Exercícios Análise Matemática

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1. Verifique se a p-série converge ou diverge. Justifique sua resposta. 
a) 7
1
1
n n
∞
=
∑ 
É uma p – série convergente pois p = 7 > 1. 
b) 
26
1
1
n n
∞
=
∑ 
É uma p – série divergente pois p = 2/6 = 1/3 < 1. 
c) 
85
1
1
n n
∞
=
∑ 
É uma p – série convergente pois p = 8/5 > 1. 
d) 9
1
1
n n
∞
=
∑ 
É uma p – série convergente pois p =9 > 1. 
 
2. Use o Teste de Comparação para determinar quais séries convergem e quais divergem. 
a) ∑
∞
= +1
3
n nn
 d) ∑
∞
=






+1 13n
n
n
n 
A série 
1
1
n n
∞
=
∑ é a série harmônica divergente. Como 3 1nn n >+ pelo teste da comparação a série 
∑
∞
= +1
3
n nn
 também é divergente. 
 
b) ∑
∞
=






+1 13n
n
n
n 
A série 
1
1
3nn
∞
=
∑ é uma série geométrica convergente. Como 1 13 1 3 3 3
n n n
n
n n
n n
     < = =     +     
 pelo 
teste da comparação a série ∑
∞
=






+1 13n
n
n
n também é convergente. 
 
3. Use o Teste da Razão para determinar quais séries convergem e quais divergem. 
a) ∑
∞
=
−⋅
1
2
n
nen 
2 ( 1) 2 1 2 1
2 2 2
2 2
2 2
( 1) ( 1) ( 1)1lim lim lim lim
1 ( 1) 1 2 1 1 2 2 1 2 1lim lim lim lim
2 2
n n
n n
a n e n e e n en
a n e n e nn n n nn
n n n n
e n e n e n e en n n n
− + − − −
− −
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ++ = = =
⋅ ⋅→∞ →∞ →∞ →∞
+ + + +
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
→∞ →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é convergente. 
 
Exercícios Extras 
Prova 
 
Disciplina: Análise Matemática 
Profª Juliana Brassolatti Gonçalves 
b) ∑
∞
=
⋅
1
!
n
nen 
( 1) 1 1( 1)! ( 1) ! ( 1)1lim lim lim lim
! ! 1
. lim ( 1)
n n
n n
a n e n n e e n en
a n e n en n n nn
e n
n
++ + ⋅ + ⋅+ = = =
⋅ ⋅→∞ →∞ →∞ →∞
+ = ∞
→∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é divergente. 
c) ∑
∞
=1 10
!
n
n
n 
( 1)
( 1)
( 1)!
( 1)! 10 ( 1). ! 101 10lim lim lim lim! 10 ! 10 .10 !
10
( 1)lim
10
n nn
n n
n
n
a n n nn
na n nn n n nn
n
n
+
+
+
+ ++ = = ⋅ = ⋅
→∞ →∞ →∞ →∞
+
= ∞
→∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é divergente. 
d)∑
∞
=
−
1
3 )(
n
n ne 
( 1) 3 1 3 1 3
3 3 3
3 2
3 2
( 1) ( 1) ( 1)1lim lim lim lim
1 ( 1) 1 3.( 1) .1 1 6.( 1) 1 6 6lim lim lim lim
3 6 6
1 6 1lim
6
n n
n n
a e n e e n e nn
a e n e n nn n n nn
n n n n
e n e n e n e nn n n n
e en
− + − − −
− −
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ++ = = =
⋅ ⋅→∞ →∞ →∞ →∞
+ + + +
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
→∞ →∞ →∞ →∞
= ⋅ =
→∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é convergente. 
 
4. Use o Teste da Raiz para determinar quais séries convergem e quais divergem. 
a) ∑
∞
=1
)(ln
n
n
n
n
n 
1
(ln ) ln 1lim lim lim lim lim 0
1
n
n n
n n
n n na
n n nn n n n n
= = = = =
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da raiz a série é convergente. Usei que a derivada de (ln n)' = 1/n 
b) ∑
∞
=





 −
1
2
11
n
n
nn
 
2 2
1 1 1 1lim lim lim 0
n
n n
na n n n nn n n
 = − = − = 
 →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da raiz a série é convergente. 
c) 
2
1 2nn
n∞
=
∑ 
2 2 2 1lim lim lim lim
2 2 22
n n
n n
n n n n
n n na
n n n n
= = = =
→∞ →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da raiz a série é convergente. 
d) 2
1
2n
n n
∞
=
∑ 
2 2 2
2 2 2lim lim lim lim 2
nn n
n n
n n n
a
nn n n n n n
= = = =
→∞ →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da raiz a série é divergente. 
 
5. Usando os testes, decidam quais das séries divergem e quais convergem. 
a) ∑
∞
=
−
1n
ne 
( 1) 1 1
1lim lim lim lim
1
1 1lim 1
n n
n n
a e e e en
a e en n n nn
e en
− + − − −
− −
⋅+ = = =
→∞ →∞ →∞ →∞
⋅ =
→∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é convergente. 
b) ∑
∞
= +1 1n n
n 
1lim lim 1
1 1
n
nn n
= =
+→∞ →∞
 
0lim ≠
∞→
nn
a , então a série é divergente pelo teste do n-ésimo termo. 
c) ∑
∞
=1
3
n n
 
A série 
1
1
n n
∞
=
∑ é uma p - série divergente. Como 3 1n n≥ para todo n pelo teste da comparação 
a série ∑
∞
=1
3
n n
 também é divergente. Poderia também usar a propriedade de constante 
multiplicado por uma série divergente continua divergente. 
1
13
n n
∞
=
∑ 
 
 
d) ∑
∞
= ⋅⋅
+
1 3!!3
)!3(
n
nn
n 
( 1)
( 1)
( 4)!
( 4)! 3! ! 33! ( 1)! 31lim lim lim( 3)! 3! ( 1)! 3 ( 3)!
3! ! 3
( 4).( 3)! 3! ! 3 ( 4) ( 4) 1 1lim lim lim lim
3! ( 1). ! 3 .3 ( 3)! ( 1).3 3 3 3 3
nn
n
n
n
n
n
a n nnn
na n nn n nn
n
n n n n n
n n n n nn n n n
+
+
+
+ ⋅ ⋅⋅ + ⋅+ = = ⋅ =
+ ⋅ + ⋅ +→∞ →∞ →∞
⋅ ⋅
+ + ⋅ ⋅ + +
⋅ = = = =
⋅ + ⋅ + + +→∞ →∞ →∞ →∞
 
 
Portanto pelo teste da razão a série é convergente. 
 
6. Quais das séries alternadas divergem e quais convergem? Justifique suas respostas. 
a) ∑
∞
=
+−
1
1 1)1(
n
n
n
 
Pelo Critério de Leibniz temos: 
i) 1lim lim 0nn na n→∞ →∞
= = Ok! 
ii) 1 2 3 ...a a a> > > , isto é, 
1
n
 é uma sequência monótona decrescente. Ok! 
Portanto a série ∑
∞
=
+−
1
1 1)1(
n
n
n
 é convergente. 
b) ∑
∞
=
+ 




−
1
1
10
)1(
n
n
n n 
Pelo teste da raiz temos: 
lim lim ( 1) lim lim
10 10 10
n n
n nnnn n n n
n n na
→∞ →∞ →∞ →∞
   = − = = ∞   
   
 . Portanto a série é divergente. 
c) ∑
∞
=
+−
2
1
ln
1)1(
n
n
n
 
Pelo Critério de Leibniz temos: 
i) 1lim lim 0
lnnn n
a
n→∞ →∞
= = Ok! 
ii) 1 2 3 ...a a a> > > , isto é, 
1
ln n
 é uma sequência monótona decrescente. Ok! 
Portanto a série ∑
∞
=
+−
2
1
ln
1)1(
n
n
n
 é convergente. 
 
 
7. Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries: 
 
a) ∑
∞
=
+−
0
)14()1(
n
nn x 
2 3
0
( 1) (4 1) 1 (4 1) (4 1) (4 1) ( 1) (4 1)n n n n
n
x x x x x
∞
=
− + = − + + + − + + + − + +∑   
Esta série é uma série geométrica de razão (4 1)r x= − + e 1=a . É convergente se 1<r , ou seja, 
(4 1) 1x− + < ou 1 4 1 1x− < + < ou 2 4 0x− < < ou 2 0
4
x− < < ou 1 0
2
x− < < . Portanto podemos 
dizer que a série geométrica 
2 3
0
( 1) (4 1) 1 (4 1) (4 1) (4 1) ( 1) (4 1)n n n n
n
x x x x x
∞
=
− + = − + + + − + + + − + +∑   
 é convergente dentro do “raio de convergência” 1 0
2
x− < < . 
Sua soma é: 1 1 1
1 1 [ (4 1)] 1 4 1 4 2
aS
r x x x
= = = =
− − − + + + +
, ou seja, 
2 3
0
1( 1) (4 1) 1 (4 1) (4 1) (4 1) ( 1) (4 1)
4 2
n n n n
n
x x x x x
x
∞
=
− + = − + + + − + + + − + + =
+∑   
b) 
1
(3 2)
2
n
n
n
x∞
=
−∑ 
2 3
0
(3 2) (3 2) (3 2) (3 2) (3 2)1
2 2 4 8 2
n n
n n
n
x x x x x∞
=
− − − − −
= + + + + + +∑   
Esta série é uma série geométrica de razão 3 2
2
xr −= e 1=a . É convergente se 1<r , ou seja, 
(3 2) 1
2
x −
< ou 3 21 1
2
x −
− < < ou 2 3 2 2x− < − < ou 0 3 4x< < ou 40
3
x< < . Portanto podemos 
dizer que a série geométrica 
2 3
0
(3 2) (3 2) (3 2) (3 2) (3 2)1
2 2 4 8 2
n n
n n
n
x x x x x∞
=
− − − − −
= + + + + + +∑   
 é convergente dentro do “raio de convergência” 40
3
x< < . 
Sua soma é: 1 1 1 1 22 (3 2 )2 3 2 3 43 21 3 41
2 2 22
aS x x xxr x
= = = = = =
− − − + − +−− − + −  
 
, ou seja, 
2 3
0
(3 2) (3 2) (3 2) (3 2) (3 2) 21
2 2 4 8 2 3 4
n n
n n
n
x x x x x
x
∞
=
− − − − −
= + + + + + + =
− +∑   
 
 
c) 
0
( 1) ( 2)
3
n n
n
n
x∞
=
− +∑ 
2 3
0
( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2)1
3 3 9 27 3
n n n n
n n
n
x x x x x∞
=
− + + + + − +
= − + + + + +∑   
Esta série é uma série geométrica de razão ( 2)
3
xr += − e 1=a . É convergente se 1<r , ou seja, 
( 2) 1
3
x +
− < ou ( 2)1 1
3
x +
− < < ou 3 2 3x− < + < ou 5 1x− < < . Portanto podemos dizer que a 
série geométrica 
2 3
0
( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2)1
3 3 9 27 3
n n n n
n n
n
x x x x x∞
=
− + + + + − +
= − + + + + +∑   
 é convergente dentro do “raio de convergência” 5 1x− < < . 
Sua soma é: 1 1 1 1 3( 2) 3 2 5( 2)1 511
3 3 33
aS x x xxr x
= = = = = =
+ + + ++− +  +− − 
 
, ou seja, 
2 3
0
( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) 31
3 3 9 27 3 5
n n n n
n n
n
x x x x x
x
∞
=
− + + + + − +
= − + + + + + =
+∑  