Seção 11_7_Soluções

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SEÇÃO 11.7 ESTRATÉGIA PARA TESTES DE SÉRIES  3
 1. Utilize o Teste de Comparação com an =
n
n 2 + 1
e
bn =
1
n 3 / 2
: n
n 2 + 1
<
n
n 2
=
1
n 3 / 2
, e
∞
n=1
1
n 3 / 2
é uma
série p convergente (p = 32 > 1), logo
∞
n=1
an =
∞
n=1
n
n 2 + 1
converge também.
 2. lim
n→∞
cos n não existe, de modo que a série
diverge pelo Teste para Divergência. 
 3. 
∞
n=1
4n
32n − 1
= 3
∞
n=1
4
9
n
, que é uma série geométrica 
convergente (|r | = 49 < 1.)
 4. lim
i→∞
ai+1
ai
= lim
i→∞
(i + 1)4 4i+1
i4/4i
=
1
4
lim
i→∞
i + 1
i
4
=
1
4
< 1
logo, a série converge pelo Teste da Razão.
 5. A série converge pelo Teste da Série Alternada,
an =
1
(ln n )2
é decrescente (ln x é uma 
função crescente) e lim
n→∞
an = 0.
uma vez que 
 6. 
∞
k=1
k−1,7 =
∞
k=1
1
k 1,7
é uma série p convergente 
(p = 1,7 > 1).
 7. lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
10n+1 / (n + 1)!
10n/ n!
= lim
n→∞
10
n + 1
= 0 < 1
logo, a série converge pelo Teste da Razão.
 8. lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
(n + 1) /en+1
n/en
=
1
e
lim
n→∞
n + 1
n
=
1
e
< 1
logo, a série converge pelo Teste da Razão.
 9. Seja f (x) =
2
x (ln x)3
. f (x) é claramente positiva e decrescente
para x ≥ 2, logo podemos aplicar o Teste da Integral. 
∞
2
2
x (ln x )3
dx = lim
t →∞
−1
(ln x )2
t
2
= 0 − −1
(ln 2)2
,
logo
∞
n=2
2
n (ln n )3
converge. que é finito,
 10. 3
n
5n + n
≤
3n
5n
=
3
5
n
. Uma vez que 
∞
n=1
3
5
n
é uma série
geométrica convergente (|r | = 35 < 1),
∞
n=1
3n
5n + n
converge pelo Teste de Comparação. 
 11. lim
m→∞
2m
8m − 5
=
1
4
= 0, então a série diverge pelo Teste
para Divergência.
 12. Utilize o Teste da Comparação do Limite
com an =
n 3 + 1
n 4 − 1
e bn =
1
n
.
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
n 4 + n
n 4 − 1
= lim
n →∞
1 + 1 n 3
1 − 1 /n 4
= 1, e
uma vez que 
∞
n=2
bn diverge (série harmônica), 
∞
n=2
n 3 + 1
n 4 − 1
também diverge.
 13. lim
n→∞
n |an | = lim
n→∞
n 2 + 1
2n 2 + 1
=
1
2
< 1, logo,
 a série converge (Teste da Raiz).
 14. Seja f (x ) = x
e x
. Então f (x ) é contínua e positiva e 
f (x ) = 1 − x
2 xe x
< 0 em [1,∞), logo f (x ) é decrescente
e podemos utilizar o Teste da Integral. 
∞
1
x
e x
dx = lim
t→∞
−2x − 4 x − 4
e x
t
1
= 0 − − 10
e
=
10
e
(utilizando a integração por partes e a Regra de l’Hôspital),
logo a série converge.
 15. Sejam an=
3
4n − 5
e bn =
1
n
. Então lim
n→∞
an
bn
=
3
4
, assim, uma
∞
n=1
bn diverge (série harmônica), 
∞
n=1
3
4n− 5
também 
diverge pelo Teste de Comparação de Limite.
vez que
 16. Seja an =
n 2
n 5 + n 2 + 2
e bn =
1
n
. Então
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
1
1 + n− 3 + 2n− 5
= 1, uma vez que 
∞
n=1
bn diverge (série p com p = 12 < 1), logo
∞
n=1
n 2
n 5 + n 2 + 2
também diverge pelo Teste da 
Comparação do Limite. 
 
 17. Esta série diverge, pois é uma série geométrica com r = −pi
e |r | = pi > 1. (Ou utilize o Teste para Divergência.)
11.7 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 11.7 ESTRATÉGIA PARA TESTES DE SÉRIES
 18. Seja an =
3 n +1
n ( n +1)
e bn = n− 7 /6 . Então
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
1 + n− 1 / 3
1 + n− 1 / 2
= 1, assim, uma vez que
∞
n=1
bn
converge ( p = 76 > 1),
∞
n=1
3 n + 1
n ( n + 1)
também converge
pelo Teste da Comparação do Limite.
 19. lim
n→∞
23n − 1
n 2 + 1
= ∞ (utilize a Regra de l’Hôspital duas vezes),
então a série diverge pelo Teste para Divergência.
(Ou utilize o Teste da Razão.)
 20. lim
n→∞
n
(n + 1) (n + 2)
= lim
n→∞
1
n + 3+ 2/n
= 0, então uma
vez que {bn } é uma sequência decrescente positiva,
∞
n=1
(−1)n n
(n + 1) (n + 2)
converge pelo Teste da Série Alternada. 
 21. Utilize o Teste da Comparação do Limite com 
ai =
1
i (i + 1)
e bi =
1
i
.
lim
i →∞
ai
bi
= lim
i →∞
i
i (i + 1)
= lim
i →∞
1
1 + 1/i
= 1. Uma
vez que
∞
i =1
bi diverge (série harmônica)
∞
i =1
1
i (i + 1)
também diverge.
 22. Sejam an =
tg (1/n)
n
e bn =
1
n 2
. Então
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
n · tg (1/n) = lim
n→∞
tg (1/n)
1/n
H= lim
n→∞
−1/n 2 sec2 (1/n)
−1/n 2
= sec2 0 = 1 > 0; assim,
uma vez que 
∞
n=1
bn converge ( p = 2 > 1),
∞
n=1
tg (1/n)
n
também converge pelo Teste da Comparação do Limite. 
 23. lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
2n+1/ (2n + 3)!
2n / (2n + 1)!
= 2 lim
n→∞
1
(2n + 3) ( 2n + 2)
= 0
logo, a série converge pelo Teste da Razão.