Metodos Numéricos

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Pergunta 1
Os sistemas de numeração podem ser posicionais, caracterizados por associar um determinado valor a posição na qual o algarismo ocupa ou sistemas não posicionais, em que não existe uma relação estabelecida para a localização do algarismo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os sistemas posicionais: decimal, binário, octal e hexadecimal, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
1. O sistema decimal possui base 10 e faz uso de dez símbolos para representar todas as quantidades.
2. O sistema binário possui base 2 e é indicado pela combinação dos algarismos de 0 e 1.
3. O sistema octal trabalha com a base 8 e utiliza os algarismos de 0 a 8.
4. O sistema hexadecimal utiliza a base 16 e sua representação é feita com os algarismos de 0 a 15.
RESPOSTA: V, V, F, F.
Pergunta 2
Em termos computacionais, o método de Newton é considerado o mais eficaz para determinar o zero ou raiz de uma equação não-linear, pois é o que necessita de menos repetições do mesmo processo, isto é, iterações a serem realizadas. 
A melhor aproximação para a raiz da função f(x) = x³ + 10x² - x + 40 com estimativa de erro ε ≤ 0,001, utilizando o método de Newton-Raphson (MNR) com x = -8 e três iterações, é: 
RESPOSTA: -10,706.
Pergunta 3
A operação interna inerente aos computadores digitais fundamenta-se no armazenamento e processamento de dados binários. No entanto, a utilização de ponto flutuante restringe o valor do número a ser representado na máquina. 
Considerando essas informações e admitindo a representação em ponto flutuante dado por F (2,3,-3,3), analise as afirmativas a seguir. 
I. O maior número representável nesse sistema é o 7.
II. O maior número inteiro representável nesse sistema é o 5.
III. O menor número positivo representável nesse sistema é o 0,125.
IV. O menor número representável nesse sistema é o 0,0650.
RESPOSTA: I e IV.
Pergunta 4
É imprescindível mensurar, ou seja, medir o erro praticado e/ou inserido na manipulação dos sistemas numéricos, pois é através deste indicativo que se torna possível avaliar o quão grande ou quão pequeno foi o erro cometido neste procedimento. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo sobre teoria dos erros, é possível afirmar que os indicadores que permitem averiguar o erro gerado nos sistemas numéricos são: 
RESPOSTA: erro absoluto, erro relativo e erro percentual.
Pergunta 5
Leia o excerto a seguir:  
“[...] estudar métodos numéricos significa estudar ferramentas matemáticas que nos ajudem na busca por valores aproximados (soluções numéricas) que podem solucionar problemas práticos. [...] disciplinas que têm em seus currículos conteúdos de métodos numéricos, têm a possibilidade de construírem conhecimento nesta que é uma área bastante importante para o desenvolvimento de habilidades que permitam a solução de problemas de engenharia, estatística, física, biologia, economia, ciências ambientais, além, é claro, de matemática”. 
Fonte: FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006, p.36. (Adaptado). 
 Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo numérico, é possível afirmar que um dos objetivos da disciplina de Cálculo Numérico é: 
RESPOSTA: compreender os métodos numéricos para a solução de problemas, aliando custo com precisão durante sua aplicação.
Pergunta 6
O método das secantes (MS) também recebe a nomeação de método das cordas. Esse dispositivo pode ser definido teoricamente como uma aproximação que utiliza o conceito diferenças finitas aplicado ao Método de Newton-Raphson (MNR).
Empregando o Método das Secantes (MS), após três iterações e com precisão de três casas decimais, pode-se afirmar que a raiz da função:
RESPOSTA: -0,568.
Pergunta 7
O método das secantes (MS) se assemelha muito ao Método de Newton Raphson (MNR). A diferença está no fato que o primeiro substitui o cálculo das derivadas pelo cálculo de uma razão incremental que, geometricamente, corresponde na substituição da tangente, no método de Newton, a uma secante no Método das Secantes (MS). 
Empregando o Método das Secantes (MS), após três iterações e precisão de três casas decimais, pode-se afirmar que a raiz da função f(x) = ex - sen(x) - 2, no intervalo [1,0 ; 1,2], é:  
RESPOSTA: 1,293.
Pergunta 8
O método de Newton – Raphson (MNR) caracteriza-se por ser um caso particular do Método das Aproximações Sucessivas (MAS). Por essa metodologia, é possível encontrar uma convergência quadrática no processo de obtenção da raiz da função. 
A melhor aproximação da raiz da função f(x) = x² - 4.sen(x) = 0, com estimativa de erro ε ≤ 0,001, x ∈ [1; 3], utilizando o método de Newton- Raphson (MNR), com x = 3, é:  
RESPOSTA: 1,934.
Pergunta 9
Leia o trecho a seguir: 
“Em muitos problemas de Ciência e Engenharia, há necessidade de se determinar um número ε para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(ε)=0. Esse número é chamado raiz da equação f(x)=0 ou zero da função f(x).” 
Fonte: BARROSO, Leônidas Conceição. et al. Cálculo Numérico (com aplicações). 2ª Ed. Editora Harbra. São Paulo, 1987. p. 83. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a determinação da raiz de equações não–lineares, graficamente, a raiz de uma equação pode ser descrita como o: 
RESPOSTA: ponto onde a função toca o eixo das abscissas.
Pergunta 10
O Método de Newton – Raphson (MNR) é costumeiramente mais utilizado para determinar o zero de uma função, uma vez que, em sua dinâmica, não existe a necessidade de derivar, o que o torna um dispositivo mais rápido e eficiente em relação a outros. 
A melhor aproximação da função f(x) = x³ - x² - 12x = 0, com estimativa de erro ε ≤ 0,0001, x ∈ [-3,5 ; -2,5], utilizando o método de Newton-Raphson (MNS), é: 
RESPOSTA: -3,0000.