Aula02EDL

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 2 - O Teorema de Existência e Unicidade
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Forma Normal: y ′ = f (t ,y).
onde f (t ,y) é uma função de duas variáveis dada.
Exemplo 1. (a) y ′ = ty , (b) y ′ = sen(ty), (c) y ′ =√y , (d) y ′ = 0.
Teorema de Existência e Unicidade de Solução de um PVI.
Hipóteses:
• Se f é uma função contínua no retângulo α < t < β ,
γ < y < δ contendo o ponto (t0,y0);
• Se ∂ f∂y é uma função contínua no mesmo retângulo
α < t < β , γ < y < δ contendo o ponto (t0,y0).
Tese:
• Então existe h > 0 com (t0−h, t0 +h) contido em (α , β ) e
• existe uma única solução y = φ(t) definida pelo menos no
intervalo (t0−h, t0 +h) do PVI y ′ = f (t ,y) , y(t0) = y0.
O Teorema de Existência e Unicidade
Hipóteses.
• f deve ser uma função contínua no retângulo α < t < β ,
γ < y < δ contendo o ponto (t0,y0);
•
∂ f
∂y deve ser uma função contínua no mesmo retângulo
α < t < β , γ < y < δ contendo o ponto (t0,y0).
Tese:
• existe h > 0 com (t0−h, t0 +h) contido em (α , β ) e
• existe uma única solução y = φ(t) definida pelo menos no
intervalo (t0−h, t0 +h) do PVI y ′ = f (t ,y) , y(t0) = y0.
Exemplo 2. Determine regiões do plano ty para (t0, y0) tais
que as hipóteses do Teorema são satisfeitas.
(a) y ′ = t−y2t +5y . (b) y
′ = (1− t2−y2)1/2.
Caso particular para equações lineares
Forma Geral: a0(t)y ′+a1(t)y = G(t), a0(t) 6= 0.
Forma Normal: y ′+p(t)y = g(t).
Neste caso f (t ,y)≡ g(t)−p(t)y e ∂ f (t ,y)∂y =−p(t).
Teorema de Existência e Unicidade no caso Linear.
• Hipóteses: Se p e g são funções contínuas no intervalo
α < t < β contendo o ponto t0.
• Tese: Então existe uma única solução y = φ(t) do PVI
y ′+p(t)y = g(t), y(t0) = y0, definida no mesmo intervalo
(α , β ), para qualquer valor inicial y0 dado.
Exemplo 3. Determine intervalos (α , β ) onde as hipóteses do
Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas.
(a) (t−3)y ′+ ln(t)y = 2t , (b) y ′+ tg(t)y = sen(t).
Exemplos no caso linear
Teorema de Existência e Unicidade no caso Linear.
Hipóteses:
• Se p e g são funções contínuas no intervalo α < t < β
contendo o ponto t0.
Tese:
• Então existe uma única solução y = φ(t) do PVI
y ′+p(t)y = g(t), y(t0) = y0, definida no mesmo intervalo
(α , β ), para qualquer valor inicial y0 dado.
Exemplo 4. Determine o maior intervalo onde o PVI possui
solução única.
(a) (t−3)y ′+ ln(t)y = 2t , y(1) = 2.
(b) y ′+ tg(t)y = sen(t), y(pi) = 0.
Comentários Finais
No caso não linear, nem sempre é possível determinar
soluções, mesmo para uma equação de primeira ordem.
O que se faz é obter soluções aproximadas por métodos
numéricos. Por exemplo, o método de Euler:
yi+1 = yi +h f (ti ,yi), i = 0,1,2, . . . ,N, onde h é um valor
suficentemente pequeno e yi são as aproximações de y(ti),
obtidas a partir do valor inicial y(t0) = y0 e yi = y0 + i h.
Outro método é determinar o Campo de Direções e prever o
perfil dos gráficos das soluções. O campo de direções é obtido
traçando pequenos segmentos de reta por inúmeros pontos
(ti ,yi), segmentos de inclinação f (ti ,yi), pois y ′(ti) = f (ti ,yi).
Para o caso linear há métodos simples para determinação das
soluções de uma equação de primeira ordem como será visto
nas próximas aulas.