MATEMÁTICA - 9 ANO - 2B

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ÂNGULOS E RETAS
Você já parou para reparar a existência de retas paralelas e transversais no seu cotidiano? Você pode observar ambas na localização das ruas e, inclusive, a ideia dos ângulos que são formados entre elas.
1) Para compreender melhor essa ideia, faça um esboço no espaço abaixo das ruas do entorno da sua escola. Coloque o nome das ruas, escreva quais delas representam retas paralelas e quais representam retas transversais. Depois, marque os ângulos que são formados pelo encontro delas (EF09MA10).
2) Faça representações individuais dos ângulos e indique no seu desenho quais deles são correspondentes, opostos pelo vértice, alternos internos ou externos, etc (EF09MA10).
ÂNGULOS E RETAS
1) Determine as medidas, em graus, dos ângulos indicados abaixo. As retas r e s são paralelas (EF09MA10).
2) Sabendo que r//s, determine, em graus, a medida de abertura dos ângulos a e b (EF09MA10).
ÂNGULOS E RETAS
1) Determine as medidas, em graus, dos ângulos indicados abaixo. As retas r e s são paralelas (EF09MA10).
	
2) Sabendo que r//s, determine, em graus, a medida de a e b (EF09MA10).
ÂNGULOS E RETAS
1) Observe a imagem e demonstre que os ângulos a e q são colaterais externos respondendo os itens abaixo (EF09MA10).
a) Como são chamados os ângulos a e o?
b) Qual é a relação existente entre os ângulos da letra a)?
c) Como são chamados os ângulos o e q?
d) Qual é a relação existente entre os ângulos da letra c)?
e) O que se pode concluir com base nas relações observadas nas letras b) e d)?
ÂNGULOS E RETAS
1) Observe a imagem e demonstre que os ângulos u e o são colaterais internos respondendo os itens abaixo (EF09MA10).
a) Como são chamados os ângulos e e u? E os ângulos o e q?
b) Qual é a relação existente entre os ângulos da letra a)?
c) Como são chamados os ângulos e e q?
d) Qual é a relação existente entre os ângulos da letra c)?
e) O que se pode concluir com base nas relações observadas nas letras b) e d)?
PROPORCIONALIDADE
A ideia de proporcionalidade pode ser observada em muitas situaçõs do nosso cotidiano.
1) Pontue 4 situações em que essa ideia pode ser observada (EF09MA07).
2) Das 3 situações pontuadas por você, como você acha que pode classificá-las (diretamente ou inversamente proporcionais)? (EF09MA07).
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
A ideia de grandezas proporcionais já foi estudada nos anos anteriores do Ensino Fundamental. Dizemos que duas grandezas envolvidas são diretamente proporcionais quando uma delas pode ser obtida pelo produto da outra por uma constante. Por exemplo, as grandezas a e b são diretamente proporcionais quando conseguimos calcular: a = k . b, sendo k uma constante (EF09MA07).
Quando as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais, é possível obter uma delas calculando o produto entre o inverso de uma delas e uma constante. Ou simplesmente: o produto entre elas é igual a constante.
Por exemplo, as grandezas a e b são inversamente proporcionais quando conseguimos calcular: a . b = k, ou 1 . b = k, sendo k uma constante (EF09MA07).
a
1) Observe as situações abaixo (EF09MA07).
a) Um padeiro usa 3 ovos e 500 ml de leite produzir 1 bolo comum. Quantos ovos seriam gastou para produzir 3 ovos?
b) Uma empresa de construções de casa contratou 2 eletricistas para fazerem toda instalação de uma casa. Juntos eles levarão cerca de 12 dias para concluir toda a parte elétrica da casa. Se a empresa tivesse contratado 4 eletricistas, quanto tempo eles levariam para fazer toda a parte elétrica dessa mesma casa?
c) Classifique as grandezas envolvidas nas situações acima como diretamente ou inversamente proporcionais.
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
1) Uma torneira desperdiça 1,5 litros de água por hora. Em 6 horas, quantos litros de água terão sido desperdiçados (EF09MA07)? As grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais?
2) Um carro percorre 20 km em 1 hora, andando a 60km/h. Quanto tempo ele levará para percorrer essa mesma distância se ele passar a andar a 80 km/h? Essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais (EF09MA07)?
3) Uma equipe de 10 construtores leva 6 dias para construir os muros de uma casa. Caso a equipe passe a ter 20 construtores, quantos dias serão necessários para que os mesmos muros sejam construídos? As grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais (EF09MA07)?
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
1) 16 lâmpadas acesas durante 10 horas por dia, durante 36 dias, gastam 144 kwh. Qual é o consumo dessas lâmpadas durante 12 dias (EF09MA08)?
2) Em um mapa, a distância entre a casa de Pedro a principal rodovia da sua cidade foi representada por 10 cm. A medida real da casa até a rodovia é de 15 km. Que escala foi utilizada nesse mapa (EF09MA08)?
3) A distância real da casa de Ana até a casa de Paula é equivalente a 4,5 km. Num mapa feito por elas, essa distância foi representada numa escala de 1: 50 000. Sendo assim, ela é equivalente a quantos centímetros (EF09MA07)?
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
1) Um automóvel gasta 16 litros de gasolina para percorrer 136 km. Levando em conta que o consumo seja o mesmo e que o tanque tenha capacidade para 25 litros, quantos quilômetros esse automóvel consegue percorrer com o tanque cheio (EF09MA08)?
2) Indique se as grandezas abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais (EF09MA08).
a) A área de um quadrado e seucomprimento.
b) Número de construtores e o tempo de construção de uma casa.
c) Número de questões e número de acertos em uma prova.
d) Combustível e distância percorrida.
e) Produção de bolos e quantidade de ovos usados.
f) Quantidade de folhas impressas e o tempo gasto para imprimi-las.
TEOREMA DE TALHES
O Teorema de Talhes afirma que se duas retas são transversais de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra.
1) Sabendo da explicação dada, determine o valor de Z, sendo r//s//t//v//c FA = Z, KB = 6, CD = 8 e LM = 12 (EF09MA14).
2) Determine o valor de x, sendo r//s//t, AZ = 6, AB = 5 e ZD= 12 (EF09MA14).
TEOREMA DE TALHES
1) Determine o valor de x, sendo r//s//t (EF09MA14).
2) Determine o valor de x, sendo r//s//t (EF09MA14).
TEOREMA DE TALHES
1) Determine os valores de a e de b, sendo n//m (EF09MA14).
2) Determine os valores de a e de b, sendo n//m (EF09MA14).
 (
n
m
)
TEOREMA DE TALHES
Do Teorema de Talhes surgem algumas propriedades interessantes. Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados em pontos distintos, então essa reta determina sobre os dois lados segmentos correspondentes que são proporcionais (EF09MA14).
Neste caso, pelo
Teorema de Talhes: AD = AE
DB	EC
1) Observe a imagem abaixo. Sabendo que AB//DE, determine a medida de a em centímetros com base na propriedade decorrente do teorema de talhes (EF09MA14).
a) Existe proporcionalidade entre esses segmentos?
TEOREMA DE TALHES
1) Quatro terrenos tem frente para rua X e para rua Z, como mostra a imagem abaixo. As laterais formam ângulos de 90° com a rua X. Determine as medidas de a, b e c, em metros, sabendo que frente total dos quatro terrenos é igual a 460 metros (EF09MA14).
2) Um terreno triangular foi dividido em duas partes, como mostra a figura abaixo (EF09MA14).
a) (
EC?
)Determine a medida de z.
b) Qual é a medida do segmento
SEMELHANÇA
1) Quais significados você pode atribuir para a palavra semelhança? Cite 2 (EF09MA13).
Em	Matemática,	a	ideia	de	semelhança	pode	ser	atribuída	a	diferentes significados. Veja o exemplo abaixo.
5 cm
2,5 cm
4, 25 cm
Figura 1
8,5 cm
Figura 2
Neste exemplo, a obra "O Grito" de Edvard Munch, foi amplianda, se analisarmos da figura 1 para a figura 2 ou reduzida, se analisarmos da figura 2 para a figura 1.
Quando ocorre a ampliação ou a redução de figuras, como neste caso, a medida dos ângulos correspondentes não se alteram e consequentemente, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.
De forma que:
	figura 1
	2,5
	figura 1
	8,5
	figura 2
	5
	figura 2
	4,25
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Todo triângulo é um polígono de três lados. Dizemos dois triângulos são semelhantes quando os três ângulos internos correspondentes são iguais e os três lados correspondentes são proporcionais (EF09MA13).
Toda reta paralela a um dos lados do triângulo que cruza os outros dois lados em pontos distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro. Observe a imagem abaixo (EF09MA13).
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Considere que OU//EI. Determine as medidas de a e b em centímetros (EF09MA13).
2) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas (EF09MA13).
a) ( ) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.
b) ( ) Dois triângulos isósceles são sempre semelhantes.
c) ( ) Dois triângulos que possuem o mesmo perímetro são sempre semelhantes.
d) ( ) Para serem semelhantes, dois triângulos precisam ter apenas os três ângulos correspondentes iguais.
e) ( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre semelhantes.
f) (	) Um dos fatores necessários para que dois triângulos sejam semelhantes, é que os três ângulos correspondentes sejam iguais.
g) (	) Para serem semelhantes, dois triângulos precisam ter também os três lados correspondentes proporcionais.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Existem três casos para determinar a semelhança entre triângulos (EF09MA13). 1°)	Caso	AA:	ângulo	-	ângulo.	Se	dois	triângulos	tem	dois	ângulos correspondentes respectivamente congruentes, então eles são semelhantes.
2°) Caso LAL: lado - ângulo - lado. Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo formado entre eles de mesma medida, então eles são semelhantes.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Existem três casos para determinar a semelhança entre triângulos (EF09MA13). 3°)	Caso LLL: lado	-	lado	-	lado. Se dois triângulos tem os três lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes.
1) Verifique se os triângulos abaixo são semelhantes. Caso sejam, indique o caso de semelhança (EF09MA13).
a)
b)
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Os triângulos abaixo são semelhantes. AE//BD, sabendo disso, determine o valor de z em centímetros (EF09MA13).
2) Os triângulos abaixo são semelhantes. DfZ//TU e D1 = T = 90°, sabendo disso, determine o valor de a (EF09MA13).
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Observe a imagem abaixo (EF09MA13).
a) Os triângulos PLS e PVX são semelhantes? Caso sejam, justifique sua resposta especificando o caso de semelhança.
b) Qual lado do triângulo PLS é proporcional ao lado PV do triângulo PVX?
c) Qual lado do triângulo PVX é proporcional ao lado LS do triângulo PLS?
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) A casa de Lucas fica na mesma rua do prédio onde o seu amigo Pedro mora. Observe a ilustração abaixo (EF09MA13).
 (
 
.
)B
C	5,7 m	D	A
O prédio possui 12 m de altura, a árvore que está entre a casa e o prédio possui 3 m de altura e  = 90°. Sabendo dessas informações, determine a distância entre a casa de Lucas e o prédio em que Pedro mora (segmento CA).
a) Você conseguiu observar algum triângulo semelhante? Se sim, especifique o caso de semelhança.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Elabore	um	problema	que	envolva	triângulos	retângulos	semelhantes (EF09MA13).
2) Marque a alternativa correta(EF09MA13).
a) (	) Dois triângulos são considerados semelhantes pelo caso LAL quando possuem dois lados proporcionais e qualquer um dos três ângulos congruentes.
b) (	) Dois triângulos retângulos podem ser semelhantes.
c) (	) Dois triângulos são considerados semelhantes pelo caso LLL quando os três lados são congruentes.
d) (	) Para que dois triângulos sejam semelhantes pelo calo LLL os três lados correspondentes precisam ser proporcionais.
e) (	) A razão de semelhança é sempre a mesma entre os lados proporcionais.
f) (	) Semelhança e congruência de triângulos possuem a mesma definição.
g) (	) Para que dois triângulos sejam semelhantes pelo caso AA, eles precisam ter dois ângulos congruentes.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Para descobrir a altura do prédio de um hospital, Joana mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua própria sombra. A sombra do hospital media 14 metros, e a de Joana, que tem 1,6 metros de altura, media 0,4 metros. Qual a altura desse prédio (EF09MA13)?
a) 50 metros
b) 56 metros
c) 60 metros
d) 66 metros
e) 70 metros
2) Carla quer calcular a altura da caixa d'água da sua casa. Para isso, num dia de sol, ela resolveu medir a sombra da caixa d'água e comparar essa medida com a da sombra de um pedaço de madeira que foi colocado na mesma direção. Ao medir esse comprimentos, ela encontrou 4,08 m da sombra da caixa d'água e 0,72 m da sombra do pedaço de madeira. Sabendo que a altura do pedaço de madeira é equivalente a 1,68 m, determine a altura da caixa d'água (EF09MA13).
a) 9,1 metros
b) 8,5 metros
c) 8,2 metros
d) 8,0 metros
e) 7,9 metros
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Considere um triângulo ABC com um segmento DE paralelo ao lado BC que corta os outros dois lados do triângulo. O lado AB mede 5 cm, AD mede 2 cm e AE mede 2,5 cm. Esboce o triângulo no espaço abaixo e determine a medida do segmento BE (EF09MA13).
2) Considere os triângulos ABC e DEF semelhantes pelo caso LLL. O lado BC mede 22, 4 cm, AC mede 24 cm e DF mede 4,5 cm. Sabendo que AB é correspondentea DF, AC a DE e BC a EF, determine (EF09MA13):
a) A medida do segmento:
i) AB.
ii) DE.
iii) EF.
b) Qual é o perímetro do triângulo ABC?
c) Qual é o perímetro do triângulo DEF?
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Observe a imagem abaixo (EF09MA13).
Podemos afirmar que:
a) Para que os dois triângulos sejam semelhantes, os três ângulos e os três lados correspondentes precisam ser congruentes.
b) Para que os dois triângulos sejam semelhantes, os três ângulos correspondentes preciam ser congruentes e os três lados correspondentes precisam ser proporcionais.
c) Não há a possibilidade dos dois triângulos serem semelhantes.
d) Os dois triângulos são semelhantes pelo caso ALA.
2) Elabore um problema utilizando os triângulos da questão anterior (EF09MA13).
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) A sombra de um prédio é equivalente a 30 m, em uma determinada hora do dia. Nessa mesma hora do dia, a sombra de um poste de 10 m de altura, é equivalente a 6 m de comprimento. Determine a altura do prédio, em metros (EF09MA13).
2) Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F) e corrija as falsas nas linhas indicadas (EF09MA13).
a) (	) Dois triângulos retângulos nunca serão semelhantes.
b) (	) Dois triângulos são semelhantes quando um deles é a ampliação ou a redução do outro, sem que haja distorção dos lados ou dos ângulos.
c) (	) Existem triângulos que não são semelhantes memso possuindo dois ângulos congruentes.
d) (	) Dois triângulos equiláteros sempre serão semelhantes.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Construe triângulos semelhantes no espaço abaixo (EF09MA13).
i) Use régua e compasso para construir os lados e transferidor para marcar a medida dos ângulos.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Construe triângulos semelhantes no espaço abaixo (EF09MA13).
i) Use régua e compasso para construir os lados e transferidor para marcar a medida dos ângulos.
ii) Use as seguintes razões de semelhança: k = 2; k = 1,2; k = 0,5; k= 2/3; k = 5.