Cálculo	de	adição	e	subtração	de	números	racionais	na	forma	
decimal, por meio de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas 
operatórias convencionais;
	Desenvolvimento	de	estratégias	de	verificação	e	controle	de	
resultados pelo uso do cálculo mental e da calculadora;
	Decisão	sobre	a	adequação	do	uso	do	cálculo	mental	—	exato	
ou	aproximado	—	ou	da	técnica	operatória,	em	função	do	pro-
blema, dos números e das operações envolvidas;
 Cálculo simples de porcentagens.
c) Espaço e Forma
	Descrição,	 interpretação	e	representação	da	posição	de	uma	
pessoa ou objeto no espaço, de diferentes pontos de vista;
59
	Utilização	de	malhas	ou	 redes	para	 representar,	no	plano,	 a	
posição	de	uma	pessoa	ou	objeto;
	Descrição,	interpretação	e	representação	da	movimentação	de	
uma	pessoa	ou	objeto	no	espaço	e	construção	de	itinerários;
	Representação	do	espaço	por	meio	de	maquetes;
 Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos re-
dondos, como a esfera, o cone, o cilindro e outros;
 Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros 
(como	os	prismas,	as	pirâmides	e	outros)	e	identificação	de	ele-
mentos como: faces, vértices e arestas;
	Composição	e	decomposição	de	figuras	tridimensionais,	iden-
tificando diferentes possibilidades;
	Identificação	da	simetria	em	figuras	tridimensionais;
	Exploração	das	planificações	de	algumas	figuras	tridimensionais;
	Identificação	de	figuras	poligonais	e	circulares	nas	superfícies	
planas das figuras tridimensionais;
	 Identificação	 de	 semelhanças	 e	 diferenças	 entre	 polígonos,	
usando critérios como número de lados, número de ângulos, 
eixos de simetria etc;
	Exploração	de	características	de	algumas	figuras	planas,	tais	como:	
rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados etc;
	Composição	e	decomposição	de	figuras	planas	e	identifi-
cação	de	que	qualquer	polígono	pode	ser	composto	a	partir	
de figuras triangulares;
	Ampliação	e	redução	de	figuras	planas	pelo	uso	de	malhas;
	Percepção	de	elementos	geométricos	nas	formas	da	natureza	
e nas criações artísticas;
	Representação	de	figuras	geométricas.
d) Grandezas e Medidas
	Comparação	de	grandezas	de	mesma	natureza,	com	escolha	
60
de uma unidade de medida da mesma espécie doatributo a ser 
mensurado;
	 Identificação	 de	 grandezas	mensuráveis	 no	 contexto	 diário:	
comprimento, massa, capacidade, superfície etc;
	 Reconhecimento	 e	 utilização	 de	 unidades	 usuais	 de	medida	
como metro, centímetro, quilômetro, grama, miligrama, quilo-
grama, litro, mililitro, metro quadrado, alqueire etc;
	Reconhecimento	e	utilização	de	unidades	usuais	de	tempo	e	
de temperatura;
 Estabelecimento das relações entre unidades usuais de medida 
de uma mesma grandeza;
	Reconhecimento	dos	sistemas	de	medida	que	são	decimais	e	
conversões usuais, utilizando-as nas regras desse sistema;
	Reconhecimento	e	utilização	das	medidas	de	tempo	e	realiza-
ção	de	conversões	simples;
	Utilização	de	procedimentos	e	 instrumentos	de	medida,	em	
função	do	problema	e	da	precisão	do	resultado;
	Utilização	do	sistema	monetário	brasileiro	em	situações-problema;
 Cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em ma-
lhas	quadriculadas	e	comparação	de	perímetros	e	áreas	de	duas	
figuras sem uso de fórmulas.
e) Tratamento da Informação
	Coleta,	organização	e	descrição	de	dados;
	 Leitura	 e	 interpretação	 de	 dados	 apresentados	 de	 maneira	
organizada (por meio de listas, tabelas, diagramas e gráficos) e 
construção	dessas	representações;
	Interpretação	de	dados	apresentados	por	meio	de	 tabelas	
e	gráficos,	para	identificação	de	características	previsíveis	ou	
aleatórias de acontecimentos;
61
	Produção	de	textos	escritos,	a	partir	da	interpretação	de	gráficos	
e	tabelas,	construção	de	gráficos	e	tabelas	com	base	em	informa-
ções contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros;
	Obtenção	e	interpretação	de	média	aritmética;
	Exploração	da	ideia	de	probabilidade	em	situações-problema	
simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as 
situações de “sorte”;
	Utilização	de	informações	dadas	para	avaliar	probabilidades;
	Identificação	das	possíveis	maneiras	de	combinar	elementos	
de	uma	coleção	e	de	contabilizá-las	usando	estratégias	pessoais;
 Confiança em suas possibilidades para propor e resolver pro-
blemas;
 Perseverança, esforço e disciplina na busca de resultados;
 Segurança na defesa de seus argumentos e flexibilidade 
para modificá-los;
	Respeito	pelo	pensamento	do	outro,	valorização	do	trabalho	co-
operativo e do intercâmbio de ideias, como fonte de aprendizagem;
	Apreciação	da	limpeza,	ordem,	precisão	e	correção	na	elabo-
ração	e	na	apresentação	dos	trabalhos;
	Curiosidade	em	conhecer	a	evolução	histórica	dos	núme-
ros, de seus registros, de sistemas de medida utilizados por 
diferentes grupos culturais;
 Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias 
pessoais de cálculo, interesse em conhecer e utilizar diferentes 
estratégias para calcular, e os procedimentos de cálculo que per-
mitem	generalizações	e	precisão;
	Curiosidade	em	conhecer	a	evolução	histórica	dos	procedimentos	
e instrumentos de cálculo utilizados por diferentes grupos culturais;
	Valorização	da	 utilidade	dos	 sistemas	de	 referência	 para	
localização	no	espaço;
 Sensibilidade para observar simetrias e outras características 
das formas geométricas, na natureza, nas artes, nas edificações;
62
	Curiosidade	 em	conhecer	 a	 evolução	histórica	das	medidas,	
unidades de medida e instrumentos utilizados por diferentes 
grupos culturais e reconhecimento da importância do uso ade-
quado dos instrumentos e unidades de medida convencionais;
 Interesse na leitura de tabelas e gráficos como forma de obter 
informações;
 Hábito em analisar todos os elementos significativos pre-
sentes	 em	 uma	 representação	 gráfica,	 evitando	 interpreta-
ções parciais e precipitadas.
 Os critérios apresentados constituem um material ri-
quíssimo para que o professor possa desenvolver seu trabalho, e 
que	ao	final	possa	avaliar	o	aluno	em	função	daquilo	que,	efeti-
vamente, aprendeu em sala de aula. Ao final do segundo ciclo, é 
desejável que o aluno tenha sido capaz de:
  Resolver problemas com números naturais e racionais;
  Tenha total domínio nas sequências numéricas e no 
sistema	de	numeração	decimal;
  Tenha agilidade no cálculo mental, seja por estratégia 
pessoal ou convencional;
  Tenha familiaridade com unidades de medidas de 
comprimento, massa e volume;
  Estabeleça referenciais e estime distâncias.
63
 É nesta fase que o aluno está com 11 ou 12 anos. Seu 
amadurecimento	 emocional	 e	 físico	 faz	 com	 que	 sua	 relação	
com a Matemática seja de amor ou ódio, por isso, neste ciclo, o 
trabalho do professor deve levar em conta, em primeiro lugar, 
as relações que estabeleçam confiança entre o aluno-professor e 
também entre aluno-aluno. Segundo os PCNs (1998):
“... Neste ciclo, é preciso desenvolver o trabalho matemático anco-
rado em relações de confiança entre o aluno e o professor e entre os 
próprios alunos, fazendo com que a aprendizagem seja vivencia-
da como uma experiência progressiva, interessante e formativa, 
apoiada na ação, na descoberta, na reflexão, na comunicação. 
É preciso, ainda, que essa aprendizagem esteja conectada à 
realidade, tanto para extrair dela as situações-problema para 
desenvolver os conteúdos como para voltar a ela, para aplicar 
os conhecimentos construídos.
Assim, o professor deve organizar seu trabalho de modo que os 
alunos desenvolvam a própria capacidade para construir conhe-
cimentos matemáticos e interagir de forma cooperativa com seus 
pares, na busca de soluções para problemas, respeitando o modo 
de pensar dos colegas e aprendendo com eles...” 
 Quanto aos objetivos para o 3º ciclo, espera-se, ain-
da, segundo os PCNs, que o ensino de Matemática deva 
visar ao desenvolvimento:
	 Do	pensamento	numérico,	por	meio	da	exploração	
3.4 A Matemática do Ensino 
Fundamental - 3º ciclo
64
de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
  Ampliar e construir novos significados para os 
números naturais, inteiros e racionais, a partir de sua utili-
zação	no	contexto	social	e	da	análise	de	alguns	problemas	
históricos	que	motivaram	sua	construção;
  Resolver situações-problema envolvendo núme-
ros naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e 
construir	novos	significados	da	adição,	subtração,	multipli-
cação,	divisão,	potenciação	e	radiciação;
  Identificar, interpretar e utilizar diferentes repre-
sentações dos números naturais, racionais e inteiros, indi-
cadas por diferentes notações, vinculando-as aos contextos 
matemáticos	e	não-matemáticos;
  Selecionar e utilizar procedimentos de cálculo 
(exato	 ou	 aproximado,	 mental	 ou	 escrito)	 em	 função	 da	
situação-problema	proposta.
			 Do	pensamento	algébrico,	por	meio	da	exploração	
de situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
  Reconhecer que representações algébricas permi-
tem expressar generalizações sobre propriedades das opera-
ções aritméticas, traduzem situações-problema e favorecer 
as possíveis soluções;
  Traduzir informações contidas em tabelas e gráfi-
cos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando re-
gularidades e identificar os significados das letras;
  Utilizar os conhecimentos sobre as operações nu-
méricas e suas propriedades para construir estratégias de 
cálculo algébrico.
 Do pensamento geométrico, por meio da explora-
ção	de	situações	de	aprendizagem,	que	levem	o	aluno	a:
 	Resolver	situações-problema	de	localização	e	des-
locamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções 
65
de	direção	e	sentido,	de	ângulo,	de	paralelismo	e	de	perpen-
dicularismo	elementos	fundamentais	para	a	constituição	de	
sistemas de coordenadas cartesianas;
  Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas 
representações	planas,	envolvendo	a	observação	das	figuras	
sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando 
suas representações;
  Resolver situações-problema que envolva figuras 
geométricas planas, utilizando procedimentos de decompo-
sição	e	composição,	transformação,	ampliação	e	redução.
	 Da	competência	métrica,	por	meio	da	exploração	de	
situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
  Ampliare construir noções de medida, pelo estu-
do	de	diferentes	grandezas,	a	partir	de	sua	utilização	no	con-
texto social e da análise de alguns dos problemas históricos 
que	motivaram	sua	construção;
  Resolver problemas que envolvam diferentes 
grandezas, selecionando unidades de medida e instrumentos 
adequados	à	precisão	requerida.
 Do raciocínio que envolva a proporcionalidade, por 
meio	da	 exploração	de	 situações	de	 aprendizagem,	que	 le-
vem o aluno a:
 	Observar	a	variação	entre	grandezas,	estabelecen-
do	relação	entre	elas	e	construir	estratégias	de	solução	para	
resolver situações que envolvam a proporcionalidade.
 Do raciocínio combinatório, estatístico e probabi-
lístico,	 por	meio	da	 exploração	de	 situações	de	 aprendiza-
gem, que levem o aluno a:
  Coletar, organizar e analisar informações, cons-
truir e interpretar tabelas e gráficos, formular argumentos 
convincentes, tendo por base a análise de dados organizados 
em representações matemáticas diversas;
66
  Resolver situações-problema que envolva o racio-
cínio	 combinatório	 e	 a	 determinação	 da	 probabilidade	 de	
sucesso	de	um	determinado	evento	por	meio	de	uma	razão.
 Portanto, no terceiro ciclo é desejável que o professor:
  Apresente situações problemas que possibilitem 
o desenvolvimento do número natural, racional e inteiro e 
que sejam significativas as operações, pois permitem a am-
pliação	do	sentido	operacional;
  Estimule o cálculo aritmético, mental ou escrito 
desenvolvido	por	meio	de	calculadoras	ou	não;
 	Enfatize	as	noções	de	direção	e	sentido,	de	ângu-
lo, de paralelismo e perpendicularismo;
  Fortaleça o estudo da geometria baseando-se na 
observação,	representação	e	na	construção	de	figuras;
 	Ensine	a	utilização	da	régua,	compasso,	transferi-
dor	e	esquadros	na	obtenção	de	medidas;
 	Incentive	a	obtenção	e	a	organização	de	dados	em	
tabelas e gráficos;
  Promova ao aluno o desenvolvimento da argu-
mentação,	buscando	justificar	suas	afirmações.	
67
 No quarto ciclo, percebe-se que os alunos já com matu-
ridade	maior	em	relação	ao	terceiro,	as	inquietações	com	relação	
ao físico e emocional continuam, porém a Matemática começa a 
ter importância, pois o jovem percebe que será importante este 
conhecimento para seus estudos futuros, segundo os PCNs 1998: 
“... é preciso fazer uso de todas essas situações para mostrar aos alu-
nos que a Matemática é parte do saber científico e que tem um papel 
central na cultura moderna, assim como também para mostrar que 
algum conhecimento básico da natureza dessa área e certa familia-
ridade com suas ideias-chave são requisitos para ter acesso a outros 
conhecimentos, em especial à literatura científica e tecnológica...” 
 Neste ciclo, o ensino de Matemática deve visar ao de-
senvolvimento, segundo os PCNs (1998):
	 Do	pensamento	numérico,	por	meio	da	exploração	de	
situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
  Ampliar e consolidar os significados dos números ra-
cionais a partir dos diferentes usos em contextos sociais e mate-
máticos	e	reconhecer	que	existem	números	que	não	são	racionais;
  Resolver situações-problema envolvendo números 
naturais, inteiros, racionais e irracionais, ampliando e consoli-
dando	os	significados	da	adição,	subtração,	multiplicação,	divi-
são,	potenciação	e	radiciação;
  Selecionar e utilizar diferentes procedimentos de cál-
culo com números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
	 Do	pensamento	algébrico,	por	meio	da	exploração	de	
3.5 A Matemática do Ensino 
Fundamental - 4º ciclo
68
situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
  Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas, 
expressões, igualdades e desigualdades, identificando as equa-
ções, inequações e sistemas;
  Resolver situações-problema por meio de equações e 
inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimen-
tos envolvidos;
  Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas 
que	expressem	a	relação	de	dependência	entre	variáveis.
	 Do	 pensamento	 geométrico,	 por	meio	 da	 exploração	
de situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
 	 Interpretar	 e	 representar	 a	 localização	 e	 o	 desloca-
mento de uma figura no plano cartesiano;
  Produzir e analisar transformações e ampliações/
reduções de figuras geométricas planas, identificando seus 
elementos variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito 
de congruência e semelhança;
  Ampliar e aprofundar noções geométricas como inci-
dência, paralelismo, perpendicularismo e ângulo para esta-
belecer relações, inclusive as métricas, em figuras bidimen-
sionais e tridimensionais.
	 Da	 competência	métrica,	 por	meio	 da	 exploração	 de	
situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
  Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo 
de diferentes grandezas, utilizando dígitos significativos para re-
presentar as medidas, efetuar cálculos e aproximar resultados de 
acordo	com	o	grau	de	precisão	desejável;
  Obter e utilizar fórmulas para cálculo da área de su-
perfícies planas e para cálculo de volumes de sólidos geométri-
cos (prismas retos e composições desses prismas).
	 Do	raciocínio	proporcional,	por	meio	da	exploração	de	
situações de aprendizagem, que levem o aluno a:
69
  Representar em um sistema de coordenadas carte-
sianas	 a	 variação	 de	 grandezas,	 analisando	 e	 caracterizando	 o	
comportamento	 dessa	 variação	 em	 diretamente	 proporcional,	
inversamente	proporcional	ou	não	proporcional;
 	Resolver	situações-problema	que	envolva	a	variação	de	
grandezas direta ou inversamente proporcionais, utilizando estra-
tégias	não-convencionais	e	convencionais,	como	as	regras	de	três.
 Do raciocínio estatístico e probabilístico, por meio da 
exploração	de	situações	de	aprendizagem,	que	levem	o	aluno	a:
  Construir tabelas de frequência e representar grafi-
camente dados estatísticos, utilizando diferentes recursos, bem 
como elaborar conclusões a partir da leitura, análise, interpreta-
ção	de	informações	apresentadas	em	tabelas	e	gráficos;
  Construir um espaço amostral de eventos equipro-
váveis, utilizando o princípio multiplicativo ou simulações, para 
estimar a probabilidade de sucesso de um dos eventos.
 As situações- problema ou situações do dia a dia, interco-
nexões	com	outras	disciplinas,	muitas	vezes,	não	são	oferecidas	aos	
alunos,	porque	os	conhecimentos	são	propostos	de	forma	linear	com	
complexidade crescente, por isso é um recurso que fica prejudicado 
na	construção	do	conhecimento.	Na	unidade	4,	discutiremos	a	or-
ganização	do	currículo	da	Matemática,	seja	linear	ou	em	rede,	pois	
segundo	os	PCNs	(1998),	a	organização	do	ensino	de	Matemática:			
“... é um dos grandes obstáculos que impedem os professores de 
mudar sua prática pedagógica numa direção em que se privilegie 
o recurso à resolução de problemas e a participação ativa do aluno. 
Porém, isso pode ser rompido se o professor se predispuser a traçar 
no seu planejamento algumas conexões entre os conteúdos matemá-
ticos. Para tanto, ao construir o planejamento, é preciso estabelecer 
os objetivos que se deseja alcançar, selecionar os conteúdos a serem 
trabalhados, planejar as articulações entre os conteúdos, propor as 
70
Exercícios
1. Escreva sobre a importância da Matemática no Ensino Fun-
damental e sobre seus objetivos.
2. Escreva os objetivos quanto às competências para a Ma-
temática no Ensino Fundamental para o primeiro, segundo, 
terceiro e quarto ciclos.
3.	Estude	os	PCNs	quanto	às	propostas	de	avaliação	nos	quatro	
ciclos, e no desenvolvimento de propostas pedagógicas.
4. Identifique as principais características quanto ao conhecimen-
to	do	professor	para	a	organização	de	conteúdos	articulados.
5. Explique as vantagens e desvantagens dos conteúdos lineares 
e com forma hierarquizada do conhecimento matemático.
situações-problema que irão desencadeá-los. É importante que as 
conexões traçadas estejam em consonância com os eixos temáticos 
das outras áreas do currículo e também com os temas transversais...”
Abordagens do 
Currículo da 
Matemática Parao 
Ensino Fundamental
4
Caro (A) Aluno (A)
 Seja bem-vindo!
 Nesta quarta unidade, definimos currículo e sua im-
portância	na	 reformulação	do	ensino.	Descrevemos	o	cenário	
mundial onde começou o movimento da Matemática Moderna. 
Destacamos	seus	méritos	e	também	suas	falhas,	sua	criação,	no	
Brasil,	com	a	educação	matemática,	e	por	fim	falamos	das	refor-
mas curriculares, no período após a Matemática Moderna.
 
 Bons estudos!
Objetivos da Unidade
Ao concluir esta unidade, você deverá ser capaz de: 
•	Conceituar	currículo;
•	Descrever	a	trajetória	da	ascensão	e	queda	do	Movimento	da	
Matemática Moderna no mundo;
•	Entender	a	influência	da	Matemática	Moderna	no	Brasil,	atra-
vés dos Guias Curriculares;
•	Conceituar	Educação	Matemática	e	seus	campos	de	pesquisa;
•	Definir	linearidade	curricular,	vantagens	e	desvantagens;
•	Refletir	sobre	as	questões	atuais	na	elaboração	de	uma	proposta	
curricular,	baseando-se	no	método	da	resolução	de	problemas.	
 Conteúdos da Unidade
4.1	A	importância	do	currículo	para	a	Educação.
4.2 Reformas curriculares em alguns países.
4.3 Reformas curriculares no Brasil.
4.4 Reformas curriculares após o movimento da Matemática 
Moderna.
4.1 A importância do currículo 
para a Educação
	 As	mudanças	que	visam	à	renovação	em	Educação,	cer-
tamente,	passam	pela	reorganização	dos	currículos,	ainda	mais	
em se falando dos currículos da Matemática. O que se entende 
por	currículo	não	é	uma	mera	organização	de	conteúdos,	signi-
fica muito mais, a saber:
75
 Para LLAVADOR, (1994, p. 370):
 “... a palavra currículo engana-nos porque nos faz pen-
sar numa só coisa, quando se trata de muitas, simultaneamente e 
todas elas inter-relacionadas”.
 O currículo sempre desempenhou papel fundamental 
dentro do processo educativo. Nos dias de hoje, sua importância 
continua acentuada, pois as pesquisas demonstram fortes refor-
mulações até mesmo ideológicas, nos diversos graus de ensino.
Pesquise sobre Ideologia.
 Para SILVA (1996 p.23): 
“... O currículo é um dos locais privilegiados onde se entrecruzam 
saber e poder, representação e domínio, discurso e regulação. É 
também no currículo que se condensam relações de poder que são 
A palavra currículo é de origem latina e significa o 
caminho da vida, o sentido, a rota de uma pessoa ou 
grupo de pessoas. Currículo indica processo, movi-
mento, percurso, como a etimologia da palavra re-
comenda. Currículo é o ambiente do conhecimento, 
assim	 como,	 o	 espaço	 de	 contestação	 das	 relações	
sociais	e	humanas	e,	 também,	o	 lugar	da	gestão,	da	
cooperação	e	participação.	O	currículo	deve	ser	en-
tendido como componente central do procedimento 
da	Educação	institucionalizada.
Fonte: http://educador.brasilescola.com
76
cruciais para o processo de formação de subjetividades sociais. 
Em suma, currículo, poder e identidades sociais estão mutuamen-
te implicados. O currículo corporifica relações sociais...”
	 O	autor	reafirma	que	a	elaboração	ou	a	mudança	de	um	
currículo está fortemente ligada a grupos de pessoas: políticos, 
governantes, educadores e especialistas que possuem interesses, 
portanto o currículo é um terreno fértil para que as ideias de 
quem detém o poder sobreponha-se aos demais. Porém, currí-
culo vai além, como bem escreve JESUS (2008):
“... Currículo também é inseparável da cultura. Tanto a teoria 
educacional tradicional quanto a teoria crítica veem no currículo 
uma forma institucionalizada de transmitir a cultura de uma 
sociedade. Sem esquecer que, neste caso, há um envolvimento po-
lítico, pois o currículo, como a Educação, está ligado à política 
cultural. Todavia, são campos de produção ativa de cultura e, por 
isso mesmo, passíveis de contestação...”
 
 Podemos definir currículo, segundo MOREIRA (2001) 
por:
“... “conhecimento escolar e experiência de aprendizagem, na pri-
meira definição significa o conhecimento tratado pela escola que 
devemos aprender e que deve ser aplicado pelo aluno; a segunda 
está relacionada às mudanças econômicas, sociais, políticas e cul-
turais que começaram a acontecer a partir do século XVIII...”. 
O currículo passa a significar o conjunto de experiências a serem 
vividas pelo estudante.”
77
 Quando colocamos que a Matemática e seus pressupos-
tos	estão	sendo	discutidos,	amplamente,	nacional	e	internacio-
nalmente, já há muitas décadas, percebemos que, neste sentido, 
as	mudanças	curriculares	passam	a	ser	sinônimos	de	renovação	
e com isso o aperfeiçoamento do ensino da Matemática. 
	 A	elaboração	e	organização	curricular	 até	o	ano	de	
1960, quando surgiu o movimento Matemática Moderna, foi 
linear, isto é, um conhecimento novo tinha como pré-requi-
sito um anterior. 
 O movimento da Matemática Moderna é considerado 
o movimento de reforma mais significativo desses últimos 50 
anos, e surgiu da necessidade de reformulações no ensino da Ma-
temática; teve seus momentos de glória e, também, de críticas. 
 Durante as últimas décadas, houve uma supervaloriza-
ção	do	currículo,	por
	isso	não	temos	consenso	em	como	definir	ou	entender	a	pala-
vra currículo. O fato de haver pontos de vista diferentes. Segun-
do	VILLAR	(1994)	são:
a)	É	uma	construção	cultural,	histórica	e	so-
cialmente determinada;
b) Refere-se sempre a uma prática condicio-
nadora	do	mesmo	e	de	sua	teorização.	
 Nas décadas de 60 e 70, começaram a surgir vários ti-
pos	de	currículos:	o	 formal,	 real	e	o	oculto	 (ação).	Em	todos	
continuavam	 a	 preocupação	 em	 favorecer	 a	 assimilação,	 a	 re-
construção	do	conhecimento	e	as	experiências	de	vida.
Pesquise sobre currículo 
formal, real e oculto.
7878
79
 O movimento da Matemática Moderna no Brasil, só, 
mostrou	força	e	fundamentação	mais	objetivas	em	1967,	quan-
do foi introduzida no Ensino Secundário, sendo Oswaldo 
Sangiorgi, professor de Matemática, que falaremos com mais 
detalhes	na	seção	4.3,	um	de	seus	pioneiros.	O	movimento	da	
Matemática Moderna fundamenta-se em:
 
  Compromisso com o progresso técnico;
  Matemática como base voltada para a Ciência e Tec-
nologia;
  Ensinar o aluno em abstrair do que se preocupar com 
aplicações diretas.
	 A	definição	para	Matemática	Moderna	foi	 feita	por	PI-
RES (2000) apud CHARLOT (1986, p.24), na Carta de Chambéry:
“... o que se chama Matemática Moderna seria mais conveniente-
mente chamado de concepção construtivista, axiomática, estrutu-
ral das matemáticas, fruto da evolução das ideias; adapta-se como 
uma luva à formação da juventude do nosso tempo...”
 Ainda, citando (PIRES 2000 p. 21), as três característi-
cas	da	Matemática	Moderna	são:
“... a Matemática Moderna é viva, sua unidade é profunda, ela 
constitui uma linguagem universal...”
 O movimento da Matemática Moderna, ao mesmo tem-
po em que foi importante para a busca de novos caminhos para a 
estruturação	da	ciência	matemática,	como:	conteúdos,	organização	
curricular, formas de ensinar, de aprender e de avaliar, provocou 
7979
80
uma	divisão	entre	Matemática	Moderna	e	a	Matemática	Clássica.	
Porém,	nos	guias	curriculares	do	Estado	de	São	Paulo,	p.171	temos:
“... achamos que o movimento que levou a uma orientação moderna 
no ensino da Matemática é irreversível, no sentido de um maior di-
namismo na aprendizagem da mesma, em contraste com a maneira 
estática como era apresentada. Sentimos, portanto, que a orientação 
dada a um curso de Matemática deva ser moderna, e para isso, é 
necessário que se de ênfase, no estudo da matéria, a certos aspectos que 
visam destacar a indiscutível unidade da Matemática, mostrando-
-a como uma construção única sem compartimentos estanques...” 
(GUIAS CURRICULARES p.171) 
 No texto dos guias curriculares, vemos a nítida preocupa-
ção	em	que	a	Matemática	não	seja	dividida,	seja	única	e	sem	com-
partimentos	 estanques,	 talvez	 o	 termo	moderna	 não	 tenha	 sido	
bem empregado, porém o documento fornecia metodologias, obje-
tivos e definia conteúdos a serem trabalhados. Os guias propunham 
quatro blocos, com os temas:
I- Relações e funções;
II- Campos numéricos;
III- Equaçõese inequações;
IV- Geometria.
 
 Em síntese, vemos que os temas já continham influência 
da Matemática Moderna, porém ainda estava longe de ser o ideal. 
Atualmente, o estudo da Geometria tem diminuído consideravel-
mente, porque a ênfase maior é para a Álgebra, e também porque 
os	educadores	não	têm	consciência	do	seu	significado.	
 Os currículos de Matemática feitos com influências do 
movimento da Matemática Moderna possuem características de 
80
81
4.2 Reformas curriculares em 
alguns países
	 Os	movimentos	de	 reformas	estão,	 intimamente,	 re-
lacionados	 com	 a	 pressão	 socioeconômica	 da	modernidade.	
Estão	em	uma	constante	busca	e	redefinições	para	a	Ciência	
e	Tecnologia,	e	na	área	da	Educação	o	ensino	da	Matemática	
passa a ser o mais desafiado.
 Em 1934, surgiu na França, um grupo de professores; 
o Bourbaki, que foi responsável pelas principais ideias do Movi-
mento da Matemática Moderna (MMM), em um evento interna-
cional na cidade de Asnières-sur-Oise. A proposta para MMM 
foi apresentada, e segundo GUIMARÃES, (2007 p.22-23):
“Um programa moderno de Matemática para o ensino secundá-
rio’, foi fortemente influenciada pelas ideias estruturalistas domi-
linearidade, pouca flexibilidade, como explica PIRES (2000 p. 9):
“... Essa linearidade- que se concretiza numa sucessão de tópi-
cos que devem ser apresentados numa certa ordem, embora possa 
parecer, a princípio, um detalhe de pouca importância-, conduz a 
uma prática educativa excessivamente fechada, em que há pouco 
espaço para a criatividade, para a utilização de estratégias meto-
dológicas como a resolução de problemas...” 
	 Portanto,	todos	os	aspectos	de	um	currículo	linear	estão	
tendo que ser revistos para que novas propostas de conteúdos, 
metodologias	e	organização	curricular	não	sejam	prejudicadas	e	
que sejam adequadas à realidade.
82
 Assim, somente no final da década de 50, com a realiza-
ção	da	convenção	da	OECE	(Organização	Europeia	de	Coopera-
ção	Econômica)	de	Royaumont	(França),	as	ideias	e	propostas	do	
MMM começaram a difundir-se pelo mundo, incluindo no Brasil. 
No contexto, trazia consigo a Guerra Fria, o lançamento de fogue-
tes; mas no ano de 1956, nos Estados Unidos, o ensino da Matemá-
tica já sofreria grandes reformulações promovidas pelos cientistas 
da National Science Foundation (NSF) e grupos de professores, 
cuja meta era reformar conteúdos e a forma de ensinar Matemática. 
 Vários eventos científicos foram realizados pelo mundo, 
Bélgica, Holanda, Dinamarca, França etc. Vários grupos de estudos 
que enfatizavam o ideal de criar uma Matemática que fosse útil para 
a técnica, que atendesse as exigências da sociedade e economia. 
 A partir do ano de 1972, as críticas começam ao MMM, 
principalmente ao rigor dos conteúdos e ao fato de distanciar o 
aluno do significado do conteúdo aprendido. Em 1976, Morris 
Kline, professor de Matemática norte-americano lança seu livro: 
“O fracasso da Matemática Moderna”, conclamando toda classe 
científica a rever as bases do MMM. Ele dizia:
A dificuldade em lembrar os significados e a desagradabilidade 
das expressões simbólicas afugentam e perturbam os estudantes; 
Pesquise sobre o 
grupo Bourback.
nantes na época, em particular no que se refere à Matemática e 
à Psicologia. (...) No que se refere à Matemática, a influência da 
concepção estruturalista fez-se sentir através das ideias bourbakis-
tas que assumiram grande preponderância. (...) Na concepção 
bourbakista da Matemática, há três ideias que ocupam um lugar 
chave: a unidade da Matemática, o método axiomático e o conceito 
de estrutura matemática. (GUIMARÃES, 2007, p. 22-23)
83
símbolos são como estandartes hostis adejando sobre uma cidade-
la aparentemente inexpugnável. O próprio fato de o simbolismo 
ter entrado na Matemática, até certo ponto significativo, por volta 
dos séculos dezesseis e dezessete, indica que vem com dificuldade 
para as pessoas. O simbolismo pode servir a três propósitos. Pode 
comunicar ideias eficazmente; pode ocultá-las e pode ocultar a 
ausência delas. Quase sempre parece dar-se a impressão de que 
os textos de Matemática Moderna empregam o simbolismo para 
ocultar a pobreza de ideias. Alternativamente, o propósito de 
seu simbolismo parece ser o de tornar inescrutável o que é óbvio, 
e afugentar, portanto, a compreensão. (KLINE, 1976, p.94)
 No livro, KLINE faz duras críticas ao MMM pelo 
exagero de rigor, formalismos, quebra da sensibilidade e falsa 
modernidade, com o que concordou o matemático holandês 
FREUDENTHAL (1979), que escreveu:
“... Ora, a ideia inovadora proposta pelos defensores da Mate-
mática Moderna consistia em efetuar certo “encurtamento”: os 
conceitos mais adiantados deviam ser ensinados na escola infan-
til- mesmo por professores que não possuíam a menor ideia do seu 
significado nem das suas verdadeiras aplicações no plano mate-
mático. Assim, certos sistemas colocados a serviço das abstrações 
matemáticas, desligados do seu sentido e do seu contexto mate-
máticos, considerados temas de estudo, concretizados de maneira 
inadequada, eram ensinados a crianças de qualquer idade...” 
 Em face do fracasso do MMM, muitos cientistas norte-
-americanos pensaram até mesmo em voltar para a Matemática 
tradicional, com sua tabuada e números gigantes, isso também, 
foi logo refutado pela comunidade acadêmica mundial.
84
 Com a efervescência do movimento da Matemática Mo-
derna no mundo, no Brasil é criado, em 1961, o GEEM (Grupo 
de Estudo do Ensino de Matemática) com sede na Universidade 
Mackenzie e como presidente o professor Osvaldo Sangiorgi (Fi-
gura 2) vindo de seu mestrado na Univer-
sidade de Kansas, EUA.
 
	 Nasceu	em	São	Paulo,	SP,	em
 9/05/1921. Professor Titular - Esco-
la de Comunicações e Artes da USP. 
Especialidades: Ciências da Informa-
ção	 (Linguística	 Matemática,	 Teoria	
da	 Informação,	 Novas	 Tecnologias	
da	 Comunicação)	 e	 Educação	 (Ci-
bernética Pedagógica e Robótica Educacional).
O	movimento	da	Educação	Matemática	foi	conduzido	por	
matemáticos	e	especialistas	da	área	de	Educação,	nos	anos	
70,	que	 acreditavam	que	a	Educação	Tradicional	 era	 ina-
dequada para o estudo da Matemática. Esse movimento 
visava	destacar	a	 importância	de	 levar	em	consideração	a	
realidade	do	aluno,	levando-o	à	compreensão	e	à	constru-
ção	do	seu	próprio	conhecimento	matemático.
Fonte: http://educador.brasilescola.com
 As reformas curriculares, no Brasil, promovidas pelas se-
cretarias	municipais	e	estaduais	de	Educação,	surgiram	de	discus-
sões	e	reflexões	em	encontros	científicos	que	são	promovidos	por	
pesquisadores em diversas IES (Instituições de Ensino Superior), 
públicas	ou	privadas,	da	então	chamada	Educação	Matemática.
4.3 Reformas curriculares no Brasil
85
Fonte:http://www.apedu.org.br/index.php?option=com_cont
ent&view=article&id=62&Itemid=61
	 O	GEEM	contou	com	a	colaboração	e	participação	
de professores de todos os níveis de ensino, uma vez que 
propunha temas unificadores desde as séries iniciais, como 
é o caso clássico da teoria de conjuntos. Segundo LIMA 
(2006 p.30), o GEEM tinha por finalidades:
“... preparar e realizar cursos de formação para professores se-
cundários e primários, em parcerias com o Ministério da Edu-
cação e Cultura – MEC e com as Secretarias de Educação do 
Estado e Município de São Paulo, com conteúdos da Matemática 
Moderna [...]” (LIMA, 2006, p. 30)
 Pesquisadores, desse movimento, publicaram, na épo-
ca,	alguns	métodos	e	técnicas	que	a	educação	matemática	desen-
volveu.	Segundo	MIRANDA,	os	métodos	são:
Resolução de Problemas
 Para os pesquisadores desse movimento é de extrema 
importância	a	aplicação	de	situações	problemas,	pois	são	essen-
ciais	para	a	compreensão	de	qualquer	conteúdo	matemático	e	
deve ser aplicado antes da teoria.
Modelagem 
 A realidade dentro da sala de aula: Os professores de-
86
vem levar e permitir que os alunos também levem para a sala de 
aula situações do cotidiano, que possam ser
aplicadas no conhecimento matemático.
Abordagem EtnomatemáticaUbiratan D’Ambrosio é apontado como um dos maiores 
pesquisadores	da	visão	holística	em	Ciências	e	Educação.	
A partir de suas mais de 200 obras, entre livros e artigos, 
surgiu no Brasil um movimento conhecido no campo das 
ciências exatas como “Etnomatemática”. Embora cunha-
da há quase 30 anos — o movimento surgiu em 1975 — a 
expressão	 provoca	 indagações	 imediatas	 naqueles	 que	 a	
ouvem pela primeira vez. Para explicá-la, Ubiratan lança 
mão	de	um	“apelo	etmológico	aproximado”:
—	Etno+matema+tica	são	as	técnicas	ou	as	artes	(ticas)	
de ensinar, entender, explicar, lidar com o ambiente natu-
ral (matema), social e imaginário (etno).
Fonte:	 http://www.folhadirigida.com.br/htmls/Hotsites/Professor_2003/
Cad_08/EntUbirantanDambrosio.htm
Fonte: http://cimm.ucr.ac.cr/
87
	 O	professor	deve	levar	em	consideração	a	experiência	
matemática que cada aluno adquire fora da escola.
Abordagens Histórias
 
 É importante que a história da Matemática seja traba-
lhada	com	os	alunos	de	maneira	que	facilitará	a	compreensão	do	
conteúdo. O computador pode ser utilizado como apoio tecno-
lógico no aprendizado da Matemática. Como fonte de pesquisa 
e	aplicação	de	jogos.	
 As reformas curriculares ganharam força com a publi-
cação	pela	Secretaria	de	Educação	de	São	Paulo	dos	Guias	Cur-
riculares.	Esta	foi	a	manifestação	mais	evidente	do	movimento	
da Matemática Moderna:
Guia Curricular é:
“... um instrumento que facilita/fornece subsídios 
ao professor, na elaboração de um programa con-
creto para sala de aula...”
http://especial-educacao.blogspot.com/2010/02/
guia-curricularcurriculo-e-plano-de.html
88
 A proposta curricular para o ensino de Matemáti-
ca	do	Ensino	Fundamental	da	Secretaria	do	Estado	de	São	
Paulo coloca (p.9):
“... Algumas vezes, uma ênfase exagerada em aspectos prático-uti-
litários, apesar da aparência de adequação, da perspectiva de conti-
nuidade na relação escola-vida, tolhe a capacidade de ultrapassar o 
senso comum, contribuindo até para a manutenção do status quo. 
Outras vezes, pretende-se o desenvolvimento de estruturas lógicas 
do pensamento por meio de caminhos tão genéricos, tão formais e, 
consequentemente, tão distanciados de qualquer significado imedia-
to que o ensino de Matemática passa a parecer apenas um efetivo 
exercício para o desenvolvimento do raciocínio... em Matemática...”
 Esta proposta resgatou o aspecto prático fazendo opo-
sição	 ao	 caráter	da	 abstração	 introduzido	pelo	movimento	da	
Matemática	Moderna.	Os	guias	curriculares	do	Estado	de	São	
Paulo propõem:
“... para a compreensão da real função desempenhada pela Ma-
temática no currículo, as aplicações práticas e o desenvolvimento 
do raciocínio devem ser considerados elementos inseparáveis na 
composição que se estuda; de outra forma, desaparecem as pro-
priedades do composto...”
 Outro ponto que devemos destacar e que causa dis-
cussões	 na	 elaboração	 dos	 currículos	 de	Matemática	 é	 a	 es-
colha dos conteúdos, principalmente os chamados currículos 
mínimos	ou	obrigatórios.	Os	currículos	mínimos	 são	de	 im-
portância e funcionam como modelos para que os professores 
89
pudessem elaborar e adotar estratégias de ensino, sem que os 
mesmos	limitem	a	capacidade	de	criação.
4.4 Reformas curriculares 
pós- movimento Matemática Moderna
	 Surgem,	então,	na	década	de	80,	recomendações	para	o	
ensino	da	Matemática	nos	EUA.	Tinha	como	foco	a	resolução	
de problemas, o amplo domínio das operações, o uso da tecno-
logia	(computadores,	calculadoras...)	e	a	contextualização	da	re-
alidade do aluno, como forma de aprendizagem. A proposta do 
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) pode 
ser desenhada como segue:
Uso de calculadoras, 
computadores etc.
Avaliação	 no	 sentido	 do	 con-
junto das atividades intelectuais.
Resolução	de	problemas
(foco do ensino nos anos 80).
Apoio da sociedade ao 
nível de importância da 
Matemática.
Empenho dos alunos 
e necessidades.
Professores profissionais 
dedicados.
90
	 Certamente,	 muitas	 questões	 não	 foram	 respondidas	
com este novo planejamento de ideias para o ensino da Ma-
temática. Abandonar a Matemática Moderna e ir para onde? 
A	proposta	da	NCTM,	centrada	na	resolução	de	problemas,	é	
bem-vinda, pois incentiva o aluno a participar efetivamente da 
aprendizagem;	possibilita	uma	avaliação	mais	flexível	e	ampla,	
possui como pano de fundo, a interdisciplinaridade, metas difí-
ceis de ocorrerem na prática. 
	 Portanto,	muitas	reformas	estão	por	vir.	O	MMM	teve	
o grande mérito de promover o debate internacional sobre o 
ensino	da	Matemática	e	a	ajudar	a	consolidar	a	Educação	Mate-
mática. Será que o caminho para uma boa proposta curricular, 
nos	dias	atuais,	parece	estar	centrado	na	 resolução	de	proble-
mas?	(Nas	unidades	seguintes,	falaremos	mais	sobre	resolução	
de problemas). Ou será que estamos aceitando normas propos-
tas	para	a	sociedade	americana.	Temos,	ainda,	uma	indefinição.					
	 Quanto	à	organização	curricular	para	a	matemática,	che-
gamos as seguintes conclusões: de que as reformulações curricu-
lares	não	podem	estar	desvinculadas	da	real	necessidade	de	mu-
dança, ou seja, apenas trocar o velho pelo novo e que incorporam 
vários atores: escola, conhecimento, currículo, planejamento, ava-
liação,	 enredamento,	 eixos	 temáticos,	metodologia	 e	programas	
mínimos. Sobre estes atores, explica PIRES (2000 p. 202-207): 
 
“... Escola: é fundamental, no processo de organização curricular; 
que a escola seja vista como unidade de interação dos órgãos públi-
cos com a rede de ensino [...] A organização curricular deve criar 
um ambiente escolar que possa ser caracterizado como um espaço 
em que, além de buscar dados e informações, as pessoas tenham pos-
sibilidade de construir seu conhecimento e desenvolver sua inteligên-
cia com suas múltiplas competências. Esse espaço do conhecimento 
deverá estar como parte de uma rede, permanentemente aberto...”
91
“... Conhecimento: [...] A forma de organização dos currículos 
nas escolas, baseada no modelo taylorista de divisão de tarefas, 
precisa ser revista em função de novos paradigmas emergentes...”
Pesquise o modelo 
Taylorista.
“...	Currículo:	[...]	Os	caminhos	percorridos,	embora	lineares,	não	
devem ser vistos como únicos possíveis; um percurso pode in-
cluir tantos pontos quantos desejarmos e, em particular, todos os 
pontos da rede. [...] Esse procedimento abre perspectivas para a 
abordagem interdisciplinar, pois na medida em que cada profes-
sor busca relações de cada tema com outros assuntos - estejam 
eles no interior de sua disciplina ou fora dele - ela muito provavel-
mente ocorrerá...”
“...	Planejamento:	O	processo	de	construção	de	um	currículo	as-
sim	concebido	só	pode	ser	um	processo	em	constante	construção	
e	renegociação,	que	 leve	em	conta	o	princípio	de	metamorfose	
das redes...”
“...	 Avaliação:	 [...]	 integra	 todos	 os	 momentos	 do	 processo	
ensino-aprendizagem e, em decorrência da heterogeneidade 
dos elementos que compõem esse processo, fatalmente tem 
que ampliar o espectro de instrumentos que utiliza, para gerar 
informações úteis a professores e alunos...”
 Com esses atores bem esclarecidos sobre cada papel 
que desempenham a proposta curricular, para cada disciplina 
não	só	para	a	Matemática,	deverá	contemplar	e	ter	como	parâ-
metro	o	projeto	político-pedagógico	da	escola,	pois	nele	estão	
contido todos os objetivos e anseios que foram elaborados com 
toda comunidade: dirigentes, professores, coordenadores, pais, 
92
alunos, enfim toda a sociedade dentro e fora da escola. Além 
disso, para a disciplina de Matemática:
 
  É necessário que os projetos tenham objetivos espe-
cíficos para cada série e que contemplem aplicações práticas;
  Utilizar os eixos temáticos como base para a inter-
disciplinaridade,	quebrando	assim	a	linearidade	na	organização	
curricular	oferecida	com	a	utilização	dos	livros	didáticos.
 Atualmente, as reformas curriculares da Matemática 
centram-se	 na	 resolução	 de	 problemas,	 como	mencionamos	
anteriormente.Mas, enfrentamos problemas quanto à sua 
adequação,	 a	 conclusão	 que	 chegamos	 é	 que	 os	 objetivos	 e	
propostas	curriculares	para	o	ensino	da	Matemática	estão	con-
dicionados	às	expectativas	que	não	permanecem	estáticas,	de	
toda a comunidade escolar.
Exercícios
1.	Conceitue	currículo	e	escreva	sua	importância	para	a	Educação.
2. O que foi o Movimento Matemática Moderna (MMM)? Es-
creva seus fundamentos e pontue suas falhas do ponto de vista 
de Morris Kline, matemático norte-americano autor do livro: 
“O fracasso da Matemática Moderna”, em 1976.
3.	Explique	como	surgiu	a	Educação	Matemática	e	em	que	se	
baseia. Quais suas linhas de pesquisa e o que desenvolve?
4. Discuta sobre a reforma curricular e seus pontos fundamentais.
5.	Escreva	porque	o	método	de	resolução	de	problemas	constitui-se	
como foco fundamental para o ensino da Matemática, atualmente.
6.	Discuta	os	pontos	principais	que	devemos	relevar	na	elaboração	
de conteúdos e propostas curriculares pós Matemática Moderna. 
7. Quais os atores e seus respectivos papéis no processo da ela-
boração	dos	currículos	para	a	Matemática?