Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 5 - Equações de Primeira Ordem Não Lineares de
Variáveis Separáveis
Soluções implícitas
Forma geral: H(x ,y) = c, c uma constante.
As vezes é possível obter (explicitamente) “y” como função de
“x” e as vezes “x” como função de “y”.
Exemplos. Tente obter explicitamente “y” em função de “x”
nas relações implícitas a seguir. Qual o intervalo de definição
da função encontrada?
(a) x2 +y2 = 1, (b) y2 −2y −x3−2x2 +2x = 3,
(c) xy = 1, (d) sen(xy) = 1, (e) xy5 −x4y + ln(x2 +y2 +1) = 0.
Equações não lineares de primeira ordem
de variáveis separáveis
Forma Geral: M(x)dx +N(y)dy = 0,
com M e N funções contínuas.
Método de resolução. Escreva na forma N(y)dy =−M(x)dx
e integre dos dois lados obtendo uma relação implícita
H(x ,y) = c.
Depois tente obter intervalos para x onde é possível obter
y = y(x), ou vice-versa.
Obs. Se for PVI do tipo y(x0) = y0, então o maior intervalo de
definição da solução é único e deve conter o ponto inicial x0.
Exemplos da Resolução de Equações Separáveis.
Forma Geral: M(x)dx +N(y)dy = 0.
1. Nos itens a seguir obtenha uma solução geral da equação
dada e indique na medida do possível intervalos onde a
mesma está definida.
(a) y ′ = x2/y , (b) y ′+y2 sen(x) = 0, (c) dydx = x
2
1+y2 .
2. Resolva os PVIs a seguir e determine o maior intervalo onde
a solução está definida.
(a) dydx = 3x
2+4x+2
2(y−1) , y(0) = 2,
(b) y ′ = (1−2x)y2, y(1) =−2,
(c) x dx +y e−x dy = 0, y(0) = 1.