Método multipasso final

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MÉTODOS MULTIPASSO: Método de Adams-Bashforth e 
Método de Adams-Moulton 
 
Isana Mascarenhas de Oliveira Carneiro 
Resumo- O presente artigo foi solicitado 
pelo professor Danilo de Oliveira Gonçalves, 
e tem como objetivo principal apresentar o 
método de Adams-Bashforth e o método de 
Adams-Moulton. São procedimentos 
utilizados para a resolução de equações 
diferenciais através de passos múltiplos, 
onde a solução é calculada a partir de 
soluções conhecidas em pontos anteriores. 
Dessa forma, será apresentado o método, o 
código do algoritmo e um exemplo resolvido 
para melhor visualização. 
Palavras-chave: Adams-Bashforth; 
Adams-Moulton; Equação; 
Abstract- This article was requested by 
Professor Danilo de Oliveira Gonçalves, and 
its main objective is to present the Adams-
Bashforth method and the Adams-Moulton 
method. These are procedures used to solve 
differential equations through multiple 
steps, where the solution is calculated from 
solutions known in previous points. Thus, 
the method, the algorithm code and a solved 
example will be presented for better 
visualization. 
Keywords: Adams-Bashforth; Adams-
Moulton; Equation; Solution; 
 
I. Introdução 
Equação diferencial é o nome dado à 
equação que contém derivadas de uma 
função desconhecida. A solução dessa 
 
Métodos numéricos – EXA708 
equação é a função que satisfaz à equação 
diferencial. 
Solução numérica é o procedimento 
empregado no cálculo de uma estimativa 
para a solução associada a um conjunto de 
pontos discretos. Há procedimentos que 
envolve a abordagem multipasso, onde a 
solução em xi+1 é calculada a partir das 
soluções conhecidas em pontos anteriores. 
O propósito é que o valor da função nos 
pontos anteriores possa permitir uma 
melhor estimativa para a tendência da 
solução. 
Dessa forma, o presente artigo irá abordar 
sobre o Método de Adams-Bashforth e o 
Método de Adams-Moulton que é um 
exemplo de Método Multipasso, e tem 
como objetivo apresentar a base teórica, 
código do algoritmo e a demonstração de 
exemplos de modo que tenha maior 
descrição sobre o tema e uma compreensão 
de forma objetiva e clara. 
II. Desenvolvimento Teórico 
Métodos multipasso podem ser explícitos 
ou implícitos. No primeiro método, é 
utilizado uma fórmula explícita para 
calcular o valor da variável dependente no 
próximo valor da variável independente. 
Universidade Estadual de Feira de Santana – BA 2021 
Em uma fórmula explícita, o lado direito 
da equação tem apenas grandezas 
conhecidas. Já em métodos implícitos, a 
incógnita yi+1 aparece em ambos os lados 
da equação e são mais precisos que os 
métodos explícitos, mas requerem maior 
esforço computacional em iteração. 
 MÉTODO DE ADAMS-
BASHFORTH 
O Método de Adams-Bashforth é um 
método multipasso explícito utilizado na 
solução de EDOs de primeira ordem. Há 
muitas fórmulas para calcular yi+1 usando a 
solução conhecida e elas são classificadas 
de acordo com sua ordem, correspondente 
ao número de pontos usados e à ordem do 
erro de truncamento. 
As fórmulas do método de Adams-
Bashforth são deduzidas a partir da 
integração da equação diferencial em um 
intervalo [xi,xi+1] e, essa integração, resulta 
em: 
(1) 
 Método de Adams-Bashforth de 
segunda ordem 
O Método de Adams-Bashforth de 
segunda ordem aproxima a solução da 
equação diferencial a partir das soluções 
calculadas anteriormente em (xi, yi) e (xi-1, 
yi-1). Se a função f(x,y) na Eq. (1) for 
aproximada por um polinômio interpolador 
em seu valor (xi, yi) e no ponto (xi-1, yi-1), 
então: 
(2) 
onde, h = xi - xi-1. Resultando em: 
yi+1= yi + 
 
 
[3f(xi, yi) – f(xi-1, yi-1)] (3) 
 Método de Adams-Bashforth de 
terceira ordem 
A fórmula de terceira ordem permite a 
solução yi+1 a partir de valores conhecidos 
da solução nos três pontos anteriores: 
yi+1= yi + 
 
 
[23f(xi, yi) –16f(xi-1, yi-1) + 
5f(xi-2, yi-2)] (4) 
 Método de Adams-Bashforth de quarta 
ordem 
A fórmula de quarta ordem fornece a 
solução yi+1 a partir de valores conhecidos 
da solução nos quatro pontos anteriores: 
yi+1= yi + 
 
 
 [55fi – 59fi-1 + 37fi-2 - 9fi-3] 
(5) 
onde é usada a notação fi = f(xi, yi), fi-1 = 
f(xi-1, yi-1), e assim sucessivamente. 
 Código do algoritmo 01 no programa 
MATLAB 
% Método de Adams - Bashforth 
% **************************** 
 
 for i=4:n-1 
 y(i+1)=y(i)+(h/24)*(55*f(i) - 
59*f(i-1) + 37*f(i-2)-9*f(i-3)); 
 x(i+1)=x(i)+h; 
 
f(i+1)=calcfunEDO(x(i+1),y(i+1)); 
 %pause 
 end 
 
 
 Exemplo matemático 
Consideremos o seguinte problema de 
valor inicial: 
y’-y = sen (t), t > 0 
y (0) = 
 
 
 
Na Tabela abaixo, tem-se as 
aproximações ̅ (1) de y (1) computadas 
pelo método de Adams-Bashforth de 2 
passos. Como este método é de ordem 2, se 
inicia pelo método do ponto médio, de 
forma que mantenha a consistência. 
h ̅ (1) | ̅ (1) - y (1) | 
10
-1
 2,01582 1,2E-02 
10
-2
 2,02727 1,3E-4 
10
-3
 2,02739 1,3E-06 
10
-4
 2,02740 1,3E-08 
10
-5
 2,02740 1,3E-10 
Tabela 1. Resultados 
Os resultados mostrados na Tabela 11.5 
podem ser computados no GNU Octave 
com o auxílio do seguinte código: 
f = @(t,y) y+sin(t); 
 
h=1e-1; 
n=round(1/h+1); 
t=zeros(n,1); 
y=zeros(n,1); 
 
#c.i. 
t(1)=0; 
y(1)=0.5; 
 
#inicializacao 
t(2)=t(1)+h; 
y(2)=y(1)+h*f(t(1)+h/2,y(1)+h/2*f(
t(1),y(1))); 
 
#iteracoes 
for i=2:n-1 
 t(i+1) = t(i)+h; 
 y(i+1)=y(i) + ... 
 h/2*(3*f(t(i),y(i))-f(t(i-
1),y(i-1))); 
endfor 
 
ya = @(t) exp(t)-sin(t)/2-
cos(t)/2; 
printf("%f %1.5E 
%1.1E\n",t(n),y(n),abs(y(n)-
ya(1))) 
 
 MÉTODO DE ADAMS-MOULTON 
A fórmula de Adams-Moulton é uma 
variação da fórmula de Adams-Bashforth, 
com a diferença de que essa é do tipo 
implícita, onde os pontos interpoladores 
não são apenas (xi, yi) e os anteriores, mas 
é utilizado também o ponto (xi+1, yi+1) em 
que deseja-se definir a solução. Dessa 
maneira, a variável yi+1 aparece no lado 
direito da equação, o que torna o método 
implícito. 
 Método de Adams-Moulton de segunda 
ordem 
A fórmula de segunda ordem é uma 
forma implícita do método de Euler 
modificado, como mostrado abaixo: 
yi+1= yi + 
 
 
[f(xi, yi) – f(xi+1, yi+1)] (6) 
 Método de Adams-Moulton de terceira 
ordem 
A fórmula de terceira ordem é: 
yi+1= yi + 
 
 
 [5f(xi+1, yi+1) +8f(xi, yi)-5f(xi-1, yi-1)] 
(6) 
 Método de Adams-Moulton de quarta 
ordem 
A fórmula de quarta ordem é: 
yi+1= yi + 
 
 
 [9fi+1 + 19fi - 5fi-1 + fi-2 ] (7) 
Este método é mais preciso que o Adams-
Bashforth. Tanta precisão vem 
acompanhada de um esforço, a partir disso 
foi implementado o método de previsão e 
correção que basicamente tentou combinar 
precisão e menos esforço computacional. 
 Método de previsão e correção de 
Adams-Bashforth e Adams-Moulton 
Este método é uma combinação da 
fórmula de Adams-Bashforth (AB) e 
Adams-Moulton (AM) de quarto grau e 
consiste em se utilizar um método explícito 
de resolução numérica AB para se obter 
uma previsão para o valor yi+1, e usar este 
valor em um método implícito AM para se 
obter o valor de yi+1 corrigido. Dessa forma 
não teremos mais um método implícito. 
A equação corretora é: 
yi+1= yi + 
 
 
 [5fi+1 + 8fi - fi-1 ] 
para k= 2,3… (8) 
onde, 
 
(9) 
 Exemplo matemático 
Resolva o problema de valor inicial dado 
por: 
u’ (t) = -2(t) + t 
u (0)= -1 
via Adams-Moulton com s=2 (três passos) 
com h=0,1 e h=0,01. 
Solução: Primeiro observa-se que 
f(u,t) = -2(t) + t que o esquema de 
Adams-Moulton pode ser escrito como: 
 
(10) 
de forma que: 
 
(11) 
Assim: 
 
(12) 
Os valores obtidos são mostrados na 
tabela abaixo: 
 t=1 t=2 
h=0,1 -0,0002232124801 0,135292280956 
h=0,01 -2,028912296e-07 0,135335243537 
exato 0 0,135335283237 
Tabela 2. Resultados 
 
Pôde-se perceber que os resultados 
mostrados na tabela foram preciosos e que 
o método é eficaz. 
III. ConclusãoA escolha do método para resolver um 
problema de modelagem envolve um 
equilíbrio nas questões de precisão e o 
esforço computacional, isto é, o tempo 
gasto para executar cada iteração. Um 
método implícito, como o Adams-
Moulton, exige um grande esforço em cada 
passo, em contrapartida é um método 
(k) (k-1) 
 
estável e preciso, que permite o uso de um 
tamanho h maior e, consequentemente, um 
número menor de iterações. 
Os métodos numéricos apresentados 
neste trabalho são métodos de 
implementação simples, que apresentam 
bons resultados e produzem soluções 
eficientes para diversos problemas 
envolvendo equações diferenciais. 
IV. Referências 
GILAT, AmosPozo. Métodos numéricos 
para engenheiros e cientistas: uma 
introdução com aplicações usando 
oMATLAB / Amos Gilat, Vish 
Subramaniam; tradução:Alberto Resende 
de Conti. – Dados eletrônicos. – Porto 
Alegre: Bookman, 2008. 
Prof. Milena Brandão. Solução 
numérica de EDO pelo método de 
Adams-Bashforth. 2020. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=velc
Q8Jtyxg&t=1115s>. Acesso em: 18 jun. 
2021. 
Maioli, Gabriele. Métodos Numéricos 
para Equações Diferenciais Ordinárias. 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de 
Mesquita Filho”, 2015. Disponível em: 
<https://repositorio.unesp.br/bitstream/han
dle/11449/134029/000857260.pdf?sequenc
e=1>. Acesso em: 18 jun. 2021.