Aula 2 - Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 2: Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis - Teoria 
 
Equações Diferenciais de 1ª Ordem de 
Variáveis Separáveis 
 
Por equação Diferencial de 1ª Ordem de 
Variáveis Separáveis entendemos uma equação da 
forma 
 
( ) ( )
dx
g t h x
dt

 
 
onde g e h são funções definidas em intervalos 
abertos 
1I
 e 
2I
. 
 
Método 
( ) ( )
dx
g t h x
dt

 
 
( )
( )
dx
g t dt
h x

 (separação de variáveis) 
 
( )
( )
dx
g t dt
h x
 
 
 
( ) ( )H x G t k 
 
 
 
Trajetórias Ortogonais 
Quando todas as curvas de uma família 
1( , , ) 0G x y c 
 interceptam ortogonalmente todas as 
curvas de outra família 
2( , , ) 0H x y c 
, então dizemos 
que as famílias são trajetórias ortogonais uma da 
outra. 
Em outras palavras, uma trajetória ortogonal é uma 
curva que intercepta toda a curva de uma família em 
ângulo reto. 
Trajetórias ortogonais ocorrem naturalmente na 
construção de mapas meteorológicos e no estudo de 
eletricidade e magnetismo. Por exemplo, em um 
campo elétrico em volta de dois corpos de cargas 
opostas, as linhas de força são perpendiculares às 
curvas equipotenciais (curvas ao longo das quais o 
potencial é constante) conforme as figuras a seguir: 
 
 
 
 
Método Geral 
Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma 
dada família de curvas, primeiro encontramos a 
equação diferencial 
 
( , )
dy
f x y
dx

 
 
Que descreve a família. A equação da família 
ortogonal é então 
 
1
( , )
dy
dx f x y
 