Wu Hong Kwong - Introdução ao Controle de Processos Químicos com Matlab 1-EdUFSCar (2009)

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Wu Hong Kwong . ·;-: 
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Introdução ao Controle de 
Processos Químicos com MATLAB 
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Volume 1 
. EdUFSCar 
São Carlos, 2009 . . . " , 
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Digitalizado com CamScanner 
Sumário 
Prefácio ......... ... .... ...................... .. .. ........................................................................................ 7 
Capítulo 1 
Incentivos para Controle de Processos Químicos ..................... ........................... .............. 9 
Capítulo 2 
Aspectos de Projeto de um Sistema de Controle de Processo .................................. ....... 19 
Capítulo 3 
Hardware de um sistema de controle de proceso .......................... ...................... ........... 31 
Capítulo 4 
Desenvolvimento de Modelos Matemáticos .................................. ............. ..................... 35 
Capítulo 5 
Considerações de Modelagem para Fins de Controle ..................................................... 59 
Capítulo 6 
Simulação em Computador e Linearização de Sistemas Não-lineares ............................ 67 
Capítulo 7 
Transformada de Laplace ................................................... ..... ......................................... 89 
Capítulo 8 
Aplicação da Transformada de Laplace na Solução de 
Equações Diferenciais de Coeficientes Constantes Lineares .......................................... 105 
Capítulo 9 
Função de Transferência ... ....... ...................................................................................... 119 
Capítulo 1 O 
Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem ..................................... ... 143 
Capítulo . 11 
Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem .... ...... ... .......................... 175 
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Digitalizado com CamScanner 
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Prefácio 
prc5cnte te;r; to enfoca o cont role de prn e , o .. p r rcJ.limentação. Procurou-se 
1prc1.cnt ;H o ;11.,1., un1 0 de fo rma ~imple e sinté ica. dando mais cnfase à resolução de 
proh lcrnac. e ilu !> trando conceitos e princípio fundamcn ais . ~tui t do material cscritl) 
íni ha <. c;Jdo no CJ:cclcnlc livro de Stephano uto~ ( t ) . que. :i meu \"Cr. é um dos mais 
ditl6tico" c111 controle de procc~~º' · mas .. ..-cJ idade m qu~ surgem no,·as teoria~ de 
co111 rolc e . igc que e~"ª " no a.., fcrramcn .15 ~cjam pas ... dJ" p3r.1 ~lluno. Né, se ·cntàdo, 
c ~tc apont arncn lo vem complcmcn&<H o tí~·ro do t.cph;Hwp ulo~· e. por ter ~ddo c~crito 
de forma mai~ dírí gíd<i ti rc..,o luçâo de {lrohtcf'fl;l . . rc"- mcnda·~c !\ lciwr que tlllcir.a 
uprnfundar oi, conhccírncnlo" 'ºº'e ;1 lco ti11 t:I" ~ol'llt k ~ fctEmu de outros làvros dn Mca. 
/\lgun!t hfio lí !;lado~ no final do CaJ hulP L 
Vcro,i1cs prclí111i11arc" dc .. tc hntP h1rnft1 uhllt~d<l-: tr 11.'.u ~ P de> LPfllrolc llc Prol~CSSós 
()11(111 icoi>, <111 I J nivc r~ Í<lm.l c Fcdc,al lk 5âo Cadti . ihu~11Mé •/~~ ~cn MW~ . 
O 111111crl11I é uprnprhtdo fHH.a um (Uf' P de. gr.uhM .l. • t'fU ntvcl lntwdutfülo. cm 
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cnucnhciros que dc scj ~•m rc í IM ~cu11o nnC"dC ~ ~' ~ UHY>k tk IHPéC.!\~OS. Forum 
incluídos l111i111crn ~ cxcmpJo.., ' l"C' r:ucm º"' { f p MA'ft. b\il ~'~·r - V pm"·urnntlfl, dc:ssu for111n. 
l111rod11i'.ir o 11lu11n IH) \1 1'0 de unrn fornuu ru.:; ·vmr u~h>~~t pm~ rt:4<ltu~nn dt prohlc1111i11 
lk co111roll~ de pro~~ sst s, 1 ºª" :llu:ilmcn1ie ~ ·4J4 v-c_t mah ~mr,~t:.~dmHvcl no crngcnholro 
proj l:listn dê SÍSlélllllS de .<lOl rnlc m. rtu'LtJlf (.' ·'4' fttfl'1ifft~f*J\" 
\Vu l long Kwong 
j~aneíro de 2002 
Digitalizado com CamScanner 
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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB . · 9 
1. Incentivos para Controle de Processos Químicos 
1.1 Introdução 
A planta química é um conjunto de unidades processadoras (reatores, trocador~s de 
calor, bombas, colunas de destilação, absorvedores, evaporadores, tanques etc.), mte-
gradas umas com as outras de maneira sistemática e ra~ional. ? .objetivo glo?al da ~la? ta 
é converter matérias-primas em produtos desejados, por mtermedrn do uso mais economico 
de fontes de energia disponíveis (Stephanopoulos, 1984). 
A operação da planta deve satisfazer várias exigências impostas pelo projeto e pelas 
condições técnicas, econômicas e socias na presença de influências externas (pertur-
bações). Entre todas as variáveis de processo, algumas são selecionadas como variáveis 
de processo-chave porque mantendo-as nos valores médios especificados significa que 
os objetivos de produção serão satisfeitos. Algumas exigências são (objetivos ope-
racionais): 
1. Segurança = A segurança é uma exigência primordial na operação de uma planta química 
(exemplo: limite na pressão de operação de um reator químico). 
2. Proteção ao meio ambiente - Respeitar a legislação de forma a causar o núnimo de 
danos ao meio (exemplo: emissão de S0
2
). 
3. Restrições operacionais - Vários tipos de equipamentos usados na indústria química 
tem restrições inerentes a sua operação (exemplo: os tanques não podem transbordar 
nem secar). 
4. Especificação da produção-Atingir a produção desejada e o produto final com qualidade 
aceitável (exemplo: produzir 2 mil toneladas de etileno por dia, com 99,5% de pureza). 
5. Econômico -A operação de uma planta deve atender às condições do mercado, isto é, à 
· disponibilidade de matéria-prima e à demanda do produto final. Exige~se que as condições 
de operação sejam controladas em nível ótimo, cujo lucro seja máximo. 
Assim, há necessidade de monitoramento contínuo da operação de uma planta 
química e de intervenções externas (controle) para garantir os objetivos operacionais. 
Isso é feito por um arranjo racional de equipamentos (dispositivos de medição, válvulas, 
con~roladores, computadores) e por intervenção humana (supervisores, operadores), os 
quais constituem o sistema de controle. 
Exemplo 1.1 Planta de Williams Otto 
A planta considerada aqui foi .apresentada por Williams e Otto (1960) como um 
es~udo de caso para investigar o uso de controle por computador. A Figura 1.1 mostra 
0 lu~ograma dessa planta, bem como as correntes e as temperaturas das correntes 
associadas. Pode-se observar a presença de reator, trocador de calor, separadores 
(d~ca.ntador e coluna de destilação) e correntes de reciclo, que são típicos em plantas 
qu1m1cas. 
Digitalizado com CamScanner 
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, A tamentos 
1 O EdUFSCar - ipon 
Reacti.on 
FR Cooler 
Figura 1.1 Planta de Williams Otto. 
Reações 
A+B~C 
· C+B~P+E 
P+C~G 
p =produto desejado _., 
e e E = têm valores energéticos · 
G = resíduo insolúvel 
Objetivos 
FW3 
FWl 
1. Manter as variáveis do reator nos níveis determinados pela otimização. 
2. O resfriador da reação deve resfriar a mistura de produtos abaixo de 100 F (38ºC). Caso 
contrário, G não pode ser separado no decantador. 
3. A temperatura do fundo da coluna de destilação não deve exceder determinado valor 
máximo, a fim de evitar reação entre os componentes. 
4. A concentração do produto do topo deve satisfazer as esp~cifkações. 
. Para satisfazer os objetivos anteriormente descritos, Morari e Stephanopoulos ( I 98Ü) 
propõem uma estrutura de controle esquematizada na Figura 1.2. Pode-se observarª 
~r~s.ença de inúmeras malhas de controle simbolizadas por: 
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~ · . .' :' l. ~ ~ : : .. @ co~troÍador de composição 
. · · · .· ·@ controlad~r de nível . ' 
@ controlador de razão. 
. . . ·. ·@·.c;~~~.~ador de temperatura" 
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Óigitalizado com CamScanner 
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• • • j. 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 11 
Figura 1.2 Possível estrutura de controle para a planta de Williams Otto. 
Cada uma dessas malhas de controletem uma função específica, seja no controle do nível 
nos equipamentos, no controle da temperatura das correntes ou dos equipamentos, seja no 
controle da composição da corrente de produto P ou no controle da razão entre as vazões 
FA e F8 • 
1.2 Objetivos . de Controle 
Há três classes gerais de necessidades que um sistema de controle deve satisfazer 
(objetivos de controle): 
• Suprimir a influência de perturbações externas. 
• Assegurar a estabilidade de um processo químico. 
• Otimizar o desempenho de um processo químico. 
Ou uma combinação entre elas. 
1.3 Exemplos Ilustrativos 
Serão apresentados nesta seção exemplos que ilustram a necessidade de sistemas de 
controle para atender aos objetivos de controle. 
1.3.1 Suprimir a Influência de Perturbações 
Exemplo 1.2 Controle da operação de um tanque agitado com aquecimento 
Uma corrente líquida à temperatura 'f; encontra-se disponível a uma vazão F;. 
Deseja-se aquecer essa corrente até uma tcmperntura mais alta T. O sistema de aque-
cimento proposto é mostrado na Figura 1 .3. O fluido escoa para o interior do tanque, com 
um bom agitador e uma serpentina onde circula vapor de aquecimento. Supõe-se que a 
agitação seja suficiente para assegurar que todo o fluido no tanque esteja à mesma 
temperatura T. O fluido aquecido é removido pelo fundo do tanque à vazão F, como 
· produto desse processo de aquecimento. Nessas condições, a temperatura do fluido 
efluente fica sendo a mesma que a do fluido no interior do tanque. 
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Digitalizado com CamScanner 
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12 EdUFSCar - Apontamentos 
1 
F,T 
Condensado 
F,t 
Vapor 
Figura 1.3 Tanque agitado com aquecimento. 
em que: 
F = vazão (ft3/min) 
T =temperatura (ºF) 
h = altura do líquido no tanque (ft) 
Q =taxa de fornecimento de calor (Btu/min) 
Objetivos de controle 
1. Manter a temperatura do efluente T no valor desejado Ts . 
2: Manter o volume de líquido do tanque no valor desejado Vs. 
Durante a operação desse tanque, o que pode provocar desvios em relação a Ts e 
V? ,ç• 
Perturbações 
1. Variação na vazão de alimentação F; . 
2. Variação na temperatura de alimentação T;. 
Que ações de controle podemos utilizar para compensar 0 impacto das perturbações 
e manter T e V nos valores desejados? 
Ação de controle para manter T = Ts quando T; ou F; varia 
O Esquema 1 mostra um sistema de controle para manter 
cujo F; seja constante. 
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Termopar 
Setpoint T • 
T, ---+1()(1 Comparador 
Controlador 
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Esqíiema :t T; varia, · F; =constante. 
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7;. Pi = constante 
~ 
.F,T 
F,, .. , ,. 
·, ,• ~ ·. 
T = T em situações 
s 
Digitalizado com CamScanner -
lntrocluçlto no Cgntm l dt! Pr<1cc-uo~ Químicos com MATlAS ·13 
Nesse ·squcma, r ~ l.'nmpa1111 ln n r .. acu nndo 11111 d ·wlo r. ~ 'f', - T, O valor de e 
é enviado 11 u111 mccani. mn dr cn11 11 ok que 1kcidír :í n q11c de e . cr fe ito para rrazcr a 
tempcrnl\l rn r de V1) l la n ~ l' ll \' fl l ot r,. SC' ; 
E > O. implica qnc T 7, . n conlmlnclm nhrir(t mah n v(l l ula de vnp Jr de mndo a forncc.cf 
mai~ :t lN . 
. T 7", . n · nntrnlador f' harfl maíq a álv11 la de apor . 
. T = T, . ' nt rolaclnr nada fo7 .. 
E.. '.- i. t m:-i 1 nn1rnl , m que ~e mede a va riá e l ele import!lnc ía direta (no ca~ot 
T d p0i. que a pen11rh ;i iio a a fel< u, é denominado JÍ.Hema ele controle por t twli-
, 1c11ín l i n ("frcdba k ont rol ~y~ te rn") . O va lor desejado Tr é chamado de. vulor de 
.f -· 1 in ("sct p i nt' ' ) e é fo rnecido externamente. 
ma da~ s egui nte~ confi gurações pode ser empregada se desejarmos mante r o 
v0!umc \ ou, de maneira equivalente, o nível de líquido li no sct point h, quando .f: 
\ '"' 1 a. 
Fi. 7; = conztars.te 
1 
Medidor 
de nível 
, 
, / • • h Set poir1t 
L-1--+-- ....... -" ,-1tf}!.:_T ~-+-- h, 
7 - • a-y : . ~ Comroladôr 1 
F,,, 
f~~qut~nrn 2. F, V{tri i , T, =e n tanle. 
--·· - ·• •• • · •• · · -- · - Corrírolarfor 
Ob"cr\ic ciue ~mbo o:.. cl,,(1ueu1.a mv~tHHIO\ tmtctíorm~utç utu.am pu .. fl fm:t (npós o 
fo1 0) , l s10 é, dtpDÍ\ <JUC o çfoho da JM:ruuba.çau foi. ')~u táôo pd o processo. ou .scj u. silo 
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. 14 EdUFSCar -Apontamentos 
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A 
· d;1: te para manter T = T quando T; varia (Esquema 4) r ra1110 11 e ren · s 
M d·r a temperatura de entrada e abrir ou fechar mais a válvula de vapor. Tal 
e 1 · ~ · ("f df d l") 
f . ç-0 é denominada controle antec1patorw ee orwar contra . con igura a 
----ç 
: 7; 
1 
1 
Tennopar 
7;, ~ = constante 
1 
F,T 
i Contr~lador ~ - - - - - -
F,, 
Esquema 4 T; vana, F; = constante. 
Note que o controle antecipatório não espera que o efeito da perturbação seja sentido 
pelo sistema, mas atua apropriadamente antes que a perturbação o afete. 
Comentários 
A vantagem de controle "feedback" é que ele é uma técnica simples que compensa 
para todas · as perturbações. Para qualquer perturbação que afete a variável controlada, 
tão logo essa variável desvie de seu "set point", o controlador ajustará sua saída para 
retornar a variável controlada a seu "set point". A malha de controle "feedback" não 
conhece, e nem precisa, qual perturbação entra no processo. Ela apenas tenta manter a 
variável controlada no "set point" e, ao fazê~lo, compensa todas as perturbações. Ades-
vantagem do controle "feedback" é que ele pode compensar uma perturbação somente 
após a variável controlada ter sido desviada de seu "set point". Isto é, a perturbação deve 
propagar por todo o proce~so antes que o esquema de controle "feedback" possa 
compensá-la. 
Embora o esquema de controle "feedforward" tenha, teoricamente, o potencial de 
manter a temperatura T em Ts sem erro, a maior dificuldade desse esquema de controle 
reside no fato de que o cálculo da ação de controle não é uma tarefa simples, pois requer 
identificação de todos os distúrbios possíveis e de um modelo preciso do processo. 
1.3.2 Assegurar a Estabilidade de um Processo 
Considere o comportamento da variável x, mostrado na Figura 1.4. 
..... 
Tempo 
· ".Figura i.4· . Resp~sta de um sistema estável. . 
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Digitalizado com CamScanner 
Introdução ao Controle de Processos Qufmlcos com MATLAB 15 
No instante t = 10 o valor constante ele x é perturbado por algum fator externo, mas 
com o decorrer do tempo, o valor ele x retorna ao valor iniciul e lá permanece. 
Sendo assim, x pode ser uma variá vcl de processo como temperatura, pressão, 
concentração ou vazão; assim, dizemos que o processo é estável ou auto-regu.latório e 
não necessita de intervenção externa para sua cst:abi lização. 
Em contraste com o comportamento descrito anteriormente, a variável y mostrada 
na Figura 1.5 não retorna ao seu inicial após ser perturbada por influência externa. 
Processos cujas variáveis seguem o comportamento indicado pela Figura 1.5 (curvas A, 
B ou C) são instáveis e necessitam de controle para estabilização do comportamento. 
y 
A 
Tempo 
Figura · 1.5 Respostas de sistemas instáveis. 
Exemplo 1.3 Controle da operação de um reator CSTR instável 
Uma corrente líquida entra no tanque a uma vazão F;, contendo o reagente A a uma 
concentração cA;• como mostra a Figura 1.6. O reagente A se decompõe .no tanque de 
acordo com a reação química irreversível exotérmica. 
A~B 
A reação é conduzida no tanque com agitação e mantida a .uma temperatura T. O 
calor de reação é removido por um refrigerante que flui em uma camisa que circunda o 
reator. 
Reagente 
c..t• T, F 
Refrigerante Produto 
Figura 1.6 Reator CSTR. 
Da análise de um sistema CSTR, a curva que descreve a quantidade de calor gerado 
pela reação exotérmica é uma função sigmoidal da temperatura T no reator (curva A). Por 
outro lado, o calor retirado do sistema é . uma .função.linear da temperatura (curva B) (veja 
a Figura 1.7). 
1: ' ~ 
Digitalizado com CamScanner 
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16 EdUFSCar -Apontamentos 
calor/tempo 
A 
Q 
T temperatura 
F
. 1 7 Pontos estacionários do reator CSTR. 
1gura · 
· tabelec1· do 0 calor gerado pela reação deve ser igual ao calor retirado. Essa Em regime es ' . ,, . , 
. ,.. · ode resultar nos três estados estac10nanos, PI' P2 e P~, que correspondem as ex1gencia p · 
interseções entre as duas curvas. 
Os estados estacionários P
1 
e P3 são estáveis, enquanto P2 é instável. Para entender 
0 
conceito de estabilidade, vamos considerar o ponto P2 • Admitindo que estejamos 
operando inicialmente o reator nesse ponto, cuja temperatura é T2 e a concentração, c A2• 
Vamos considerar que num dado instante a temperatura de alimentação T; sofre um 
pequeno aumento momentâneo, isto provocará aumento na temperatura da mistura 
reacional indo de T
2 
para r;. Com esse aumento, haverá maior liberação de calor devido 
a um aumento na taxa de reação. Mas a taxa de remoção de calor pela camisa não 
consegue acompanhar no mesmo ritmo essa liberação de calor, conseqüentemente, a 
temperatura do reator aumentará. Esse comportamento levará a operação do reator até 
o ponto P3 , em que o reator se estabilizará. Essa mesma análise também vale caso a 
temperatura 1'; diminua, entretanto, a operação do reator se estabilizará no ponto P1 • Se 
estivermos operando inicialmente em outro ponto estacionário P1 ou P3 , e perturbarmos 
a operação do reator, ele naturalmente retornará ao ponto inicial. Todas essas análises 
são mostradas na Figura 1.8. 
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Tempo O Tempo 
1 
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··········-·······-·······-·····-······· -- -· . . - - --- ·--- - -- 1. ·- -- - -·- ---- --- --·- -- ·- - -- - --- ·-· 
Digitalizado com CamScanner 
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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 17 . · · (, 
Às vezes precisamos operar o CSTR no estado estacionário instável, pelos seguintes · 
motivos: 
1. O estado estacionário de temperatura baixa P
1 
causa pouca reação, porque a temperatura 
7; é muito baixa. 
2. A temperatura do estado estacionário P3 pode ser muito alta, causando operações 
inseguras, desuuição do catalisador em reatores catalíticos, degradação do produto B etc. 
Nesses casos, precisamos de um controle que assegure a estabilidade da operação 
no estado estacionário médio. 
1.3.3 Otimizar o Desempenho de um Processo Químico 
Exemplo 1.4 Otimizar o desempenho de um reator de batelada 
Considere o reator de batelada esquematizado na Figura 1.9, no qual ocorrem duas 
reações consecutivas 
O produto desejado é B, e C é um resíduo indesejado. Ambas as reações são 
endotérmicas e de primeira ordem. A energia necessária para as reações é fornecida pelo 
vapor que circula na camisa de vapor ao redor do reator. 
·' 
Condensado 
1 c:=tr~lador 1 
Figura 1.9 Reator de batelada. 
Objetivo de controle 
Maximizar o lucro <I> no período de tempo t, (período de reação), dado por: 
maximizar <I> = L' [(receita pela venda de B )-custo do vapor]dt - custo de A ( 1.1) 
A única variável que pode ser alterada livremente, visando maximizar o lucro, é a 
vazão de vapor Q. A vazão de vapor, que pode variar com o tempo, afetará a temperatura 
do reator que, por sua vez, afeta as taxas das reações desejada e indesejada. A questão 
é como variar Q(t) de modo que o lucro <I> seja máximo. A Figura 1.1 O ·mostra o 
resultado do cálculo de Q(t) que maximiza <I>. 
' 
Esse é um problema típico de controle ótimo que não é abordado no livro. Para um 
tratamento mais completo sobre controle ótimo, o leitor pode consultar o livro do Ray 
(1981). . ·.. . . . . . 
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Digitalizado com CamScanner 
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18 EdUFSCar - Apontamentos 
Q Vazão de vapor 
QJIJ,IK 
Q . .. o mJI\ o t7 Tempo 
- de vapor para o reator de batelada. 
Figura t.10 Perfil ótimo da vazao 
Bibliografia . . 
· R p s systems analysis and control. New York: McGraw-H1ll, 
COUGHANOWR, D. . roces . 
1991. 
COUGHANOWR, ti. R.; KOPPEL, L. B. Análise e controle de processos. Rio de 
Janeiro: Guanabara Dois, 1978. 
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LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation and control for chemical engineers. 2. 
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'LlTYBEN, W. L.; LUYBEN, M. L. Essentials of process control. New York: McGraw-
Hill, 1997. 
MARLIN, T. E. Process control: designing pr9cesses and control systems for dynamic 
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MORAR!, M.; STEPHANOPOULOS, G. Studies in the synthesis of control sfructures 
for chemical processes. Part II: Structural aspects and the synthesis of alternative feasible 
contrai schemes. AIChE Journal, v. 26, n. 2, p. 232°246, 1980. 
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.. J:/t'c''.:~',:;;;.;:~~·LL!~~s, . :. · j/.OTTO, .R. E. A gen~rálized chemical proc~ssing ínodel .for 'the 
;_,-.> ''.:':;;J}jfg~;/:~~~s~1~~~10n. ()f ·ccn1:1~,l1~er'~ontrol. -AIEETrans.; v; 79, p. 458-473, 1960. ·· · 
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Digitalizado com CamScanner 
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· ; 
Introdução ao Controle de Processos Qufmicos com MATIAB' ... 19 
~: ·. ·. .· 2. Aspectos de Projeto de urrt Sistema de· 
Controle de Processo 
'·. 
2.1 Classificação das Variáveis de um Processo Químico 
As variáveis (vazão, temperatura, pressão, concentração etc.) assocíadas a um 
processo químico são divididas em dois grupos: 
• Variáveis de entrada ("input") - denotam o efeito das vizinhanças sobre o processo 
químico. 
• Variáveis de saída ("output") - denotam o efeito do processo sobre as vizinhanças. 
Exemplo 2.1 CSTR com camisa de refrigeração. 
Uma corrente líquida entra no tanque a uma vazãô volumétrica F; contendo o 
reagente A a uma concentração e Ai• como mostra a Figura 2.1. O reagente A se decompõe 
no tanque de acordo com a reação química irreversível 
A-7 B 
A reação é conduzida no tanque com agitação e mantido a uma temperatura T. 
Reagente 
Refrigerante 
Figura 2.1 Reator CSTR. 
Temos a seguinte classificação das variáveis: 
• Variáveis de entrada: cA ., T, F., T ., F, (F) · 
1 1 1 C/ C 
• Variáveis de saída: cA, T, F, T , V co 
Produto 
Note que a vazão efluente F pode ser considerada uma entrada ou uma saída. Se 
há uma válvula de controle na corrente de saída, de modo que sua vazão pode ser 
manípulada por um controlador, a variável Fé uma entrada, uma vez que a abertura da 
válvula é ajustada externamente; do contrário, F é uma variável de saída. 
Exemplo 2.2 Tanque de aquecimento com agitação 
Uma corrente líquida à temperatura 1~ encontra-se disponível a uma vazão F;. 
Deseja-se aquecer essa corrente até uma temperatura mais alta T. Q . sistema de 
aquecimento proposto é mostrado na Figura 2.2. O fluido escoa para ointerior do tanque 
dotado de um bom agitador e uma serpentina na qual circula. v~por de ·aquecimento. 
Supõe-se que a agitação seja suficiente para assegurar que todo o fluído no tánqúe esteja 
Digitalizado com CamScanner 
. : . . 
.. · . .. 
' ... :r 
' ·,. '' 
.·_•., •. t " 
,·'· 
··11 
20 EdUFSCar - Apontamentos 
. , emovido pelo fundo do tanque à Vé.lzão 
a T o fluido aquectd~ e r t Nessas condições, a temperatura do 
à mesma temperatur . cesso de aquec1men o . 
F como produto desse prod fltiido no interior do tanque. ' · , mesma o 
fluido efluente e a 
F,. 7; 
F,, 
Vapor 
Figura 2.2 Tanque de aquecimento com agitação. 
Temos a seguinte classifica'ção das variáveis: 
• Variáveis de entrada: F., T., F ,. (F) 
1 1 s 
• Variáveis de saída: F, V, T 
Novamente, note que a vazão efluente pode ser uma entrada ou uma saída, 
dependendo de ela ser manipulada ou não. 
2.1.1 Classificação das Variáveis de Entrada 
As variáveis de entrada são classificadas em duas categorias: 
• Variáveis manipuladas (ou ajustáveis) - se seus valores podem ser ajustados livremente 
pelo operador ou por um sistema de controle. 
• Perturbações - se seus valores não são resultantes de ajuste pelo operador ou por um 
sistema de controle. 
2.1.2 Classificação das Variáveis de Saída 
As variáveis de saída também são classificadas em duas categorias: 
:.>:. ..... : 
• . ·Variáveis de saída medidas - se seus valores são conhecidos pela medição direta das 
· mesmas. 
· • Variáveis de saída não medidas - se seus valores não são ou não podem ser medidos 
diretamente. 
'· ' 
Exemplo 2.3 
Pa,ra o I"Il:es~? tanque de aquecimento com agitação do Exemplo 2.2, as variáveis 
podem ser class1f1cadas em: · · · · . · · · •. :·. 
;.,. r'._;:, 
-~ . . Perturpações: Fi, T; 
· • Manipuladas: F , F 
, , · • SI 
· . • -Saídàs medidas: V, T 
. . . ·. · .. ' ,," ' ' ·, .· -· · 
'• ~li~~-· . .. ; ~. ; .. ·. ·.• ·~·. 
··' .·· '• : .• .·:•. 
· .. \ ..... ·· 
· . · .. ···. 
Digital izado com CamScanner 
.l 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 21; 
Note que neste exemplo a variável F foi considerada manipulada. 
Exemplo 2.4 
Tomando o mesmo reator CSTR com camisa de refrigeração do Exemplo 2.1. 
Hipótese: a corrente de entrada vem de uma unidade a montante 1, sobre a qual não 
temos controle algum, portanto e ., F. e T. são perturbações. 
'-"' I 1 I 
Se a vazão de refrigerante é ditada por uma válvula de controle, então Fc é uma 
variável manipulada, enquanto rei é uma perturbação. 
Se a vazão do efluente é ditada por uma válvula de controle, F é uma variável 
manipulada, do contrário é uma variável de saída. 
T, F, T e V são variáveis de saída medidas, pois seus valores podem ser facilmente 
co 
conhecidos usando termopares (T, T ), medidor Venturi (F) e uma célula de pressão 
co 
diferencial (V). 
Ressalta-se que cA pode ser medido se um an~lisador (cromatógrafo a gás, 
espectrofotômetro infravermelho etc .) for instalado na corrente efluente. Em muitas 
plantas industriais, tais analisadores não estão disponíveis por seu custo elevado e/ou 
têm pouca confiabilidade (medidas ruins). Conseqüentemente, nesses casos cA é uma 
variável de saída não medida. 
2.1.3 Classificação das Perturbações 
De acordo com a mensurabilidade, as perturbações são classificadas em duas 
categorias: perturbações medidas e perturbações não medidas. 
A Figura 2.3 sumariza todas as classes de variáveis em torno de um processo quími~o. 
Variáveis 
manipuladas 
(m) 
Perturbações externas 
Medidas (d) Não medidas (d') 
... . .. 
Sistema de processamento 
... 
Saídas não medidas (z) 
Figura 2.3 Variáveis de entrada e saída num processo químico. 
2.2 Configuração de Controle 
· .. 
Saídas 
medidas 
(y) 
te De~e ter ficado c~aro, a ~partir. dos exemplos vistos anteriormente, que normalmente 
mos_ diferentes conf1guraçoes de controle para determinado processo químico. · · · · 
Digitalizado com CamScanner 
··. ;;,. 
·~. 
,• . 
~ ' .. 
22 EdUFSCar - Apontamentos 
. _ 1 , estrutura de informação utilizada para conectar . Uma confzguraçao de contro e e ª . , · 
as medidas disponíveis às variáveis manipuladas dispomve1s. 
, . d 'das controladas e de entradas manipuladas, podemos 
Dependendo do nume10 e sai 1 d · l , . . . · . - d trole como sistema de contro e entra a szmp es-sazda 
distmgmr a conf1°ut açao e con 'l · l 'd 'l · . 
0 
,t; · 1 · t-single output") ou entrada mu tzp a-sai a mu tzpla 
simples (SIS , srng e rnpu 
(MIMO, "multiple input- multiple output"). 
2.2.1 Três Configurações Gerais de Controle 
Agora podemos definir as três configurações gerais de controle: 
Configuração de controle "feedback" - usa medidas -~ire.tas da~ variáveis 
controladas (medidas primárias) para ajustar os valores das v~nave1~, mam~ul.~das. O 
objetivo é manter as vari.áveis controladas em seus valores dese1ados ( set pomt ). Essa 
configuração está mostrada na .Figura 2.4. 
Perturbações 
Variáveis 
manipuladas 
,. 
Processo 
1----.-"+ Saídas medidas 
1 T : : f 1 
1 • • 1 1 
1 ,. 
' ' 
' ' ' ' ' ' ' ' ' . .. 1 
' ' 
' ' ' 1 1 1 1 
· ' , : Saídas não medidas : : 
' 1 ' 1• J f 1 1 
1 1 1 1 : 1 
. 1 , , ' 1 1 
1 1 1 1 1 
1' 1 1 1 
' 1 1 1 1 1 
1 1 1 - - - -- o 1 
: L - - - Controlador : : : ~ _; 
(variáveis contioladas) 
- - - - .- - - Set points 
Figura 2.4 Estrutura geral de configuração de contr~le "feedback". 
Para melhor entender o conceito de controle "feedback'', imagine um sujeito 
tentando regular a temperatura da água quente que sai do tanque num valor desejado T,P' 
como mostra a Figura 2.5. A vazão de água fria e sua temperatura são as possíveis fontes 
de distúrbios do sistema. Para compensar os distúrbios nessas variáveis, que certamente 
afetarão a temperatura da água quente, o sujeito manipula a vazão de vapor de acordo 
· com a leitura da temperatura da água quente. Se a leitura acusar temperatura mais baixa 
·do que a temperatura desejada, aumentará a vazão de vapor, caso contrário, deverá 
... .diminuir essa vazão. Em ambas as ações, procura-se eliminar a diferença entre as duas 
temperaturas. 
· :,. Configuração de controlé inferencial - usa medidas secundárias (porque as 
.. ;E·;"-~-:·:'.;.~'.'.'-: ·variáveis controlad.as não podem ser medidas) p·ara ajustar. os . valores das -v_ariáveis 
·-':;.:.~<-~:;·~~:f .. tjl~nip~~adas. O objetivo aqui é manter as variáveis . controladas nos valores desejados. 
_:~-'":Y-: .. ;.""~ -'>~··· Essa ·córifiguração está mostrada na Figura 2.6. · · · · ' · · 
;:{;~µ}i'.:~~(~P\:i~{~(:.,~·~ ·:: . .-.. _. ... ··;·;:'.. __ :. .e-· • ; •. "' . · • . • . ·,· ..... : ·;,.:,;. . -... " .. ~·: ·:"" ... : . J 
:_ -· ~~;.('.-i; . , . ·~.·,,. ' ·~ . . . 
·· ; }[.~1 . • • . .'. 
' • ':., _1··,. 
Digitalizado com Cams canner 
·:.'-'·; 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB . 23 
Temperatura 
desejada= Tsp 
_.---
- --:--------.--__._ _ __. Água quente 
Agua fria ---------~ 
Figura 2.5 Controle "feedback" manual. 
Variáveis -..T-r----tt 
manipuladas -i--'-.,..--tt 
T 
Perturbações 
Processo 
1--- --.-++ Saídas medidas 
Saídas não medidas 
(variáveis controladas) 
1 
1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
l l J. 
Set points - - Controlador 
Estimador: calcula as 
estimativas dos valores 
das variáveis controladas 
-;- - - não medidas 
Estimativas das 
variáveis controladas 
não medidas 
Figura 2.6 Estrutura geral de configuração de controle inferencial. 
O estimador usa os valores das saídas medidas disponíveis e com os balanços de 
material e energia que governam o processo para computar matematicamente (estima·r) 
os valores das variáveis controladas não medidas. Essas estimativas, por sua vez, são 
usadas pelo controlador para ajustar os valores das variáveis manipuladas. 
A Figura 2.7 mostra novamente o mesmo sujeito executando sua tarefa. Só que 
agora ele não dispõe do medidor de temperatura e, como antes, deve regular a 
temperatura da água quente na temperatura desejada. Bastante astuto, ele encosta a mãona tubulação de água quente e, com isso, sente a temperatura da água (estimar a 
temperatura da água quente). Se ele achar que a temperatura está mais baixa do que a 
desejada, aumenta a vazão de vapor, caso contrário, diminui essa vazão. 
Digitalizado com CamScanner 
: ~ .. -~ ···.· 
;1,, ·• . . ' . .. ;. 
...... ~ 
.24 EdUFSCar -Apontamentos 
A água deve 
estar a óOºC. 
Temperatura 
desejada== TsP.. 
Vapor------; 
Á~afua--------~ 
Figura 2.7 Controle inferencial manual. 
Configuração de controle "feedforward" - usa medidas diretas das perturbações 
para ajustar os valores das variáveis manipuladas. O objetivo é manter os valores das 
variáveis de saída controladas nos níveis desejados. Essa configuração está mostrada na 
Figura 2.8. 
Co 
Variáveis 
manipuladas 
Perturbações 
-
ntrolador .. -.. - --... 
1 1 1 
1 
1 1 
~ 1 1 
1 
.1. 1 
1 Processo 
... 
Saídas não medidas 
Saídas 
medidas 
Figura 2.8 Estrutura geral de f' -
con iguraçao de controle "feedforward". 
Novamente, o mesmo sujeito tent 
~emperatura desejada (Figura 2.9 A ª regul~r ~ temperatura da água quente na instalado na tubulação d á )f.. gora ele d1spoe de um medidor de temperatura 
t . e gua na Acomp h d emperatura da água fria el . · an an o atentamente as variações da 
Pr ' e manipula a vazão d d acurando manter a tem e vapor e acordo com essas variações, 
aq · . . peratura da água q ui o SUJe1to tenta com . uente na temperatura desejada. Note que 
ante · pensar os d1stúrb · · cipa suas ações de m d ios assim que percebe variações ou seja, 
. o o que a temper t d ; ' . a ura a agua quente não seja afetada. 
" . 
• 4 .::,,· 
. ~.-. ' . 
•' .· ··;: .. ' ~ ! .. . ' : .... 
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' .. 
' . ·.· . · .. 
Digitalizado com CamScanner 
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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 25 · 
Figura 2.9 Conceito de controle antecipatório. 
2.4 Projeto de Controlador 
Em qualquer configuração de controle, o controlador é o elemento ativo que recebe 
as informações das medidas e implementa as ações de controle apropriadas para ajustar 
os valores das variáveis manipuladas. 
A forma com que as medidas são usadas para ajustar os valores das variáveis 
manipuladas é o que chamamos de lei de controle. 
Exemplo 2.5 
Consideremos o tanque de aquecimento com agitação do Exemplo 2.2 para ilustrar 
o projeto de controladores. 
Fj. 7j 
F,, 
Vapor 
Figura 2.10 Tanque agitado com aquecimento. 
Q = taxa de fornecimento de calor 
T. =varia 
1 
T = saída medida 
Q = variável manipulada 
.... ·. 
.... ·: 
: . . 
Digitalizado com CamScanner 
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. . ' . 
.. . . . . 
. ·.·. 
.. - . 
26 EdUFSCar - Apontamentos 
. /. · s varia com o tempo) - balanço de 
1 ma das vanave1. 
. e estabelecido (nen iu 
Em reg1m 
energia: 
FpC T. -FpC/"s + Q.~ ::: O 
/1 1, 
em que: 
p = densidade do fluido . 
e p =calor específico do flm?o ,, . 
(') l ·-. ) 
(2.2) 
T T Q = valores no estado estac10nano . ' e s 1
' s esteJ· a operando em regime estabelecido e num dado Supondo que o processo 
. h do arbitrariamente de zero a temperatura de entrada 1';, que estava em 
instante, c ama ' . . 1 t r. , sofre subitamente um aumento permanente, atrngmdo um novo va or, como mos ra 
1, . 
a Figura 2.11. 
Figura 2.11 Comportamento da temperatura T; . 
A resposta dinâmica de T diante desse distúrbio em T; , ou seja, como T varia com 
o tempo, pode ser obtida pelo balanço de energia no regime transiente. 
dT 
VpC p ~ = FpC PT; - FpC pT + Q (2.3) 
dT 
VpCP-=FpC (T-T)+Q (2 .4) dt p I 
em que V é o volume de fluido no tanque. Subtraindo a equação 2.2 da equação 2.4: 
VpC P d(T d~ Ts) = FpC
1
, ((r; -T1, )-(T-Ts )]+ (Q- Q.1. ) (2.5) 
Note que d(T -Ts) = dT, uma vez que T.r =constante. 
dt dt 
. A diferença e = T -Ts denota o erro ou o desvio da temperatura do líquido do valor 
desejado Ts. · 
'-'· . · A lei de controle mais simples é sugerir que o controlador altere o fluxo de calor 
. Q por um.a qua_ntidade proporcional ao erro . T -Ts. · . · · · . . · . _ . 
Q=-afr..:..r)+·Q . \ s , ·, s . (2 .6) 
Digitalizado com CamScanner 
-
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB · · 27 · · · 
Essa lei é conhecida como controh> proporcional e a é denominado de ganho 
proporcional. Com efeito, o controlador é instruído para manter o fluxo de calor em seu 
, alar Q~ de regime estabelecido. enquanto T for igual a '/~, isto é, enquanto o erro for. · 
zero. S~ T se desviar de ·(, ocasionando um erro, o controlador deve usar a dimensão 
desse erro para alterar proporcionalmente o fluxo de calor. Substituindo a equação 2.6 
na equação 2.5: 
VpC d(r-.7:.) = FpC [(r. -T )-(T-T )]-a(T-T.) (2.7) ' 
I' dt I' r r, .~ . 
A Figura 2.1- mostra a solução da equação 2. 7 para diversos valores de a. Note 
que nenhuma dessas soluções é satisfatória, uma vez que T -Ts '#O, e quanto maior for. 
o' alar de a, melhor sení o controlador, no sentido de que o novo valor de T em regime 
estabelecido estarâ. mais próximo de T..~ . 
Erro ------ a•= O (sem controle) 
(T-T,) . _-
~~ ,,-=1 
J::.--- ,,,= 2 
o Tempo 
Figura 2.12 Comportamento dinâmico do erro. 
Melhoras sensíveis na qualidade do controle podem ser conseguidas se usarmos uma 
lei de controle diferente, conhecida como controle integral. Nesse caso, O é 
proporcional ao integral de (T -Ts) no tempo. 
(2.8) 
Substituindo a equação 2.8 na equação 2.5: 
VpC P d(Td~ Ts) = FpC P [(T; -T;, )- (T -Ts )]-a' J~ (T -Ts )dt (2.9) 
A solução da equação 2.9 para vários valores de a' é ·mostrada na Figura 2.13. 
Erro 
(T-J;) 
Figura 2.13 Comportamento dinâmico do erro. 
. Podemos notar que o controle integral é aceitável, · uma ~ez que eie l~va 0 err~ 
!-Ts a zero para os três valores de a'. Portanto, a temperatura de regime estabelecido· 
.. ~· T: ·, ou seja,,º erro em regime estabelecido é ~era. ~atamos também .que, depend~~do 
0 valor de a , o err? T -Ts retorna a zero mais rapidamente ou lentamente, oscila por 
long°,s. ou curtos penados de tempo. A qualidade do controle depende do valor de a': 
Digitalizado com CamScanner 
-·. ' 
1~' . 
' .-·.-. ·' . 
28 . EdUFSCar -Apontamentos ; 
. 1 btemos uma nova lei de contro le, . ai e integra o . 
Combinando as ações _vro~~;~,11~~-integral. De acordo com essa lei: 
conhecida como controle pi opo (2.1 O) 
(T. _ T )-a' f1 (T - 1'.1· )dt + Q.
1 
Q=-a s Jo . , 
, dois parâmetros ajustáveis: a e a . 
Essa lei de controle contem 
Exercícios 
. · 0-es F. e F com temperaturas Ti e T2, d líqmdo com vaz 1 2• • 
2.1 Duas correntes e. . . nção de mistura. Deseja-se controlar a . t onvergem pata uma JU , . - -
respect1vamen e, ~ e de lí ui do resultante. Agua de refngeraçao com vazao Fc 
temperatura T3 da corrent q 
2 
r meio de uma serpentina. Utilizando um sensor, 
pode ser circulada sobr~ ª,clorrlente pt~ um esquema de controle "feedback" e outro 
um controlador e uma va vu a, mon . 1 d 
"feedforward", especificando as variáveis de carga, controlada e mampu a a. 
F2, 7; ;'f·\··!\ .. !.\'\ 
2 - - i-';'V"i 
' ~ i 
F, 
2.2 Duas correntes de líquido, com vazões F1 e F2 e ·temperaturas Ti e T2 • 
respectivamente, convergem para uma junção de mistura. Deseja-se controlar a vazão ~ 
e a temperatura T3 da corrente de líquido resultante. 
a) Identifique os objetivos de controle, as perturbações, as medidas disponíveis e as variáveis 
manipuladas. O sistema é SISO ou MIMO? . 
b) Desenvolva um sistema de controle que use apenas controladores "feedback". 
c) Desenvolva um sistema de controle que use apenas controladores "feedforward". 
d) Desenvolva um sistema de controle que use ambos os controladores "feedback" e 
"feedforward" . 
.,.,.,_..... .. ... .. i~,~· ~N? _p~oces~o de tratamento biológic~ d.e águas r~siduárias ~ a ~Ónce~~r·ação de 
· º.~igemo, ~1 s.soly1_~? ·: (DO) é determinada po~ vários fenômenos físitos e biológicos, como 
tr~~SP.Of~~ . ht~r~~lt~?.~O oxigênio para dentro. · ~para fora do ·tanque de aeiação ; ~transpor.te 
de .. massa .- do ox1gemo· f · · .. · · ·· ·,.. · .. · · · ·· · ·· ·. ·-d '· · · "n10 ·· . .,_. .. '.,; . · ... . · .•• . na ase gasosa em ox1gemo d1ssolv1do e utihzaçao . o ox1ge 
. •. .. : •.. ~ 
i·~ ... ·• ,• •' . , ·~)::~.<~:··.-· ,·1· , .;,·.,. 
·:' • ...· ~ l. · ~ •• • •• ~ \ 
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Digitalizado com CamScanner 
- ; ·.~ ' ' .. 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 29 
devido ao crescimento e ao decaimento de células. Considere o tanque de aeração de 
mistura perfeita: 
Tanque de 
aeração V F,y 
Soprador 
em que ) é a concentração de oxigênio dissolvido, Y; é a concentração de oxigênio 
dissolvido no afluente, F é a vazão de água residuária afluente, V é o volume do tanque 
de aeração e u. é a vazão de ar para dentro do tanque de aeração. Desenvolva um sistema 
de controle que use controle "feedback" para controlar a concentração de DO. 
Digitalizado com CamScanner 
.... ·, , 
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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 31 
3. Hardware de um sistema de controle 
de proceso 
Apesar dos grandes avanços na área de instrumentação nas últimas décadas os 
conceitos b'ísicos da estrutura de sistemas de controle e dos algoritmos (tipos' de 
controladores) permanecem essencialmente os mesmos de 30 anos atrás. Atualmente é 
fácil implementar a estrutura de controle, basta reprogramar o computador. Mas a tarefa 
do engenheiro de controle de processos é a mesma: manter um sistema de controle com 
bom desempenho, estável e robusto. 
3.1 Elementos de Hardware de um Sistema de Controle 
Em qualquer configuração de controle podemos distinguir os seguintes elementos 
de hardware: 
1. Processo químico - representa o equjpamento mais as operações físicas ou químicas 
que nele ocorrem. 
2. Instrumentos de medição ou sensores-· são usados para medir as variáveis de processo: 
perturbações, variáveis de saída controladas ou variáveis de saída secundárias; e são as 
principais fontes de informações a respeito do que ocorre no processo. 
3. Transdutores - muitas medidas não podem ser usadas para controle até que sejam 
convertidas em quantidades físicas (como voltagem ou corrente elétrica, nos sistemas 
eletrônicos analógicos, e ar pressurizado, nos sistemas pneumáticos) que podem ser 
transmitidas facilmente. Transdutores são usados para esse propósito. 
4. Linhas de transmissão - são usadas para levar os sinais das medidas de um dispositivo 
de medição ao controlador. No passado, as linhas de transmissão eram pneumáticas, mas 
com o advento de computadores digitais para controle, as linhas de transmissão carregam 
sinais elétricos. 
5. Controlador - esse é o elemento de hardware que tem "inteligência". Ele recebe 
informações dos dispositivos de medição e decide que ações serão tomadas. Os 
controladores antigos eram de inteligência limitada, realizavam operações simples e 
portanto podiam ser implementadas apenas leis de controle simples. Atualmente, com o 
crescente uso de computadores digitais como controladores, a inteligência. da máquin~ 
aumentou muito e leis de controle sofisticadas podem ser implementadas. 
6. Elemento final de controle - esse é o elemento de hardware que, na realidade, implementa 
a decisão tomada pelo controlador. O método mais simples e mais usado para manipular 
fluidos nas indústrias de processo é empregar uma válvula de controle. Por .exemplo, se 
o controlador decide que a vazão de uma corrente deve ser aumentada (ou diminuída), é 
a válvula que realiza essa decisão, abrindo (ou fechando) a área de passagem do fluido. 
7. Registradores - são usados para fornecer uma demonstração visual de como está se 
comportando um processo químico. A introdução de computadores digitais em controle 
· .,, de processo tem expandido o uso de unidades de vídeo como registradores. , · . 
' 
· " · A Figura 3 .1 mostra uma malha de controle da temper~tura de ~rJi · tro6ad.or de, c~lor . 
. . : O sensor detecta a variável de. prp,ces~o : (temper~tura d.a corre~te ,de PrO.~~.sS~\ na sa1da), 
. ... . - .. 
-~ ~.. -· 
-:.' . 
Digitalizado com CamScanner 
·.···. 
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32 EdUFSCar - Apontamentos 
um transmissor converte 
0 
sinal do sensor em um sinal equivalente (corrente), um 
controlador compara 
0 
sinal do processo com um valor de ~eferência desej ado 
("setpoint") e produz um sinal de saída do controlador apropnado (corrente), um 
conversor J/P converte o sinal elétrico em sinal pneumático e um elemento final de 
controle muda a variável manipulada (vazão da água de refrigeração) com base no sinal 
da saída do controlador. O sensor, o transmissor e a válvula de controle ficam fisicamente localizados no 
equipamento de processo, ou seja, no campo. O controlador normalmente localiza-se num 
painel ou computador na sala de controle, que fica distante do equipamento de processo. 
A f1aç~o faz a conexão entre as duas localizações, conduzindo sinais e correntes do 
transmissor para o controlador e do controlador para o elemento final de controle. 
, __ .. _____ ...... --·_ ... _,_;_..,.-.... -.... -~-.. --.. - --...:...-- ·.-----
\ . 
l 
\ Corrent~ de . . 
\ processo quente -=-.---.-1 
\ 
.......... ~__.J- Corrente de 
'-+-____ -1-1 ""' proc~sso fria 1 
Sensor de -
temperatura 
(termopar) 
! 
l 
1 
\ . .. 
i '' . 
'\ 
. ,. 
. Suprimento de ar . 
de iil.strumentação 
Transmissor de · 
_temperatura 
(mV para corrente) 
\ 1 
\ Campo \ i, . . .· .. : , ;· . · ._Sinal(PV) 
1 - - - - - - ' - - - '. ' ' ' 4.20 mA 1 ~~ ~-= ~-- ~-LC - ----
. \ Sala de . . . Controlador feedback 
1 
controle com chave , · 
L __ J .. rnanuol/aulomático 
--- -- ·· ·; " .. .. --- --··········: ...... . ............................ 
Figura 3 1 M Ih d · · . . . . a a e controle "feedback'' 
• • • 1 • 
Setpoint 
(SP) 
1 
i 
! 
' i 
j 
' ; 
.. ! 
- - ! 
l . i 
. 1 
i 
.. ... -...... J 
3-.2 Diagrama de Blocos de · · . . uma Malha de e t " 
. Acada componente de um . . ' " . on role Feedback" 
.. visto postetiormente uma a malha de controle corres . transferê~cia : A Fig~ra 3 .2 representação desses mod rnd~ um modelo, e como· será 
. i~f;o_ ~maçoesdentro de· uma ;plrhesenta um diagrama deebols e na forma de função de 
. .. . . . a a de cont 1 ocos que.. d . . ~ara o diagrama d . ·• . .. . roe "feedback" . . . . mostra o fluxo e 
=< ·: .. . . a Figura 3 2 t , .. . . , 
.. .... ,_ ,. G . . , emos as s . . .,. · ·• · - fu - · · " egumte f - · . . . :< , ·: ". . G: : fU~çç~~d de trailsfe~ncia do procOsso· . s . unçoes de .. tf ansferêricia: 
.. .... \" .. :' - - e transferencia d '- . . .... . . ,. . G • - funçao de transf e' • . a perturbaçao· " . .. . . ·• 
G f . - . rencia do med' d , . . º .= unçao de transferênCfa .d , ' ore do transmiss,; . . . ·" . ' .. . 
.. '{o;;:\; :.-'.-.\ : . · , . G / = função de transferência d~ ;~n.1;'?lador; · · . · · r' .. : . : " . ";'.~'.:;: .. ~();'.} . , . ~ m = g~nho estacionário d G · . e emento final de ·~ - . ·. · , · . · · ,« ~ ; "~ · 1:~ .: : · : 
... ,, .,_._ .. _,_,_ .. -'.i•{·:.:·;;·« ·;: __ .-: __ .··-.-. . .·· . o ., m; . : .· ontrole·, .. . . ... . 
- ., '~ -.· .. _·.''. ~ 1 .l_: : - : ~ . ..: '·:. · ..... 
. . ~ ,.: . '-~ '. . . .· ·: .. , ... ',' . :. : .-.: 
Digitalizado com CamScanner 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 33 .,,. ·. 
• 'j 
; . 
. - .· ...... ,: ; 
e as seguintes vari áveis: 
y' = varüí.vel contsolada; 
y;, = variável medida; 
y ' = "set point"· 
5,J' , , • ' ' ' . 
Ysp = set pomt mterno; 
s' = erro; 
e' = saída do controlador; 
m' = varüível manipulada; 
d' =perturbação ou carga. 
J;, -N 
lÇ. y,,+ 
[º C] [mA]_ 
:~ 
[mA] 
d' a, 
[ºC] 
[º C] 
+ y' 
G, e' m' + 
[mA] r~:J 
a, 
[º C] 
[mA] [º C] 
Figura 3.2 Diagrama de blocos de uma malha de controle "feedback". 
É comum simplificar o estudo de sistemas de controle de processos substituindo o 
diagrama de blocos da malha de controle "feedback" da Figura3.2 por um diagrama de 
blocos, como o da Figura 3.3, em que a variável medida conduz a própria informação 
física ou química do processo. Dessa forma, o ganho K,,, pode ser omitido do diagrama 
e a comparação é feita em termos de quantidade física ou química da variável controlada 
com o valor desejado. 
à ' a, 
[ºC] 
[ºC] 
y; + y' -:~ + 
[ºC] - [ºC] [ºC] 
_, 
y., 
[ºC] [ºC] 
.. Figura 3.3 Diagrama de blocos de uma malha de controle "feedback" . 
···< .. 
.. ~·:·.: .. ~ . ';. .:.s:-- · .'.~·;-·'':;··· ... 
. . ··~~ -: . . -.. '.~ ... . : . . . . 
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Digitalizado com CamScanner 
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1 
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• ' . . ·-· 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 35 
4. Desenvolvimento de Modelos f\/iatemáticos '· 
A importância de estudar dinâmica de processos no estudo de controle de processos 
é que, para termos sucesso em fazer com que um sistema se comporte de maneira 
desejada, devemos em primeiro lugar conhecer o comportamento dinâmico do sistema 
em si, sem o auxílio ou interferência do controlador. A tarefa de projetar bem sistemas 
de controle pode ser melhor realizada se for baseada no conhecimento das dinâmicas 
inerentes aos processos. 
No projeto de controladores para processos químicos, precisamos da representação 
matemática dos fenômenos físicos e químicos que ocorrem neles. Tal representação 
constitui o modelo do sistema, e a tarefa de construir o modelo chama-se modelagem. 
A modelagem de um processo químico requer o uso de princípios básicos da ciência 
da engenharia química, como termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte etc. A 
equação ou conjunto de equações que compreendem o modelo são, na melhor das 
hipóteses, uma aproximação do processo real. 
Os modelos matemáticos são úteis na análise e controle de processos pelos seguintes 
motivos: 
1. Melhor entendimento do processo - modelos de processos podem ser analisados ou 
usados em simulações no computador para investigar o comportamento do processo 
sem o custo e os perigos de operar o processo real. Essa maneira é necessária quando não 
é factível realizar experimentos dinâmicos na planta ou antes de ela estar construída. 
2. Treinamento dos operadores - os operadores podem ser treinados para operar um 
processo complexo e lidar com si tu ações de emergência usando um simulador de processo. 
3. Desenho de estratégia de controle de um novo processo - um modelo de processo 
permite avaliar diferentes estratégias de controle, por exemplo, na seleção das variáveis 
a serem medidas (controladas) e aquelas a serem manipuladas. 
4. Escolha dos ajustes do controlador - um modelo dinâmico do processo pode ser usado 
para obter os apropriados ajustes do controlador, por meio de simulação em computador 
ou análise direta do modelo dinâmico. 
5. Desenho da lei de controle - técnicas de controle moderno muitas vezes incorporam um 
modelo na lei de controle. Tais técnicas são denominadas controle baseado em modelo. 
6. Otimização das condições de operação do processo - em muitas plantas de processo 
há incentivos de ajustar periodicamente as condições de operação, de modo a maximizar 
o lucro ou minimizar os custos. 
4.1 Variáveis de Estado e Equações de Estado de 
Processos Químicos 
Para a maioria dos sistemas de processamento interessantes ao engenheiro químico, 
há apenas três quantidades fundamentais: massa, energia e momento. Freqüentemente 
essas variáveis dependentes fundamentai.s não podem ser medidas . direta e conve-
nientemente. Nesses casos, selecionamos outras variáveis que possam ser medidas 
convenientemente e, quando agrupadas de forma apropriada, determinem os valores das 
variáveis fundamentais . Assim, massa, energia e moinento podem ser caracterizados por 
:---- ; · .. ' ·, '- -:/ ~: . ; • ' ' . . - ! '.':· '·' .... 
Digitalizado com CamScanner 
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" ,._, 
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36 EdUFSCar -' Apo11tamt11tos 
.á . . d ·dade coi
1
centração temperatura, pressão e vazão. Essas variáve· 
van veis como ens1 , • . · is de caracterização são chamadas de variáveis de estado e seus valores definem o l'>tado 
de um sistema de processamento. Mais especificamente, o estado de um sistema 
dinâmico é um conjunto de variáveis cuja evolução no tempo descreve completamente 
o comportamento interno do sistema. 
As equações que relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) à 
variáveis independentes são desenvolvidas pela aplicação dos princípios de conservaçã s 
sobre as quantidades fundamentais e são chamadas de equações de estado. 
0 
4.2 Desenvolvimento de MÓdelos Matemáticos 
O princípio da conservação de uma, ~uantidade S estabelece que: 
acumulo de S fluxo de S fluxo de S 
dentro de um 
sistema . -
periodo 
.. . · .. · 
.... ·. 
para dentro do para fora do 
sistema sistema 
periodo periodo 
quantidade de S · quantidade de s 
consumida dentro do 
sistema 
periódo ... < .. ', periodo' . , 
gerada dentro do 
sistema 
.+ --------= ...J. (4.1 ) 
A quanúdacie s pod~ ser qu ( ,,_. . •. : . . . . . .. . " · . 
. . . . . " a quer. uma das seouint . . . . 
. . • maSsà toial; . . . · . . . . ·: .. · :" . · " es. quanl!dade_s fundamentais: 
• massa individual do com . . 
•energia total· ponente; 
. . . 
. •momento 
. Considere o sistema da F . . . . .. . 
_. . . , igura ~.1.. ,- 1 .: 
., , ,, ' 
Q 
' ' Contorno definin.d · · . '" .. ' ' ----1 . o o sistema. 
. .· ' . 1 '.· . ~ ' . 
- i . ~ ~. ~ ; .... 
. " · . En~adas 3 
~ • • • 1 • 
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Saídas 
• -·:~-. 1 • •• 
' .. -.· ~ .... ' :, . : ~.__-: 
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Digitalizado com Cam·S· · canner 
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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 37 
Balanço de massa total 
d(pV) = LPJ; - LP jFj 
dt i:entrada j:saida 
Balanço de massa do componente A 
d(nA) = d(cAV) s LcA;F; - LCAjFj ±rV 
dt dt i:entrada j:saida 
Balanço de energia total 
dE _ d(U + K + P) = ~ ~ 
dt k.JP;F;h; - k.JP jFjhj ± Q ± ~ 
dt i:e11trada j:saida 
em que: 
p = densidade; 
V = volume total; 
F = vazão volumétrica; 
n A = número de moles do componente A; 
c A = concentração molar (moles/volume) de A no sistema; · 
r = taxa de reação do componente A no sistema por unidade de voh.Ime; 
h = entalpia específica do material; 
U = energia interna do sistema; 
K s energia cinética do sistema; 
(4.2) 
. ·, 
(4.3) 
(4.4) 
P = energia potencial do sistema; _ 
Q =quantidade de calor trocado entre o sistema e as vizinhanças por unidade de tempo; 
Ws = trabalho mecânico trocado entre o sistema e as vizinhanças por unidade de tempo. 
Por convenção, uma quantidade é considerada positiva se entra no sistema, e 
negativa, se sai. 
As equações de estado e as variáveis de estado constituem o modelo matemático do 
processo. 
A aplicação do princípio de conservação definido pelas equações 4.2-4.4 fornece um 
conjunto de equações diferenciais. A solução dessas equações determinará o compor-
tamento dinâmico do processo. 
Se as variáveis de estado não variam com o tempo, dizemos que o processo está em 
regime estático. Nesse caso, a taxa de acúmulo da quantidade fundamental S por unidade 
de tempo é zero e os balanços resultantes dão um conjunto de equações algébricas. 
· 4.3 Elementos Adicionais dos Modelos Matemáticos 
, . Além das equações de balanço, precisamos de outras equações, chamadas de 
: .: . .,:. _· equações constitutivas, que expressem o equilíbrio termodinâmico, as taxas de reações, 
.. · ::,'=., '. ·'as)a)(_as de transporte de calor, a massa, o momento e assim por diante. Tais relações 
_··.'. . .-. ~. ª~.iêi9ri_ais ··necessárias para completar a modelagem matemática dos diversos processos: 
.:<:.: .".:< : __ químicos e físicos podem ser classificadas em: . · · · · 
: • : "~· '· :<·, ·,., '. ... :.! ,· _. ' I • 
.. · 
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- --- - --- - --- - --- --
Digitalizado com CamScanner,_-: · 
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. . . . . ' 
. ' ... 
38 EdUFSCar - Apontamentos 
,.. s de Taxa de Transporte 
4.3 .1 Equaçoe · d massa eneroia e momento e llrc 
taxa de transporte e ' ' e 
Necessárias para descrever a . . 
. t e suas vizinhanças. ... 
um s1s ema . l' . do pelo aquecedor e: 
Exemplo: a quantidade de calor fornecido ao iqm . 
(4.5) 
Q =UA,(Ts, -T) 
4.3.2 Equações de Taxa Cinética 
. d s taxas de reações químicas. Necessárias para escrever a · 
Exemplo: a taxa de uma reação de primeira ordem é: 
. _ k e-1:/nr e 
I - o A 
(4.6) 
4.3.3 Relações de Equilibrio de Reações e de Fases 
Necessárias para descrever situações quando o equilíbrio é atingido cluranlc uma 
reação ou por· du.as ou mais· fases. 
4.3.,4 Equaçõ~s de Estado Termodinâmicas 
· As equações de estado termodinâmicas são necessárias para descrever as relações 
ent~·~ as ~afiáveis intensivas que descrevem o estad·o termodinâmico de um sistema: 
Ex~~plo.: L~i do gás, Ídeal. 
Exemplo. 4~1 ... Tanque de· aquecimento com agitação .. 
. Conf?r~e a Figura 4.~, queremos as variáveis de estado, as equações de estado do 
tanque agitado com aquecimento e seu comportamento, estático e dinâmico. · 
.. . : :· ~. ·• . . . ' 
. ~ '" . . " .,..- ... · 
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J ~ .. - . ( 
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-_ ·-:-!·Condensado .·· 
. . ' . . '·., . · .... 
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1T~...:-:.. : . .• > ..._ ..... ·· 
Digitalizado com CamScanner 
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' ~ ..• 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB · 39 
Quantidades fundamentais: 
• a massa total de líquido no tanque; 
• a energia total do material no tanque; 
• seu momento. 
O momento· do sistema permanece constante mesmo quando as perturbações variam, 
e não será considerado. 
Vamos identificar as variáveis de estado: 
Massa total no tanque: massa total= pV ~ pAh (4.7) 
Energia total do liquido no tanque: E= U + K+ P . (4.8) 
Desde que o tanque não se mova, podemos eliminar o envolvimento de quaisquer 
termos de energia cinética e, como também não há mudança em sua posição, a taxa de 
variação de energia potencial será zero, ou seja: 
dK/dt ~ dP/dt =O. dE/dt = dU /dt 
Para líquidos: 
dU . dH 
-=~ 
dt dt 
em ·que H é a entalpia total do líquido no tanque. 
lf = pVCP (T-T,ef ) = pAhCP (T-T,ef ) 
(4.9) 
(4.10) 
(4.11) 
- Tref = temperatura de referência em que a entalpia específica do líquido é zero. 
Das equações 4.7 e 4.11 concluímos que as variáveis de estado são: h e T, enquanto 
os parâmetros constantes p, A, CP e T,.ef são característicos do sistema tanque. 
Desenvolvimento. das equações de estado 
Balanço de massa total 
. [acúmulo de] [entrada total] [saída total] 
massa total de massa de massa 
-
tempo tempo tempo 
d(pV) = pF. _ pF 
dt . 1 
(4.12) 
·:. ·. (4.13) 
.. . ;·. 
•'·. . } 
·.:. 
: . 
..... 
. :'"'. 
. . : ' · - ... : . ~: ... 
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. d( ~h) : 
. , ' ·-·., , . p = pF. - pF 
; _.· di· .. 1 
.• :(4.14) 
.. • • '1 
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Digitalizado com CamScanner 
,, 
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40 EdUFSCar - Apontamentos . 
A dh = F; -F 
dt 
Balanço de energia total . 
,. . t 11 [energia fornecida] 
[ 
d totaJJ [sa1da. to a . 
[ acúmulo de ] entra a ia de .energia pelo vapor energia total _ de energ - + tempo 
~--=--- - tempo tempo 
~~º . 
d[pAhCP(T-J;e1)]_ .17C (T-T )-pFC (T-J;e1)+Q . __.!:._ ______ - pri p 1 ref P 
dt 
Assumindo J;~f ::::! O:. .. • ' 
d(hT) == FT-FT+ ·~ . 
A d . I 1 . pC 
t ' p 
d.,_ Q Lf ,tS . dT rt T . . 1) DSAllJOO Ah-+AT- :FJ;-F +- -
dt dt pCP. 
dT . . Q Ah-+T(F - F)== FT-FT+-, , , . e 
. dt . : . . p p ., . ' ' 
dT Q 
Ah-==F(T T)+- · 
dt . I 1 • . . pCP 
. Sumarizando as etapas ·da modelagem, temos: ' 
Variáveis 
• Vanáveis de estado: h e T . 
•Variáveis de saída: h eT (ambas medidas). · e Variáveis de entrada: · 
• 
0 
Perturbações: T; e ~ . · ·· · 
' ··' 
. ·. 
. ' ~· ~. 
. , · 
'' 
. . : ··. ·Manipuladas: Q e F (para contfoJe "feedback") 
· · . .. F, (para controle "feedforward") 
•'l ' 1 ... 1 • 
j ~ • • 
Parâmetros . r 
: ~ . 
." 1·~ :A·;p .e e . 
. . " . . . . , p 
; .. 
(4. lS) 
( 4.16) 
( 4.17) 
( 4.18) 
( 4.19) 
. (4.20) 
( 4.21) 
·.·. ·,' /'; :·.< ' :· Equações .de eStado _.... : . ':. ·. \., · · . . . . '. : , ' . •, '~ ·; . ·' ..... ~ : .. . .. . . . 
i .. i.{ ·.i, .. ·i·.i .•.. : ·.';.:·.·.·.'· ..•... ·· ... ·.··_. ··~··.: .. ·~_·" .... ·: ... · ... : '.;.:A··· ··· .• • .•.• ~. ?= F, ~ F : . . /, •.•...• . :. ·:·... . . • e '. \ ··. .•• . • i ; :. / Yf ·( \e< : ··. ( 4.22) 
- . . . . : ... . . . . : ,; ..... . ... . . .... ; ·,'.,::.'/'.;- . ';,., :-.; ·.. .·. -:·· .. 
Digitalizado com CamScanner li 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 41 
Ah dT = F.(T - T)+_g_ 
lt I / e {. p /1 
No estado estacionário, tem-se: 
F.·.s (T.· .. ,. - rJ+ ~ = o 
p /1 
em que o subscritos denota valor no estado estacionário. 
Equações constitutivas 
Equação da taxa de transporte 
Q = UA,(~, -T) 
Sumarizando: 
A dh = F. -F 
dt I 
dT · UA 
Ah-= F;(I; -T)+-1 (~., -T) 
dt pCP 
4.4 Equações de Estado 
As equações 4.27 e 4.28 podem ser reescritas da seguinte forma: 
dT = _1 [F. (T -T)+ UA, (T. -T)J 
dt Ah ' 1 C sr p p 
Essas duas equações podem ser escritas como: 
X1 = f 1 (X1 ,X2 ,U1 ,U2 ,d, ,d2) 
X2 =f2(X, ,X2,U1,U2,d1,d2) 
e as duas equações da saída como: 
y1 := h1 (xpx2 ,u,.u2 ) 
y2 = h 2 (x.,x2 ,upu2 ) 
(4.23) 
(4.24) 
(4.25) 
(4.26) 
(4.27) 
(4.28) 
(4.29) 
(4.30) 
(4.31) 
. (4.32) ' 
. (4.33) 
. ' 
. '~ - :.. .." 
Digitalizado com CamScanner --..:....·· ~.::. 
.... . -. 
.. · .. ;. 
~ ' .. 
~-·~.::.-.1~· T> . 
. ·. ~· -~ 
~k(;.'.::~~·:>:~ .. ::~.· 
. . . ~ 
42 . EdUFSCar - Apontamentos. i •• . . , . • , 
y=[~}[;] 
u=[::J=(;] 
d=[::]=[~] 
f1 (.rp.t2 , UpU2 ,dl'd2) = ~ (d2 - U2) 
f2(x,.x,.u,.u,,d1,d2 ) = ~1 [ d,(d, -x2 )+ ~~; (u, - x,)J 
hl (xi ,X2,U1 ,u2) = X1 
h2 (xi ,X2 ,ui ,U2) = X2 
Em geral, as equações de estado e de saída podem ser escritas como: 
x1 = f 1 (x1 ,x2 ,. • ·,xn ,u1 ,u2 , · · ·,uk ,d1 ,d2·, • • ·,d1) 
i2=f2 (xJ ,X2,·· ',Xn ,UI ,U2 ,·· ·,uk ,dl ,d2' ... ·.d/) 
Y1 =b1(X1,X2, .. ·,xn,U1,U2•"•Uk) 
Y2 = h2(X1 ,x2, .. ·,xn ,u1 ,u2 , .. ·,uk) 
Definindo os seguintes vetores: 
x, 
Y= 
\t{~;;~;::> .•.. 
• vetor de estado n d. . 
· . - 1mens1onal 
.... . 1. 
' .. · . .. • 
;,.·· 
~ .. " ··." . \ 
1 . 
\ .. .." : ' . 
( 4.35) 
( 4.36) 
(4.37) 
( 4.38) 
( 4.39) 
(4.40) 
(4.41) 
Digitalizado com CamScanner 
:". 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 43 
u. 
/( 2 
u ::o: , vetor de controle k-dimcnsional 
d. 
d2 
d = , vetor de perturbações l-dimensional 
d, 
Definine-se também as seguintes funções vetoriais: 
f 1() 
f() = 
f 20 
fn() 
h 10 
h()= 
h20 
hm() 
As equações 4.39 e 4.40 podem ser escritas na forma compacta: 
x = f(x,u,d) 
y = h(x,u) 
Exemplo 4.2 Modelo matemático de um CSTR. 
Reagente 
CÁ, T,F 
Re~erante Produto 
Figura 4.3 Reator CSTR. 
(4.43) 
(4.44) 
( 4.45) 
(4.46) 
(4.47) 
(4.48) 
Digitalizado com CamScanner 
.,,., 
·, 
. ~ 
1 
1 I . 
! . ' 
i' .. -
, 
1 ; 
1 
1 
... ··. 
i 1 
44 EdUFSCar - Apontamentos 
Balanço de massa total 
d(pV) == piF; - pF 
dt 
d 01,lponente A l de massa o e Ba anço 
d (n A ) = d (e A V) = e Ai F;. - e A F - r V 
dt dt 
Bal~nço de energia total 
E=U+K+P 
dK/dt = dP/dt =O 
dE _ d(U+K+P)=dU 
dt dt dt 
dU dH -=-dt dt 
Caracterizaçao da massa tótal . 
d(pV) dV 
=---"-=p- p -p 
dt dt i -:- ... 
dV = F. - F 
dt 1 
. Caracterização da massa do componente A 
d(cAV) . dV de . 
----==cA -+V~==cA.F. -e F-k e -E/RT e V . . · dt dt dt 1 1 A O . A 
·~ . : .. 
·~ . 
... .. . 
'1 
1 
I .• · ' · • de A F; ( ) . E/RT , : -, 
! .• ; " ~=-v CAi - cA -koe~ . ~Av. :, 
' !_ ·• (,,·" ;·:. . , . . ! ; . 
. · . ... , .. ,·.. . " -· 
'.CiiracteriiaÇão da ine~gi,; i~1a/ <':'.> .. ,' · / . ,:,; ;;:.~.~' , · 
· .. " .. -. . . ... · . . ·.· . . ' .·.·. . ... - .:· . . . . 
. H . H(T ·. ). ·. ·. . - · ·.· ... · · · ... - . . · · 
=:= 'nA 'n B .- . • . . . - . . ' . , .. · . .. ~ - :., <. :: ... : . · ..... : :,:._·,:,.·/ __ :_'_ ;_.:,'.: , . . .· .. ·· . . '· .. ·:.--.;· .. .... ,, '··".-:._· ... -., <. ·· . · 
' :•: .. ·.•. ,· . ,. 
: : :;:··'-· ""· ~: . -· .. . ,,. -. · ....... ; .... 
- ' 
( 4.49) 
(4.50) 
(4.51) 
'. 
(4.52) 
(4.53) 
(4.54) 
(4.55) 
( 4.56) 
(4.57) 
( 4.58) 
(4.59) 
(4.60) 
... :._ 
Digitalizado com Camscanner 
1 
1 
1 
1 
L.____ ' 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB . 45 · 
diferenciando: 
dH ()H dT ()H dn11 ()H dn 11 
-=~-+--+--
dr (}T dr mz 11 dr dll/J dr 
()H 
-=pVC dT ,, 
()H -
~ = H A (T)- entalpia molar parcial de A 
OllA . 
()H -
~ = H 8 (T) - entalpia molar parcial de B 
Ofl.8 
dnA d( e A V) 
- = = cA .F -cAF-rV 
dt dt 
1 1 
Substituindo as quantidades ateriores na equação 4.62: 
dH dT - ( ) . - ( ) -=pVC"-+HA cA;F;-cAF-rV +H8 -c8 F+rV 
dt dt ' 
Igualando as equações 4.55 e 4.68: 
(4.62) 
(4.63) 
(4.64) 
(4.65) 
(4.66) 
(4.67) 
(4.68) 
pVC" ~~ =-ÍÍA(cA;f';-cAF - rV)-H8 (-c8 F+rV)+p;f';h;(T;)-pFh(T)-Q (4.~9) 
Agora podemos notar que: 
(4.70) 
uma vez que na alimentação temos apenas A, ou seja, 
(4. 71) 
e 
Fph(T) = F[c Afí A (T) + c8 H 8 (T)] (4.72) 
pois na corrente efluente temos uma mistura de A e B, ou seja, 
ph(T) =e Aií A (T) +e 0 H 8 (T) (4.73) 
Substituindo na equação 4.69: 
(4.74) ' 
Digitalizado com CamScanner 
.... - ... . .~' .. 
-. L 
A tamentos 46 EdUfSCar - ipon 
( 4. 7 5) 
. ' ·•· 
.. . 
( 
rJ fí )rV 
dT e . (T; - r) + H A - B vc _::::F;Pi I" 
p p dt 
(HA -HB)::::: (-Af/,) 
e ==cri 
,, (-MI )rV Q 
T ) ' --V~== F; (T; - T + pC pC r 
dt p 
Equações constitutivas 
Equação da taxa de transporte . 
Q :::: UA, (r - TJ 
Equação da taxa cinética: 
k -E/RT C r é> 0 e A 
. . ' ··Denominando 
J =(-Mi,) 
pC,, 
Equações de estado 
dV · 
-=F.-F 
'º1 dt ' 
· .· ; . 
' \ •• 1 
:. ,: dcA _ F; ( _ )-k e-E/RTc V 
.-- CA· CA O A : · .. · dt . V 1 . 
• ( 1, . -. 
. . ' . . 
i\ 
.. · . . . dT = fl.(r, -T)+ Jk. e-E/RT e ""'."" UA, (T-T.) 
'' d V' o Ave e ;: ... . t p ,, 
'•' _, ........ . 
(4.76) 
(4.77) 
(4.78) 
(4.79) 
(4.80) 
(4.81) 
. ' . 
(4.82) 
(4.83) 
(4.84) 
(4.85) . 
... ' '!"' - .. . , • • . 
, "·: : , .: ... , ~-.. Â~ variáveis de estado ~ão V, e A e T, e as form~s explícitas cias funÇões. não lineares 
,. ., são dadas pelas equações. 4 .. 83 e 4.85. Nesse caso, o modelo na forma da equação 4.48 ··: .. f/=/~(·, ,"· ··.·~ ··,.·· ,'.· ·.. :'·;'··· ·' ·"' 
' 1· \ •' ... • ' ' . ...~. 
· · .·;····LJO · · v ~ki~.~s~ •... . ~ é?t ~oD .. . . ·· ·• · ·· ::,·.)·;,.,·:L ... · .. ·~ .....••.• ~~.s6r .. 
· lf:") .· . : .· .,;.r:.w·; .... ; · . ; .. ~.:.t:.: .·,;;;r .. · ,. • ··. · · -~ · · · · · .. 
· · · · · ... .·' o: .. ,, ... - · · •.. . , " · · Digitalizado com CamScanner 
( 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 47 ''i 
u = [ F] 
T - ,. 
. . 
\) (.\ (l 1 f 1 \) ~· 1.: 
f = 
r'J / ,, , 
l -
F. - F I 
1 
F; (e . -e )-k c-H/Rr e V V ÂI A o A 
F; (T -r)+ Jk e-E/Rr e - UA, (T - T) 
V 1 O A VC e 
p " 
Exemplo 4.3 Modelo matemático de uma coluna de destilação binária ideal. 
(4.87) 
(4.88) 
(4.89) 
Considere a coluna de destilação da Figura 4.5 que separa uma mistura binária de 
componentes ~e B em duas correntes de produto. A alimentação é composta de líquido 
saturado (isto é, no ponto de bolha) no prato f com uma vazão molar F1 e fração molar 
de~ e f · A corrente de vapor no topo é resfriada e completamente condensada seguindo 
para o tambor de refluxo. O líquido no tambor de refluxo é bombeado parcialmente de 
volta para a coluna no prato N com uma vazão FR e retirado como destilado com uma 
vazão F0 • Seja M RD o conteúdo de líquido no acumulador de refluxo, x 0 a fração molar 
de A e M; o conteúdo de líquido no prato i, o conteúdo de vapor em cada prato é 
desprezível. O produto de fundo é retirado pela base da coluna a uma vazão F8 e 
composição x0 ; outra corrente de líquido com vazão molar V é retirada também pela 
base da coluna e aquecida no refervedor e retorna à base na forma de vapor. Seja M 8 o 
volume de líquido na base da coluna com composição x 8 • 
Suposições: 
J. Conteúdo de vapor em cada prato é desprezível. 
2. Os calores de vaporização de A e B são aproximadamente iguais. Isto significa que 
quando um mo] de vapor se condensa, ele vaporiza um mol de líquido. 
3. Coluna adiabática. 
4. Volatilidade relativa a dos dois componentes permanece constante ao longo da coluna. 
5. Eficiência dos pratos é de 100% (isto é, o vapor que deixa cada prato está em equilíbrio 
com o líquido). 
6. As dinâmicas do condensador e do refervedor são desprezíveis. 
7. A vazão molar de líquido em cada prato está relacionada ao conteúdo de líquido pela 
fórmula de Francis: 
(1.90) 
Digitalizado com CamScanner 
.-:.' j 
.J 
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.... ·~ 
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48 EdUFSCar - Apontamentos 
"' 
·:· \ . . : 
" . .. ~ .' . ' . . 
6 la é• ,, dessa f rmu · Uma cxpressao · · 
L == 3.33/ h3/2 
em que: 
L = ft3/s . . do vertedouro cm ft; . 
;, : ~~~:::O~~~~ido acima do vcrtc~_ouro ~~jt; 
., ...... -.;,, .. ,,, ....... ,_. 
1 
! ' 
'~ ,, . " •··~. ' 
Destilado 
í 
1 
Vapor 1 
l 
1 
1 . Fp, X p, 1 
l Produto de fundo 1 - ---·-- -------------·--- _ _J 
Figura 4.5 Coluna de destilação. 
Das suposições 1, 2 e 3,. temos: 
(4 (' J . ~ ' J 
V = V1 = V2 = ... ~ ·=V N , portanto, não necessita de baianço de energia nos pratos. 
Da .supo~ição 5, pode-se, então, chegar à seguinte relação entre Y; (f~aÇãó molar de 
A no vapor) ex, (fração molar de A no líquido): 
.ax; 
" (4.92) 
.. · .. -
.. ~ : . ~. ~- : . ~ 
1 :. 
.... ~ 1 ' •• 
: ... 
~ . . 
.. , ... '. . ... · .. :··.· .. · 
Digitalizado com CamScanner 
... 
jJ . ',• 
.. . . . ·. ,•' 
Introdução ao Controle de Proct?$sos Quimicos com MATLAB 49 
K. 
a .. =-' 
'1 K. 
J 
Balanços 
Prato de alimentação ( i = f) 
d(M 1 ) 
dt = Ff + L1+1 + Vf-1 - L.r -V.r 
Prato do topo ( i = N) 
d(MN) :::: FR +VN-1-LN -VN 
dt 
Prato do fundo ( i == 1) 
d(M 1 ) _ L -L 
- 2 1 
dt 
d(M1x1) = L2X2 +Vyu -L1X1 -V1Y1 
dt . 
PratóOi ( i = 2, .. :.,N -1, i * f) 
._ "d(M.) .L .. V V 
. . . ,_ , , =:= L;+õ - ' + H = ' 
, ' dt . . . '.. . . 
·. -.:)'; ' .. '1 : ; ~ ! . • \ ~ • • I 
. . ~ -·. ·, -~ ;.· . 
(4.94) 
(4.95) 
(4.96) 
(4.97) 
(4.98) 
(4.99) 
(4.100) 
(4.101) 
(4.102) 
(4.103) 
(4.104) .. 
. ' ·. · ·: .. ·:· 
. '. .•. i (4.105) .. 
. ~ . ,. ' . 
. _ .. - ..... 
. ·:·· · . ' 
Digitalizado com CamScanner 
.· ,. -. '· 
.·' -· ., .~ 
rnerztoS 
50 EdUFSCar -Aponta 
d(M;) -L -L. - =-- - i+l 1 
dt 
d(M X) V Y -L.x--V;)'; j j - L X · 1 + H H 1 1 
- - - i+l 1+ 
dt 
Acumulador 
d(M RD) = VN -FR -F0 
dt 
d(M Rvxv) = VNYN -(FR + F0)xv 
dt 
Base da coluna 
(4. CJ6J 
(4. I IOJ 
(4.111) 
(4.112) 
(4.113) 
Vale destacar que todas as equações de balanço são equações de estado. 
'';,. 
~ ... ·.-... 
-. 
'·· 
~- · .. 
'.-' .. i . ..... : 
' . ' ... .. . ·. 
'··'! 
1"... ,.-. · '.:· . 
Variáveis de estado · 
. Outras. equações 
· Relações de equilíbrio 
. . ru:. . B 
· .. . Yi'== ~ · ' ) . i = ,l, ... ,f , ... ,N 
· 1+ a-1 x . · 
. ' 1 
, 
Relações hidr~~licas (fórmula de Franci~) 
.- . . . . .... . . . . 
.Temos: · 
•t'>' . .·- ... -
' : .. ··, .·. 
. ·, ' . ~:· -. ., .. 
' . .. ·· ..... •" · . :·· 
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Digitalizado com CamScanner 
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··~ 
,\ 
~.1 .. j 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 51 
2N + 4 = equações diferenciais não-lineares (equações de estado) 
2N + 1 = equações algébricas (relações de equilíbrio e hidráulicas) 
4.5 Tempo Morto ou Atraso por Transporte 
Nos exemplos de modelagem assumimos que quando ocorre uma alteração em uma 
das variáveis de entrada (perturbações e variáveis manipuladas), seu efeito é 
instantaneamente observado nas variáveis de estado e nas saídas. 
Na realidade, quando uma variávelde entrada de um sistema varia, há um intervalo 
de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito é observado nas saídas do 
sistema. Esse intervalo de tempo é chamado de tempo morto. 
Exemplo 4.4 
Considere o escoamento de um líquido incompressível ao longo de um tubo (Figura 
4.6). No estado estacionário a temperatura T
0
u
1 
da corrente será igual à de entrada 1';". 
Supondo que em t =O a temperatura da entrada varie conforme a curva A (Figura 4. 7). 
É claro que T
0 11
, permanecerá a mesma até que a variação atinja o fim do tubo, quando, 
então, T
0 111 
variará de acordo com a curva B. Notemos que a temperatura de saída segue 
o mesmo comportamento da temperatura de entrada, com um atraso de t d segundos. 
Assim, td é o tempo morto. 
{Área da seção reta = A 
---1 (..___ ___ ____._,() 
Figura 4.6 Sistema com retardo por transporte. 
AL L 
td = --=-u segundos 
AU av av 
(4.116) 
U é a velocidade média do fluido av 
o t 
Figura 4.7 Resposta do retardo por transporte a um estímulo. 
Podemos relacionar T;n e T
0 111 
por meio da seguinte equação: 
. ·, . 
.. fo~-, (t) =T;n (t ~ td) -
. ~ ' ·, . 
isto é, a tein:p6ratu~a na saída num dado instante t é exatamente igual à _t~inperaiura na . ·_-
eiltrada t,f instante_s atrás. , . 
-(4.117) -
Digitalizado com CamScanner 
~;r·~. 
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. 52 .. EdUFSCar -.Ap~ntame~tos , .1 : . 
4.6 Sistemas de Parâmetros Concentrados e de 
Parâmetros· Distribuídos 
ál
. dos processos foi base.ada em modelo de parâmetro.i· 
Até este ponto, a an 1se -. ·, · de interesse variam apenas com o tempo e nao no espaco 
concentrados cuJaS vanave1s . h ,. , ' 
. ' · d d e 0 estado do sistema são considerados omogeneos em todo 0 ou sep, as propne a es ,. 1 
d t le Cons
iderar a concentração de parametros resu ta em equações 
volume e con ro . . . , 
d·~ · ·s ordinárias. Por outro lado, quando o comportamento do sistema e descrito 11erencia1 . d " d· 'b , 
tanto no tempo quanto no espaço, é denominado sistema e parametros zstn uidos e 
resulta em equações diferenciais parciais. 
Exemplo 4.5 
Para ilustrar a diferença entie' um siste·ma de parâmetros concentrados e um sistema 
de parâmetros distribuídos, considere uma barra de material condutor sólido de espessura 
infinita, como mostra a Figura 4.8. Considere que a entrada para esse sistema seja a 
temperatura da superfície· esquerda (i ~O), que é uma certa função arbitrária do tempo. 
A condutividade térmica k' a capacidade calorífica CP e a densidade p do material são 
constantes. Inicialmente (t <O), a barra ·se encontra a uma temperatura uniforme de 
regime estabelecido .. Portanto, em:. term'os'.,·de variáve"is-desvio, a temperatura inicial é 
zero e a área da seção reta da barra é A . : · ·,. · . ·: · 
1 
1 
.'-1 ' 1 1 \ :·1 ,:". I '-
X .'. ·•··· ·- . . 
.. ' 
T(O, t) "----'--....L_-.J 
X < X.+ ÕX · 
. Figura 4.8 Condução de calor num sólido . . · 
... 
. . Neste problema, a temperatura na barra é fu - . . - . , 
md1cad~ por. T(x,t). A temperatura da su erfície ~ç.ª? .. da pos1çao e do tempo, como esta 
ª equaçao diferencial que descreve a pd _ e rnchcada por T(O,t). Para deduzirmos 
um balanço de energ· ia sobre um c c~n uçao ~e calor na barra, escrevemos primeiro 
· · · · · ompnmento d1t · l 5: •• 
energia pode ser escrito da seguinte f . erencia w: da barra. Esse balanço de . . orma. 
. . 
T. axa de acumulação Fl . . uxo de ent~ada de·. 
d. e energia interna no = 1 . ca or pela superfície" · 
calor pela superfície 
Fluxo de saída de 
. '·' . vo.Iume ~º- elemento . · . . . ,· . . . e_ sq __ u_ erd_a po.r conduç·ão· . ,: d' .. . . 
· : ,." .. · . ~- , ··:· . . ~reita' pórcondtição ·' '_ (4.118) 
o flux.? ,de calor por co~d.uç"- : ' · . . : : . " '..: · '',· i . . ·, :., . 
: . · . .. . . êlf.<·. ":.·. ·" . ª .ºsegue a le1 _d.e Fourier: · . ' .,.;·, . .,_:;.;;. e.· ,.-.-
. :.4 =: .. ~kA ax . '~ . ç- .. .. • . . . . . . .. · •" .. :· .. , . . . . . , , . 
::'." . . -.· . . ' ".· :··' .'. . . :: .· : .~.i <'"' ·:-: .'. ( 4'.· ú 9) 
Digitalizado co~ .Ca~Sca~~~r 
. ., . 
. ·' 
1 
" 
i 
Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB 53 
em que: 
q = fluxo de calor por condução; 
dr/ êJx = gradiente de temperatura; 
k = condutividade térmica; 
Aplicando a equação 4 . l l 5 à equação 4.114, resulta: 
i[pC,,A&(T-T, )] = -kA dr -[-kA dr+ j_(-kA éJT)8x] 
êJt êJx dX dX dX 
(4.120) 
em que T, é a temperatura de referência usada para calcular a energia interna. 
Simplificando, a equação 4.120 resulta na equação fundamental que descreve a condução 
num sólido: 
êJ êJ2T 
êJt [pc,,A8x(T-T, )] = kA êJx2 8x (4.121) 
dr k a2r (4.122) 
Essa equação é freqüentemente descrita sob a forma 
dr êJ 2 T 
-=a--
êJt êJx2 (4.123) 
em que a= k/ pC,, é a difusividade térmica. 
Pode ser demonstrado que o atraso por transporte é um sistema de parâmetros 
distribuídos. 
Leitura Recomendada 
A literatura sobre modelagem de processos é muito abrangente . Um livro sobre 
controle de processos que apresenta o assunto de uma maneira sucinta é o de Luyben 
( 1990). Outro livro recentemente publicado, que também apresenta uma abordagem 
sucinta e bastante didática sobre modelagem de processos, o qual traz, inclusive, 
programas escritos em MATLAB para as simulações numéricas, é o de Bequette ( 1998). 
Bibliografia 
BEQUETTE, B. W. Process dynamics: modeling, analysis and simulation. New Jersey: 
Preritice Hall, l 998. · · : 
·· LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation anel control for chemical engineers. 2. · 
/ · · ed. New York: McGraw-Hill, 1990 . 
. r_,:< 
1 • .. ~· . '~ 
_::~/); ·: __ : .Exe"rcícios · 
.·\ ·, :.::),~:./\:''4 .. l _ Considere os dois sist~~as mostrados a seguir. O sistema _ l difere do sist_ema 2 pelo · 
·! · .. ó::S;{\·:.~/~~~taf qu.·e_a ' nível de líquid,o no tanque 2 não afeta .a vazão, ~fl1:1.ente do tanque .- 1 ,:.·c?~~ 
--~ ~ .. ':._...-.,.~,-'.ocorre no sistema 2. 
f ... /).I,~.~~~;~:'-:~.}" < >./. .. .. 
Digitalizado com CamScanner 
.. -· ,·. 
~ . ; 
,'• 
' ~ ·-
.... ·. · 
54 l!dUPSCnr - A/H111t11111n1110.1 
(n) Desenvolvo o modelo matemático par~ cada um d~s sistemas. .... 
(b) Quais ns vnri(ivcis ele cslac.lo de cada sistema e quais balan.ços voce usou? . 
(e) Qual modelo mn1cmfüico é mais fácil de resolver, o do sistema 1 ou o do s1stem : 2? 
Explique. 
Pode-se assumir que a vazão efluente de um tanque seja proporcional à pre~são 
hidrostática do líquido que causa seu escoamento. A área da seção transversal do tanque 
1 é ;\
1 
(fl2) e a do tanque 2, ;\2 (ft
2). As . vazões ~, F1 e F2 são em ft
3/min. 
Fi -i 
!11 IF,J~ 1 
Tanque 1 Tanque 2 
Sistema 1 Sistema 2 
4.2 Desenvolva o modelo matemático para o sistema mostrado na figura a seguir. Quais 
· as variáveis de estado do sistema e quais os balanços utilizados? Todas as vazões são 
volumétricas e as áreas das seções transversais dos três tanques são A
1
, Ai e A3 (ft2) , 
' '.respectivamente. A vazão F4. é constante e independe de ~. enquanto todas as outras 
correntes efluentes são proporcionais às pressões hidrostáticas correspondentes que 
promovem o ·escoamento. 
' .. 
' 
:i· 
" . ' 
! .. .> 
Tanque 1 . 
F~ Tanque 2 p
3 
Tanque 3 
4.3.· Considere os dois tanq~es agitados .com ~quecime~to mostrados :na . Íig~ra . a seguir. 
(a) · Identifique as variáveis de.estado do sistema. 
(b) Quais os balanços que você . usou? · . . . · . . 
(c) .Desenvolva ô modelo de estado .que" descreve o comporta~ento · d~âÍni~o do sistema. 
(d) Como voc.ê expressaria o calor fornecido pelas duas correntes" de vapor em · te~os de 
· · outras vanáve1s? · 
~,; . 
· - . ·A:s·"v'azõ~s . cÍ~~ · ~º-~.rentes. eflu,~~~·e·~- ~ã~ ·assumidas como:_ prop~r6ionai~ às pressõ~5 
>. ,._ '.:: ... · .hicfrô'st'áticas ·que promovem o esc.oa1n.ento do líquido,. ~ Às áreas das ·seÇões. tràn·sv.ersa15 
' '; ' • ·' ~ ·', • ' • • • • ' • • • / • 1'.