CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - N2

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1. Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de 
madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por , é o ângulo da 
plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material 
homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar 
que com . A partir do método de Newton, com uma tolerância e o 
menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, 
sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto 
de . 
• . 
• . 
• . 
• . 
✓ . 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , 
determinamos que satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a seguir: 
 
0 1,57079633 1,57079633 5 
1 1,25663706 0,02056908 4,80422607 0,31415927 
2 1,25235561 1,1379E-05 4,79889904 0,00428146 
3 1,25235323 3,5203E-12 4,79889607 2,3711E-06 
 
2. Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos 
A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em 
relação a AB com um intervalo de 0,04 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios 
composta, calcule uma aproximação para a área da região descrita. 
 
Perpendiculares 
Comprimento 
(metros) 
1 3,37 
2 4,43 
3 4,65 
4 5,12 
5 4,98 
6 3,61 
7 3,85 
8 4,71 
9 5,25 
10 3,86 
11 3,22 
 
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 
1987, p. 273. 
• 2,48 metros quadrados 
• 2,12 metros quadrados 
✓ 1,75 metros quadrados 
• 1,65 metros quadrados 
• 1,98 metros quadrados 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 
pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de
 metros quadrados. 
 
 
0 0 3,37 
1 0,04 4,43 
2 0,08 4,65 
3 0,12 5,12 
4 0,16 4,98 
5 0,2 3,61 
6 0,24 3,85 
7 0,28 4,71 
8 0,32 5,25 
9 0,36 3,86 
10 0,4 3,22 
 
3. Uma aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método da 
bisseção, calcule a quarta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, 
isole a raiz em um intervalo e ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . Note que, 
ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz 
cúbica de 10. 
 
Assinale a alternativa correta: 
• 2,12540. 
• 2,14063. 
• 2,15625. 
• 2,25568. 
✓ 2,18750. 
Resposta correta. Essa alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, podemos 
mostrar que . E, ao construírmos a tabela referente ao método da bisseção, encontramos o 
nosso resultado correto: 
 
n (-) (+) 
 
 
 
0 2 3 2,5 5,625 -2 17 
1 2 2,5 2,25 1,390625 0,25 
2 2 2,25 2,125 -0,4042969 0,125 
3 2,125 2,25 2,1875 0,4675293 0,0625 
 
4. Leia o excerto a seguir: 
“Interpolação polinomial é um caso particular do problema geral de interpolação no qual a família 
de funções é constituída de polinômios”. Nesses casos, a função que será utilizada para aproximar 
uma função conhecida é um polinômio de grau , chamado de polinômio interpolador. 
INTERPOLAÇÃO polinomial. Reamat, [2020]. Disponível em: 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/i1-inter 
polacao_polinomial.html . Acesso em: 21 dez. 2019. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. Dados três pontos distintos, nem sempre é possível determinar um polinômio interpolador que 
passe por eles. 
Pois: 
II. Para os casos de três pontos distintos, não há um resultado geral que garanta a existência e a 
unicidade do polinômio interpolador. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
• A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
• A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
• As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são falsas, uma vez que, dados três 
pontos distintos, sempre é possível determinar o polinômio interpolador que passe por eles, além disso, 
o mesmo é único, conforme resultado visto na presente unidade. 
5. A temperatura (em graus Celsius) numa região de uma cidade foi medida três vezes durante um 
dia ensolarado e construiu-se a seguinte tabela com os dados: 
 
Hora 10 12 14 
Temperatura 29 33 38 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Utilizando interpolação sobre todos os pontos dados, estime a temperatura da região dessa cidade 
às 13 horas nesse mesmo dia. 
 
A seguir, assinale a opção que corresponde à alternativa correta: 
• 34,88 graus Celsius. 
✓ 35,38 graus Celsius. 
• 37,19 graus Celsius. 
• 36,66 graus Celsius. 
• 34,17 graus Celsius. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, aplicando a interpolação quadrática para os três 
pontos fornecidos, encontramos , e e, consequentemente, o polinômio 
interpolador é igual a . Portanto, a aproximação desejada 
é igual a graus celsius. 
6. Antes da aplicação do método da bisseção, devemos, inicialmente, determinar intervalos que 
contenham uma única raiz, isto é, precisamos isolar as raízes. Após esse processo, podemos 
proceder e refinar as raízes até o grau de exatidão requerido em cada problema. Diante do 
exposto, a partir do método gráfico, podemos notar que a função tem uma raiz 
contida no intervalo: 
 
Assinale a alternativa correta: 
• . 
• . 
• . 
✓ . 
• . 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método gráfico para as funções
e e fazendo o x variar a cada 0,4 unidades, percebemos que a interseção entre as 
curvas acontece no interior do intervalo [-0,8;-0,4], ou seja, a raiz procurada encontra-se nesse intervalo. 
7. Antes de aplicarmos o método da bisseção para determinação das raízes de uma equação, 
devemos calcular o número mínimo de iterações e, com isso, checar a viabilidade do método. Em 
vista disso, para calcular a raiz da função , pelo método da bisseção, com uma 
tolerância , no intervalo [0,5;0,9], são necessárias, no mínimo: 
 
Assinale a alternativa correta: 
• 3 iterações. 
• 6 iterações. 
✓ 5 iterações. 
• 2 iterações. 
• 4 iterações. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao utilizarmos a fórmula , encontramos
, isto é, n=5, uma vez que o número de iterações sempre será um número inteiro. Para 
auxiliar nos cálculos, o aluno também pode construir a seguinte tabela: 
 
a b tolerância n 
0,5 0,9 0,01 4,32192809 
 
8. Leia o excerto a seguir: 
“Em geral, os números não são representados de forma exata nos computadores. Isto nos leva ao 
chamado erro de arredondamento. Quando resolvemos problemas com técnicas numéricas, 
estamos sujeitos a este e outros tipos de erros [...]”. 
 
TIPOS de erros. REMAT: Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Disponível 
em: https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/rdneadm-tipos_de_erros.html. Acesso 
em: 11 dez. 2019. 
Considerando o excerto apresentado, sobre erros, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Erros de arredondamentoocorrem devido à precisão finita dos computadores. 
II. Erros de truncamentosurgem quando aproximamos um conceito matemático formado por 
infinitas parcelas por um processo contendo apenas um número finito de parcelas. 
III. A propagação de erros não ocorre devido ao acúmulo dos erros de arredondamento e 
truncamento ao longo de várias operações matemáticas. 
IV. Nos computadores atuais, também temos a ocorrência do overflow. 
 
Está correto o que se afirma em: 
• II e III, apenas. 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/rdneadm-tipos_de_erros.html✓ I, II e IV, apenas. 
• I e II, apenas. 
• I, II e III, apenas. 
• II, III e IV, apenas. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as afirmativas I e II são verdadeiras, uma vez que 
representam, basicamente, as definições apresentadas para erros de arredondamento e erros de 
truncamento. Além disso, a afirmativa IV é verdadeira, uma vez que, mesmo nos computadores 
modernos, verificamos a ocorrência do overflow. 
9. A velocidade instantânea de uma motocicleta foi medida em vários momentos e registrada numa 
tabela como segue abaixo: 
 
t (segundos) v (km/h) 
0 20 
120 22 
240 23 
360 25 
480 30 
600 31 
720 32 
840 40 
960 45 
1080 50 
1200 65 
 
Referência: Elaborado pelo autor. 
Uma vez que o motociclista não anotou a quilometragem da motocicleta e deseja calcular uma 
aproximação da distância percorrida, em metros, determine essa aproximação usando a regra dos 
trapézios composta sobre todos os pontos dados na tabela. 
✓ 11350 
• 8745 
• 10080 
• 9872 
• 12480 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 
pontos distintos, temos 
 
 
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de
. 
 
 
0 0 20 
1 120 22 
2 240 23 
3 360 25 
4 480 30 
5 600 31 
6 720 32 
7 840 40 
8 960 45 
9 1080 50 
10 1200 65 
 
10. Em geral, utilizamos as técnicas de interpolação numérica quando não dispomos da lei de uma 
função ou quando a lei apresenta dificuldades acentuadas para o cômputo dos valores. Um 
exemplo que ilustra essas afirmações é o seguinte: a integral elíptica completa é definida por 
 
Por uma tabela de valores dessa integral, encontramos 
, e . 
 
Usando interpolação quadrática, assinale a opção que determina o polinômio interpolador que 
aproxima essa função sobre todos os pontos dados. 
 
FRANCO, N. M. B. Cálculo numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006. 
• 
• 
✓ 
• 
• 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, aplicando a interpolação quadrática para os três 
pontos fornecidos, encontramos , e e, consequentemente, o 
polinômio interpolador é igual a .