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SEÇÃO 11.7 ESTRATÉGIA PARA TESTES DE SÉRIES 3 1. Utilize o Teste de Comparação com an = n n 2 + 1 e bn = 1 n 3 / 2 : n n 2 + 1 < n n 2 = 1 n 3 / 2 , e ∞ n=1 1 n 3 / 2 é uma série p convergente (p = 32 > 1), logo ∞ n=1 an = ∞ n=1 n n 2 + 1 converge também. 2. lim n→∞ cos n não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência. 3. ∞ n=1 4n 32n − 1 = 3 ∞ n=1 4 9 n , que é uma série geométrica convergente (|r | = 49 < 1.) 4. lim i→∞ ai+1 ai = lim i→∞ (i + 1)4 4i+1 i4/4i = 1 4 lim i→∞ i + 1 i 4 = 1 4 < 1 logo, a série converge pelo Teste da Razão. 5. A série converge pelo Teste da Série Alternada, an = 1 (ln n )2 é decrescente (ln x é uma função crescente) e lim n→∞ an = 0. uma vez que 6. ∞ k=1 k−1,7 = ∞ k=1 1 k 1,7 é uma série p convergente (p = 1,7 > 1). 7. lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ 10n+1 / (n + 1)! 10n/ n! = lim n→∞ 10 n + 1 = 0 < 1 logo, a série converge pelo Teste da Razão. 8. lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ (n + 1) /en+1 n/en = 1 e lim n→∞ n + 1 n = 1 e < 1 logo, a série converge pelo Teste da Razão. 9. Seja f (x) = 2 x (ln x)3 . f (x) é claramente positiva e decrescente para x ≥ 2, logo podemos aplicar o Teste da Integral. ∞ 2 2 x (ln x )3 dx = lim t →∞ −1 (ln x )2 t 2 = 0 − −1 (ln 2)2 , logo ∞ n=2 2 n (ln n )3 converge. que é finito, 10. 3 n 5n + n ≤ 3n 5n = 3 5 n . Uma vez que ∞ n=1 3 5 n é uma série geométrica convergente (|r | = 35 < 1), ∞ n=1 3n 5n + n converge pelo Teste de Comparação. 11. lim m→∞ 2m 8m − 5 = 1 4 = 0, então a série diverge pelo Teste para Divergência. 12. Utilize o Teste da Comparação do Limite com an = n 3 + 1 n 4 − 1 e bn = 1 n . lim n→∞ an bn = lim n→∞ n 4 + n n 4 − 1 = lim n →∞ 1 + 1 n 3 1 − 1 /n 4 = 1, e uma vez que ∞ n=2 bn diverge (série harmônica), ∞ n=2 n 3 + 1 n 4 − 1 também diverge. 13. lim n→∞ n |an | = lim n→∞ n 2 + 1 2n 2 + 1 = 1 2 < 1, logo, a série converge (Teste da Raiz). 14. Seja f (x ) = x e x . Então f (x ) é contínua e positiva e f (x ) = 1 − x 2 xe x < 0 em [1,∞), logo f (x ) é decrescente e podemos utilizar o Teste da Integral. ∞ 1 x e x dx = lim t→∞ −2x − 4 x − 4 e x t 1 = 0 − − 10 e = 10 e (utilizando a integração por partes e a Regra de l’Hôspital), logo a série converge. 15. Sejam an= 3 4n − 5 e bn = 1 n . Então lim n→∞ an bn = 3 4 , assim, uma ∞ n=1 bn diverge (série harmônica), ∞ n=1 3 4n− 5 também diverge pelo Teste de Comparação de Limite. vez que 16. Seja an = n 2 n 5 + n 2 + 2 e bn = 1 n . Então lim n→∞ an bn = lim n→∞ 1 1 + n− 3 + 2n− 5 = 1, uma vez que ∞ n=1 bn diverge (série p com p = 12 < 1), logo ∞ n=1 n 2 n 5 + n 2 + 2 também diverge pelo Teste da Comparação do Limite. 17. Esta série diverge, pois é uma série geométrica com r = −pi e |r | = pi > 1. (Ou utilize o Teste para Divergência.) 11.7 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp 4 SEÇÃO 11.7 ESTRATÉGIA PARA TESTES DE SÉRIES 18. Seja an = 3 n +1 n ( n +1) e bn = n− 7 /6 . Então lim n→∞ an bn = lim n→∞ 1 + n− 1 / 3 1 + n− 1 / 2 = 1, assim, uma vez que ∞ n=1 bn converge ( p = 76 > 1), ∞ n=1 3 n + 1 n ( n + 1) também converge pelo Teste da Comparação do Limite. 19. lim n→∞ 23n − 1 n 2 + 1 = ∞ (utilize a Regra de l’Hôspital duas vezes), então a série diverge pelo Teste para Divergência. (Ou utilize o Teste da Razão.) 20. lim n→∞ n (n + 1) (n + 2) = lim n→∞ 1 n + 3+ 2/n = 0, então uma vez que {bn } é uma sequência decrescente positiva, ∞ n=1 (−1)n n (n + 1) (n + 2) converge pelo Teste da Série Alternada. 21. Utilize o Teste da Comparação do Limite com ai = 1 i (i + 1) e bi = 1 i . lim i →∞ ai bi = lim i →∞ i i (i + 1) = lim i →∞ 1 1 + 1/i = 1. Uma vez que ∞ i =1 bi diverge (série harmônica) ∞ i =1 1 i (i + 1) também diverge. 22. Sejam an = tg (1/n) n e bn = 1 n 2 . Então lim n→∞ an bn = lim n→∞ n · tg (1/n) = lim n→∞ tg (1/n) 1/n H= lim n→∞ −1/n 2 sec2 (1/n) −1/n 2 = sec2 0 = 1 > 0; assim, uma vez que ∞ n=1 bn converge ( p = 2 > 1), ∞ n=1 tg (1/n) n também converge pelo Teste da Comparação do Limite. 23. lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ 2n+1/ (2n + 3)! 2n / (2n + 1)! = 2 lim n→∞ 1 (2n + 3) ( 2n + 2) = 0 logo, a série converge pelo Teste da Razão.
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