Maristela Ap Correa Ortiz - aplicação de cálculo na engenharia

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MNRAS 000, 1–5 (2022) Preprint 24 June 2022 Compiled using MNRAS LATEX style file v3.0
APLICAÇÃO DE INTEGRAL DEFINIDA NA ENGENHARIA CIVIL
Uso em cálculo de áreas de barragens
Maristela Aparecida Correa Ortiz1★
1 Instituto Federal de Educação,Ciência e Tecnologia do Estado de São Paulo, Campus Votuporanga, São Paulo, Brasil
30 de junho de 2022
ABSTRACT
A priori, one of the main questions of undergraduates in exact sciences is what the functionality and application in real life of
mathematical devices, in civil engineering, would be no different. In order to expose curiosities and demonstrate the applicability
of contents of the calculus discipline present in the constructive study, a contextualization and exhibition of the practical use of
some contents such as integrals, partial derivatives and methods, such as least squares, in one of the applicability that engineers
civilians may experience, throughout their careers, the estimation of an area, in this specific case, flooded in a dam. In this type
of building of vast extent, it is essential that engineers understand and know not only the needs of the structure, for example, but
also the entire set around it and their influences on the containment, as is the case of knowledge of the flooded area. dam related.
Some other practicalities of Calculus in Engineering are also mentioned.
Key words: Differential and integral calculus, Area and Subareas, Definite integral, applications, mathematical methods.
RESUMO
A priori, um dos principais questionamentos dos graduandos em
ciências exatas, é qual a funcionalidade e aplicação na vida real dos
artifícios matemáticos, na engenharia civil, não seria diferente. A fim
de expor curiosidades e demonstrar a aplicabilidade de conteúdos da
disciplina de cálculo presente no estudo construtivo, foi feito uma
contextualização e exibição do uso prático de alguns conteúdos como
integrais, derivadas parciais e métodos, como mínimos quadrados,
emumadas aplicabilidades que engenheiros civis podemvivenciar ao
longo de sua carreira, a estimativa de uma área, nesse caso específico,
alagada emumabarragem.Nesse tipo de edificação de vasta extensão,
é imprescindível que os engenheiros compreendam e saibam não
só as necessidades de estrutura, por exemplo, mas também todo o
conjunto ao redor e as influências destes sobre a contenção, como
é o caso do conhecimento da área alagada relacionada a barragem.
Também são mencionas algumas outras praticabilidades do Cálculo
na Engenharia.
Palavras-chave:
Cálculo diferencial e integral, Área e Subáreas, Integral definida,
aplicações, métodos matemáticos.
1 INTRODUÇÃO
Desde os primórdios as aplicações dos conteúdos de cálculo diferen-
cial e integral são elementos demotivação nasmais diversas vertentes
★ E-mail:ortiz.maristela@ifsp.edu.br
das ciências exatas. Seguindo nesse enquadramento, é fato que, na
rotina de um engenheiro civil, esses conhecimentos são de extrema
importância, sendo base para solução de diversos problemas, papel
principal de um profissional do ramo.
A integral e a derivada são noções básicas do estudo do cálculo,
no qual do entendimento geométrico, a primeira está relacionada,
em uma definição extremamente simples, a áreas de determinadas
figuras planas, regulares ou não; ao ponto que a segunda está ligada
a situação de traçar uma tangente em uma curva; mas claro, há
inúmeras interpretações.
Têm-se, a priori, que na aprendizagem do cálculo diferencial e in-
tegral prevalecem processos algébricos submersos a exercícios repet-
itivos e com pouco, ou quase nenhum diálogo com outras ciências
e aplicações, entretanto, diversos estudos têm sido feitos, a fim de
inovar essas metodologias de ensino, objetivando maior interdisci-
plinaridade. Progredindo sobre esta premissa, vemos que o engen-
heiro civil pode utilizar dos cálculos integrais para calcular áreas,
volumes e pesos, momentos de inércia, centros de gravidade, defor-
mações, dentre muitas outras situações.
Ao decorrer do texto será abordado o uso do cálculo em uma das
esferas de possível atuação de um graduado em engenharia civil,
barragens. O tema escolhido parte da reflexão do quão importante
é a identificação e compreensão de áreas alagadas, tanto de forma
natural, quanto artificial - como no caso a ser relatado. Em síntese,
a edificação de uma barragem tem intuito principal de contenção de
materiais para múltiplas finalidades, desde a retenção e armazena-
mento de água para períodos de estiagem e/ou a geração de energia
elétrica até contenção de rejeitos.
A análise a seguir foi baseada, primordialmente, em
“PARAOL1C.M.” , “PESCADOR2 A.”. O uso da integral
definida no cálculo da área alagada da barragem do rio
© 2022 The Authors
2 Maristela Aparecida Correa Ortiz
bonito. Revista Produção e Desenvolvimento , http://revistas.cefet-
rj.br/index.php/producaoedesenvolvimento. v.1, n.3, p.114-130,
set./dez. 2015.
Figura 1 - Barragem do Rio Bonito
Fonte: Google Imagens, 2022.
2 DESENVOLVIMENTO.
2.1 Conceituação do Cálculo Diferencial e Integral
Como citado anteriormente, e agora de forma mais aprofundada, a
necessidade básica atendida pelo cálculo diferencial, é calcular o
coeficiente angular de uma reta tangente a um gráfico de função,
em um determinado ponto; já a solução básica do cálculo integral, é
computar áreas sob gráficos, também entre pontos estipulados.
Ademais o Cálculo Diferencial e Integral conta com a contribuição
de vários matemáticos no decorrer da história, porém, são atribuí-
dos a Isaac Newton – apesar de não ter sido o primeiro a diferen-
ciar ou integrar, suas descobertas embasaram o algoritmo geral para
funções – e aWilhelm Leibniz a elaboração do teorema fundamental
do cálculo. De acordo com o exemplar Stewart (2011), ambos estu-
diosos regulamentaram e aprimoraram os conhecimentos produzidos
ao longo da história do cálculo diferencial e integral, descobriram a
relaçao inversa existente entre derivadas e a integrais e apresentaram
o teorema de forma livre – conceitos independentes – e simultanea
no final do século XVII. Leibniz foi o responsável pela formaliza-
ção de “calculus differentialis e calculus integralis”, por meio da
primeira publicação sobre o assunto, com título traduzido de “Um
novométodo paramáximos emínimos, e também para tangentes, que
não é obstruído por quantidades irracionais”, além de fixar o símbolo
da integral,
∫
, relacionado a (S) soma “esticada”, bem como, em dx
e dy os diferenciais de x e y.
O desenvolvimento dos conteúdos citados progrediu ainda mais,
nas mãos de muitos outros matemáticos, entre estes, os irmãos
Bernoulli.
Atualmente a definição da integral deve-se ao matemático
Augustin-Lois Cauchy , que se inicialmente pontuou que uma função
f é o limite de uma soma infinita, em outras palavras, todas as funções
contínuas em um intervalo [a, b] são integráveis. Esta definiçao foi
reformulada pelo matemático alemão Bernhard Riemann como uma
função limitada num intervalo usando somas superiores e inferiores,
e assim, em sua homenagem, a conhecida “integral de Riemann” foi
determinada, e é utilizada mundialmente.
No artigo referência dessa pesquisa, fez-se um estudo detalhado
dos conteúdos de integral definida e ajuste de curvas, sendo que
os cálculos para aproximação da área em debate foram efetivados
com o auxílio da tecnologia, uma vez que existem softwares – como
os usados, geogebra e graph – que facilitam consideravelmente a
chegada aos resultados de interesse, devido à quantidade estimativas
e cômputos em geral.
2.2 Integral
A teoria desenvolvida e as aplicações relacionadas ao Cálculo difer-
encial e integral estão entre as maiores conquistas da história, ao
passo que, constituem um domínio matemático útil em tantos cam-
pos do conhecimento. Dessa forma, existe uma estreita relação entre
as ideias de derivada e integral na perspectiva sucinta de que, a oper-
ação inversa da derivação é a integração indefinida, ou didaticamente,
melhor compreendida, é a antiderivação.
Todavia, diferentemente da generalização associada a derivar,na
integração existem várias definições que almejam resolver alguns
problemas conceituais relacionados primordialmente a limites, con-
tinuidade e até mesmo aos processos utilizados nessas acepções,
visto que, existem funções que podem ser integradas segundo uma
concepção, mas não podem segundo outra.
Destarte, em linguagem técnica, o cálculo integral estuda dois
operadores lineares, a integral definida e indefinida. Onde a primeira,
a qual está sendo discutida, é conhecida popularmente como “Soma
de Riemann”; e a segunda se resume no inverso da derivada, ou seja,
F é integral indefinida de f, quando f é uma derivada de F.
2.2.1 Integral de Riemann
Outrossim, refletindo sobre o conceito de integral temos a represen-
tação de um método de compreensão do mundo, onde a totalidade
das partes pequenas de um todo remete a conclusões sobre o todo
geral. Ou seja, de acordo com Stewart (2011) e fazendo a interligação
ao exposto, conclui-se que uma das aplicações da integral definida
é o cálculo de área, onde a área é dividida em retângulos e a área
exata total é o limite das somas desses retângulos. Este é o conceito
teórico da “Soma/Integral de Riemann”.
Na prática, a integral definida por Riemann, corresponde a divisão
de um intervalo entre pontos [a,b] em n subintervalos retangulares,
ou seja, a variação de comprimento
Δ𝑥 =
(b − a)
n
de modo que a função deve ser contínua e definida em a<x<b. A
definição desta integral é:
∫ 𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑓 (𝑥∗𝑖 )𝑥
Onde:
𝑥0 (= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, . . . 𝑥𝑛 são extremidades desses subintervalos;
𝑥∗1, 𝑥
∗
2, . . . , 𝑥
∗
𝑛 são pontos amostrais nos subintervalos citados
acima;
MNRAS 000, 1–5 (2022)
Aplicação de Integral Definida da Engenharia Civil 3
Figura 2 - Integral de Riemann
Fonte: Artigo: O uso da integral definida no cálculo da área[...],
2022.
Desde a educação básica aprende-se que área é umnúmero que rep-
resenta a superfície de região limitada, para figuras regulares como
retângulos, círculos, triângulos, pentágonos, etc. existem métodos
matemáticos geométricos simples que calculam esse valor. Entre-
tanto, no caso de regiões não padronizadas, como curvas, a integral
definida para calcular a área total da região é a soma de áreas de
retângulos, imaginários, que são inseridos como sub-regiões sob a
curva.
2.2.2 Método dos Quadrados Mínimos
Por conseguinte, há o ajuste de curvas que expressa uma tendência
entre as variáveis e assim, uma das técnicas mais difundidas é o
método dos Quadrados mínimos, dado pela sua simplicidade e por,
em geral, o objetivo dos cálculos serem aproximações numéricas de
medidas remotamente, ou mesmo, experimentalmente conhecidas,
que apresentam certo grau de incerteza.
Em poucas palavras, o cálculo diferencial e integral passará pelo
processo de minimização, e será respectivamente responsável por
calcular as derivadas parciais da função objetivo em relação as in-
cógnitas a, b e c, igualando-as a zero, e então formará um sistema
linear da ondem 3x3, descrito ao final da seção. De maneira pro-
gressiva, o processo de ajuste de uma função quadrática decorrerá da
aplicação de estimativas nas funções a serem integradas para deter-
minação da área, isso significa que buscam pelos valores a, b e c que
tornem a função 𝑦𝑖 = 𝑓 (𝑥𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐𝑥2𝑖 uma aproximação vál-
ida. Assim, visando o melhor ajuste para a curva desejada, o critério
adotado é o de minimizar a soma dos quadrados de fontes pontuais,
isto se esclarece ao minimizar a equação abaixo:
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑑2 (𝑥𝑖) =
𝑛∑︁
𝑖=1
(𝑦𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐𝑥2𝑖 )
Onde 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 são os elementos estimados. Nesse sen-
tido, esses valores pontuais almejam ser os menores possíveis. E
finalmente, segundo os conhecimentos do cálculo integral e difer-
encial, para minimizar a equação anterior, devem-se ser calculadas
as derivadas parciais daquela, em relação a cada uma das grandezas
desconhecidas e igualando-as a zero, da seguinte forma:
𝜕𝐷
𝜕𝑎
= 2
𝑛∑︁
𝑖=1
(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥1 − 𝑐𝑥21) ∗ (−1) = 0
𝜕𝐷
𝜕𝑎
= 2
𝑛∑︁
𝑖=1
(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥1 − 𝑐𝑥21) ∗ (−𝑥𝑖) = 0
𝜕𝐷
𝜕𝑎
= 2
𝑛∑︁
𝑖=1
(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥1 − 𝑐𝑥21) ∗ (−𝑥
2
1) = 0
Reescrevendo as igualdades anteriores, resultamos em:
-
∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑎 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑏𝑥𝑖 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑐𝑥
2
𝑖
= 0↔
→ 𝑎∑𝑛
𝑖=1 1 + 𝑏
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑐
∑𝑛
𝑖=1 𝑥
2
𝑖
=
∑𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖
-
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖𝑦𝑖 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑎𝑥𝑖 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑏𝑥
2
𝑖
+∑𝑛
𝑖=1 𝑐𝑥
3
𝑖
= 0↔
→ 𝑎∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑏
∑𝑛
𝑖=1 𝑥
2
𝑖
+ 𝑐∑𝑛
𝑖=1 𝑥
3
𝑖
=
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖𝑦𝑖
-
∑𝑛
𝑖=1 𝑥
2
𝑖
𝑦𝑖 +
∑𝑛
𝑖=1 𝑎𝑥
2
𝑖
+∑𝑛
𝑖=1 𝑏𝑥
3
𝑖
+∑𝑛
𝑖=1 𝑐𝑥
4
𝑖
= 0↔
→ 𝑎∑𝑛
𝑖=1 𝑥
2
𝑖
+ 𝑏∑𝑛
𝑖=1 𝑥
3
𝑖
+ 𝑐∑𝑛
𝑖=1 𝑥
4
𝑖
=
∑𝑛
𝑖=1 𝑥
2
𝑖
𝑦𝑖
Logo, para o cálculo do ajuste de curvas quadrático por meio da
técnica de mínimos quadrados, elabora-se a forma matricial a seguir:

𝑛
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥2𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥2𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥3𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥2𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥3𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥4𝑖

*

𝑎
𝑏
𝑐
 =

𝑛∑︁
𝑖=1
𝑦𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥𝑖𝑦𝑖
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑥2𝑖 𝑦𝑖

2.3 Analisando a aplicação
Em primeira instância, no estudo referência, houve a busca pela
ilustração da área que se desejava calcular, o meio mais viável e
de maior praticidade, foi o Google Maps, uma vez que a o recurso
conta com um sistema de mapeamento satélite, sendo possível obter
a fotografia da vista superior, em tempo real, de toda a extensão da
região de interesse. Uma observação importante a ser feita é a escala
em que se encontra a imagem capturada.
O segundo passo se dá pela planificação da área, realizado por um
dos softwares já citados, geogebra, e logo após fez-se ainda a coleta
de pontos cartesianos para futura análise e ajuste por meio software
graph. Esse conjunto de processos objetiva encontrar as melhores
funções que representem os pontos planificados da região relevante.
Um fato é que, uma área irregular apresenta curvas de contorno mais
complexas por envolverem coeficientes não exatos, o que tornaria o
cálculo manual muito mais demorado e trabalhoso, nesse contexto,
o uso das tecnologias apresentadas facilita, e muito, a obtenção dos
resultados.
Parafraseando as explicações do autor, a partir dos pontos encon-
trados no programa geogebra, determinou-se no graph a linha de
tendência que melhor representasse cada região, ou seja, temos sub-
áreas que originam funções que exprimem a área a ser calculada.
Em outros termos, através do graph é possível calcular, com auxílio
da integral definida, o valor superficial de cada região. A soma das
áreas após as devidas conversões, retomam a área total e a respectiva
quantidade de hectares da área alagada.
MNRAS 000, 1–5 (2022)
4 Maristela Aparecida Correa Ortiz
Figura 3 - Planificação da região de interesse
Fonte: Artigo: O uso da integral definida no cálculo da área[...],
2022.
Figura 4 - Riemann na prática - divisão em subáreas
Fonte: Artigo: O uso da integral definida no cálculo da área[...],
2022.
Parte da tabela encontrada no artigo referência:
Figura 5 - Fragmento da tabela com os valores das subáreas
Fonte: Artigo: O uso da integral definida no cálculo da área[...],
2022.
2.4 Reflexão sobre a aplicação
Ao chegar finalmente a valores numéricos prontamente assimilados,
entende-se o quão importante e útil é o cálculo diferencial e integral
e, expandindo ainda mais a reflexão, o quanto uso de tecnologias
e até mesmo o cálculo numérico, podem e estão cada vez mais
influentes e sendo facilitadores na solução de problemas e na própria
compreenção do mundo.
A relevância de registros das áreas alagadas em regiões de bar-
ragens está ligada a muitos fatores, desde o ecossistema local até a
relação com o volume comportado e o suportado pela edificação,
itens que são imprescindíveis para a execução e acompanhamento
do engenheiro responsável – seja o que construiu e tem responsabil-
idade técnica, seja o que estáno dia-a-dia da contenção –, além das
necessidades de alterações na gestão, logística e funcionamento que
poder estar interligadas a esse valor.
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
No exemplo prático foi apresentado a síntese de um projeto de
pesquisa e o cálculo da área alagada de uma barragem, através
dos conteúdos do cálculo diferencial e integral, sobretudo, integrais
definidas e ajuste de curvas, com o auxílio de ferramentas computa-
cionais (softwares geogebra e graph).
Dentre as constatações temos uma das inúmeras aplicações do
cálculo diferencial e integral, conjunto ao universo da engenharia.
Calcular a área de uma região que não segue padrões geométricos ex-
ige tempo, conhecimento e esforço, tanto pela própria dificuldade de
compreensão, quanto pelos cômputosmatemáticos, já que, por vezes,
um graduado, sem vivência profissional, está habituado apenas com o
processo de receber uma função, esboçar seu gráfico e calcular a área,
enquanto na vida real, essas etapas podem e, geralmente, vão se in-
verter. Temos nesse caso, uma área graficamente conhecida/estimada,
através de fotos e planificação, mas as equações que limitam a região
são desconhecidas, dessa forma, fez-se necessário o ajuste de curvas,
resultando então, em uma aproximação para as funções das curvas a
serem integradas. Essas por sua vez, ao passarem pela integração, e
posteriormente somadas resultam na área, em cm2, da planificação,
logo depois, após simples conversões de unidade e escala, o valor
final de toda a área alagada da barragem de interesse é encontrado.
Verifica-se ser de suma importância a utilização do cálculo difer-
encial e integral em situações problemas que rotineiramente engen-
heiros civis enfrentarão em sua carreira profissional,
4 REFERÊNCIAS
“PARAOL1C.M.” , “PESCADOR2 A.”. O uso da inte-
gral definida no cálculo da área alagada da barragem
do rio bonito. Revista Produção e Desenvolvimento,
http://revistas.cefet-rj.br/index.php/producaoedesenvolvimento.
v.1, n.3, p.114-130, set./dez. 2015.
PINHEIRO, Igor. Barragens na engenharia [...].“Inova Civil”,
2022. Disponível em: <https://www.inovacivil.com.br/barragens/>.
Acesso em: 17 de junho de 2022.
VICENTINI, Camila G.R.. Onde aplicamos integrais e
derivadas na engenharia. “Passei direto”, 2022. Disponível em:
<https://www.passeidireto.com/arquivo/81320459/onde-aplicamos
MNRAS 000, 1–5 (2022)
Aplicação de Integral Definida da Engenharia Civil 5
-integrais-e-derivadas-na-engenharia >. Acesso em: 17 de junho de
2022.
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MNRAS 000, 1–5 (2022)
	INTRODUÇÃO
	DESENVOLVIMENTO.
	Conceituação do Cálculo Diferencial e Integral
	Integral
	Analisando a aplicação
	Reflexão sobre a aplicação
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	REFERÊNCIAS