Aula15EDL-EqSuperiorVarParametros

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 15 - Resolução de EDLs de Ordem n Não
Homogêneas - Variação dos Parâmetros
Equações Lineares de Ordem n não
homogêneas
Forma Normal.
y (n)+p1(t)y (n−1)+p2(t)y (n−2)+ · · ·+pn−1(t)y ′+pn(t)y = g(t) ,
pj , j = 1,2, . . . ,n e g: funções contínuas num intervalo I.
O Método da Variação dos Parâmetros.
• Análogo ao caso de equações não homogêneas de
segunda ordem.
• Aplica-se para os casos de coeficentes constantes e não
constantes.
• Depende da resolução de um sistema algébrico de n
equações cuja matrix dos coeficentes é uma matriz
Wronskiana de n soluções LI da equação não homogênea.
O Método da Variação dos Parâmetros
• Tente Y (t) = u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)+ · · ·+un(t)yn(t), com
y1(t),y2(t), . . . ,yn(t) soluções LI da eq. homogênea e
u1(t),u2(t), . . . ,un(t) à serem determinadas.
• Calcule as derivadas de Y (t) até ordem n evitando o
aparecimento de derivadas de ordem superior das funções
uj , j = 1, . . .n, por imposições adequadas, substitua-as na
equação diferencial e chegue à um sistema algébrico nas
incógnitas u′j (t), j = 1, · · · ,n, como a seguir
y1(t)u′1(t)+y2(t)u
′
2(t)+ · · ·+yn(t)u′n(t) = 0 ,
y ′1(t)u
′
1(t)+y
′
2(t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′n(t)u′n(t) = 0 ,
y ′′1 (t)u
′
1(t)+y
′′
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′′n (t)u′n(t) = 0 ,
...
...
...
y (n−2)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−2)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−2)n (t)u′n(t) = 0 ,
y (n−1)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−1)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−1)n (t)u′n(t) = g(t) .
O Método da Variação dos Parâmetros
y1(t)u′1(t)+y2(t)u
′
2(t)+ · · ·+yn(t)u′n(t) = 0 ,
y ′1(t)u
′
1(t)+y
′
2(t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′n(t)u′n(t) = 0 ,
y ′′1 (t)u
′
1(t)+y
′′
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′′n (t)u′n(t) = 0 ,
...
...
...
y (n−2)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−2)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−2)n (t)u′n(t) = 0 ,
y (n−1)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−1)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−1)n (t)u′n(t) = g(t) .
• Resolva o sistema acima na variáveis u′j (t), j = 1, . . . ,n.
• Integre u′j (t), j = 1, . . . ,n, para obter uj(t), j = 1, . . . ,n.
• Substitua uj(t), j = 1, . . . ,n, na fórmula proposta para obter
Y (t) =
n
∑
j=1
uj(t)yj(t) .
Exemplo 1. Use o método da variação dos parâmetros para
determinar a solução geral das equações:
(a) y ′′′′+y ′ = tg(t), (b) y ′′′−y ′ = t .
O Método da Variação dos Parâmetros
y1(t)u′1(t)+y2(t)u
′
2(t)+ · · ·+yn(t)u′n(t) = 0 ,
y ′1(t)u
′
1(t)+y
′
2(t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′n(t)u′n(t) = 0 ,
y ′′1 (t)u
′
1(t)+y
′′
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′′n (t)u′n(t) = 0 ,
...
...
...
y (n−2)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−2)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−2)n (t)u′n(t) = 0 ,
y (n−1)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−1)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−1)n (t)u′n(t) = g(t) .
• Resolva o sistema acima na variáveis u′j (t), j = 1, . . . ,n,
integre-as e substitua na fórmula proposta para obter
Y (t) =
n
∑
j=1
uj(t)yj(t) .
Exemplo2. Determine uma solução particular Y (t) da equação
diferencial t3y ′′′+ t2y ′′−2ty ′+2t = 2t4, t > 0, sabendo-se que
y1(t) = t , y2(t) = t2 e y3(t) = 1/t , t > 0 são soluções LI da
equação homogênea associada.
O Método da Variação dos Parâmetros
y1(t)u′1(t)+y2(t)u
′
2(t)+ · · ·+yn(t)u′n(t) = 0 ,
y ′1(t)u
′
1(t)+y
′
2(t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′n(t)u′n(t) = 0 ,
y ′′1 (t)u
′
1(t)+y
′′
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y ′′n (t)u′n(t) = 0 ,
...
...
...
y (n−2)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−2)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−2)n (t)u′n(t) = 0 ,
y (n−1)1 (t)u
′
1(t)+y
(n−1)
2 (t)u
′
2(t)+ · · ·+y (n−1)n (t)u′n(t) = g(t) .
• Resolva o sistema acima na variáveis u′j (t), j = 1, . . . ,n,
integre-as e substitua na fórmula proposta para obter Y (t)
Exemplo 3. Use o método da variação dos parâmetros para
determinar uma solução do PVI. Depois determine o
comportamento em ±∞ e esboce o gráfico da solução.
(a) y ′′′+y ′ = sec(t), y(0) = 2, y ′(0) = 1, y ′′(0) =−2.
(b) y (4)+2y ′′+y = sen(t), y(0) = 2, y ′(0) = 0, y ′′(0) =−1,
y ′′′(0) = 1.