ANGULOS EM CIRCUNFERÊNCIAS

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Folheto de MATEMÁTICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
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ÂNGULOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA 
A relação entre ângulos e arcos de uma circunferência é bastante estudada na 
geometria plana, logo é muito importante compreendê-la. 
Os estudos referentes a ângulos na circunferência auxiliaram e auxiliam até 
hoje a geometria plana. Com aplicações na astronomia e em outras áreas do 
conhecimento, esse estudo foi se aprofundando e desenvolvendo relações e 
propriedades diferentes para cada um dos casos. Os casos são: 
 ângulo central; 
 ângulo inscrito; 
 ângulo interno; 
 ângulo excêntrico interno; 
 ângulo excêntrico externo; 
 ângulo de segmento. 
Para cada um dos casos, existem propriedades específicas que relacionam o arco 
da circunferência com o ângulo. 
 
 1 - Elementos da circunferência 
 
 2 - Casos de ângulos na circunferência 
 
o Ângulo central 
 
o Ângulo excêntrico interno 
 
o Ângulo excêntrico externo 
 
o Ângulos de segmento 
 
Elementos da circunferência: A circunferência possui elementos importantes 
para a compreensão dessa forma geométrica. Conhecemos como circunferência o 
conjunto de pontos que estão equidistantes do ponto C, conhecido como centro. 
 
C → centro 
r → raio 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-plana.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#Elementos+da+circunfer%C3%AAncia
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#Elementos+da+circunfer%C3%AAncia
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#Casos+de+%C3%A2ngulos+na+circunfer%C3%AAncia
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+central+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+central+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+exc%C3%AAntrico+interno+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+exc%C3%AAntrico+interno+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+exc%C3%AAntrico+externo+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulo+exc%C3%AAntrico+externo+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulos+de+segmento+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-no-circulo.htm#%C3%82ngulos+de+segmento+
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
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Além do centro e do raio, a circunferência possui também como elemento 
importante a corda, que são os segmentos que ligam uma extremidade à outra da 
circunferência. 
 
AB e DE são cordas da circunferência. 
Quando essa corda passa pelo centro, ela é conhecida como diâmetro. O diâmetro 
de uma circunferência possui comprimento igual ao comprimento de dois raios e é 
um caso especial de corda. 
 
EF é diâmetro da circunferência. 
Casos de ângulos na circunferência 
Os estudos dos ângulos na circunferência relacionam os arcos formados pelos 
ângulos com o próprio ângulo. 
 Ângulo central 
Ocorre quando o ângulo está no centro da circunferência. Quando isso acontece, 
podemos dizer que a amplitude do ângulo central é igual à amplitude do arco. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos.htm
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Exemplo: 
Calcule o valor do arco d. 
 
Como o ângulo central é igual a 50º, a amplitude do arco denotado por d também 
possui 50º. 
 Ângulo inscrito na circunferência 
Um ângulo é conhecido como inscrito quando o seu vértice for um ponto da 
circunferência. Quando isso ocorre, a amplitude do arco é igual à metade da 
medida do ângulo. 
Exemplo: 
Calcule o valor de α na imagem. 
 
Supondo AB =72 º, O arco é igual ao dobro do ângulo, ou seja, para encontrar o 
valor de α, basta dividir 72 por 2. 
α = 72º : 2 
α = 36º 
 
 
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Ângulo inscrito na circunferência 
O Ângulo inscrito na circunferência (β) é o ângulo formado a partir do arco, mas 
com vértice sobre a circunferência. 
Seu valor corresponde à metade do ângulo central 
 ). 
 
Exemplo: 
Sendo a medida do arco ABC igual a 110º, determine o valor dos ângulos x e y, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Observe que a medida do arco é 110º e que 
o ângulo y representa a medida do ângulo 
central, ou seja, y = arco = 110º. 
O ângulo x da figura representa o ângulo 
inscrito na circunferência proveniente do 
mesmo arco que y, logo 
x = y/2, ou seja, x = 110  X = 55° 
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Ângulo excêntrico interno 
Um ângulo é conhecido como excêntrico interno quando ele não está no centro 
da circunferência, mas está localizado na parte interior da circunferência, não 
podendo ser um ângulo inscrito. Quando isso ocorre, podemos definir dois arcos. 
O ângulo será a média aritmética entre eles, ou seja, a soma dividida por dois. 
 
Exemplo: 
Calcule o valor do ângulo α na circunferência sabendo que C não é o centro da 
circunferência. 
 
Algumas consequências do ângulo inscrito 
1. 
1. 1. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa 
semicircunferência, onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-aritmetica.htm
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1. 2. Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale 
a metade dessa hipotenusa.
 
1. 3. Todos os ângulos de uma circunferência inscritos no mesmo arco 
são congruentes 
. 
1. 4. Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos 
opostos são suplementares (somados valem 180º).
 
 
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Ângulo excêntrico externo 
Conhecemos como excêntrico externo o ângulo que é externo à circunferência. 
Quando isso ocorre, ele forma dois arcos, e o valor do ângulo é calculado pela 
metade da diferença entre o arco maior e o arco menor. 
 
Exemplo: 
Calcule o valor do ângulo α. 
 
Ângulos de segmento 
O ângulo é conhecido como ângulo de segmento quando ele é formato por 
um segmento de reta tangente à circunferência e o outro não. Quando isso ocorre, 
o ângulo é igual à metade do arco. 
Exemplo: Qual é o valor do ângulo α na circunferência a seguir? 
 
Analisando a imagem, sabemos que o ângulo α é igual à metade do arco, ou seja, 
metade de 120º, então α = 60º. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-posicoes-relativas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-posicoes-relativas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-posicoes-relativas.htm
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Exercícios resolvidos 
Questão 1 – Podemos afirmar que o valor do ângulo BÂC no triângulo a seguir é: 
 
A) 60º 
B) 65º 
C) 70º 
D) 75º 
E) 90º 
 
 
Questão 2 – Calcule o valor de x na circunferência a seguir. 
 
A) 10 
B) 15º 
C) 20º 
D) 40º 
E) 45º 
Resolução 
Alternativa B. 
Analisando a circunferência, o arco 
formado pelos pontos AB tem 
amplitude igual à meia 
circunferência, ou seja, 180º.Como 
o ângulo C é inscrito, então ele 
corresponde à metade de 180º, logo 
o ângulo C é igual a 90º. 
A soma dos ângulos internos do 
triângulo é sempre igual a 180º, 
então temos que: 
25º + BÂC + 90º = 180º 
BÂC = 180º – 90º – 25º 
BÂC = 90º – 25º 
BÂC = 65º 
 
Resolução 
Alternativa C. 
Sabendo que AÔB é o ângulo 
central e que ele corresponde 
ao valor do arco, então temos 
que: 
2x + 5º = 45º 
2x = 45º – 5º 
2x = 40º 
x = 40º: 2 
x = 20 
 
 
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QUESTÃO 3- Na figura, o arco BC mede .120∘. Calcule o valor de x. 
 
 
 
 
 
MAIS EXERCÍCIOS 
(Justifiquea resposta) 
 
01) A medida do arco BC é 92°. Determine as medidas x e y indicadas na figura. 
 
 
 
 
 
02) observando os ângulos assinalados na figura abaixo, responda: Qual é o 
ângulo inscrito que determina o mesmo arco que o ângulo central RÔD? 
 
Resolução 
Sendo x a medida do ângulo 
inscrito BÂC temos que x é a 
metade da medida do arco BC. 
Assim: 
x= 120º = 60° 
 2 
A) x = 46° e y = 92° 
 
B) x = 36° e y = 56° 
 
C) x = 56° e y = 96° 
 
D) x = 36° e y = 89° 
 
Resposta: A 
 
 
A) RSD. 
 
B) RCD. 
 
C) ABS. 
 
D) COD. 
 
Resposta: B 
 
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03) A medida do arco AB corresponde a 1/5 da medida da circunferência, em 
graus, enquanto a medida do arco CD corresponde a 1/6 da medida da 
circunferência, em graus. Determine as medidas x e y indicadas na figura. 
 
 
 
04) na figura a seguir, o arco RS mede 140°. Determine as medidas a b, c e x 
indicadas. 
 x 
 
 
 
 
5) Observe, na figura, um ângulo inscrito e o ângulo central correspondente. 
Determine o valor de x e a medida de cada um desses ângulos. 
 
A) x = 15° e y = 30°. 
 
B) x = 26° e y = 56°. 
 
C) x = 36° e y = 30°. 
 
D) x = 46° e y = 90°. 
 
Resposta: C 
 
A) a = 100°, b = 40°, c = 40° e x = 50°. 
 
B) a = 120°, b = 30°, c = 30° e x = 30°. 
 
C) a = 130°, b = 20°, c = 20° e x = 40°. 
 
D) a = 140°, b = 20°, c = 20° e x = 40°. 
 
Resposta: D 
 
A) x = 12 
 
B) x = 13 
 
C) x = 14 
 
D) x = 15 
 
Resposta: A 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-SsVHVhjJ_M4/WEKfVw10lKI/AAAAAAAADRg/BJfRBDDrDjUKN3h3HfBGsg9bOIUCjOxtACLcB/s1600/set9.png
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