_ 05_MecMat_ EQUILIBRIO(1)

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• Equilíbrio 2D 
• Apoios submetidos a forças bidimensionais
• Estaticidade de um arranjo estrutural
• Cálculo de reações de apoio para estruturas isostáticas
MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
Aula 5
EQUILÍBRIO
Um corpo encontra-se em equilíbrio desde que esteja em repouso, se originalmente se achava
em repouso, ou então possua velocidade constante, se originalmente estava em movimento.
As condições gerais para o equilíbrio de um corpo requerem que a resultante de força e a
resultante dos momentos em um corpo em equilíbrio seja zero e são dadas pelas equações
abaixo
As equações acima representam as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio, e
chamam-nas de equações fundamentais da estática (equações de equilíbrio).
Ԧ𝐹𝑅 = ∑ Ԧ𝐹 = 0 𝑀𝑅 = ∑𝑀 = 0
As componentes escalares dessas duas equações vetoriais podem ser escritas como:
∑ Ԧ𝐹 = 0
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝐹𝑧 = 0
∑𝑀 = 0
∑𝑀𝑥 = 0
∑𝑀𝑦 = 0
∑𝑀𝑧 = 0
(a) (b)
As três equações escalares do grupo (a) afirmam que não existe resultante de força atuando
em um corpo em equilíbrio em qualquer das três direções coordenadas. As outras três equações
escalares do grupo (b) afirmam que nenhuma resultante de momento atua sobre o corpo em
relação a qualquer dos eixos coordenados ou em torno de eixos paralelos aos eixos
coordenados.
EQUILÍBRIO DE CORPO RÍGIDO
Graus de liberdade Movimentos permitidos
Na análise bidimensional, tem-se 3 graus de liberdade, sendo estes:
• Translação nas direções de x e y
• Rotação em torno do eixo z
Equações de equilíbrio da Estática – análise bidimensional
Fonte: Revista Manutenção e Tecnologia – 229, 2018
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝐹𝑧 = 0
REAÇÕES DE APOIO EM DUAS DIMENSÕES:
Apoios suportam estruturas e inibem alguns movimentos (translação e/ou rotação) e são originados
de vínculos.
• O efeito dos apoios pode ser considerado segundo duas perspectivas diferentes e 
complementares:
• Restrição ao movimento do corpo – bloqueando um ou mais movimentos independentes (de 
translação e de rotação) que o corpo pode apresentar; 
• Incógnitas estáticas (forças e momentos) que podem ser parcial ou totalmente determinadas 
através da solução das equações de equilíbrio.
REAÇÕES DE APOIO EM DUAS DIMENSÕES
• Sistemas de apoio
• Diagrama de corpo livre
Apoios x Diagramas
Diagrama de corpo livre
Força com linha de ação conhecida (perpendicular à direção do deslizamento)
A figura mostra uma ponte, onde é
utilizado uma placa de neoprene na junção
entre o pilar e a ponte.
Força com linha de ação conhecida (na direção do cabo/haste)
Apoios x Diagramas
Diagrama de corpo livre
Força com linha de ação conhecida (perpendicular à direção do deslizamento)
Apoios x Diagramas
Diagrama de corpo livre
Força com linha de ação conhecida (perpendicular à direção do deslizamento)
Apoios x Diagramas
Diagrama de corpo livre
Força de direção desconhecida e binário.
Apoios x Diagramas
Diagrama de corpo livre
Engaste em uma estrutura metálica, este 
tipo de apoio não permite translação e 
rotação.
Estaticidade de um arranjo estrutural
Isostática: 
O arranjo apresenta uma vinculação mínima suficiente para 
impedir qualquer movimento global de corpo rígido, sendo as 
reações de apoio determinadas exclusivamente através das 
equações globais de equilíbrio.
Hiperestática:
O arranjo apresenta uma vinculação mais que suficiente
para não permitir movimentos globais de corpo rígido, não
sendo possível a determinação das reações de apoio
utilizando somente as equações globais de equilíbrio.
Hipostática:
O arranjo apresenta uma insuficiência na vinculação,
permitindo movimentos globais de corpo rígido.
Diagrama de Corpo Livre - DCL
• A solução das equações de equilíbrio deve ser formulada considerando diagramas de corpo livre
nos quais se representam as forças aplicadas (cargas ativas – força peso e outras), assim como
forças de reação.
• Normalmente, conhecem-se as forças aplicadas (cargas concentradas e/ou cargas distribuídas) e
determina-se as incógnitas que consistem nas forças e momentos que traduzem as ligações entre
as várias partes do corpo, bem como entre o corpo e o exterior.
• Aplicar as equações de equilíbrio (equações fundamentais da estática), isto é, considerar a
resultante do sistema de forças e momentos iguais a zero, o que permite o cálculo das forças de
reação (de ligação).
• Defina um referencial (sistema de coordenadas).
• Imagine que o corpo esteja livre de suas restrições e conexões e desenhe um esboço da sua
forma e represente todas as forças e momentos conhecidos e desconhecidos.
1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios B e E.
2) Um caixote de 54 𝑘𝑔 está apoiado na porta de 27 𝑘𝑔 da caçamba de uma picape. Calcule a força
trativa T em cada um dos dois cabos de sustentação, um dos quais é mostrado. Os centros de gravidade
estão em 𝐺1 e 𝐺2. O caixote está localizado a meia distancia entre os dois cabos.
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.09𝑇 = 577 𝑁
3) A viga uniforme tem massa de 50 𝑘𝑔 por metro de comprimento. Calcule as reações no apoio 𝑂. 
As cargas mostradas estão em um plano vertical.
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.17
𝑂𝑥 = −0,7𝑘𝑁; 𝑂𝑦 = 5,98 𝑘𝑁; 𝑀𝑜 = 9,12 𝑘𝑁.𝑚
Cargas de superfície : forças de contato, surgem devido ao contato entre os corpos (elementos 
estruturais). 
Cargas de corpo :forças de campo (ação a distância), forças que surgem pela ação do campo 
gravitacional ou de origem eletromagnética.
Existem três tipos de modelos analíticos para o
carregamento:
• concentrado (𝑁)
• distribuído (𝑁/𝑚)
• distribuído (𝑁/𝑚²)
FONTE: Notas de aula (ENG01140) – Alexandre Pacheco
RESULTANTE DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
Carregamento uniforme ao longo de um único eixo:
Função carregamento 𝑝 = 𝑝 𝑥
𝑁
𝑚2
Como tem uma única variável (𝑥) , podemos substituir por um carregamento distribuído coplanar. 
Para isso, multiplicamos a função carregamento pela largura 𝑏 da viga, tal que 𝑤 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑏
𝑁
𝑚
Posição da força resultante: a força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide (centro
geométrico) da área sob o diagrama de carregamento.
A intensidade da força resultante: é igual à área total A sob o diagrama de carregamento
𝐹𝑅 = න
𝐿
𝑤 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝐴
𝑑𝐴 = 𝐴
ҧ𝑥 =
׬
𝐿
𝑥. 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
𝐿׬ 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
=
׬
𝐴
𝑥 𝑑𝐴
𝐴׬ 𝑑𝐴
𝑀𝑅𝑂 = ∑𝑀𝑂 ҧ𝑥𝐹𝑅 = න
𝐿
𝑥. 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
Exemplos de carregamento distribuído
Os sacos de areia geram uma carga distribuída sobre a viga. Pode-se determinar a intensidade e a 
localização da força resultante.
Exemplos de carregamento distribuído
Exemplos de carregamento distribuído
Ação do vento em edificações.
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed. exercício 5.102
Determine o diagrama de cargas equivalentes para as duas cargas distribuídas com variação linear.
EPE - Exemplo 
1) Determine as reações da estrutura em balanço.
2) O centro de massa 𝐺 do carro de motor traseiro e com 1400 𝑘𝑔 está localizado como mostrado na 
figura. Determine a força normal sob cada pneu quando o carro está em equilíbrio. Descreva qualquer 
hipótese feita
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.02
3) Determine as reações em A e E se P = 500 N. Qual é o valor máximo que P pode ter para haver 
equilíbrio estático? Despreze o peso da estrutura.
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.20
4) Determine o peso máximo do vaso de planta que pode ser suportado sem exceder uma força de 
tração de 200 𝑁 nem no cabo 𝐴𝐵 nem no cabo 𝐵𝐶.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 3.17
6) O tubo de 30 kg é suportado em A por um sistema de cinco cordas. Determine a força em cada 
corda para a condição de equilíbrio.
HIBBELER - ESTÁTICA 10 ed. 3.40
7) Na ilustração, 3 cargas são aplicadas em uma viga. A viga é apoiada em um rolete (apoio simples) 
em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso da viga, determine as reações em A e B 
quando Q = 75 kN.
8) Para a estrutura mostrada na figura,determine as reações nos apoios A e B. 
9) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e B.
10) Determine as reações externas em 𝐴 e 𝐹 para a treliça de um telhado carregada como mostrado. 
As cargas verticais representam o efeito de sustentação dos materiais do telhado, enquanto a força 
horizontal representa a ação devido ao vento.
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.53 𝑨𝒙 = 𝟑𝟒𝟔 𝑵; 𝑨𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑵; 𝑭𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 N
11) O homem empurra o cortador de grama a uma velocidade constante, com uma força P que é 
paralela ao plano inclinado. A massa do cortador, com saco de grama preso a ele, é de 50 𝑘𝑔 e tem 
centro de massa em G. Se 𝜃 = 15°, determine as forças normais 𝑁𝐵 e 𝑁𝐶 sob cada par de rodas B e 
C. Despreze o atrito. 
MERIAM - ESTÁTICA 6ª ed. 3.56
12) Determine a força desenvolvida no cabo e as reações no apoio A da estrutura abaixo: 
HIBBELER, 10ª ed. exercício 7.83 e 7.84
13) Determine as reações nos apoios:
14) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e B.:
15) Determine as reações nos apoios A e B.:
16) Determine as reações nos apoios da estrutura treliçada, sendo F = 600 N. Apresente como 
resposta a componente paralela e/ou ortogonal ao plano de apoio.
17) Calcular os valores para as barras das figuras abaixo: 
18) Uma treliça pode ser apoiada das três maneiras ilustradas. Determine as reações nos apoios, em 
cada caso.
19) Determine a força desenvolvida no cabo BC e as reações no apoio A da estrutura abaixo: 
20) Desenhe o diagrama de corpo livre do membro AB, que está apoiado sobre um rolete em A e por 
um pino em B e explique o significado de cada força em ação no diagrama. Determine as reações nos 
apoios.
21) Determine as componentes de reação no apoio fixo A. Despreze a espessura da viga:
22) Determine as reações nos apoios A e B.