Aula 2 - Equações Diferenciais de Primeira ordem de Variáveis Separáveis - Exercícios

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 2:Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis - Exercícios 
 
1) Resolva as equações diferenciais. 
 
a) 26dx t
dt x

 
 
b) 3
2
4
9
dy x
dx y

 
 
c)
dx
xt
dt

 
 
d)
2dy y
dx

 
 
e) 
2 1
dy
x
dx
 
 
 
f) 
2 10
dT
T
dt
  
 
 
g) 21dy y
dx x


, 
0x 
 
 
h) 
sds te
dt

 
 
2) Encontre as trajetórias ortogonais da família de 
curvas dadas: 
a)
1y c x
 b) 
2
1y c x
 c) 
1
xy c e
 
 
3) Um móvel descreve movimento através do sistema 
de equações: 
dy
x
dt
dx
y
dt



  

 
Sabendo que 
(4) 3y 
, determine a trajetória descrita 
pelo móvel. 
 
4) (Transformação gasosa adiabática) Suponha que 
( )V V p
, 
0p 
, satisfaça a equação 
dV V
dp p
 
 
 constante
. Prove que vale a relação: 
1 1 2 2pV p V
 
 
5) (Resistência do ar) Um corpo de massa 10 kg é 
abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas 
forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força 
de resistência proporcional à velocidade 
resF v
. 
Determine a expressão da velocidade no instante t. 
Use g = 10 m/s² 
 
 
6) (Desintegração radioativa) Um material radioativo 
se desintegra a uma taxa 
dm
km
dt

, onde 
( )m m t
é a 
quantidade de matéria no instante t. Supondo que a 
quantidade inicial (em t = 0) de matéria seja 
0m
 e que 
10 anos após já tenha se desintegrado 
1
3
 da 
quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para 
que metade da quantidade inicial se desintegre. 
 
 
7) (Escoamento de fluidos) Usando a equação da 
continuidade 
1 1 2 2( )Av A v
, determine o tempo 
necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de 
raio 2 m e altura 5 m, cheio de água que se escoa 
através de um orifício, situado na base do tanque, de 
raio 0,1 m, com uma velocidade 
2v gh
(m/s), 
sendo h a altura da água no tanque e g = 10 m/s². 
 
 
Gabarito 
1) 
a) 2
32
2
x
t k 
 b)
4 33x y k 
 c) 22tx ke 
d) 
1
y
x k
 

 e) 3
3
x
y x k  
 f)
2 5tT ke 
 
g)
(ln )y tg kx
 h) 2
ln
2
t
s k
 
  
 
 
2)a)
2 2 2
2x y c 
 b) 
2 2
22x y c 
 c) 
2
22y x c 
 
3) Circunferência de raio 5. 
4) Demonstração. 
5)
10
100
1
t
v e


 
  
 
. 
6) Aproximadamente 17 anos. 
7) 6 min 40 s.