Questão resolvida - A menor distância do ponto (1,2,-1) á superfície da esfera de equação (x1)^2 (y2)^2 (z-1)^2 6 é - Geometria Analítica - Cálculo II

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• Determine a menor distância do ponto à superfície da esfera de equação 1, 2, -1( )
 é.(x + 1) + (y + 2) + z - 1 = 62 2 ( )2
 
Resolução:
 
A equação genérica de uma esfera de raio cujo centro é o ponto é dada por;R a, b, c( )
 
x - a + y - b + z - c = R( )2 ( )2 ( )2 2
 
Reescrevendo a equação da esfera do problema dado, temos;
 
(x + 1) + (y + 2) + z - 1 = 6 (x + 1) + (y + 2) + z - 1 =2 2 ( )2 → 2 2 ( )2 6
2
 
Logo, o centro e o raio da esfera são:
 
centro -1, -2, 1 ; raio R =( ) 6
 
Uma seção de um plano cortando a esfera no centro e passando pelo ponto P, que 
desejamos conhecer a distância, é visto a seguir;
 
Perceba que a distância d da esfera ao ponto P é dada pela distância de P ao centro (CP) 
menos o comprimento do raio;
 
 
 
centro -1, -2, 1( )
R = 6
P = 1, 2, -1( )
Ponto exterior à esfera
d = CP-R
 
O comprimento do raio é conhecido, e a distância CP é a distância entre o ponto do centro e 
o ponto P, a distância genérica D entre 2 pontos é dada por;
 
D = x - x + y - y + z - z( 2 1)
2 ( 2 1)
2 ( 2 1)
2
 
Considerando o ponto P como sendo o ponto 2, e o centro da esfera 1, 2, -1( ) -1, -2, 1( )
como o ponto 1 e substituindo na equação 2, temos;
 
D = = =1 - -1 + 2 - -2 + -1 - 1( ( ))2 ( ( ))2 ( )2 1 + 1 + 2 + 2 + -2( )2 ( )2 ( )2 2 + 4 + 4( )2 ( )2
 
D = D = = = ⋅4 + 16 + 4 → 24 4 ⋅ 6 4 6
 
D = 2 6
 
Substituindo na equação 1, temos que a menor distância entre o ponto e a esfera é;
 
d = 2 - d = u. c.6 6 → 6
 
 
(1)
(2)
(Resposta )