Probabilidade e Estatística

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Cálculo de Probabilidade
APRESENTAÇÃO
A Teoria da Probabilidade é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para 
estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Ela nos permite calcular incertezas, como, por 
exemplo, a probabilidade de sair o número 5 ao lançarmos um dado; a probabilidade de cair cara 
ao lançarmos uma moeda; a probabilidade de uma peça fabricada ser defeituosa, entre outras. 
Para o estudo das probabilidades, será necessário introduzir alguns conceitos básicos, como, por 
exemplo, evento, espaço amostral, eventos dependentes e independentes, eventos mutuamente 
excludentes e complementares.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos abordar a Teoria da Probabilidade, efetuando cálculos 
simples relacionados com situações aplicadas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar eventos mutuamente excludentes de eventos complementares.•
Distinguir eventos independentes de eventos dependentes.•
Realizar cálculos simples de probabilidade.•
DESAFIO
Calcule a probabilidade de lançar uma moeda e, em duas vezes seguidas, ela cair com o mesmo 
lado para cima. A resposta será avaliada de modo que não basta somente apresentar o resultado 
correto, o cálculo deve ser demonstrado com o raciocínio completo. 
INFOGRÁFICO
Existem fenômenos (ou experimentos) que, mesmo sendo repetidos muitas vezes e sob 
condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Fenômenos desse tipo são 
denominados aleatórios (ou casuais). 
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados 
possíveis é chamado espaço amostral. Todo subconjunto de um espaço amostral é chamado de 
evento, ou seja, os resultados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno, esses que 
queremos que aconteçam ou não. 
No estudo da estatística existem tipos distintos de eventos. Veja, neste Infográfico, como 
identificar eventos mutuamente excludentes, eventos complementares e como distinguir os 
eventos independentes dos dependentes.
CONTEÚDO DO LIVRO
Vejamos um pouco mais sobre o cálculo de probabilidade a partir da leitura do capítulo Cálculo 
de Probabilidade do livro Estatística,que é a base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
ESTATÍSTICA
Jamur Silveira
Cálculo de probabilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar eventos mutuamente excludentes de eventos comple- 
mentares.
 � Distinguir eventos independentes de eventos dependentes.
 � Realizar cálculos simples de probabilidade.
Introdução
Neste texto, você vai estudar um dos conceitos mais importantes da 
estatística: a probabilidade. A partir dele, você terá informações adicionais 
da situação que está analisando e, com isso, mais êxito na tomada de 
decisões. 
Probabilidade
A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e 
pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas 
vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por 
exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, 
não se pode determiná-lo antes de ser realizado e não podemos prever, mas 
podemos saber quais são os possíveis resultados. Aos fenômenos (ou expe-
rimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais).
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é 
que buscamos os resultados prováveis, as chances e as probabilidades de um 
determinado resultado ocorrer.
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Segundo Mann, a probabilidade corresponde à medida numérica da possibilidade de 
que um determinado evento venha a ocorrer.
Espaço amostral
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos 
os resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por 
U ou Ω.
Veja os seguintes exemplos.
 � Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima: U = {cara, 
coroa}.
 � Lançar um dado e observar a face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento
Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral, ou seja, os resul-
tados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno. Resultados esses 
que queremos que aconteçam ou não.
No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para 
cima, podemos ter os seguintes eventos.
 � O número é par: {2, 4, 6}.
 � O número é menor que 5: U = {1, 2, 3, 4}.
 � O número é 8: {}.
Cálculo de probabilidade2
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e se 
observa o número indicado. Descrever de forma explícita os seguintes conjuntos e 
dar o número de elementos de cada um:
a) o espaço amostral U.
b) o evento A: o número da bola é ímpar.
c) o evento B: o número da bola é múltiplo de 3.
Solução:
a) O conjunto de todos os resultados possíveis é representado pelo seguinte espaço 
amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. O número de elementos desse conjunto é n(U) = 10.
b) Se o número da bola é ímpar, temos o evento: A = {1, 3, 5, 7, 9}. O número de 
elementos desse conjunto é n(A) = 5.
Se o número da bola é múltiplo de 3, temos o evento: B = {3, 6, 9}. O número de 
elementos desse conjunto é n(B) = 3.
Eventos mutuamente excludentes e eventos 
complementares
Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos 
mutuamente excludentes (também chamados de eventos mutuamente exclu-
sivos). Caso dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo 
um deles irá ocorrer a cada vez que repetirmos o experimento. Por conseguinte, 
a ocorrência de um evento exclui a ocorrência do outro, ou de outros eventos.
Considerando, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda, esse expe-
rimento tem quatro resultados possíveis: cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, 
coroa/coroa. Esses resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, 
e somente um, deles irá ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes.
Chama-se evento complementar de um evento A e é representado por Ā 
o conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não 
pertencem ao evento A.
No lançamento de um dado, temos o seu espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 
5, 6}. Considere os eventos a seguir.
 � O evento A: o número obtido é menor que 3.
 � O evento Ā: o número obtido é maior ou igual a 3.
3Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Observe que os eventos A = {1, 2} e Ā = {3, 4, 5, 6}. Estes são complemen-
tares, pois, A ∩ Ā = { } e A Ā = U, a interseção (o que há de comum entre os 
conjuntos) entre os dois conjuntos resulta em um resultado vazio, visto que 
os dois conjuntos não possuem resultados em comum, e a união (unir todos 
os elementos dos conjuntos envolvidos) entre os dois conjuntos resulta no 
conjunto espaço amostral U.
Eventos independentes e eventos dependentes
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um 
evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. 
Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um 
evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento.
Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem 
reposição, respectivamente.
Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de 
origem. É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, 
não se altera a probabilidade de sorteio do evento seguinte.
Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu con-
junto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte.
Exemplo de evento independente:
Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados 
como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento 
não tem efeito algum nas probabilidades de ocorreruma cara ou uma coroa 
no segundo lançamento.
Exemplo de evento dependente:
A retirada de duas bolas, sem reposição, de uma urna contendo 20 bolas 
numeradas de 1 a 20 são dependentes, pois as probabilidades do resultado 
da retirada da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira 
bola. Especificamente, se na primeira bola retirada saiu a de número 10, e 
se não houver reposição, com certeza não existirá a probabilidade de que, na 
segunda retirada, a bola 10 apareça, pois esta não se encontra mais na urna, ou 
seja, a primeira retirada afetou completamente as probabilidades de retirada 
da segunda bola.
Cálculo de probabilidade4
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Todo experimento que tiver dois ou mais eventos e aparecer no enunciado as palavras 
com reposição ou sem reposição, automaticamente já saberemos se são indepen-
dentes (com reposição) ou dependentes (sem reposição). 
Cálculo de probabilidade
Como se calcular questões e/ou experimentos de probabilidade? Considere 
uma área muito visitada no Museu de Animais. Em um recipiente, existem 
12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha 
macho para um experimento é de?
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um 
número maior do que 4?
Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma 
bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da 
bola sorteada seja divisível por 3?
Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de 
que a soma dos valores sorteados seja igual a 5?
Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de 
ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. 
Ela guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de 
joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, 
Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, 
então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, 
a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das 
pulseiras que ganhou de João é igual a?
Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são 
brancas. Qual a probabilidade de, ao retirar duas bolas sucessivamente, sem 
reposição, obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca?
Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento, como os 
casos apresentados acima, além dos conceitos de espaço amostral, eventos e 
tipos de eventos, apresentados neste capítulo anteriormente, foi preciso saber 
diferenciar os tipos de probabilidade, que veremos adiante: probabilidade 
de um evento em um espaço amostral finito; probabilidade condicional; e 
probabilidades de eventos independentes. Além de sabermos apresentar os 
5Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de apresentação: valor 
fracionário, valor numérico e valor percentual.
Resultados da probabilidade
Como citado anteriormente, podemos apresentar os resultados obtidos nos 
cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes.
 � Valor fracionário: quando se faz um cálculo de probabilidade, como 
veremos adiante, o primeiro resultado obtido é o fracionário, em que 
temos um número que fica na parte superior da fração, chamado de 
numerador, e outro valor, na parte inferior da mesma fração, chamado 
de denominador (a/b). 
1. Exemplo: 2
5
.
 � Valor numérico: quando acharmos o valor fracionário e realizarmos 
a divisão proposta, ou seja, o numerador (em cima) dividido pelo de-
nominador (embaixo) obterá um resultado, que chamaremos de valor 
numérico. É o resultado da divisão do valor fracionário. 
2. Exemplo: 25 = 0,40 .
 � Valor percentual: ao chegarmos ao valor numérico, podemos trans-
formar qualquer um deles em valor percentual, apenas multiplicando 
o valor por 100 (cem) e após colocar o símbolo de porcentagem (%). 
3. Exemplo: 0,40 × 100 = 40% (quarenta por cento).
Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras, 
isso vai depender do que for pedido no enunciado de algum problema/questão/
experimento.
Probabilidade de um evento em 
um espaço amostral finito
A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é co-
nhecida como probabilidade clássica. A regra da probabilidade clássica é 
aplicada para se calcularem as probabilidades de eventos a um experimento 
para o qual os resultados sejam igualmente possíveis.
Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos 
admitir que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer.
Cálculo de probabilidade6
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: 
P(A) = n(A)n(U)
, em que: n(A) é o número de elementos do conjunto A e n(U) 
é o número de elementos do conjunto U.
Em outras palavras:
P(A) =
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
Todas as possíveis respostas favoráveis (eventos) são divididas por todas 
de respostas possíveis (espaço amostral).
Encontre a probabilidade de se obter um número par em um lançamento de um dado.
Solução: 
Esse experimento tem um total de seis resultados: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Todos estes são 
igualmente possíveis. Considere A um evento em que um número par seja observado 
no dado. O evento A inclui três resultados possíveis: 2, 4 e 6, ou seja,
A = {2, 4, 6}
Caso qualquer um desses três números seja obtido, considera-se que o evento A 
tenha ocorrido. Assim sendo,
P(A) = número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
P(A) = 36 . Simplificando, ou seja, dividindo o numerador e o denominador pelo 
mesmo valor, neste caso, dividindo os dois valores por 3, obtemos: 1
2
 (valor fracionário).
Se dividirmos o valor fracionário 1
2
, ou seja, 1 ÷ 2 = 0,50 (valor numérico).
E se multiplicarmos por 100 esse valor numérico, iremos obter o valor fracionário: 
0,50 x 100 = 50% (cinquenta por cento).
Resumindo: qualquer uma das 3 respostas são iguais (válidas) e podem ser 
apresentadas.
1
2
 = 0,50 = 50%
Interpretando o resultado obtido:
1
2
 – a cada 2 vezes que o dado for jogado, temos a probabilidade de 1 dessas 
jogadas ser o valor par.
0,5 – a probabilidade de acontecer um evento é exatamente a metade, ou seja, 
cada vez que se joga 2 vezes o dado, a probabilidade é que a metade das vezes (0,5) 
aconteça de sair o valor par.
50% – a probabilidade de acontecer o evento favorável, no caso números pares, é 
de exatamente 50% a cada 2 vezes que for jogado o dado.
7Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Os valores do espaço amostral: no exemplo acima, foi jogado apenas um dado. Como 
ficaria o valor do espaço amostral se jogássemos, ao mesmo tempo, 2, 3 ou mais dados?
Ao jogarmos 1 dado, chegamos a conclusão de que teremos 6 possíveis respostas, 
todas as mesmas possibilidades. Mas, ao jogarmos 2 dados ao mesmo tempo, esse 
valor não será o mesmo. Vamos pensar um pouco e verificar as possíveis respostas: (1, 
1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), 
(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 
2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) e (6, 6). Isso totaliza 36 possíveis respostas, mas podemos chegar 
a esse valor de uma maneira muito mais rápida, utilizando a seguinte operação: 6n. 
n é a quantidade de dados que estão sendo utilizados.
Dois dados: 62 = 6 × 6 = 36.
Três dados: 63 = 6 × 6 × 6 = 216.
E assim por diante.
No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade, apresentamos 
várias questões sobre probabilidade. Vamos aproveitar agora que aprendemos 
a calcular a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito (pro-
babilidade clássica) e resolvermos estas:
1. Considere uma áreamuito visitada do Museu de Animais. Em um 
recipiente existem 12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade 
de se retirar uma aranha macho para um experimento é de quanto?
Solução: 
No total, existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma 
possibilidade de serem sorteadas (espaço amostral) e queremos sortear aranhas-
-macho. Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas, então 4 são 
machos (evento). 
Colocando os valores na fórmula:
P(A) =
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
P(A) =
4
12
P(A) = 13 (valor fracionário, que significa que a cada 3 aranhas retiradas, 
temos a probabilidade 1 delas ser macho).
Cálculo de probabilidade8
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Ou P(A) = 13 = 0,333 ... (valor numérico).
Ou P(A) = 0,333... x 100 = 33,33% (valor percentual).
2. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um 
número maior do que 4?
Solução: 
Um dado possui 6 faces numeradas, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
possuem as mesmas possibilidades, ao jogarmos o dado, da face desse número 
cair voltada para cima (espaço amostral). O problema pede a probabilidade de 
sair a face para cima de um número maior do que 4. Temos como possíveis 
respostas os números 5 e 6 (evento). 
Colocando na fórmula:
P(A) = 2
6
, simplificando (dividindo os dois valores por 2), obtemos o valor 
final de 1
3
.
Ou P(A) = 1
3
= 0,333 ... (valor numérico).
Ou P(A) = 0,333... x 100 = 33,33% (valor percentual).
3. Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando uma 
bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número 
da bola sorteada seja divisível por 3?
Solução: 
Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, em que todas possuem a 
mesma possibilidade de serem retiradas (espaço amostral). O problema quer 
calcular a probabilidade de se retirar uma bola, cujo número seja divisível por 
3. Esses números são: 3, 6, 9, 12, 15 e 18, ou seja, temos 6 possíveis números 
que são favoráveis ao que o problema está solicitando (evento). 
Colocando na fórmula:
P(A) = 6
20, simplificando, fica como resultado final 
3
10 (a cada 10 retiradas 
de bolas, temos a probabilidade de 3 delas serem divisíveis por 3).
Ou P(A) = 3
10
= 0,3 (valor numérico).
Ou P(A) = 0,3 x 100 = 30% (valor percentual).
9Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
4. Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade 
de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5?
Solução: 
Em primeiro lugar, precisamos calcular o valor do espaço amostral e da 
quantidade de possíveis respostas. Utilizando a operação que foi citada no 
Fique Atento acima, como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo, vamos 
utilizar a operação: 6n.
63 = 216 possíveis respostas.
O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados 
ao mesmo tempo sejam 5. Vamos achar essas possíveis respostas: (1, 1, 3), (1, 
3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) e (2, 2, 1), totalizando 6 possíveis respostas 
favoráveis. 
Colocando na fórmula:
P(A) = 6216. Simplificando, ou seja, dividindo os dois valores por 6, chega-
mos ao valor final 1
36
 (valor fracionário). A cada 36 vezes que jogarmos os 3 
dados ao mesmo tempo, 1 das jogadas dará como soma de todos os números 
o valor 5.
Ou P(A) = 136 = 0,02777 ...
Ou P(A) = 0,02777... x 100 = 2,77% (valor percentual).
Probabilidade condicional
Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade 
de ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está 
condicionada à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: pro-
babilidade de A dado B.
A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu 
ou que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes).
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B)
Cálculo de probabilidade10
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Para se calcular uma probabilidade condicional, no denominador se coloca o total de 
possíveis respostas da condição e, no denominador, coloque a quantidade de possíveis 
respostas favoráveis (eventos) dentro da condição.
Uma concessionária A tem em seu estoque 25 carros de um modelo B. O quadro a 
seguir divide os 25 carros disponíveis em tipo de motor e cor.
Motor
Cor
Branca Preta Prata Vermelha
1.0 2 2 5 1
1.6 1 1 4 1
2.0 2 2 3 1
Um carro do modelo B foi comprado nessa concessionária. Dado que esse carro é 
de cor prata, qual a probabilidade que seu motor seja 1.0?
Solução: 
Esse problema de probabilidade é um caso de probabilidade condicional, pois 
o cálculo está condicionado à informação de que já sabemos que o carro é prata 
(condição). Utilizando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A/B) = n(A ∩ B)
n(B)
No denominador colocamos a quantidade de possíveis respostas da condição (cor 
prata), conforme tabela. Verificou-se que a concessionária possui 12 carros pratas.
Na parte superior, no numerador, colocamos as possibilidades de respostas favoráveis 
(motor 1.0) dentro dos carros de cor prata: 5 carros com motor 1.0 e que são de cor prata.
P(A/B) = 5
12
 (valor fracionário).
P(A/B) = 5
12 = 0,4166...
(valor numérico).
P(A/B) = 0,4166... x 100 = 41,66% (valor percentual).
11Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Resolvendo o problema citado anteriormente:
 � Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco 
de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e 
três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em 
sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente 
para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de 
sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de 
prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a 
pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou 
de João é igual a?
Solução: 
Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata, por isso, precisamos 
saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou: 12. 
Ela que saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando 
no escuro tenha sido dada de presente pelo João. Então, precisamos verificar 
quantas pulseiras de prata João deu de presente: 4. 
Utilizando a fórmula:
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B)
P(A/B) = 4
12
. Simplificando, 1/3 (valor fracionário).
P(A/B) = 13 = 0,3333 ... (valor numérico).
P(A/B) = 0,3333... × 100 = 33,33%.
Probabilidade de eventos independentes
Dois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade 
de ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do 
outro, ou seja:
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)
Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência 
de A e B será:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Cálculo de probabilidade12
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
No caso da probabilidade de eventos independentes, calcula-se cada evento se-
paradamente e após obter todas as respostas, faz-se a multiplicação entre todas as 
probabilidades de cada evento (resultados). 
De acordo com os cálculos de sinistro de uma determinada seguradora, o cliente 
Antonio tem uma probabilidade de sinistro para o ano de vigência de seu seguro 
de 22%. Já a cliente Maria tem uma probabilidade de sinistro de 10% para o ano de 
vigência de seu seguro. 
Qual seria a probabilidade de ambos terem um sinistro durante a vigência de seu 
seguro? Como temos duas apólices distintas de pessoas que provavelmente nem se 
conheçam, temos eventos independentes.
P (Antonio ter sinistro) = 0,22 
P (Maria ter sinistro) = 0,10 
P (ambos com sinistro) = P (Antonio ter sinistro) ∩ P (Maria ter sinistro)
Por serem eventos independentes, calculamos da seguinte forma: 
P (ambos com sinistro) = 0,22 ∙ 0,10 = 0,022 ou 2,20% 
Agora, qual é a probabilidade de ambos não terem um sinistro durante a vigência de 
seu seguro? 
P (Antônionão ter sinistro) = 1 – 0,22 = 0,78 
P (Maria não ter sinistro) = 1 – 0,10 = 0,90 
P (nenhum com sinistro) = P (Antonio não ter sinistro) ∩ P (Maria não ter sinistro) 
Por serem eventos independentes calculamos da seguinte forma: 
P (nenhum com sinistro) = 0,78 ∙ 0,90 = 0,7020 ou 70,20%
13Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Resolvendo o problema citado anteriormente:
 � Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes 
são brancas. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas, suces-
sivamente, sem reposição, sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca?
Solução: 
Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento, em que dentro 
da urna há 8 bolas (espaço amostral) e queremos sortear uma bola vermelha, 
tendo, dentro da urna, um total de 3 dessa cor (evento): 
P(A) = 38
Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento, e sabendo que 
não houve reposição, dentro da urna há 7 bolas (espaço amostral), e queremos 
sortear, desta vez, uma bola branca, sabendo que, dentro dessa urna, há um 
total de 5 bolas dessa cor (evento):
P(B) = 57
Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado, 
utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3
8
5
7
× =
15
56
P(A ∩ B) = 15
56
= 0,2678 ... (valor numérico).
P(A∩B) = 0,2678... × 100 = 26,78% (valor percentual).
Cálculo de probabilidade14
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à administração 
e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística: para cursos de engenharia e 
informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
SILVEIRA, J. F. Raciocínio lógico matemático: curso completo preparatório para con-
cursos. [2015?]. Disponível em: <http://www.professorjamur.com.br/downloads/
APOSTILA%20-%20RACIOC%C3%8DNIO%20L%C3%93GICO%20-%20PROF.%20JAMUR.
pdf>. Acesso em: 19 ago. 2017.
Leituras recomendadas
15Cálculo de probabilidade
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DICA DO PROFESSOR
No vídeo, explicaremos mais sobre os conceitos vistos e sobre o cálculo de probabilidades.
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EXERCÍCIOS
1) Dentre as afirmativas a seguir, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Eventos mutuamente excludentes são aqueles que... 
A) Acontecem em locais muito especiais.
B) São mútuos.
C) São excludentes.
D) A ocorrência de um exclui (impede) a ocorrência do outro.
E) Sempre ocorrem ao mesmo tempo.
2) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Eventos complementares são:
A) Aqueles em que a interseção resulta no conjunto espaço amostral U.
B) Aqueles que ocorrem ao mesmo tempo.
C) Aqueles em que a ocorrência de um exclui (impede) a ocorrência do outro.
D) Aqueles que só ocorrem em tempos diferentes.
E) Aqueles em que a interseção entre eles é vazia e a união resulta no conjunto espaço 
amostral U.
3) Dentre as afirmativas a seguir, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Eventos independentes são aqueles em que... 
A) A realização de um evento não afeta o resultado do outro.
B) A realização do primeiro evento afeta a probabilidade dos próximos.
C) Só ocorrem em tempos diferentes.
D) Só ocorrem ao mesmo tempo.
E) A realização de um evento afeta o resultado do outro.
4) Dentre as afirmativas a seguir, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Eventos dependentes são aqueles em que... 
A) Acontecem com nossos filhos.
B) A realização do primeiro evento afeta a probabilidade dos próximos.
C) Ocorrem ao mesmo tempo.
D) A realização dos próximos afeta a probabilidade do primeiro.
E) Todos os eventos se afetam.
5) Ao jogar um dado com seis lados, numerados de 1 a 6, qual a probabilidade de sair o 
número 5 duas vezes seguidas? 
A) 5.
B) 2.
C) 2,78%.
D) 4%.
E) 6.
NA PRÁTICA
Vejamos como a probabilidade ajuda na tomada de uma decisão:
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Probabilidade independente e dependente
Este vídeo faz a distinção de evento independente e evento dependente a partir de um exercício.
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Introdução à probabilidade teórica
Esse vídeo introduz conceitos básicos de probabilidade a partir de um exemplo de lançamento 
de dados.
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O que é Estatística?
APRESENTAÇÃO
Frequentemente lidamos com situações em que necessitamos coletar, analisar, interpretar e 
apresentar dados, seja na área pessoal ou profissional. Ou seja, podemos afirmar que o uso da 
estatística está relacionado com a necessidade de organização dos seres humanos. 
Nos dias de hoje, com a competição entre as empresas cada vez mais acirrada, a Estatística se 
tornou essencial para quase todas as atividades modernas e, por isso, o seu conhecimento básico 
é indicado para todo profissional, independentemente de sua área de atuação. A Estatística, por 
ser uma das áreas da Matemática, utiliza diversas ferramentas dessa, desde as quatro operações 
básicas até a Teoria de Limites.
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos a Estatística Descritiva e os seus conceitos 
iniciais, tais como: dado, conjunto de dados, variáveis, dados quantitativos e qualitativos, 
população e amostra, bem como apresentaremos exemplos de seu uso nas áreas de engenharia, 
economia, saúde, marketing, informática, administração e finanças.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer os conceitos básicos relacionados à estatística.•
Identificar as aplicações da estatística em situações cotidianas e no seu trabalho 
profissional.
•
Explicar os passos e os resultados.•
DESAFIO
E o que é Estatística? A Estatística é um ramo da Matemática que estuda a forma como obter e 
organizar dados numéricos, buscando relacioná-los entre si, para conseguir entender o que 
aconteceu e também para prever o que vai acontecer. Ou seja, ela tenta transformar números em 
informações para auxiliar a compreensão de fatos passados e a tomada de decisão das mais 
variadas maneiras.
Com base no que foi informado acima, apresente um exemplo de como a Estatística pode 
auxiliar em qualquer profissão. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: se for 
necessário realizar alguma operação matemática, é preciso apresentar o raciocínio completo e 
não apenas o resultado final.
 
INFOGRÁFICO
Todo estudo estatístico depende de um planejamento detalhado, e cada etapa se submete à 
determinação da etapa anterior. Após a definição das variáveis estudadas, uma das etapas é a 
coleta de dados, para sua posterior organização, interpretação e tomada de decisão.
A disposição dos dados, de maneira adequada, facilita a análise e inibe que o erro aconteça ou 
que algum dado não seja considerado. Uma forma de facilitar a interpretação desses é a 
utilização de tabelas ou gráficos.
A seguir, vamos apresentar, de quatro formas distintas, dados numéricos que representam o 
volume de vendas de cada mês em uma dada empresa.
CONTEÚDO DO LIVRO
A Estatística é essencial para quase todas as atividades humanas modernas e, por isso, seu 
conhecimento básico é indicado para todo profissional, independente de sua área de atuação. 
Acompanhe o capítulo O Que É Estatística? do livro Estatística, que é a base teórica para esta 
Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura. 
ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
O que é estatística
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:� Reconhecer os conceitos básicos relacionados à estatística.
 � Identificar as aplicações da estatística em situações cotidianas e no 
seu trabalho profissional.
 � Explicar os passos e os resultados.
Introdução
O uso da estatística está relacionado com a necessidade de organização 
dos seres humanos, seja no estudo das populações (demografia), nas 
tomadas de decisões nos setores econômicos (economia), no controle 
de qualidade e monitoramento de resultados em um processo produtivo 
(engenharia), na previsão de fenômenos futuros evidenciados em situa-
ções anteriores (administração), além de diversas outras áreas. Podemos 
dizer que o objetivo do estudo da estatística é descobrir como obter 
dados úteis para análise e o que fazer com eles.
Neste capítulo, você reconhecerá elementos básicos da estatística, 
explorará exemplos que ilustram aplicações da estatística em variadas 
áreas do conhecimento e, ainda, distinguirá as fases do método estatístico.
Conceitos básicos da estatística
Toda evolução humana dá-se em virtude de descobertas e invenções, que 
podem ser criadas ou adaptadas para contribuir e descomplicar a vida do 
homem, seja na área da saúde, engenharia, economia, comunicação, entre 
outras. Essa evolução se deve em grande parte à análise de dados coletados 
nas mais diversas áreas. E, coletar e analisar tais dados são funções da esta-
tística, embasando decisões, planejamentos, sabendo como obter dados úteis 
e, principalmente, o que fazer com eles.
A coleta, organização, interpretação e análise dos dados de nada adiantam se não 
afetarem uma tomada de decisão.
 � O controle de qualidade de uma indústria de airbags necessita deter-
minar a eficácia dos sistemas produzidos. Se a indústria testar todos os 
airbags, sua produção nunca chegaria ao mercado e seria uma indústria 
de testes, não de produtos. Sendo assim, o controle é realizado em parte 
do estoque produzido.
 � Baseado em suas vendas anteriores, um empresário precisa decidir a 
quantidade de produto que deve estocar para o mês seguinte. 
 � A estimativa do valor do dólar no mercado é feita a partir de análi-
ses preliminares de fatos recorrentes da economia e consequências 
subsequentes. 
 � O resultado de uma eleição é pressuposto minutos após encerrar o 
período de votação, e essa é uma conjectura fundamentada em apenas 
3 ou 4% dos eleitores entrevistados no dia da eleição, depois de votarem 
— esse fato é popularmente chamado de pesquisa de “boca de urna”.
 � Uma empresa faz uso de informações sobre seus clientes para gerenciar 
seu negócio. Ela conhece seu cliente por meio de pesquisas anuais 
relativas a hábitos, estilos de vida, gostos particulares, entre outros, 
permitindo, assim, tomar decisões sobre campanhas de marketing, 
maneiras de abordagem, tipos de produtos a manter em estoque, e 
assim por diante.
Em cada um dos casos anteriores, podemos perceber a importância de 
estimar, observar fenômenos e gerar dados. Todas essas informações, obtidas 
por meio de métodos estatísticos, proporcionam uma tomada científica de 
decisões, fundamentadas e que melhor garantem os resultados esperados.
O que é estatística2
A estatística pode ser definida como um ramo da matemática aplicada que estuda 
maneiras de coletar, organizar, analisar, interpretar e chegar a conclusões ou anteci-
pações sobre eventos ou populações, a partir da investigação e de considerações de 
uma parte do todo.
A estatística se divide em três grandes áreas (MILONE, 2006):
 � estatística descritiva;
 � inferência estatística;
 � estatística probabilística.
A estatística descritiva se responsabiliza pela descrição dos dados, ou 
seja, a coleta, a apresentação (seja ela por meio de gráficos, tabelas ou números) 
e a organização dos dados de modo que sejam fáceis de serem interpretados. 
Um exemplo de apresentação numérica da estatística descritiva é a MÉDIA, a qual é 
tomada a partir de um conjunto de dados e calculada com a finalidade de facilitar a 
interpretação do tomador de decisões. A média é uma medida de tendência central, 
considerada como um ponto de equilíbrio do conjunto. Por isso, seu uso é tão habitual 
na interpretação e compreensão dos fenômenos estudados.
Os gráficos (Figura 1) e quadros (Quadro 1) também são bons exemplos 
da estatística descritiva, que buscam sintetizar e apresentar dados de maneira 
compreensível. 
3O que é estatística
Figura 1. Gráfico em linha — vendas de uma loja de calçados durante o ano de 2017.
Fábrica de calçados Maria Valentina
R$14.000,00
R$12.000,00
R$10.000,00
R$8.000,00
R$6.000,00
R$4.000,00
R$2.000,00
R$–
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
Notas Frequência Frequência relativa
5 6 30,0%
6 4 20,0%
7 4 20,0%
8 3 15,0%
9 2 10,0%
10 1 5,0%
Total 20 100,0%
Quadro 1. Distribuição de frequência das notas de Estatística de 20 estudantes
A estatística inferencial, ou inferência estatística, é a utilização dos 
dados obtidos por meio da estatística descritiva, isto é, a interpretação, seja 
ela uma estimativa ou uma hipótese sobre eventos prováveis, fundamentada 
em características dos dados.
A análise da possibilidade de um evento ocorrer e o seu grau de incerteza 
são a finalidade da estatística probabilística. Consequentemente, a inferência 
estatística utiliza-se da teoria da probabilidade para interpretar e concluir a 
possibilidade da ocorrência de um fenômeno.
O que é estatística4
Na estatística descritiva, alguns termos, como dado, conjunto de dados, 
variáveis, dados quantitativos e qualitativos, são bastante comuns. Veja, a 
seguir, o que eles significam.
 � Dado: são informações (fatos ou números) obtidas a partir da coleta, 
geralmente sintetizados por meio de gráficos, tabelas, medidas centrais, 
etc., a fim de serem interpretados. Sem os dados não há análise ou 
interpretação de fenômenos, assim, eles podem ser qualificados como 
a matéria-prima para o processo de todos os métodos estatísticos.
 � Conjunto de dados: são todos os dados coletados, ou seja, o conjunto 
de informações obtidas de elementos. Essas informações caracterizam 
ou descrevem todos os elementos qualitativa ou quantitativamente de 
um grupo.
 � Dados quantitativos: informações numéricas que quantificam algo. 
Sendo assim, seus valores são sempre expressos por números. Os da-
dos quantitativos podem ser discretos (provenientes de contagem, ou 
seja, apenas números inteiros) ou contínuos (provenientes de medida, 
expressos por um número real, inteiro ou não).
 � Dados qualitativos: informações não numéricas que identificam uma 
característica dos elementos investigados. Os dados qualitativos podem 
ser as respostas de nomes, locais, incidência ou não de uma doença (em 
geral, respostas como sim ou não), cor de pele, entre outras.
 � Variáveis: são os atributos que originam os dados. São chamados assim 
(variáveis) porque exprimem um grau de variabilidade. Por exemplo, a 
cor da pele é a variável, alternando entre branca, negra, amarela, etc. 
Outros exemplos de variáveis são a quantidade de filhos, a altura, o peso, 
a idade. Assim como os dados, as variáveis também são classificadas 
em quantitativas e qualitativas.
Na estatística inferencial e probabilística, surgem, também, outros termos 
comuns, como os seguintes.
 � População: é o conjunto de todos os elementos, apresentando pelo 
menos uma característica em comum, que representam o universo que 
será observado no estudo em questão.
 � Amostra: é uma fração da população, a qual será representada. A amostra 
é sempre um subconjunto finito de elementos selecionados do conjunto 
maior: a população. Na estatística, existem técnicas de amostragem, ou seja, 
maneiras para eleger os elementos a serem estudados e compor a amostra.
5O que é estatística
Aplicações da estatística
Os conhecimentos básicos da estatística são úteis não apenas para cientistas 
pesquisadores, mas muito válidos para as pessoas em geral manterem-se 
bem-informadas e não serem enganadas ou iludidas por números, gráficos e 
tabelas capazesde persuadir seus leitores.
Todos os dias, os jornais impressos, televisivos ou periódicos científicos 
apresentam fatos e resumos estatísticos para auxiliar na interpretação de 
tendências sociais ou econômicas, por exemplo, baseadas na geração de dados 
coletados sobre a atualidade. Frequentemente nos deparamos com pesquisa-
dores coletando dados sobre nossas opiniões e estilos de vida das pessoas, a 
fim de inferir sobre a população em questão. Com os dados, é possível criar 
campanhas de marketing direcionadas para os consumidores de determinado 
produto ou, mesmo, elaborar políticas públicas que melhoram a qualidade de 
vida das pessoas.
Huff (2016, p. 7) destaca, em seu livro intitulado Como mentir com a Estatística, que:
[...] a Estatística possui uma linguagem secreta que geralmente sensa-
cionaliza e confunde as pessoas afirmando supersimplificar e apelando 
para uma cultura “baseada em fatos”. É fato que os métodos estatístico 
relatam os dados das tendências sociais e econômicas, da “opinião”, 
das condições de mercado e dos negócios e também dos censos. Mas 
sem narradores honestos com as palavras ou sem compreensão, e sem 
leitores que saibam o que significam, o resultado só poderá ser o ab-
surdo semântico.
As aplicações da estatística são inúmeras, desde os conceitos mais bási-
cos de interpretação de notícias de jornais para um leigo leitor até testes de 
hipóteses, regressões e controles estatísticos de qualidade. Buscamos alguns 
exemplos para elucidar o quanto a estatística está presente nas mais diversas 
áreas do conhecimento.
O que é estatística6
O estatístico da Universidade Federal de Santa Catarina, Marcelo Menezes Reis, busca 
emergir o senso crítico das pessoas em relação à estatística. Veja no link a seguir.
https://goo.gl/PiZsJJ
Estatística na engenharia
As engenharias civil, mecânica, de produção, entre outras, utilizam-se da 
estatística para melhorar processos e tirar conclusões na presença de variabi-
lidade. Quando se realiza medições (coleta de dados) repetidamente, pode-se 
perceber uma variação a cada ocorrência e, no caso de uma produção em 
série, por exemplo, isso pode representar um problema. É necessário analisar o 
percentual de falhas e verificar ele é significativo para uma tomada de decisões. 
Além disso, saber o que concluir de uma amostra de dados que é altamente 
exposta a variações a cada medição, se é possível confiar nestes dados — a 
projeção de resultados e conclusões seguros são feitas por meio da estatística.
Outro caso do uso da estatística que pode ser comum na engenharia é o 
estudo da capacidade de rodovias em determinada região, influenciando dire-
tamente na abrangência da obra civil a ser realizada. Esse estudo é submetido 
a um modelo de deslocamento que planeja o sistema de transporte, baseado 
no número de moradores daquela região, na quantidade de veículos de cada 
moradia e na quantidade de itinerários disponíveis.
Estatística na economia
O futuro da economia seguidamente é previsto por estudiosos, sendo esta 
previsão seguida devotadamente por empreendedores e investidores que 
desejam alavancar seus negócios. Por exemplo, como é possível prever a 
situação econômica de um país ou o comportamento das taxas de juros após 
decisões importantes, como as eleições presidenciais? Estatísticos e econo-
mistas utilizam-se de informações e indicadores, como valores de produção, 
que permitem a criação de modelos para taxas de inflação e desemprego ou 
inclinação da manufatura.
7O que é estatística
Estatística na saúde
A tomada de decisões por políticas públicas de controle de doenças, de cam-
panhas de vacinação e a incidência de epidemias são alguns exemplos da 
aplicação da estatística na área da saúde. Especialmente processos de serviços 
hospitalares podem ser resolvidos por meio da aplicação de modelos estatísticos 
e probabilidade, contribuindo para a melhoria no atendimento dos pacientes. 
A variação de atendimentos em uma unidade de emergência influencia dire-
tamente na capacidade de leitos e organização do número de funcionários. 
E, ainda, dados dos pacientes internados analisados diariamente auxiliam na 
evolução de uma doença ou na cura dela, e, quando comparados e relacionados 
com uma amostra maior de pacientes, podem originar estudos de prevenção.
Estatística no marketing
A análise de dados do seu perfil a partir de uma rede social ou de pesquisas 
de opinião é muito utilizada para encontrar padrões de comportamento e 
influenciar o consumidor em decisões de compras ou de uso de serviços. As 
análises dos padrões de comportamento podem ser vendidas para indústrias a 
fim de basearem a quantidade da sua produção nas intenções de consumo de 
uma determinada população. As estratégias de marketing de qualquer empresa 
podem ser baseadas em resultados estatísticos das promoções realizadas e, 
até mesmo, no público-alvo de cada negócio. 
Estatística na informática
Exemplo da aplicação da estatística na informática são a análise de desempenho 
dos sistemas computacionais e o uso de banco de dados para desenvolvimento 
de softwares e aplicativos das mais diversas áreas. Ao programar, simulam-se 
situações reais, as quais costumam dispor de variabilidade, ou seja, não são 
previsíveis. É nesses casos que observamos a presença da estatística, ao inserir 
a aleatoriedade nos sistemas de simulações reais.
Estatística na administração e nas finanças
Tomar decisões no ramo das finanças e da administração é determinante para 
a maioria das tarefas exigidas. Sabendo que a estatística é a área que fornece 
mecanismos de coleta, análise e interpretação de dados para embasar um feito, 
fica evidente sua utilidade para facilitar as ações nessas áreas.
O que é estatística8
Um exemplo são as recomendações de investimentos financeiros feitas por 
analistas, os quais avaliam uma situação passada, ou a variabilidade de preços, 
perdas e ganhos, e comparam todos os dados com fatos que influenciam essas 
variáveis. Essa busca de dados, a análise e as comparações das informações 
são objetivos da estatística. 
Ainda nessas áreas, uma empresa que adota metas precisa estabelecê-las de 
acordo com padrões do próprio empreendimento, de vendas, compras, lucros, 
entre outros. A partir da análise dessas informações é que se determina quais 
das metas serão de curto, médio ou longo prazo, a fim de que sejam atingíveis 
ou, mesmo, possibilitem a superação (ANDERSON, 2008).
Passos e resultados
Todo estudo estatístico depende de um planejamento detalhado, e cada etapa 
se submete à determinação da etapa anterior. Resumidamente, as etapas deste 
estudo são demonstradas na Figura 2.
Figura 2. Ciclo das etapas de um estudo estatístico.
Problema
Variável
Tomada de
decisão
relacionada ao
problema
Interpretação Coleta dedados
Organização
dos dados
9O que é estatística
O esquema está apresentado como um ciclo, pois percebemos que, ao gerar 
um conhecimento referente ao problema inicial, é possível que se originem 
novos problemas, motivados por fatos novos que, antes da coleta de informa-
ções, eram desconhecidos.
Cada etapa do esquema anterior apresenta fases importantes que precisam 
ser definidas e dependem da origem do problema.
1. Definir o problema: a definição do problema deve ser o primeiro passo 
para qualquer pesquisa. Na prática, definir o problema é transformar o tema 
da pesquisa em uma pergunta que deverá ser respondida ao final de todo o 
processo que segue.
2. Planejar a coleta de dados: a coleta de dados será determinada pelo tipo 
de pesquisa — em função do problema de pesquisa, devemos planejar se 
esta será de caráter experimental ou de levantamento (BARBETTA; REIS; 
BORNIA, 2008).
A pesquisa experimental tem a característica de manipular os elementos 
para avaliar os efeitos. Por exemplo, qual a reação de um medicamento em 
um grupo de animais, ou quais os efeitos em um traço de concreto quando 
utilizados aditivos especiais, ou qual a resistência de uma peça de automóvel 
quando exposta a altas temperaturas,etc. Neste tipo de pesquisa, a coleta de 
dados é feita exclusivamente após a realização dos experimentos. 
A pesquisa de levantamento é aquela que gera dados a partir da obser-
vação (ou da medida) das características dos elementos em questão — por 
exemplo, a contagem nos censos demográficos, as pesquisas de intenções de 
votos, uma anamnese a fim de prescrever diagnóstico de um paciente, etc. Nas 
pesquisas de levantamento, os dados são coletados por meio de instrumentos 
que os mensuram. 
Quando as variáveis analisadas são quantitativas, os instrumentos são 
geralmente definidos pela norma de unidades padrão, como termômetros para 
medir temperaturas, réguas e trenas que medem altura ou comprimentos e a 
própria contagem numérica (conjunto dos números naturais) para determinar 
quantidades.
Já quando as variáveis são qualitativas, é necessária a elaboração de um 
questionário como instrumento de pesquisa. Nele, devem conter as questões 
que avaliam cada variável, como estado civil, intenção de voto a partir das 
seguintes opções, escolaridade, etc.
O que é estatística10
Ainda no planejamento de coleta de dados, é necessário delinear como 
os elementos pesquisados serão selecionados de modo que a amostra seja 
imparcial e que represente fielmente a população. Ou seja, é preciso definir 
as técnicas de amostragem quando a pesquisa não é realizada com todos os 
elementos da população, mas, sim, com uma amostra.
Dois fatores tornam a aleatorização imparcial. Primeiro, ninguém consegue prever o 
resultado da seleção da amostra antes que ele de fato ocorra. Segundo, o conjunto de 
resultados subjacente deve ser igualmente provável (SHARPE; VEAUX; VELLEMAN, 2011).
3. Organização, apresentação e análise dos dados: com os dados coletados, 
temos o que chamamos de dados brutos da pesquisa. A partir deles, é pre-
ciso organizá-los e apresentá-los de maneira adequada para análise e futura 
conclusão.
A organização deve ser feita mediante critérios de classificação, sejam em 
ordem alfabética nos dados qualitativos ou crescente para dados quantitativos, 
por exemplo. A disposição dos dados de maneira adequada facilita a análise e 
inibe que o erro aconteça ou que algum dado não seja considerado.
Depois de organizados, os dados são apresentados em tabelas, gráficos ou 
histogramas, a fim de ficarem mais evidentes para análise.
Os dados quantitativos, além de serem analisados a partir de tabelas e 
gráficos, permitem-nos analisar por meio de medidas descritivas que cons-
tituem uma síntese das características analisadas. Algumas dessas medidas 
são as médias e as medidas de dispersão.
Essas medidas são uma maneira generalizada de notarmos o conjunto de 
elementos como um todo, classificando-os descritivamente quando possível.
4. Os resultados: após conhecer todas as características dos dados, a partir 
da análise, faz-se as conclusões sobre a população, ou seja, o todo considerado 
na pesquisa. Por meio da estatística inferencial, é possível fazer deduções e 
previsões relevantes, com o intuito de responder o problema inicial da pesquisa.
11O que é estatística
ANDERSON, D. R. Estatística aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2008.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M. R.; BORNIA, A. C. B. Estatística para cursos de engenharia e 
informática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
HUFF, D. Como mentir com estatística. Rio de Janeiro: Intrínseca, 2016.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learnig, 2006.
SHARPE, N. R.; VEAUX, R. D.; VELLEMAN, P. F. Estatística aplicada: administração, economia 
e negócios. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leituras recomendadas
BECKER, J. L. Estatística básica: transformando dados em informação. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
NAVIDI, W. Probabilidade e estatística para ciências exatas. Porto Alegre: AMGH, 2012.
O que é estatística12
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Veremos agora alguns dos conceitos básicos de Estatística.
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EXERCÍCIOS
1) Leia as alternativas abaixo e assinale a que aponta CORRETAMENTE o tipo de 
profissional que a Estatística pode auxiliar:
A) Matemáticos.
B) Todo profissional, independente de sua área de atuação.
C) Donos de loja, para cálculo dos produtos a comprar.
D) Atletas, para uso em seus treinamentos.
E) As grandes empresas.
2) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A 
Estatística é um ramo da Matemática que estuda...
A) toda a Matemática.
B) toda a Matemática, menos as quatro operações básicas.
C) como obter e organizar dados numéricos.
D) apenas como obter dados numéricos.
E) apenas como organizar dados numéricos.
3) A Estatística tenta transformar “um punhado de números” em informações que:
A) permitam entender a Matemática como um todo.
B) permitam entender apenas as quatro operações matemáticas básicas (soma, subtração, 
multiplicação e divisão).
C) permitam entender a Teoria de Limites.
D) auxiliem apenas na compreensão de fatos passados.
E) auxiliem na compreensão de fatos passados e na tomada de decisão das mais variadas 
maneiras.
4) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A 
Estatística Descritiva engloba...
A) métodos e técnicas para avaliar uma série de dados.
B) a descrição do que é Estatística.
C) a descrição do que a Estatística estuda.
D) a descrição da Matemática.
E) a descrição unicamente das técnicas estatísticas.
5) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A 
Estatística Inferencial (ou a Matemática) utiliza...
A) métodos e técnicas para avaliar uma série de dados.
B) a Teoria da Probabilidade.
C) a Teoria de Limites.
D) as quatro operações básicas.
E) praticamente tudo o que existe em Matemática.
NA PRÁTICA
Na prática, como a Estatística auxilia um lojista a acertar o seu volume de vendas?
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estatística [Série Schaum]
Através da leitura do Capítulo 1 do livro Estatística [Série Schaum] de Spiegel, Murray R.; 
Stephens, Larry J., você obterá mais informações sobre o uso dos diferentes tipos de variáveis e 
gráficos na Estatística.
Tipos de gráficos
Este link apresenta uma síntese sobre gráficos utilizados em estatística, seus elementos e 
exemplifica por meio de imagens os gráficos de colunas, linha, pizza, área, dispersão, rede, 
histogramas e infográficos.
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Como fazer Gráficos no Excel
Neste link você terá dicas de como criar um gráfico de colunas utilizando o Excel.
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Introdução à estatística
Veja no vídeo a seguir conceitos e introdução à estatísticas, abordando as diferenças entre 
população e amostras aplicando exemplos na prática.
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Teoria da Amostragem
APRESENTAÇÃO
Na estatística, em muitos casos, estudar uma população pode se tornar algo trabalhoso, 
demorado e até inacessível. Nesses casos, escolheremos uma parte representativa dessa 
população para ser estudada, que denominamos amostra.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a amostragem, que é o processo utilizado para 
escolher a amostra de uma população em estudo. Vamos distinguir os tipos de amostragem 
aleatória e não aleatória, ressaltando as características de cada tipo e as situações em que são 
utilizados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar população de amostra.•
Identificar amostras probabilística e não probabilística.•
Distinguir os dois grandes grupos de amostras.•
DESAFIO
A Teoria da Amostragem nos permite estimar a média, a variância e outras grandezas da 
população com base nas grandezas das amostras. É claro que sempre teremos mais precisão 
analisando o grupo inteiro (população) do que uma parcela representativa(amostra), mas, na 
maioria das vezes, isso não é possível em virtude dos custos e do tempo necessário.
Por isso, para completar este desafio, você deve explicar, com suas palavras, população, 
amostra, erro amostral e as diferenças entre amostra probabilística e amostra não probabilística e 
entre os dois grandes grupos de amostras.
A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não é necessário copiar as explicações de 
nenhum livro; o mais importante é conseguir explicar e/ou diferenciar os conceitos de forma 
clara. Caso prefira, você poderá explicar as diferenças apresentando exemplos.
INFOGRÁFICO
A Teoria da Amostragem permite, a partir da população, escolher um pequeno grupo (amostra) 
para analisar suas características. Veja, a seguir, no infográfico que ilustra o princípio de tal 
teoria:
CONTEÚDO DO LIVRO
Veja um pouco mais da Teoria da Amostragem no tópico Amostras e Populações do livro 
Estatística básica: Transformando dados em informação, de João Luiz Becker.
Boa leitura.
ESTATÍSTICA
Humberto Vinício 
Altino Filho
Teoria da amostragem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar população de amostra.
 � Identificar amostra probabilística e não probabilística.
 � Distinguir os dois grandes grupos de amostra.
Introdução
Segundo Crespo (1995, p. 13), “[...] a estatística é uma parte da Matemática 
Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados [...]”. A partir dessa definição, podemos 
tomar decisões acertadas, uma vez que estas são baseadas em inferências 
metodicamente obtidas.
Neste capítulo você irá conhecer os conceitos e termos basais liga-
dos à amostragem estatística, as diferenças entre a amostra aleatória e 
seus desdobramentos e a amostra não aleatória, além das características 
próprias dos dois grandes grupos de amostras.
População e amostra
De acordo com Fernandes (1999, p. 1), “[...] para se saber se o bolo de choco-
late está bom, basta comer uma fatia [...]”. A partir desta ilustração, podemos 
compreender a ideia essencial da amostragem: obter informação sobre o todo, 
examinando apenas uma parte. O estudo da estatística envolve conceitos 
fundamentais para a obtenção, descrição e compreensão de dados. A seguir, 
iremos definir os termos que fundamentam a teoria da amostragem.
População: é o grupo ou o conjunto completo de todos os elementos que se 
desejam estudar. O sentido aqui empregado para o termo população é am-
plificado, não se restringindo apenas ao conjunto de pessoas. Pode se referir, 
por exemplo:
 � ao conjunto das idades dos alunos do 3º período de Engenharia Civil;
 � ao conjunto das rendas dos habitantes de Belo Horizonte;
 � ao conjunto das médias finais dos alunos da 2ª série do ensino médio.
Quando realizamos uma coleta e análise de todos os elementos de uma 
população, diz-se que se realizou um censo. Porém, na maioria das vezes, 
realizar um censo é uma tarefa com diversos obstáculos operacionais e até 
mesmo econômicos, de acordo com o tamanho da população. Dessa forma, 
costuma-se optar por trabalhar com parte da população, o que denominamos 
amostra. 
Amostra: é uma porção ou um subconjunto da população que se deseja estudar. 
O processo utilizado para escolher a amostra de uma população para estudo 
é o que chamamos de amostragem.
Unidade: é um elemento individual da população.
Variável: é a característica que se pretende estudar a partir da amostra. As 
variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas. Observe a divisão de variável 
na Figura 1.
Figura 1. Divisão de variável.
Variável
Qualitativa
Quantitativa
Discreta
Contínua
Ordinal
Nominal
Teoria da amostragem2
 � Variável qualitativa: uma variável é dita qualitativa quando é expressa 
por atributos, se subdividindo em:
 ■ nominal — quando os atributos não têm relação de ordem entre si. 
Por exemplo: sexo, cor, grupo sanguíneo;
 ■ ordinal — quando os atributos apresentam relação de ordem. Por 
exemplo: classe social, nível de escolaridade.
 � Variável quantitativa: uma variável é dita quantitativa quando é expressa 
por números, se subdividindo em:
 ■ discreta — quando os valores numéricos são sempre números intei-
ros. Por exemplo: número de filhos, número de alunos, número de 
produtos comprados por dia;
 ■ contínua — quando pode ser expressa por qualquer valor em um 
intervalo. Por exemplo: peso, altura, renda bruta familiar.
A superintendência de ensino deseja estudar algumas características dos alunos de uma 
cidade. Num primeiro momento, definiu-se que se analisariam as alturas dos alunos do 
ensino médio, uma variável quantitativa contínua, utilizando um tratamento estatístico. 
Nesse caso, tem-se como população o conjunto de todos os alunos do ensino médio 
de todas as escolas da cidade.
Notou-se que um estudo do tipo censo, com toda a população, demandaria muito 
tempo e, portanto, optou-se por selecionar uma amostra, sorteando 20 alunos de 
cada escola.
Com esse total de alunos, realizou-se a medição de todas as alturas. Em seguida, 
foram feitos os devidos cálculos e análises estatísticas sobre as alturas dos alunos do 
ensino médio, incluindo a média.
Nessas medições, um aluno chamou a atenção por sua altura muito acima da média. 
Observando isso, a superintendência contatou a escola e foram investigadas as causas 
dessa característica deste aluno especifico, isto é, analisou-se o caso de uma unidade 
estatística.
3Teoria da amostragem
Amostra probabilística e não probabilística
O processo de amostragem pode apresentar riscos, uma vez que as conclusões 
são obtidas para toda a população com base em uma parte dela. Basicamente, 
existem duas técnicas de amostragem, a probabilística e a não probabilística, 
que posteriormente se ramificam, como observamos na Figura 2.
Figura 2. Ramificações da amostragem.
Amostragem
Aleatória
Conveniência
Estrati�cada
Sistemática
Conglomerado
Simples
Quotas
Bola de neve
Não aleatória
Amostra probabilística ou aleatória
A probabilidade de um elemento fazer parte da amostra é conhecida, sendo 
ela a mesma e diferente de zero para todos os elementos da população. A 
amostragem probabilística pode ser simples, sistemática, estratificada ou por 
conglomerados.
 � Amostragem aleatória simples: baseia-se no princípio fundamental 
da amostragem probabilística, em que todos os elementos da população 
têm a mesma chance de ser incluídos na amostra. Por exemplo: um 
questionário de satisfação aplicado por uma agência de viagens sobre 
Teoria da amostragem4
um destino a um número “x” clientes do total de 100 que fizeram esta 
viagem.
 � Amostragem estratificada: aplica-se quando a população pode ser 
subdivida em subpopulações (estratos) diferentes e homogêneas, esco-
lhendo-se aleatoriamente um número uniforme, proporcional ou ótimo 
de elementos de cada estrato. Por exemplo: em um questionário de 
satisfação aplicado por uma agência de viagens sobre um destino a 10 
clientes do total de 100 que fizeram esta viagem, verifica-se, anterior-
mente, que 60% dessa população é do sexo masculino e 40% do sexo 
feminino. Dessa forma, estratifica-se a população por sexo e se escolhe, 
aleatoriamente, seis homens e quatro mulheres para compor a amostra.
Quando se diz que a escolha aleatória pode ser uniforme, proporcional ou ótima, 
deve-se entender que:
 � na escolha uniforme, escolhe-se o mesmo número de elementos de cada estrato;
 � na escolha proporcional, como a que fizemos no exemplo, considera-se a proporção 
de cada estrato em relação à população;
 � na escolha ótima, considera-se a proporção de cada estrato na população e a 
variável de interesse por seu desvio padrão.
 � Amostragem sistemática: quando se ordenam os elementos e cada es-
colha é feita em um bloco de x elementos. Por exemplo: um questionário 
de satisfação aplicado por uma agência de viagens sobre um destino a 
20 clientes do total de 100 que fizeram esta viagem. Os clientes foramordenados por ordem alfabética e se formaram, então, 20 grupos com 
cinco clientes em cada (100/20 = 5). Do primeiro grupo se sorteia um 
cliente de forma aleatória, por exemplo, o cliente 3. Dessa forma, deve-se 
considerar sempre o terceiro cliente de cada grupo, isto é, responderão 
ao questionário os clientes: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 
63, 68, 73, 78, 83, 88, 93 e 98.
 � Amostragem por conglomerados: utiliza-se quando a população pode 
ser dividida em subpopulações heterogêneas. Gera-se “n” conglomera-
dos, dentre os quais se escolhem “x” de forma aleatória. Posteriormente 
se escolhem, também de forma aleatória, “k” elementos de cada con-
glomerado. Observe o esquema na Figura 3.
5Teoria da amostragem
Figura 3. Amostragem por conglomerados.
Fonte: Adaptada de Barbetta (2002).
Elementos:
Conglomerados: 1º estágio:
seleção aleatória de
conglomerados
2º estágio:
seleção aleatória de
elementos
Amostra não probabilística ou não aleatória
Não se conhece a probabilidade de um elemento fazer parte da amostra. 
Nesse caso, há uma escolha deliberada dos elementos: pode-se não conhecer 
a população em sua totalidade, estabelecendo critérios de escolha a priori. 
Existem alguns tipos de amostragem não aleatória, como a amostragem por 
quotas, por conveniência ou por bola de neve.
 � Amostragem por conveniência: nesse tipo de amostragem, a amostra 
é selecionada pela acessibilidade. Os indivíduos participam da amostra 
por que estão disponíveis e o acesso a eles é fácil. Por exemplo: para 
se conhecer a opinião de funcionários da indústria alimentícia sobre 
as leis trabalhistas, de forma probabilística, seria necessário conhecer 
o total de pessoas que trabalham na indústria alimentícia e, a partir 
desse grupo, selecionar uma amostra. Na amostra por conveniência é 
possível, por exemplo, fazer essa pesquisa de opinião nas três indústrias 
mais próximas do pesquisador ou, ainda, naquelas que se dispuserem 
a participar.
 � Amostragem por quotas: nesse tipo de amostragem, a população é 
dividida em subgrupos de forma semelhante à amostragem estratificada. 
Em seguida, define-se o tamanho das quotas e se preenche cada quota 
com os indivíduos que cumprem o requisito definido, de forma aleatória 
Teoria da amostragem6
ou não. Por exemplo: se quisermos obter uma mostra com 500 pessoas, 
podemos definir uma análise com 75% de indivíduos com idades entre 
17 e 24 anos e 25% com pessoas com mais de 25 anos. Dessa forma, 
teremos quotas por faixa etária.
 � Amostragem por bola de neve: nesse tipo de amostragem, os indivíduos 
que já participaram da pesquisa vão indicando outros que fazem parte de 
sua rede de relacionamentos, formando, assim, uma cadeia ou uma bola 
de neve. Por exemplo: para se estudar algo relacionado a colecionadores 
de carros antigos, é mais viável que um colecionador indique outro para 
participar do que selecionar aleatoriamente de uma população em que 
muitos indivíduos seriam descartados por não fazer parte do grupo de 
colecionadores de caros antigos.
Amostragem qualitativa e quantitativa
As amostras podem ser divididas em dois grandes grupos, de acordo com a 
representatividade dos elementos na população, os objetos de estudos e as 
possibilidades de generalização de resultados.
Amostra quantitativa
É utilizada na pesquisa quantitativa. Nesse tipo de amostra, preocupa-se com 
as características gerais ou comuns de todos os elementos, sendo possível 
generalizar os resultados objetivos na inferência estatística para toda a popu-
lação. Utiliza-se a pesquisa quantitativa para se obter resultados uniformes e 
analisar as variáveis de forma objetiva.
Os estudos quantitativos são usados para a análise de índices e a comparação destes 
com diversas características da população. 
Outro exemplo seria analisar a interface entre o grau de escolaridade e a renda familiar 
da população de uma mesorregião estadual. Com base nesse estudo, pode-se inferir, 
concluir e generalizar os resultados, apontando características comuns sobre a renda 
familiar para cada grupo da população com certo grau de instrução.
7Teoria da amostragem
Amostra qualitativa
É utilizada na pesquisa qualitativa. Nesse tipo de amostra, atenta-se para as 
características individuais de cada elemento, não objetivando, portanto, fazer 
generalizações a partir dos resultados. Utiliza-se a pesquisa qualitativa para 
explorar a subjetividade das informações coletadas. 
Os estudos qualitativos são utilizados na pesquisa em educação, quando se analisa a 
eficácia de uma metodologia ou abordagem de ensino, uma vez que, em geral, essa 
investigação é feita em um ambiente ou em uma escola específico(a). Dessa forma, 
não é possível reproduzir as condições em sua totalidade e garantir que toda vez que 
se utilizar tal metodologia de ensino os resultados serão os mesmos obtidos.
Outro exemplo seria a análise dos conteúdos das correspondências/cartas trocadas 
entre personalidades históricas, a fim de apontar características e comportamentos 
de certo período histórico.
Ressalta-se, portanto, que os estudos qualitativos não têm como objetivo 
a generalização de seus resultados.
Apresentamos aspectos gerais sobre a amostragem, trazendo seus concei-
tos iniciais, os tipos de amostragem aleatória e não aleatória e dois grandes 
grupos de amostras, de acordo com a abordagem de pesquisa que se deseja 
realizar. Cada tópico aqui apresentado pode ser ainda mais aprofundado no 
campo da Estatística, possibilitando um domínio sobre as técnicas e análises 
para atender as finalidades dos estudos.
BARBETTA, P. A. Estatística aplicada às ciências sociais. 5. ed. Florianópolis: UFSC, 2002.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 1995.
FERNANDES, E. M. G. P. Estatística aplicada. Braga: Universidade do Minho, 1999.
Teoria da amostragem8
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, falaremos um pouco mais sobre população e suas amostras, de acordo com a Teoria 
da Amostragem.
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EXERCÍCIOS
1) Um grupo de amigos estava debatendo sobre as diferenças entre população e 
amostra. Dada as alternativas abaixo, selecione o amigo que defendeu a explicação 
CORRETAMENTE: 
A) Um deles entende que uma amostra pode conter todos os elementos de uma população.
B) Outro entende que uma amostra pode conter nenhum elemento de uma população.
C) O terceiro concorda com os dois primeiros; ou amostra contém todos ou contém nenhum.
D) O quarto amigo entende que as amostra devem conter, pelo menos, um elemento de uma 
população e não podem conter todos eles.
E) O último entende que a amostra pode conter mais elementos que a população.
2) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Toda amostra probabilística... 
A) é não aleatória.
B) é obtida somente por meio de amostragem aleatória simples.
C) tem exatamente a mesma média e também o mesmo desvio padrão.
D) tem exatamente a mesma média, a mesma mediana e também o mesmo desvio-padrão da 
população.
E) pode ser utilizada para análise estatística.
3) Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: 
 
Por sua vez, a amostra não probabilística... 
A) obrigatoriamente é aleatória.
B) é obtida somente através de amostragem aleatória simples.
C) tem exatamente a mesma média e também o mesmo desvio padrão.
D) possui diversos usos, mas não pode ser utilizada para inferências estatísticas.
E) Pode ser utilizada para inferência estatística.
4) Um grupo de amigos estava debatendo sobre o principal objetivo de se trabalhar com 
amostras. Dada as alternativas abaixo, selecione o amigo que defendeu a explicação 
CORRETAMENTE: 
A) Um deles entende que não há vantagem em se trabalhar com uma amostra, já que ela deve 
conter todos os elementos de uma população.
B) Outro diz que é o contrário, afinal uma amostra pode não conter nenhum elemento de uma 
população.
C) O terceiro entende que, a única vantagem em se trabalhar comamostras, é a rapidez em 
contar quantos elementos existe em uma amostra do que contar os elementos da população 
toda.
D) Para o quarto amigo, a única vantagem em se trabalhar com amostras é o fato de ser mais 
barato do que trabalhar com os elementos da população toda.
E) O último observou que só adianta ser mais rápido e mais barato trabalhar com amostras, se 
todas tiverem as mesmas características da população.
5) Um grupo de alunos estava debatendo sobre a diferença entre os dois grandes grupos 
de amostras. Assinale a alternativa em que o aluno apresenta a explicação 
CORRETA. 
A) Quantitativa é toda amostra com grandes quantidades.
B) Quantitativa é toda amostra com dois ou mais elementos.
C) Toda amostra quantitativa pode ser convertida em uma amostra qualitativa.
D) Toda amostra qualitativa pode ser convertida em uma amostra quantitativa.
E) Pode-se dizer que amostra quantitativa preocupa-se mais com as características comuns ao 
total de elementos da amostra, enquanto a qualitativa preocupa-se com as características de 
cada elemento.
NA PRÁTICA
Na estatística, população é o grupo ou o conjunto completo de todos os elementos que se 
deseja estudar. Quando realizamos uma coleta e análise de todos os elementos de uma 
população, diz-se que se realizou um censo. No entanto, a amostra é uma porção ou um 
subconjunto da população que se deseja estudar. O processo utilizado para escolher a amostra de 
uma população para estudo é o que chamamos de amostragem. 
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estatística - Técnicas de amostragem
Manter e acrescentar descrição. Para aprofundar seus estudos sobre amostragem, assista o vídeo 
a seguir, que define amostra e explica uma técnica para escolha de amostra aleatória.
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Tipos de amostragens - Introdução à Estatística
Esse vídeo realiza, de forma sintética, a distinção entre amostra e população, ressalta a 
dificuldade de acessar toda a população e define oito técnicas de amostragem.
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Revisão dos métodos de amostragem
Veja nesse texto uma revisão dos métodos de amostragem, que lhe auxiliará a refletir sobre 
maneiras boas e ruins de selecionar uma amostra.
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Tipos de Amostragem
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos analisar os diferentes tipos de amostragem. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar amostra quantitativa de qualitativa.•
Comparar amostras representativas.•
Identificar as diferentes formas de se obter amostras qualitativas.•
DESAFIO
Explique, com suas palavras, o que diferencia amostra quantitativa de amostra qualitativa. Cite 
um exemplo de cada. 
A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não serão aceitas cópias dos conceitos 
constantes nos livros indicados. É importante explicá-la de forma clara. 
INFOGRÁFICO
Veja uma figura que ilustra a diferença entre amostra quantitativa e qualitativa.
CONTEÚDO DO LIVRO
Aprofunde seu conhecimento com o capítulo Tipos de Amostragem, do livro Estatística, que é a 
base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira Freire
da Silva
Tipos de amostragem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar amostra qualitativa de amostra quantitativa.
 � Comparar amostras representativas.
 � Identificar as diferentes formas de se obter amostras qualitativas.
Introdução
Neste capítulo, você vai compreender o que são amostras qualitativas e 
quantitativas e o que as difere em alguns aspectos. Você também vai veri-
ficar as diferenças entre amostragens probabilísticas e não probabilísticas; 
dentro das probabilísticas, veremos alguns tipos de amostragem. Por fim, 
você vai explorar um pouco mais as amostras qualitativas e verificar qual 
tipo de amostragem pode ser representativa da população.
Amostras qualitativas e quantitativas
Para que você possa compreender a distinção entre amostras qualitativas e 
quantitativas, primeiramente, precisa conhecer as definições de população 
e amostra. População é um grupo de pessoas, seres ou objetos que tem pelo 
menos uma característica em comum entre seus elementos; já a amostra é um 
subgrupo dessa população, conforme mostra a Figura 1. Assim, a característica 
comum (que pode ser mais de uma) presente na população estará presente 
também na amostra.
Figura 1. Representação de população e amostra.
Fonte: Ramos ([2018?], documento on-line). 
Amostra
População
Quando selecionamos todos os elementos de uma população para uma 
pesquisa, fazendo um levantamento de dados, estamos realizando um censo, 
e as medidas numéricas oriundas desse censo são chamadas de parâmetros. 
Quando selecionamos os elementos de uma amostra para uma pesquisa, es-
tamos realizando uma amostragem, e as medidas numéricas oriundas dessa 
amostragem são chamadas de estatísticas ou estimadores.
Existem várias maneiras de se selecionar uma amostra, assim como existem 
usos diferentes para as informações coletadas. Podemos ter uma maior profundi-
dade nas informações, dependendo do tipo de amostragem utilizada. As amostra-
gens podem ser classificadas em amostras qualitativas e quantitativas, que diferem 
quanto à metodologia de coleta dos dados e à profundidade dos levantamentos.
As amostras qualitativas costumam ter uma profundidade maior das in-
formações; os questionamentos ou observações são realizados mais deta-
lhadamente, e, normalmente, são poucas as unidades amostrais analisadas. 
Justamente por esse motivo, a amostra qualitativa não nos permite fazer 
generalizações para toda a população, isto é, inferir a população. Segundo 
Gibbs (2009), esse tipo de pesquisa visa a abordar o mundo “lá fora” — e 
não contextos especializados de pesquisa, como laboratórios — e entender, 
descrever e, às vezes, explicar os fenômenos sociais “de dentro”, de diversas 
Tipos de amostragem2
maneiras diferentes. Ela é realizada analisando-se experiências, examinando 
interações e comunicações e investigando documentos.
Por exemplo, queremos saber sobre hábitos de consumo dos consumidores de chantilly 
industrializado em uma grande capital brasileira. As características da nossa população 
são: residir na grande capital brasileira escolhida e ter o hábito de adquirir chantilly 
industrializado. Primeiramente, quantas pessoas que você conhece têm o hábito de 
comprar chantilly industrializado? Percebe-se que é difícil ter acesso e saber onde 
encontrar esses consumidores, bem como conhecer o perfil e o comportamento deles. 
Nesse caso, uma pesquisa quantitativa seria muito difícil e onerosa de ser delineada; 
o mais apropriado é partir para uma pesquisa qualitativa. Poderíamos, de repente,
pedir indicações em redes sociais de pessoas que se disponibilizassem a responder um 
questionário com perguntas dissertativas sobre o assunto ou, até mesmo, participar
de entrevistas pessoais em profundidade. Essa pesquisa de forma alguma permitiria 
afirmar que toda a população de consumidores da capital tem o perfil encontrado;
ou seja, não poderíamos generalizar os resultados. Mas, para a tomada de decisão
de uma empresa de chantilly, as informações poderiam ajudar a nortear a escolha de 
novas estratégias. 
Já as amostras quantitativas generalizam as informações obtidas das amos-
tras; as informações são mais resumidas, pode-se realizar resumos numéricos 
mais confiáveis, e, por esse motivo, é possível generalizar para toda a população, 
desde que essa amostra seja probabilística.
Pense em uma pesquisa de marketing com os consumidores de uma loja de departa-
mentos específica, sendo essa pesquisa relacionada à disposição dos setores de moda. 
A característicacomum aos elementos da população é frequentar a determinada loja 
na primeira quinzena do mês de janeiro. Sabemos quem são esses clientes e temos, 
de certa forma, fácil acesso a eles. Podemos aqui fazer uma pesquisa quantitativa, 
selecionando de forma aleatória cada um dos elementos da amostra. Nesse caso, 
poderemos generalizar para todos os frequentadores da loja no período especificado.
3Tipos de amostragem
Nesse sentido, a tomada de decisão quanto à escolha entre amostras qua-
litativas e quantitativas dependerá de fatores como:
 � tempo disponível;
 � objetivos da pesquisa;
 � resultado esperado;
 � análises finais que se deseja realizar;
 � população escolhida;
 � hipóteses de pesquisa;
 � disponibilidade das unidades amostrais;
 � valor monetário disponível.
Esses fatores devem ser definidos pelo pesquisador. A escolha do me-
lhor processo de amostragem deve estar estreitamente ligada à definição da 
população-alvo e do problema de pesquisa (hipótese de pesquisa). É a partir 
daí que todas as escolhas devem ser feitas.
A definição do local, da população a ser avaliada e do período de coleta 
é fundamental. A partir desses objetivos, as características comuns da po-
pulação e o delineamento amostral começam a ser definidos. Porém, nem 
sempre temos uma listagem das nossas unidades amostrais; esse fator delimita 
algumas técnicas, pois muitas vezes não sabemos o tamanho exato da nossa 
população ou como identificar ou localizar os elementos que a compõem. 
O resultado esperado — as análises e as extrapolações que queremos obter 
com a amostragem — é também muito relevante, pois determina como se 
deve coletar a amostra, as variáveis a serem estudadas e a análise de dados a 
ser feita após a coleta. Todos os fatores a serem analisados após a escolha da 
população-alvo e do problema de pesquisa devem ser pesados para a escolha 
do tipo de amostragem a ser realizado.
A escolha do tipo de amostragem, qualitativa ou quantitativa, depende 
muito desses e de outros fatores. Muitas vezes, podemos fazer uso de ambos 
os tipos de amostragem. Por exemplo, podemos ter um problema de pesquisa 
em que não sabemos muito sobre um assunto. Pode ser que, nesse caso, seja 
preciso fazer uma pesquisa qualitativa para conhecermos melhor o perfil da 
nossa população e, a partir daí, montar a nossa pesquisa quantitativa, obtendo 
os dados necessários para extrapolar para toda a população.
Tipos de amostragem4
Em resumo, as pesquisas qualitativas terão perguntas, questionamentos 
e observações, em sua maioria com respostas discursivas. Já as pesquisas 
quantitativas terão questões estruturadas e fechadas que, em sua maioria, 
serão objetivas. Lembrando que cada questionamento ou observação feita 
em uma pesquisa nada mais é do que uma variável de pesquisa; assim, elas 
devem ser muito bem pensadas para que se atinja os objetivos definidos no 
início da pesquisa.
Para fins de análise, normalmente, as pesquisas qualitativas nos fornecem 
um aprofundamento maior da questão da pesquisa, e o resultado será uma 
análise mais descritiva das variáveis estudadas. As pesquisas quantitativas 
nos fornecem resumos numéricos, gráficos e estatísticas; se as respostas 
forem coletadas de forma aleatória, a pesquisa quantitativa pode nos fornecer 
inferências para toda a população.
É muito importante termos em mente que só podemos extrapolar, ou seja, inferir para 
toda a população, quando tivermos uma pesquisa quantitativa e probabilística. É apenas 
nesse caso que podemos afirmar o erro e a confiabilidade dos resultados obtidos.
Amostras representativas
A premissa de uma amostra é que ela deve ter as mesmas características 
presentes na população. Por exemplo, no caso de termos determinado uma po-
pulação como sendo os brasileiros que estejam morando em território nacional 
atualmente, não podemos simplesmente, por comodidade ou conveniência, 
entrevistar um amigo que é brasileiro, mas não mora mais no país. Como as 
características da população são ser brasileiro e residir no Brasil, podemos 
entrevistar apenas pessoas que tenham nacionalidade brasileira e estejam 
morando atualmente em território nacional. Essa é a primeira observação 
que precisamos fazer.
5Tipos de amostragem
É preciso prestar muita atenção ao coletar uma amostra para que ela possa 
ser representativa de toda a população. Para tanto, ela precisa ter as mesmas 
características que foram definidas para delimitar a população-alvo da pesquisa. 
A escolha entre uma amostragem qualitativa ou quantitativa também pode 
determinar se a amostra será representativa ou não. A amostragem qualitativa 
não vai gerar uma amostra representativa, por dois motivos principais:
1. na amostragem qualitativa, a amostra coletada não costuma ser muito 
numerosa e, sendo assim, não terá tamanho suficiente para alcançar 
qualquer representatividade;
2. nesse tipo de amostragem, os questionamentos são realizados de forma 
mais profunda e descritiva, não permitindo uma generalização — na 
grande maioria das vezes, as informações coletadas são válidas para 
um pequeno número de observações.
Já as amostras quantitativas podem ou não ser representativas da população 
em estudo. Isso dependerá da maneira como a amostra quantitativa foi coletada, 
isto é, qual foi o seu delineamento amostral. Somente as amostras quantitativas 
probabilísticas poderão ser consideradas representativas da população. Uma 
amostra não pode ser tendenciosa e precisa ter imparcialidade.
Mas, o que significa amostragem probabilística? Significa que cada um 
dos elementos da população deve ter uma probabilidade diferente de zero 
de compor a amostra. Quando temos uma amostragem não probabilística, 
a escolha das unidades amostrais pode depender, pelo menos em parte, do 
julgamento do pesquisador. Já em uma amostragem probabilística, as unidades 
amostrais são selecionadas de forma aleatória, por sorteio, independentemente 
do julgamento de escolha do pesquisador.
Então, quando coletamos uma amostra quantitativa probabilística, temos 
uma amostra representativa de toda a população, o que nos permite fazer 
inferências, ou seja, extrapolar para a população inteira com base na amostra. 
Somente com amostras probabilísticas podemos fixar a probabilidade de erro 
que aquela amostra pode nos gerar e a margem de erro percentual ou de erro 
média que estamos cometendo ao coletar uma amostra em vez dos dados de 
toda a população.
A probabilidade de erro é o nível de confiança dos dados. Por exemplo, ao 
dizermos que a pesquisa tem uma confiança de 95% — os níveis de confiança 
mais utilizados são 90%, 95% e 99% —, isso indica que a probabilidade de 
estarmos coletando dados que refletem realmente o resultado da população, 
considerando a margem de erro, é de 95%.
Tipos de amostragem6
Então, se somente as amostras quantitativas probabilísticas nos permitem 
realizar inferências para toda a população e garantem uma margem de erro e 
uma boa probabilidade de estarmos acertando o verdadeiro valor da população, 
porque temos outros tipos de amostragem? Acontece que nem sempre con-
seguimos realizar uma amostragem quantitativa probabilística, pelos fatores 
já citados nesse texto. E, muitas vezes, o objetivo do resultado coletado não 
é o de fazer extrapolações. 
A amostra qualitativa pode nos dar um panorama do comportamento das 
populações quando não temos informações suficientes para qualquer tomada 
de decisão ou formulação de hipótese de pesquisa. A amostra quantitativa 
não probabilística, às vezes, é a única alternativa para uma pesquisa quanti-
tativa, quando não temos meios de tornar a pesquisa aleatória, por dificuldade 
de acesso às unidades amostrais ou devido a outras limitações que possam 
aparecer. Isso não significa que o resultado dessa pesquisa estará incorreto — 
de forma alguma podemos dizer isso. Porém, o resultado dessa pesquisa 
quantitativa não probabilística trará o resultado apenas da amostra pesquisada, 
e qualquer extrapolação (inferência) fica inválida, afinal, essa amostrapode 
não ser representativa da população, pois não sabemos o erro que estamos 
cometendo com os dados coletados.
Temos como exemplos de amostragem não probabilística a amostragem por 
quotas, na qual o entrevistador precisa preencher quotas, por exemplo, de sexo, 
escolaridade e renda. O entrevistador não pode escolher de forma aleatória 
os elementos da amostra, já que precisa escolher as unidades amostrais que 
se adequem às quotas que precisam ser preenchidas. Dentre as técnicas não 
probabilísticas, esse método é o que tem resultados mais satisfatórios.
Outro exemplo é a amostragem bola de neve, na qual as unidades amostrais 
são escolhidas por indicação: cada um dos entrevistados indica um amigo para 
responder à pesquisa, e, assim, a rede de respostas toma forma. Temos também 
a escolha racional, em que, de certa forma, induz-se a escolha de unidades 
amostrais que tenham alguma característica que seja importante para a hipó-
tese de pesquisa. Semelhante a esta, temos a amostragem não probabilística 
geográfica, na qual se escolhem os elementos por proximidade geográfica.
Hoje em dia, a amostragem por voluntários, que também não será probabi-
lística, é uma maneira de coleta de dados muito fácil e rápida. Podemos enviar 
e-mails ou publicar em redes sociais e solicitar respostas aos questionários. 
Assim, os respondentes são voluntários da pesquisa, mas não foram selecio-
nados de forma aleatória.
7Tipos de amostragem
Em pesquisas qualitativas, realizamos observações ou entrevistas com um número 
pequeno de unidades amostrais. Nessas entrevistas, podemos ter um roteiro para 
nortear os pontos a serem investigados, com as questões que devem ser investigadas ao 
longo da observação ou entrevista. Por exemplo, em uma pesquisa com consumidores 
de chantilly industrializado, podemos ter um roteiro com questões que nos levem ao 
resultado do comportamento desse consumidor, como a frequência de uso, o tipo de 
utilização que o consumidor faz do produto, o que mais agrada no sabor, o que chama 
a atenção na embalagem, etc. Esses questionamentos são feitos ao consumidor, e ele 
será instigado a dar detalhes das suas escolhas.
Em pesquisas quantitativas temos um questionário estruturado, na maioria das 
vezes com perguntas fechadas (que tenham as opções de resposta) e algumas vezes 
até perguntas abertas. Para as perguntas fechadas, é muito importante que as opções 
de resposta sejam exaustivas, ou seja, que o entrevistado tenha todas as opções de 
resposta e não seja obrigado a escolher outra opção devido a sua resposta não estar 
disponível. Essas opções também precisam ser exclusivas; ou seja, é necessário que as 
opções de resposta não sejam duplicadas ou deem a impressão de significar a mesma 
coisa em opções diferentes de resposta.
Tipos de amostragem qualitativa
Como já vimos, a amostragem qualitativa pode ser muito útil quando queremos 
conhecer com mais profundidade um grupo de pessoas, seres ou objetos, ou 
desejamos coletar informações mais detalhadas sobre um assunto, de acordo 
com nossos objetivos.
Segundo Flick (2009), de modo diferente da pesquisa quantitativa, os 
métodos qualitativos consideram a comunicação do pesquisador em campo 
como parte explícita da produção de conhecimento, em vez de simplesmente 
encará-la como uma variável a inferir no processo. A subjetividade do pes-
quisador, bem como daqueles que estão sendo estudados, tornam-se parte do 
processo de pesquisa.
Existem alguns tipos de amostragem qualitativa bastante utilizados. Dentre 
eles podemos citar os grupos focalizados, a pesquisa de cliente oculto e a 
pesquisa por observação. Nos grupos focalizados, procura-se um determi-
nado perfil que possa responder algumas perguntas e dar o maior número de 
informações a respeito. Segundo Barbour (2009), o método se baseia em gerar 
e analisar a interação entre os participantes, em vez de perguntar a mesma 
Tipos de amostragem8
questão (ou lista de questões) para cada integrante do grupo por vez, o que é 
mais usualmente referido como “entrevista de grupo”. Os grupos focalizados 
são pequenos grupos nos quais existe um mediador que segue um roteiro e 
instiga que o grupo responda às perguntas com riqueza de detalhes.
Por exemplo, queremos lançar uma nova água mineral saborizada inédita no mercado 
e direcionada ao público fitness. Então, podemos inicialmente fazer um teste cego 
com alguns sabores experimentais e, assim, descobrir as percepções do grupo. Na 
sequência, podemos mostrar diversas embalagens e questionar qual a mais atrativa 
e por quais motivos, dentre outras questões que poderíamos investigar. Os resultados 
do grupo focalizado fornecem uma grande riqueza de detalhes que pode, inclusive, 
servir para a tomada de decisão e, a partir daí, gerar uma pesquisa quantitativa já com 
um número mais assertivo de opções para teste.
Na pesquisa de cliente oculto, utilizam-se pesquisadores que se passam 
por clientes para avaliar o próprio atendimento ou até mesmo comparar lojas 
quanto à sua concorrência. Por exemplo, estamos querendo verificar, dentro 
de uma rede de lojas, porque algumas delas têm um faturamento superior 
às demais. Um entrevistador se passa por cliente e verifica alguns pontos 
que podem influenciar na escolha de uma loja, como limpeza do ambiente, 
atendimento dos vendedores, aspecto físico dos vendedores, acessibilidade 
à loja, dentre outras informações. O pesquisador precisa ser bastante atento 
aos detalhes, bem como ser apto a relatar todos os detalhes do roteiro após a 
visita, para que, assim, seja possível traçar um relatório comparativo entre as 
lojas pesquisadas dessa rede.
No caso da pesquisa por observação, o próprio nome já a define. Por 
exemplo, se desejarmos investigar os hábitos alimentares de um bairro pobre, 
podemos pedir permissão e observar dados dos próprios residentes, como peso 
e altura, requisitar exames mais específicos e fazer uma observação visual 
de armários e geladeira.
Assim como na amostragem quantitativa, a escolha do tipo de técnica a 
ser utilizada dependerá dos objetivos da pesquisa. O Quadro 1 apresenta um 
resumo comparativo dos tipos de amostragem.
9Tipos de amostragem
Amostragem
Tamanho da 
amostra
Forma de coleta
Tipos de 
resultados
Quantitativa 
probabilística
Depende do erro 
e da confiança a 
serem aceitos.
Um número 
representativo 
da população.
Escolha feita de 
forma aleatória 
(sorteio).
Dados 
quantitativos, 
estatísticas, 
resumos 
numéricos, 
tabelas, gráficos. 
Pode-se fazer 
inferência para a 
população. Erro e 
confiança fixados.
Quantitativa 
não 
probabilística
Um número 
representativo 
da população.
Escolha feita de 
forma não aleatória, 
de acordo com 
o julgamento 
do pesquisador 
(quotas, 
conveniência, 
proximidade, etc.).
Dados 
quantitativos, 
resumos 
numéricos, 
tabelas, gráficos. 
Não se pode fazer 
inferência para 
a população.
Qualitativa Um pequeno 
grupo de 
unidades 
amostrais.
Escolha feita de 
forma não aleatória, 
de acordo com 
o julgamento do 
pesquisador.
Dados 
qualitativos, maior 
profundidade 
na análise. 
Não permite 
generalizações.
Quadro 1. Comparação entre amostra qualitativa e quantitativa
Acesse o link ou código a seguir e assista a um vídeo 
explicativo sobre as pesquisas qualitativa e quantitativa.
https://goo.gl/mZQaRh
Tipos de amostragem10
Suponhamos as seguintes situações.
Situação 1: Um gerente deseja pesquisar sobre o clima do setor entre seus 15 ven-
dedores. Para isso, pegou a lista dos nomes de todos eles e fez um sorteio aleatório 
de 10 vendedores, que responderam à pesquisa.
Situação 2: Um corretor de imóveis está divulgando um novo empreendimento; ele 
deseja pesquisar sobre a satisfação com o projeto apresentado. Para isso, ele convidou 
três pessoas que passavam pela rua e pediu a cada uma delas que, além de responder 
às questões, indicassem mais pessoas que pudessem fazer o mesmo.
Na situação 1 temos uma amostra quantitativa representativa dos vendedores, ou 
seja, um número de amostra representativoda população. Essa amostra é probabi-
lística, pois cada um dos vendedores tinha uma probabilidade diferente de zero de 
compor a amostra, e a forma de coleta dos dados foi feita por sorteio, sendo assim, 
os respondentes foram escolhidos de forma aleatória.
Na situação 2 temos também uma amostra quantitativa, porém ela não é probabilís-
tica, pois não foi realizada de forma aleatória, já que as pessoas acabaram respondendo 
ao questionário por indicação.
BARBOUR, R. Grupos focais. Porto Alegre: Artmed, 2009.
FLICK, U. Introdução à pesquisa qualitativa. 3. ed. Porto Alegre: Artmed; Bookman, 2009.
GIBBS, G. Análise de dados qualitativos. Porto Alegre: Bookman, 2009. (Coleção pesquisa 
qualitativa). 
RAMOS, R. População-amostra. [2018?]. Disponível em: <https://oestatistico.com.br/
estatistica-basica/populacao-amostra/>. Acesso em: 29 set. 2018.
Leitura recomendada
DRESCH, A.; LACERDA, D. P.; ANTUNES JUNIOR, J. A. V. Design science research: método 
de pesquisa para avanço da ciência e tecnologia. Porto Alegre: Bookman, 2015. (Série 
Métodos de pesquisa).
11Tipos de amostragem
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, falaremos um pouco mais sobre amostragem.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Você precisa de uma amostragem não-probabilística e, para isso, tem que decidir 
qual tipo será adequado para identificar os funcionários que melhor se relacionam na 
sua empresa. Nessa situação, dada as alternativas abaixo, marque a que corresponde 
à decisão CORRETA e à sua respectiva justificativa. 
A) Amostragem de voluntários. Você pedirá àqueles que melhor se relacionam com os 
colegas que se identifiquem voluntariamente.
B) Amostragem por quotas. Retirando um integrante de cada setor, certamente você estará 
escolhendo aquele que se relaciona melhor.
C) Amostragem por bola de neve. Você pedirá a cada funcionário que indique três pessoas 
com quem eles se relacionam bem. Os funcionários mais citados são os que efetivamente 
se relacionam bem com a maioria.
D) Amostragem por escolha racional. Você conhece bem a sua empresa e vai escolher os que 
melhor se relacionam.
E) Amostragem geográfica. Escolhendo o funcionário cuja mesa fica mais no centro de cada 
sala, é fácil perceber que aquele é o que melhor se relaciona com os demais.
Uma empresa está estabelecendo seus critérios de qualidade e você foi designado para 
explicar a principal característica de amostra probabilística. Sendo assim, marque a 
2) 
resposta que você apresentará: 
A) Toda amostra probabilística é obrigatoriamente aleatória.
B) Ela é obtida somente através de amostragem aleatória simples.
C) Tem exatamente a mesma média e também o mesmo desvio-padrão da população.
D) Tem exatamente a mesma média, a mesma mediana e também o mesmo desvio-padrão da 
população.
E) Pode ser utilizada para a análise estatística.
3) Para pesquisar as preferências de um público específico, uma grande loja de 
departamento lhe contratou para encontrar amostras não-probabilísticas. Ao 
orientar a sua equipe, você fez questão de lembrar que este tipo de amostra: 
A) Obrigatoriamente é aleatória.
B) É obtida somente através de amostragem aleatória simples.
C) Tem exatamente a mesma média e também o mesmo desvio-padrão.
D) Possui diversos usos, mas não pode ser utilizada para inferências estatísticas.
E) Pode ser utilizada para análise estatística.
4) Você foi convidado para apresentar uma palestra aos calouros de sua faculdade. O 
diretor lhe pediu para não deixar de falar sobre o objetivo de trabalhar com 
amostras. Escolha a base CORRETA do seu discurso: 
A) Não há grandes vantagens em se trabalhar com uma amostra, já que ela deve conter todos 
os elementos de uma população.
B) Uma amostra pode não conter nenhum elemento de uma população.
C) A única vantagem em se trabalhar com amostras é a rapidez em contar quantos elementos 
existem nelas do que contar os elementos de toda população.
D) A única vantagem em se trabalhar com amostras é o fato de ser mais barato do que 
trabalhar com os elementos da população toda.
E) Será mais rápido e mais barato trabalhar com amostras se todas tiverem as mesmas 
características da população.
5) Um grupo de alunos estava debatendo sobre a diferença entre os dois grandes grupos 
de amostras. Assinale a alternativa em que o aluno apresentou a CORRETA 
diferença: 
A) Quantitativa é toda amostra com grandes quantidades.
B) Quantitativa é toda amostra com dois ou mais elementos.
C) Toda amostra quantitativa pode ser convertida em uma amostra qualitativa.
D) Toda amostra qualitativa pode ser convertida em uma amostra quantitativa.
E) Pode-se dizer que a amostra quantitativa se preocupa mais com as características comuns 
ao total de elementos da amostra, enquanto a qualitativa se preocupa com as características 
de cada elemento.
NA PRÁTICA
É fundamental definir com precisão o tipo de amostragem que será utilizado, ou toda a análise 
estatística pode ser comprometida.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Técnicas de Amostragem: parte 01
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Técnicas de Amostragem: parte 02
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Amostragem Aleatória
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos estudar a amostragem aleatória, uma das bases para 
toda análise estatística. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar amostra aleatória de amostra não aleatória.•
Identificar os tipos de amostragem aleatória.•
Escolher as amostragens aleatórias adequadas.•
DESAFIO
Avalie o tamanho de uma amostra para um população de 1.000 peças quando se usa para 
analisar 1% dela. Explique como você faria a escolha destes elementos se fosse por amostragem 
aleatória simples e por amostragem aleatória sistemática. A resposta será avaliada conforme o 
seguinte critério: não basta apontar o resultado correto, o cálculo deve ser apresentado com o 
raciocínio completo. 
INFOGRÁFICO
Veja uma lista de números aleatórios obtida utilizando-se planilhas eletrônicas.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Para aprofundar seus conhecimentos acerca da amostragem aleatória, veja mais no 
capítulo Amostragem Aleatória do livro Estatística, que será a base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem.
Boa leitura. 
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira Freire da Silva
Amostragem aleatória
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar amostra aleatória de amostra não aleatória.
 � Identificar os tipos de amostragem aleatória.
 � Escolher as amostragens aleatórias adequadas.
Introdução
Neste capítulo, você vai conhecer mais sobre amostragem probabilística, 
também chamada de amostragem aleatória. Vai aprender mais sobre 
os tipos dessa amostragem e saber escolher qual tipo é mais adequado 
para cada situação. 
Diferenças entre amostragem aleatória e 
amostragem não aleatória
Quando queremos realizar um levantamento de dados não temos como inves-
tigar toda a população, precisamos, na maioria das vezes, avaliar apenas os 
dados referentes a uma amostra do objeto de interesse (Figura 1).
População é o conjunto de pessoas, seres ou objetos que tenham pelo menos uma 
característica comum a todos os seus elementos.
A amostra será um subconjunto dessa população e terá as mesmas características 
comuns à população da qual foram retiradas.
Figura 1. População-alvo e amostra.
Fonte: Adaptada de Bakhtiar Zein/Shutterstock.com.
População-alvo
Amostra
É preferível fazer o levantamento de uma amostra em vez de uma popula-
ção, pois é menos custoso e mais rápido, sem contar que, em geral, é inviável 
obter dados de toda a população. O alcance de dados de todos os habitantes é 
chamada de censo e o de uma amostra é chamada de amostragem.
Na maioria das vezes, a amostragem é suficiente para quepossamos ter 
uma ideia do real resultado do levantamento. Isso vai depender das técnicas 
utilizadas para a escolha das unidades amostrais, que são as pessoas, os seres 
ou os objetos coletados na amostragem.
Sempre que coletarmos as unidades amostrais de forma aleatória, po-
deremos extrapolar o resultado para toda a população, a isso chamamos de 
inferência; já quando a amostra for coletada de forma não aleatória, não 
poderemos generalizar os dados amostrais para toda a população, ou seja, 
não podemos fazer inferências. 
Mas e como diferenciar uma amostragem aleatória de uma amostragem 
não aleatória? (Quadro 1) A diferença entre elas está somente na forma como 
são escolhidas as unidades amostrais.
Amostragem aleatória2
Amostragem não aleatória
Por quotas
Cliente oculto
Grupos focalizados
Bola de neve 
Por conveniência
Amostragem aleatória
Aleatória simples
Sistemática
Estratificada
Por conglomerados
Quadro 1. Tipos de amostragem
Na amostragem aleatória, cada um dos elementos tem uma probabilidade 
de compor a amostra conhecida e diferente de zero. Na amostragem não 
aleatória ocorre justamente o contrário, não se conhece a chance de uma 
unidade amostral compor a amostra e, às vezes, algumas unidades amostrais 
têm probabilidade zero de compor a amostra. Nesse tipo de amostragem, a 
decisão da escolha das unidades amostrais depende, pelo menos em partes, 
do julgamento do pesquisador.
Imagine uma pesquisa sobre a satisfação com a qualidade de sinal de 
internet oferecida por determinada empresa na cidade do Rio de Janeiro. A 
população são os assinantes de internet dessa empresa. O pesquisador decide 
mandar um e-mail para todos os seus amigos que são clientes dessa operadora 
de internet. Perceba que, se a população são todos os assinantes da empresa e o 
entrevistador se limita a pesquisar apenas os seus amigos que são clientes, ele 
acaba deixando um grande número de unidades amostrais sem chance alguma 
de compor a amostra. Neste caso a amostragem não é aleatória. Porém, se o 
pesquisador coletasse na empresa uma listagem de todos os clientes, fizesse um 
sorteio e entrevistasse os clientes sorteados, teria uma amostragem aleatória, 
pois todos os elementos da população têm probabilidade igual e diferente de 
zero de compor a amostra.
3Amostragem aleatória
Mas então por que escolher entre amostra aleatória e amostra não aleatória? 
Qual delas é melhor? Quando usar uma ou outra?
Se a diferença entre elas é a forma de selecionar as unidades amostrais, 
ou seja, a forma de coleta, esse é o motivo para escolher um método ou outro. 
Sempre que quisermos obter informações e extrapolar, inferir para toda a 
população, precisamos obrigatoriamente utilizar uma amostragem aleatória. 
Somente ela nos permite extrapolar para toda a população, pois os elementos são 
coletados de forma aleatória e a escolha não tem a influência do pesquisador, 
que pode, de alguma forma, tornar a amostragem tendenciosa.
A amostra aleatória pode nos fornecer a margem de erro e a probabilidade de estarmos 
acertando o verdadeiro resultado da população. Por exemplo, nas pesquisas eleitorais, 
presume-se que as unidades amostrais sejam coletadas de forma aleatória. Infelizmente, 
nem todos os institutos de pesquisa coletam as unidades amostrais de forma aleatória 
e, assim, as pesquisas eleitorais ficam desacreditadas muitas vezes. Essa pesquisa 
não pode ser feita por telefone, pois limitaria a população apenas aos eleitores que 
possuem telefone, ou seja, seriam excluídos alguns elementos da população com 
probabilidade zero, o que deixaria de configurar uma amostra probabilística. A forma 
correta de realizar uma pesquisa eleitoral é fazer entrevistas pessoais e selecionar as 
unidades amostrais de forma aleatória. Somente dessa maneira é que a margem de 
erro e a confiança informadas na pesquisa terão validade.
Caso a escolha da unidade amostral depender pelo menos em algum ponto 
do julgamento do pesquisador, a amostra deixará de ser aleatória. Na amostra 
aleatória, as unidades amostrais devem ser selecionadas por sorteio, e assim, 
não sofrem influência do julgamento do pesquisador.
Tipos de amostragem aleatória
Dentro da amostragem aleatória há métodos de seleção diferentes. Todos eles 
são realizados por sorteio de forma aleatória, mas podem ser combinadas 
metodologias diferentes para a seleção das unidades amostrais.
Amostragem aleatória4
Amostragem aleatória simples
Esse é o método de amostragem aleatória mais importante, ele estará mesclado 
nos demais métodos que serão apresentados. A amostragem aleatória simples 
consiste em um sorteio para cada uma das unidades amostrais. Um exemplo 
desse método é a urna de um bingo. Nela, há o número total de elementos 
que vai corresponder a cada uma das bolas numeradas, e a cada elemento 
sorteamos uma bola referente à unidade amostral que possui aquele número. 
Assim, cada uma das unidades amostrais tem probabilidade igual, conhecida 
e diferente de zero de compor a amostra.
Outro exemplo de amostragem aleatória é o levantamento do perfil de 
alunos de uma determinada instituição de ensino, a partir da seleção de alguns 
deles de uma lista com todos os estudantes. Os pesquisadores numeram todos 
os alunos da lista, após, utilizam o Excel e geram números aleatórios. Os 
números sorteados pelo programa posteriormente são os números escolhidos 
na lista de alunos que havia sido organizada. Essa amostra será aleatória e, 
se a quantidade de elementos selecionados for representativa da população, 
o resultado dessa amostra poderá ser extrapolado para todos os alunos da 
instituição, fixando a margem de erro e a confiança dos dados (probabilidade 
de acertar o verdadeiro resultado da população).
Amostragem aleatória sistemática
A amostragem aleatória sistemática consiste em selecionar um elemento a 
cada k unidades da população. Para esse método precisamos ter uma listagem 
da nossa população disposta de forma aleatória.
k = 
N
n
Onde
k — intervalo com o qual selecionaremos a unidade amostral;
N — tamanho da população;
n — tamanho da amostra.
A amostragem sistemática é muito útil quando temos alguma listagem dos 
elementos da população ou quando as unidades amostrais estão dispostas em 
uma fila, pois não precisamos fazer um sorteio para a seleção de cada unidade 
amostral, podemos calcular o valor de k e, dentro do valor de k, sortear um número.
5Amostragem aleatória
Por exemplo, queremos investigar sobre a satisfação de uma loja de e-commerce, 
para isso pegamos a listagem dos consumidores no último mês na ordem em que a 
compra foi efetuada. Suponhamos que a loja tenha tido um total de 10 mil clientes e 
que queremos investigar uma amostra de 385 clientes. Dividindo 10 mil por 385 temos 
k — 26, então, a cada 26 clientes selecionamos um. Para iniciarmos, sorteamos um 
valor entre 1 e 26; supondo que o número 10 tenha sido sorteado, selecionamos o 10º 
cliente, o 36º, o 62º, o 88º e assim sucessivamente a cada 26 unidades, até selecionarmos 
os 385 cientes.
Amostragem estratificada
A amostragem estratificada é uma amostragem aleatória, mas esse tipo de 
amostragem não é exatamente um método de coleta, ou seja, de escolha das 
unidades amostrais. Ele é mais uma forma de agrupamento em que as unidades 
amostrais também devem ser selecionadas de forma aleatória.
A amostragem estratificada divide a população em estratos, em que seja 
interessante uma divisão por grupos. Esses grupos devem ter comportamento 
homogêneo dentro dos estratos e ter alguma variabilidade entre os grupos, 
que seja conveniente ao objetivo do estudo. A seleção das unidades amostrais 
dentro dos extratos pode ser feita pela amostragem aleatória simples ou pela 
amostragem sistemática.
Esse tipo de amostragem é útil quando queremos verificar os cruzamentos 
dos estratos. Podemos, então, comparar dois ou mais grupos nas estatísticas 
descritivas. Por exemplo, estamos fazendo uma pesquisa sobre hábitos de 
consumo de perfumaria entre os colegas de trabalho.Faz sentido separar em 
estratos de homens e de mulheres, pois os hábitos de consumo de perfumaria 
são diferentes para os dois gêneros. Assim, dividimos a amostra de forma 
proporcional entre homens e mulheres e para a escolha de cada uma das 
unidades amostrais podemos fazer um sorteio com números aleatórios.
Amostragem por conglomerados
A amostragem por conglomerados, assim como a amostragem estratificada, 
é uma forma de agrupamento e não de seleção das unidades amostrais. A 
Amostragem aleatória6
amostragem por conglomerados também será utilizada em conjunto com a 
amostragem aleatória simples e/ou com a amostragem sistemática.
Assim como na amostragem sistemática, dividimos a população em grupos. 
Porém, esses grupos serão formados normalmente por regiões geográficas. 
Faz sentido utilizar esse tipo de agrupamento quando esses conglomerados 
tiverem um comportamento com variabilidade dentro dos grupos e uma ho-
mogeneidade entre eles.
Por exemplo, agora quero fazer uma pesquisa com os colegas de trabalho 
em uma grande empresa sobre hábitos de consumo de vinho. Inicialmente, 
não existe nenhuma distinção de sexo, idade ou região para esses hábitos, 
então presume-se que a questão a ser investigada não tem um perfil que 
possa ser separado em grupos (o que seria conveniente apenas na amostragem 
estratificada). Assim, posso dividir meus conglomerados por setores dentro da 
empresa. Cada um dos setores representa um conglomerado, então seleciono 
de maneira aleatória alguns conglomerados e, dentro de cada um deles, posso 
entrevistar a totalidade dos funcionários daquele setor ou fazer um sorteio 
dentro do conglomerado selecionado de alguns colegas.
A amostragem aleatória possui quatro tipos de amostragem. Os dois primei-
ros são especificamente técnicas de seleção de unidades amostrais de forma 
aleatória; os outros dois são agrupamentos que fazem mais sentido de acordo 
com o problema de pesquisa. As unidades amostrais podem ser selecionadas de 
acordo com a amostragem aleatória simples e/ou com a amostragem sistemática.
Quando utilizamos a amostragem aleatória, podemos usar fórmulas para poder cal-
cular o tamanho da amostra. Essas fórmulas servem para estimar proporções ou para 
estimar médias. Esses cálculos são feitos com base na margem de erro que estamos 
dispostos a cometer e a probabilidade que queremos fixar para acertar o verdadeiro 
valor da população estudada.
Quanto menor for a margem de erro que a pesquisa puder cometer, maior será o 
tamanho da amostra, e quanto maior for a probabilidade de acertar o verdadeiro valor 
da população considerando a margem de erro, maior será o tamanho da amostra. A 
margem de erro é inversamente proporcional ao tamanho da amostra e a confiança 
(probabilidade de acertar) é diretamente proporcional ao tamanho da amostra.
Podemos afirmar erro e confiança para os dados coletados somente para a amos-
tragem aleatória.
7Amostragem aleatória
Escolha do tipo de amostragem aleatória
Segundo Sampieri, Collado e Lucio (2013), inicialmente é preciso determinar 
quais são os objetivos da pesquisa. Algumas pesquisas buscam contribuir para 
resolver um determinado problema; nesse caso, devemos mencionar qual é 
esse problema e de que maneira achamos que o estudo irá ajudar a resolvê-lo. 
Outras, têm como objetivo principal comprovar uma teoria ou trazer evidência 
empírica a seu favor.
A decisão sobre qual tipo de amostragem escolher depende de algumas 
questões. É preciso definir a população-alvo e o problema de pesquisa. De-
finido isso, tomamos a decisão de inferir ou não para a população, isso nos 
guiará para a escolha de uma amostragem aleatória ou uma amostragem não 
aleatória. Porém, vale ressaltar que, muitas vezes, mesmo que queiramos ex-
trapolar para a população como um todo, a indisponibilidade de informações 
da população-alvo nos impede de optar por uma amostragem aleatória e nos 
deixa apenas com a opção de uma amostragem não aleatória.
Quando nos referimos à falta de informação de uma população queremos 
dizer que podemos não saber onde encontrar as unidades amostrais dessa 
população, que não as conhecemos direito, que não conseguimos nenhuma 
listagem dessa população, etc.
Com a escolha do problema de pesquisa, a posterior definição da população-
-alvo e a decisão de fazer extrapolação com base na amostra para toda a popula-
ção, é que precisamos decidir qual tipo de amostragem aleatória será utilizada. 
Lembramos que, algumas vezes, com a definição da população, esbarramos 
em falta de informação e somos impedidos de utilizar a amostragem aleatória. 
Precisamos saber qual tipo de informação temos da população, se teremos 
uma listagem dela para poder fazer um sorteio, ou se elas estão dispostas 
em algum tipo de fila, por exemplo, ou, ainda, se estamos pesquisando um 
determinado bairro e as entrevistas serão feitas nas residências. Às vezes, 
se faz necessário restringir a população com mais características que sejam 
comuns para uma maior precisão na hora da coleta das unidades amostrais. 
Não existe um método melhor do que outro, o que existe é o método de 
amostragem mais adequado à população-alvo e aos objetivos da pesquisa. 
Ou seja, não quer dizer que escolher um tipo ou outro de amostragem possa 
ser mais vantajoso, pois muitas vezes a amostragem não aleatória satisfaz as 
exigências que o pesquisador necessita e pode ser a única maneira de coletar 
os dados. Não quer dizer que a amostragem não aleatória não seja boa, ela 
muitas vezes é a única opção.
Amostragem aleatória8
Assim também acontece com a escolha da técnica dentro da amostragem 
aleatória. Não quer dizer que uma ou outra técnica de amostragem seja me-
lhor do que a outra, o que precisamos garantir em todas é a aleatoriedade. O 
restante é o que melhor se adequar aos objetivos da pesquisa e à população a 
ser investigada, e ao acesso disponível com relação à população.
Para relembrar, na amostragem aleatória simples, realizamos um sorteio 
para a escolha da unidade amostral. Na amostragem aleatória sistemática, 
escolhemos a unidade amostral a cada k unidades. 
A amostragem aleatória estratificada separa em grupos semelhantes dentro 
de cada grupo e os seleciona por sorteio ou de forma sistemática. A amostragem 
aleatória por conglomerados separa em grupos heterogêneos dentro de cada 
grupo e escolhe os grupos de forma aleatória ou sistemática.
Acesse o link ou o código a seguir para assistir a um vídeo 
sobre amostragem aleatória simples. 
https://goo.gl/ba4s8R
Depois da definição da técnica de escolha das unidades amostrais, pre-
cisamos pensar no instrumento de coleta. Para as pesquisas quantitativas, 
normalmente se utiliza um questionário estruturado e fechado. Isso é o que 
irá facilitar a análise e a inferência posterior.
Para a construção das perguntas do questionário, segundo Flick (2012) 
existem três pontos importantes:
 � formulação da pergunta;
 � tipos de perguntas e possíveis respostas apropriadas;
 � propósito na formulação das perguntas. 
9Amostragem aleatória
As perguntas do questionário devem ser em sua maioria objetivas, então 
devemos pensar nas opções de resposta também. Podemos deixar algumas 
perguntas abertas, caso queiramos investigar alguma coisa que não temos 
conhecimento para dar as opções, ou então, se for uma questão que queremos 
investigar de forma detalhada.
Suponhamos que desejamos realizar uma pesquisa dentro de uma sala de aula para 
verificar se o novo professor está atendendo às expectativas da turma. A turma tem 
60 alunos e temos apenas o horário do intervalo para fazer essa pesquisa.
Definida a população, que será a referida turma do novo professor, e o problema de 
pesquisa, que é verificar se os alunos aprovam o novo professor em alguns quesitos, 
o que podemos fazer para obter os dados?
Como temos um curto espaço de tempo, realizaremos uma amostragem. Como 
todos os alunos estão na chamada, podemos sortear de forma prévia alguns deles (um 
número representativo) e, quando chegar o horáriodo intervalo, faremos as entrevistas 
com um questionário já estruturado e fechado.
Após essa ação, teremos a coleta de dados dessa amostra e, posteriormente, podemos 
fazer a análise descritiva desses dados. Os resultados obtidos refletirão a opinião de 
toda a turma.
FLICK, U. Introdução à metodologia de pesquisa: um guia para iniciantes. Porto Alegre: 
Penso, 2012. 256 p.
SAMPIERI, R. H.; COLLADO, C. F.; LUCIO, M. P. B. Metodologia de pesquisa. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH; Penso, 2013. 624 p.
Amostragem aleatória10
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, falaremos um pouco mais sobre amostragem aleatória simples e amostragem aleatória 
sistemática.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Um grupo de amigos estava debatendo sobre as diferenças entre amostra e amostra 
aleatória e cada um defendeu a sua opinião. Dada as alternativas abaixo, selecione o 
amigo que defendeu a explicação CORRETAMENTE: 
A) Um deles entende que toda amostra é uma amostra aleatória.
B) Outro entende que uma amostra aleatória precisa excluir o primeiro elemento da 
população, pois este tem mais chances de ser escolhido.
C) O terceiro acha que é o contrário porque entende que uma amostra aleatória precisa excluir 
o último elemento da população, já que este quase nunca é escolhido.
D) O quarto entende que, para a amostra ser aleatória, é necessário que todo elemento da 
população tenha a mesma possibilidade de fazer parte da amostra.
E) O último entende que a amostra, para ser aleatória, deve excluir o elemento médio e o 
elemento mediano (quando houver).
2) Depois, os mesmos amigos começaram a discutir o que diferencia amostragem 
aleatória simples de amostragem aleatória sistemática. Enfim, qual é a diferença 
entre amostragem aleatória simples de amostragem aleatória sistemática? 
A) O primeiro tem certeza que amostragem aleatória simples é toda amostra composta por um 
único elemento.
B) O segundo explicou que amostragem aleatória sistemática é toda amostra que é obtida 
utilizando um sistema de informática.
C) O terceiro entende que não há diferença, pois ambas são amostragens.
D) O quarto explicou ainda mais: disse que não há nenhuma diferença, pois ambas são 
amostragens aleatórias.
E) O quinto acha que enquanto na amostragem aleatória simples todos os elementos são 
sorteados, na amostragem aleatória sistemática apenas o primeiro é sorteado. Os demais 
são obtidos adicionando “k”.
3) Leia as alternativas abaixo e assinale a afirmativa CORRETA em relação à 
amostragem aleatória simples. 
A) Se o primeiro elemento sorteado for o último elemento da população, a amostra poderá ter 
somente este elemento.
B) Se o primeiro elemento sorteado for o primeiro elemento da população, a amostra poderá 
ter somente este elemento.
C) Se o primeiro elemento sorteado for o primeiro elemento da população, a amostra deverá 
ter, pelo menos, mais um elemento.
D) Se o primeiro e também o último elemento forem sorteados, a amostra não poderá ser 
considerada aleatória.
Todos os números da amostra precisam ter sidos sorteados. Não é possível a adição de E) 
nenhuma constante ao primeiro que foi sorteado, ou a amostra deixa de ser aleatória 
simples.
4) Um lojista adquiriu 1000 lâmpadas, mas não tem tempo para testar todas. Suponha 
que ele queira testar 2% delas por amostragem aleatória sistemática e queira iniciar 
pela 26a lâmpada. Dessa maneira, qual será a última lâmpada a ser testada? 
A) A segunda.
B) A 1000a.
C) A 26a.
D) A 976a.
E) A 1.026a.
5) O lojista que adquiriu as 1.000 lâmpadas percebeu que teve um prejuízo muito 
grande ao testar apenas 2% delas, pois um volume significativo de lâmpadas (não 
testadas) apresentou defeito. Ele continua sem tempo de testar todas, mas em uma 
nova compra de 1.000 lâmpadas, decidiu testar 5% delas, também por amostragem 
aleatória sistemática, iniciando novamente pela 26a lâmpada. Assim, qual será a 
última lâmpada testada? 
A) A sexta.
B) A 976a.
C) A 1.000a.
D) A 999a.
E) A primeira.
NA PRÁTICA
A amostragem aleatória sistemática é um método muito utilizado pelas indústrias com o 
objetivo de diminuir o retrabalho.
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Amostra Aleatória Simples|Tabela de Números Aleatórios - AAS - Técnicas de 
Amostragem
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Amostra Aleatória e Não aleatória
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Tudo sobre amostragem aleatória simples
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Organização de Dados: Tabelas e 
Gráficos
APRESENTAÇÃO
Na estatística, podemos definir dados como uma representação numérica das variáveis que estão 
sendo estudadas. Quando apresentados de forma bruta, nem sempre temos uma boa 
compreensão do fenômeno analisado, por isso é importante organizá-los de forma que facilite a 
uma correta interpretação.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos abordar a organização de dados por meio de tabelas e 
gráficos, identificando os principais tipos e suas aplicações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer por que os dados devem ser organizados em estatística.•
Identificar os principais tipos de tabelas e gráficos.•
Selecionar o tipo de gráfico mais adequado para cada tipo de situação.•
DESAFIO
No vestibular de uma Universidade foi questionado aos candidatos: Em qual colégio você 
estudou? Obteve-se os seguintes dados: colégio 1: 15 candidatos, colégio 2: 6 candidatos, 
colégio 3: 26 candidatos, 2 alunos estudaram em outros colégios e 1 aluno preferiu não 
responder. Veja, no anexo, como ficariam as tabelas neste caso. Observe que a primeira é bem 
simples, já a segunda é mais completa. Com base nessas informações, qual (ou quais) 
pergunta(s) você faria se precisasse descobrir quantas pessoas do sexo masculino com idade 
entre 30 e 40 anos trabalham em determinada empresa? E como você tabularia o resultado? A 
resposta será avaliada conforme o seguinte critério: embora existam diversas combinações de 
perguntas, é preciso chegar a uma resposta que não deixe dúvidas sobre o resultado obtido. 
Lembre-se de que não basta saber se é do sexo masculino, é preciso saber se os indivíduos têm 
entre 30 e 40 anos.
INFOGRÁFICO
Na estatística, os dados podem ser apresentados em rol ou organizados utilizando algum tipo de 
ferramenta, como, por exemplo, tabelas e gráficos.
A organização dos dados em estatística é muito importante para ajudar na análise deles. Uma 
boa organização pode auxiliar nas conclusões da pesquisa que está sendo realizada.
Veja, neste Infográfico, um exemplo dessa organização por meio de uma tabela e dois tipos de 
gráficos.
CONTEÚDO DO LIVRO
As tabelas e gráficos são as principais ferramentas de análise e apresentação estatística. 
Acompanhe o capitulo Organização de dados: tabelas e gráficos do livro Bioestatística, que é a 
base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
BIOESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Revisão técnica:
Rute Henrique da Silva Ferreira
Licenciada em Matemática 
Mestre em Educação Matemática 
Doutora em Sensoriamento Remoto 
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin CRB-10/2147
P228b Parenti, Tatiane.
Bioestatística / Tatiane Parenti, Juliane Silveira Freire da 
Silva, Jamur Silveira; [revisão técnica : Rute Henrique da Silva 
Ferreira ]. – Porto Alegre: SAGAH, 2018.
207 p. il. ; 22,5 cm
ISBN 978-85-9502-362-8
1. Bioestatística. I. Silva, Juliane Silveira Freire da. II. Silveira, 
Jamur. III.Título.
CDU 311
Bioestatistica_LIVRO.indb 2 13/03/2018 09:16:30
Organização de dados: 
tabelas e gráficos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer por que os dados devem ser organizados em estatística.
 � Identificar os principais tiposde tabelas e gráficos.
 � Selecionar o tipo de gráfico mais adequado para cada tipo de situação.
Introdução
Neste capítulo, vamos calcular e aplicar métodos estatísticos à análise 
de dados. A partir daí, construir e analisar tabelas e gráficos utilizando 
as normas científicas.
Por que organizamos os dados em estatística?
Quando estamos coletando os dados, essa coleta ocorre de forma aleatória 
e, durante esse processo, não temos a capacidade de organizá-los e também 
não temos condições de tomar alguma decisão com base na coleta, sem o 
tratamento desses dados.
Por esse motivo, precisamos começar a analisar os dados coletados e, de 
alguma forma, resumi-los para podermos visualizar os resultados de forma 
organizada, iniciando, assim, a análise descritiva dos dados. 
Primeiramente, resumimos em tabelas de distribuição de frequências e 
depois podemos fazer gráficos, o que visualmente é melhor para representar 
os dados (Figura 1). A análise descritiva dos dados ainda dispõe de outras 
técnicas além dessas, mas, neste capítulo, atentaremos para a análise de tabelas 
e gráficos.
Bioestatistica_LIVRO.indb 99 13/03/2018 09:16:40
Figura 1. Exemplo de diferentes tipos de gráficos.
Fonte: Araujo (2011).
Título do grá�co Título do grá�co
Título do grá�co
Título do grá�co
Série 1 (linha esquerda)
Série 1 Série 2
Série 3
18
16
14
12
10
45
10,00
9,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
40
35
30
25
20
15
10
5
7
6
5
4
3
2
1
0
8
6
4
2
Série 4
Série 1 Série 2
Série 3 Série 4
Série 2 (linha direita)
Categoria E, 1
Categoria A, 5
Categoria D, 2
Categoria C, 3
Categoria B, 4 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Sobre a coleta de dados, é importante estarmos sempre atentos à forma como coleta-
mos os dados. Precisamos, antes de qualquer coleta, estabelecer a metodologia para 
a escolha das unidades amostrais. Muitas vezes, quando coletamos dados, estamos 
interessados em poder fazer inferência para o restante da população (extrapolar para 
toda a população). Somente quando temos uma amostra probabilística – ou seja, 
os elementos da população são escolhidos por sorteio aleatório – que poderemos 
realizar inferências. Caso a amostra não seja probabilística, poderemos apenas fazer 
uma análise descritiva dos dados e o resultado dessa análise dirá respeito somente à 
amostra pesquisada.
Organização de dados: tabelas e gráficos100
Bioestatistica_LIVRO.indb 100 13/03/2018 09:16:40
Tipos de tabelas e gráficos
Existem tabelas que são para dados qualitativos, que também chamamos 
de tabelas para dados categóricos (Tabela 1). São tabelas simples em que se 
anota a frequência que cada uma das opções de resposta aparece na amostra. 
Sexo F Fr
Masculino 63 52,5
Feminino 57 47,5
Total 120 100,0
Tabela 1. Exemplo de tabela com dados qualitativos.
Conforme verificado na Tabela 1, a coluna f (frequência simples absoluta) 
é resultado da contagem da frequência que cada uma das palavras apareceu na 
amostra. Ou seja, havia 63 pessoas do sexo masculino e 57 do sexo feminino 
na amostra.
Para calcularmos a coluna fr, precisamos ver quanto cada uma das fre-
quências tem de proporção no total da amostra. Podemos resolver isso por 
regra de três.
120
63
100%
x 120 ∙ x = 63 ∙ 100 x =
63∙100
120 = 52,5%
Podemos representar essa tabela com um gráfico de setores, também 
conhecido como gráfico de pizza, conforme a Figura 2.
101Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 101 13/03/2018 09:16:40
Figura 2. Gráfico de setores (pizza).
47,5
52,5
Masculino Feminino
Observe que em tabelas para dados de uma variável qualitativa nominal, 
devemos ordenar do mais frequente para o menos frequente. Já quando temos 
uma variável qualitativa ordinal, precisamos respeitar a ordem em que a 
variável é apresentada (Tabela 2).
Satisfação F fr
Muito satisfeito 12 13,3
Satisfeito 14 15,6
Indiferente 21 23,3
Insatisfeito 19 21,1
Muito insatisfeito 24 26,7
Total 90 100
Tabela 2. Exemplo de tabela com dados qualitativos ordinais sobre a satisfação com o 
atendimento recebido em uma Unidade de Pronto Atendimento (UPA) de Porto Alegre, 
RS.
Para representarmos essa tabela, podemos fazer um gráfico de colunas, 
conforme a Figura 3.
Organização de dados: tabelas e gráficos102
Bioestatistica_LIVRO.indb 102 13/03/2018 09:16:40
Figura 3. Exemplo de gráfico de colunas.
30,0
25,0
20,0
15,0 13,3
Muito
satisfeito
Muito
insatisfeito
Satisfeito InsatisfeitoIndiferente
15,6
23,3
26,7
21,1
10,0
5,0
0,0
Podemos também utilizar as tabelas para representar dados quantitativos. 
Nesse caso, podemos ter tabelas por ponto e tabelas por intervalos (também 
chamadas de tabelas por classes). Variáveis quantitativas discretas costumam 
gerar tabelas de distribuição de frequência por ponto (Tabela 3).
Número de filhos F fr
0 12 15,0
1 11 13,8
2 23 28,8
3 19 23,8
4 9 11,3
5 6 7,5
Total 80 100
Tabela 3. Exemplo de tabela quantitativa sobre o número de filhos por família.
103Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 103 13/03/2018 09:16:40
Também podemos representar esses dados com um gráfico de colunas, 
conforme a Figura 4.
Figura 4. Gráfico de colunas sobre o número de filhos por família.
30,0
35,0
25,0
20,0
15,0
15,0 13,8
28,8
23,8
11,3
7,5
543210
10,0
5,0
0,0
Já as variáveis quantitativas geram tabelas de distribuição de frequências 
por intervalos (Tabela 4).
Faixa F Fr
15|---25 9 14,5
25|---35 12 19,4
35|---45 22 35,5
45|---55 11 17,7
55|---65 8 12,9
Total 62 100,0
Tabela 4. Exemplo de tabela com variáveis quantitativas sobre a faixa etária.
Organização de dados: tabelas e gráficos104
Bioestatistica_LIVRO.indb 104 13/03/2018 09:16:40
Para representarmos essa tabela, precisamos nos dar conta de um fato: 
entre as faixas, não existe um intervalo numérico, pois chegamos ao limite 
de um número e na faixa seguinte já iniciamos com ele. Assim, não podemos 
representar nenhum espaço no eixo do gráfico quando temos um gráfico de 
colunas. Nesse caso, as colunas estão grudadas umas às outras, e chamamos 
esse gráfico de histograma (Figura 5).
Figura 5. Exemplo de gráfico histograma. 
30,0
35,0
25,0
20,0
15,0
14,5
15| ---25 25| ---35 35| ---45 45| ---55 55| ---65
19,4
35,5
17,7
12,9
10,0
5,0
0,0
Quando temos uma variável quantitativa discreta, pode ser que também precisemos 
fazer intervalos para melhor representar os dados. Caso existam mais de 10 opções de 
resposta, já podemos montar os intervalos para poder representar melhor esses dados.
105Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 105 13/03/2018 09:16:40
Podemos ainda acrescentar mais colunas a essas tabelas que representam 
dados quantitativos para utilizarmos para fins de análise (Tabela 5). As co-
lunas que necessariamente precisam aparecer em uma tabela de distribuição 
de frequências, além da primeira coluna que representa as opções de resposta 
dos dados coletados, são:
 � f → frequência simples absoluta (resulta da contagem na amostra).
 � fr → frequência simples relativa (resulta da regra de três vista ante-
riormente no capítulo).
 � F → frequência acumulada absoluta (resulta somando a coluna f).
 � Fr → frequência acumulada relativa (resulta somando a coluna fr).
 � x’ → ponto médio do intervalo, no caso da tabela de intervalos.
Faixa f fr F Fr
15|---25 9 14,5 9 14,5 (15+25)/2=20
25|---35 12 19,4 9+12=21 33,9 (25+35)/2=30
35|---45 22 35,5 21+22=43 69,4 (35+45)/2=40
45|---55 11 17,7 43+11=54 87,1 (45+55)/2=50
55|---65 8 12,9 54+8=62 100,0 (55+65)/2=60
Total 62 100,0 - - -
Tabela 5. Exemplo de tabela de faixa etária com demais colunas.
Sobre a nomenclatura para a tabela de distribuição de frequências por intervalos, a 
barra na vertical (|) indica que o número ao seu lado está contido no intervalo. Quando 
temos o traço na horizontal,chegamos muito próximo ao número que está ao seu 
lado, mas não chegamos até ele. Por exemplo:
15|---25 → o número 15 está contido nesse intervalo, mas o número 25 não.
15---|25 → o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 sim.
15---25 → o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 também não.
15|---|25 → o número 15 está contido nesse intervalo e o número 25 também.
Organização de dados: tabelas e gráficos106
Bioestatistica_LIVRO.indb 106 13/03/2018 09:16:41
Agora, qual gráfico escolher?
Além dos gráficos apresentados aqui, temos uma grande quantidade de gráficos. 
Os mais básicos para a análise descritiva de dados são os de setores e os de 
barras ou colunas, mas não são somente esses que podemos utilizar.
Quando tivermos uma variável qualitativa, tanto nominal quanto ordinal, 
podemos representar esses dados com um gráfico de setores, de colunas ou 
barras (Figura 6).
Figura 6. Exemplo de dados representados em um gráfico de setores.
Dois Irmãos
7%
Campo Bom
10%
São Leopoldo
15%
Porto Alegre
32%
Canoas
20%
Novo
Hamburgo
16%
Para os mesmos dados, poderíamos representar em um gráfico de colunas 
e de barras (Figuras 7 e 8).
107Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 107 13/03/2018 09:16:41
Figura 7. Exemplo de gráfico de colunas utilizando os dados da Figura 6.
30,0
35,0 32,2
20,0
15,6 15,6
10,0
6,7
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
Dois
Irmãos
Campo 
Bom
São 
Leopoldo
Porto 
Alegre
Canoas Novo
Hamburgo
Figura 8. Exemplo de gráfico de barras utilizando os dados da Figura 6.
Porto Alegre
Canoas
Novo Hamburgo
São Leopoldo
Campo Bom
Dois Irmãos
32,2
20,0
15,6
15,6
10,0
6,7
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
Agora, para as variáveis quantitativas para tabelas de distribuição de fre-
quências simples ou por intervalos, podemos ter gráficos de colunas para 
representar as variáveis quantitativas discretas, conforme mostra a Figura 9. 
Organização de dados: tabelas e gráficos108
Bioestatistica_LIVRO.indb 108 13/03/2018 09:16:41
Para os dados de variáveis quantitativas representadas em tabelas de distri-
buição de frequências por intervalos, representamos graficamente com um 
histograma, conforme mostra a Figura 10.
Figura 9. Exemplo de gráfico de colunas com variáveis quantitativas discretas.
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0 1 2 3 4
15,0 13,8
28,8
23,8
11,3
Figura 10. Exemplo de histograma.
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0|---10 10|---20 20|---30 30|---40 40|---50
25,6
24,4
17,4
22,1
10,5
109Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 109 13/03/2018 09:16:41
Além desses gráficos, podemos citar ainda o gráfico de dispersão, que é 
utilizado em análise de correlação e regressão, quando temos duas variáveis 
e verificamos a relação entre elas. Imaginemos duas variáveis, peso e altura. 
Podemos, com o gráfico de dispersão (Figura 11), verificar a relação entre 
elas. Cada um dos pontos representa um par de valores (peso no eixo y e 
altura no eixo x).
Figura 11. Exemplo de diagrama de dispersão.
Pe
so
Altura
110
100
90
80
70
60
50
40
150 160 170 180 190 200
O gráfico de linhas é utilizado quando desejamos representar uma variável 
quantitativa ao longo do tempo (Figura 12). O eixo x sempre será o tempo. 
Imaginemos acompanhar a evolução do número de nascidos vivos em uma 
pequena maternidade ao longo dos anos.
Organização de dados: tabelas e gráficos110
Bioestatistica_LIVRO.indb 110 13/03/2018 09:16:41
Figura 12. Exemplo de gráfico de linhas.
1260
1250
1240
1230
1220
1210
1200
1190
1180
1170
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Nestes endereços eletrônicos, você pode aprender a fazer gráficos utilizando o Excel:
https://goo.gl/4mQZ0m
https://goo.gl/Ek3Ydy
111Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 111 13/03/2018 09:16:41
Considere os dados referentes a uma pesquisa com 20 famílias de um bairro pequeno, 
onde foi perguntado quantas vezes o chefe da família procurou o médico no ano 
anterior. As respostas da coleta são as seguintes:
1 4 2 0 2
2 2 3 0 4
5 0 1 1 3
3 1 4 2 5
Para representarmos esses dados, o primeiro passo é a montagem da tabela de 
distribuição de frequências. Precisamos contar quantas vezes cada um dos números 
apareceu e então fazer os seus percentuais.
nº de visitas f fr
0 3 15
1 4 20
2 5 25
3 3 15
4 3 15
5 2 10
total 20 100
A segunda maneira de representarmos esses dados seria por meio de um gráfico.
30,0
25,0
25,0
20,0
20,0
15,0
15,0 15,015,0
10,0
10,0
5,0
0,0
0 1 2 3 4 5
Concluímos então que o número mais frequente de visitas é igual a 2, representando 
25%. Ou seja, mais da metade dos chefes de família foi, no máximo, até duas vezes a 
uma consulta com um médico no último ano.
Organização de dados: tabelas e gráficos112
Bioestatistica_LIVRO.indb 112 13/03/2018 09:16:41
ARAUJO, A. Gráficos: modelos prontos. 04 fev. 2011. Disponível em: <http://geomor-
fologiacesc.blogspot.com.br/2011/02/graficos-modelos-prontos.html>. Acesso em: 
26 out. 2017.
Leituras recomendadas
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 
2007.
FREUND, J. E. Estatística aplicada economicamente. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referência
Organização de dados: tabelas e gráficos113
Bioestatistica_LIVRO.indb 114 13/03/2018 09:16:42
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, explicaremos algumas das particularidades de tabelas e gráficos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) O gráfico a seguir mostra a cotação do dólar americano no último ano. Analise suas 
informações e marque a afirmativa correta.
A) Considerando todo o período apenas os meses de março a junho apresentaram crescimento 
em meses sucessivos.
B) Os meses de julho e outubro apresentam queda em relação ao seu mês anterior.
C) Podemos considerar o dólar estável apenas entre os meses de agosto e setembro.
D) Esse gráfico não serve para representar o acompanhamento da cotação do dólar no 
período.
E) Houve um declínio no preço do dólar entre os meses de janeiro a junho.
2) Dois amigos participam do grupo de criação de produtos de uma empresa e estão lançando 
um novo relógio, o protótipo foi testado por 30 pessoas e após o teste, elas indicaram o grau 
de satisfação com o produto. Esse protótipo só continuará em processo de desenvolvimento 
caso o nível de satisfação da pesquisa seja superior a 80%. Com base no gráfico dos 
resultados do teste, o processo de desenvolvimento irá continuar?
A) Sim, pois os dados mostram que quase 22 pessoas estão satisfeitas com o protótipo.
B) Sim, pois apenas 7 pessoas não aprovam o protótipo.
C) Não, pois considerando os satisfeitos não atingimos o percentual de 80% de satisfação.
D) Não, pois temos um percentual muito elevado de insatisfeitos.
E) Sim, pois temos apenas uma pessoa que não se posicionou sobre o relógio.
3) Um gerente de banco está fazendo o levantamento dos tipos de atendimento que os 
atendentes realizam em um determinado dia em uma agência bancária. Os dados 
desse levantamento estão a seguir:
Tipos de Atendimento Total
Abertura de contas 37
Manutenção de contas 30
Empréstimos 26
Aplicações 18
Dúvidas gerais 9
 
Pensando nos dados coletados pelo gerente do banco, qual seria a ordem correta dos 
percentuais dos problemas observados? 
A) 30,0%; 25,0%; 22,0%; 15,0%; 8,0%.
B) 30,8%; 25,0%; 21,7%; 15,0%; 7,5%. 
C) 38,8%; 25,0%; 22,0%; 15,0%; 1,0%.
D)30,8%; 21,7%; 25,0%; 15,0%; 7,5%.
E) 31,4%; 24,8%; 21,5%; 14,9%; 7,4%.
4) As alternativas a seguir mostram gráficos e um exemplo de utilização. Marque a 
alternativa que relaciona corretamente o gráfico seu tipo de uso.
A) Pode ser utilizado apenas para variáveis quantitativas.
 
Pode ser utilizado para quaisquer tipos de variáveis.
 
B) 
 
Pode ser utilizado para variáveis qualitativas.
 
C) 
 
Pode ser utilizado para variáveis qualitativas exclusivamente.
 
 
D) 
 
 
Pode ser utilizado para variáveis qualitativas.
 
E) 
 
Um administrador fez um levantamento com as idades dos funcionários de sua empresa. Os 
dados estão na tabela de distribuição de frequências por intervalo abaixo:
5) 
 
O gráfico apropriado para representar esses dados é?
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
E) 
 
NA PRÁTICA
Vamos imaginar como os colégios, que citamos no desafio desta unidade, poderiam utilizar os 
dados da pesquisa em suas propagandas. 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Tipos de Gráficos Estatísticos
Esse link apresenta uma síntese com os principais tipos de gráficos utilizados em estatística, 
ressaltando as vantagens e desvantagens de cada tipo.
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Estatística: Tabelas e Gráficos (parte 1 de 2)
Esse vídeo apresenta um conjunto de dados brutos e mostra como organizá-los em uma tabela 
para facilitar sua leitura e interpretação.
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Estatística: Conceitos e Organização de Dados
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Medidas de Posição: Média, Mediana e 
Moda
APRESENTAÇÃO
Uma forma de organizar dados em estatística é por meio de tabelas e gráficos. Outra forma de 
representar os dados é fazendo cálculos que permitem resumi-los com um ou mais valores que 
os representam. Os cálculos, cujas medidas representam a posição aproximada na qual os dados 
estão “circulando”, são conhecidos como medidas de posição ou medidas de tendência central.
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos as principais medidas de tendência central: 
média, mediana e moda. Veremos suas definições, como são calculadas e para que servem.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Calcular as medidas de posição: média, mediana e moda.•
Escolher a medida de posição mais adequada.•
Aplicar as medidas estatísticas a partir das definições.•
DESAFIO
Imagine que você é o(a) técnico(a) de uma equipe de atletas (futebol, vôlei etc.) e deseja 
entender um pouco mais sobre o rendimento que seu time tem para poder melhorar e, então, 
vencer o campeonato. Você fez um levantamento de quantos gols (ou pontos) seu time fez nos 
20 últimos jogos e encontrou o seguinte resultado: em 3 jogos, marcou apenas um ponto (ou 
gol), em 4 marcou 2 pontos, em 3 jogos, marcou 3, em 2 marcou 4, em outros 2 jogos, marcou 
5, em um único jogo, marcou 6 e em 5 jogos não marcou nenhum. Seu time nunca conseguiu 
marcar 7 ou mais pontos na mesma partida. Ou em ordem crescente: 
0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,6.
Como você quer muito vencer o campeonato, procurou informações estatísticas e descobriu que 
é possível calcular a média de pontos somando todos os marcados e dividindo pelo total de 
jogos. Você encontrou, então, a média de 2,20 pontos por partida.
Você também descobriu que moda, em Estatística, é o resultado que mais aparece, é aquele que 
mais vezes se repete. Descobriu, ainda, que existem casos em que mais de um número é a moda, 
pois eles se repetem a mesma quantidade de vezes e, em outros casos, não haverá moda, pois 
nenhum número se repetiu. No caso do seu time, você percebeu que a moda é zero.
Finalmente, você calculou a mediana, colocando os pontos em ordem crescente e identificando 
aquele (ou aqueles) que estavam no meio dos resultados. Em suas leituras, aprendeu que quando 
o total de números é ímpar, a mediana será um único número central. Por exemplo, no conjunto 
1, 2, 3, 5, 8, a mediana é o número 3, pois ele está no meio (há dois números à direita e também 
dois números à esquerda). Já no caso do seu time, como o número de jogos é par (20 jogos), foi 
necessário fazer a média dos dois números centrais. Após fazer isso, você encontrou a mediana 
igual a 2. Agora, com estes dados, você poderá comparar os resultados do seu time com o time 
que está melhor colocado e saberá quais deverão ser as suas metas para os próximos jogos. Está 
traçado o caminho para sua vitória!
Com base no que foi informado acima, apresente os cálculos da média e da mediana e 
explique como encontrou a moda. A resposta será avaliada conforme os seguintes 
critérios: 
- Da média e da mediana, você deverá apresentar a fórmula e o cálculo do número. 
Lembre-se de realizar a operação matemática completa e não apenas o resultado final. 
- Da moda você deverá explicar o raciocínio que fez para descobri-la.
INFOGRÁFICO
Em estatística, podemos representar dados em rol, tabelas e gráficos. No entanto, outra forma de 
representá-los é por meio de cálculos que podem resumi-los com um ou mais valores. Dentre 
essas medidas, podemos citar as medidas de posição e de variabilidade.
Média, mediana e moda são as medidas de posição mais utilizadas na estatística. Elas tendem a 
se dispor em torno dos valores que ocupam as posições centrais de um rol de dados. 
Veja, neste Infográfico, como calcular essas medidas para um conjunto de dados dispostos em 
rol.
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe o capítulo Medidas de Posição: Média, Mediana e Moda do livro Estatística, que é 
a base teórica desta Unidade de Aprendizagem e aprofunde o conhecimento sobre medidas de 
tendência central ou de posição.
Bons estudos.
ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
Medidas de posição: 
média, mediana e moda
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular as medidas de posição: média, mediana e moda.
 � Escolher a medida de posição mais adequada.
 � Aplicar as medidas estatísticas a partir das definições.
Introdução
Após a coleta e organização dos dados de uma pesquisa, é fundamental 
que se faça a análise para futura tomada de decisão. A análise mais trivial 
de um conjunto de dados é feita por meio de medidas de posição.
Neste capítulo, você reconhecerá as medidas de posição central, 
chamadas média, mediana e moda, identificando suas definições, caracte-
rísticas e aplicações em conjuntos numéricos agrupados e não agrupados.
Medidas de posição: média, mediana e moda
Para análise das variáveis qualitativas, precisamos nos restringir apenas à sua 
distribuição de frequências, enquanto que, em sua análise, as variáveis quan-
titativas permitem que algumas medidas que descrevem suas características 
sejam manipuladas e praticadas (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2008). As 
medidas que estudaremos agora serão medidas de posição central.
As medidas estatísticas informam características importantes da amostra, 
que geralmente são um rol com muitos dados difíceis de serem analisados 
quando apresentados todos juntos. Por isso, buscamos algumas medidas que 
os descrevem. As medidas de posição mais utilizadas são as de tendência 
central: média, mediana e moda. 
Essas medidas são chamadas de medidas de tendência central, pois cada 
uma delas tende a se dispor em torno dos valores que ocupam as posições 
centrais de um rol de dados. Além delas, temos as medidas de posição chamadas 
separatrizes, que são: quartil, decil e percentil. 
Média
A média é definida como o centro de massa, ou o ponto de equilíbrio, do 
conjunto (MILONE, 2006). Entre as principais médias, destacamos a média 
aritmética.
A média aritmética é calculada por meio da soma dos dados (quantitativos) 
do conjunto e da divisão da soma pela quantidade de dados do conjunto:
x– =
∑i =1 xi
n
n
onde xi representa os dadosem questão (na posição 1 até n-ésima), e n a 
quantidade de dados do conjunto.
Características da média
1. A média é afetada por todos os elementos do conjunto (para o seu 
cálculo, é preciso somar todos eles). Como consequência, ela se altera 
a cada mudança dos elementos do conjunto, e, ainda, valores de extre-
mos, muito altos ou muito baixos, tendem a aumentá-la ou diminuí-la, 
respectivamente, de maneira bastante significativa.
Sendo 30, 32, 44, 82 e 97 dados de uma amostra qualquer, sua média é obtida com 
x– = 30 + 32 + 44 + 82 + 97
5
= 57. Se qualquer dado for afetado por alguma mudança, 
a média também será afetada, especialmente se os extremos se alterarem:
2, 32, 44, 82, 97 →x– = 2 + 32 + 44 + 82 + 97
5
= 51,4 ou ainda: 30, 32, 44, 82 e 250 
→x– = 30 + 32 + 44 + 82 + 250
5
= 87,6.
Medidas de posição: média, mediana e moda2
2. A média apresenta propriedades algébricas de manipulação, que são:
somando-se uma constante a todos os dados da amostra, a média é
aumentada da mesma constante.
A média dos valores 41, 75 e 64 é 41 + 75 + 64
3
= 60. Ao somarmos a constante 5 aos 
dados, temos 46, 80, 69, e a média dos novos valores é 46 + 80 + 69
3
= 65.
3. O valor da média estará sempre entre o maior e o menor valor do conjunto 
de dados e pode não corresponder a algum valor do próprio conjunto.
Como, no conjunto anterior (41, 75, 64), a média é igual a 60, sendo assim, 41 < x– < 
75 e, ainda, não é igual a nenhum dado do conjunto.
Média de dados agrupados
O conceito de média e suas características mantém-se para qualquer conjunto 
de dados. Contudo, o processo do cálculo pode variar, dependendo de como 
esses dados estão apresentados. O caso mais simples para encontrar o valor 
da média é em um rol de dados simplesmente ordenados (ou não), em que 
basta aplicarmos a equação que a define. Já em dados que são apresentados 
em uma distribuição de frequência, precisamos de uma etapa anterior, para 
então aplicarmos a mesma fórmula.
Considere a tabela de distribuição de frequência no Quadro 1, relativa 
ao número de acidentes ocorridos com 30 motociclistas em uma empresa de 
entrega rápida.
3Medidas de posição: média, mediana e moda
Número de acidentes (variável) Número de motociclistas 
(frequência)
1 13
2 5
3 9
4 1
5 2
Quadro 1. Número de acidentes com 10 motoristas de mototáxi
As frequências dos acidentes indicam a intensidade deles, facilitando a 
apresentação das variáveis. Contudo, para o cálculo da média, precisamos ficar 
atentos a elas e não nos esquecer de que cada variável tem a sua quantidade 
indicada na coluna ao lado. O cálculo da média de acidentes por motociclista 
deve ser feito da seguinte maneira:
x– =
(13 ∙ 1) + (5 ∙ 2) + (9 ∙ 3) + (1 ∙ 4) + (2 ∙ 5)
13 + 5 + 9 + 1 + 2 = 2,133
onde cada acidente é multiplicado pela frequência em que ocorreram e a 
soma deles dividida pelo total de motociclistas na empresa.
De maneira geral, a média em uma distribuição de frequência é calculada 
pela lei:
x– =
∑ (xi · fi )
∑ fi
Ou seja, o somatório do produto entre a variável (xi) e a sua frequência 
correspondente a ( fi), divido pelo somatório das frequências (∑ fi ).
Média de dados agrupados com intervalos de classe
Além do formato do Quadro 1 para apresentação dos dados, podemos, ainda, 
expressá-los por meio de intervalos de classe, que se trata do agrupamento 
dos valores em intervalos. Essa prática é comumente utilizada em variáveis 
contínuas e quando cada valor tem uma baixa frequência, resultando, assim, 
em uma tabela com muitas linhas, que se torna inconveniente para análise. O 
Medidas de posição: média, mediana e moda4
Quadro 2 mostra um exemplo de distribuição de frequência com intervalos 
de classe.
Estatura (variável) Número de alunos (frequência)
160 ⊢ 165 5
165 ⊢ 170 20
170 ⊢ 175 11
175 ⊢ 180 1
180 ⊢ 185 3
Quadro 2. Estatura (em cm) de 50 alunos de uma classe
Por característica das distribuições de frequência com dados agrupados, 
ocultamos algumas informações anteriormente tidas nos dados brutos. Perceba 
que a tabela nos indica que cinco estudantes apresentam estatura entre 160 
cm e 165 cm, porém não nos orienta para a altura exata de cada um deles.
Para cálculo da média de dados apresentados dessa forma, precisamos assumir 
um único valor para esses intervalos de classe. Fizemos isso por meio do cálculo 
da própria média das classes. Para o exemplo anterior, teremos o Quadro 3.
Estatura 
(variável)
xi (média das 
classes)
Número de 
alunos (fi)
xi ∙ fi
160 ⊢ 165 160 + 165
2
= 162,5
5 812,5
165 ⊢ 170 167,5 20 3350
170 ⊢ 175 172,5 11 1897,5
175 ⊢ 180 177,5 1 177,5
180 ⊢ 185 182,5 3 547,5
6785
Quadro 3. Estatura (em cm) de 50 alunos de uma classe — inserção das colunas xi e xi ∙ fi 
para cálculo da média
5Medidas de posição: média, mediana e moda
Note que, no Quadro 3, inserimos, além da média das classes, uma coluna 
com a multiplicação entre a variável e a frequência. Isso pode facilitar no 
cálculo da média. Contudo, é o mesmo que aplicarmos a seguinte lei:
x– =
∑ (xi · fi )
∑ fi
x– =
812,5 + 3350 + 1897,5 + 177,5 + 547,5
40 = = 169,63 cm
6785
40
Concluímos, assim, que a média das estaturas entre os 40 alunos pesqui-
sados é 169,63 cm.
Mediana
Outra medida de centro bastante utilizada é a mediana. Seu conceito é dado 
por: o valor que se encontra no centro de uma série ordenada de números. 
Ou seja, é o dado que divide o conjunto ordenado em dois subconjuntos de 
mesmo número de elementos (CRESPO, 2002).
A posição da mediana é encontrada por n + 12 . Em um conjunto de dados 
não agrupados, como 8, 5, 14, 9, 56, 32, 23, no qual temos n = 7 dados, a 
posição da mediana é dada por 82 = 4, ou seja, na quarta posição. Contudo, 
antes de localizarmos o dado que se encontra na quarta posição, é preciso 
ordená-los segundo um critério preestabelecido, de ordem crescente, por 
exemplo. Sendo assim, temos 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, onde constatamos que a 
mediana é igual a 14.
Em casos em que a quantidade de dados é par, teremos dois termos no 
centro da série. Assim, precisamos encontrar o ponto médio dos dois valores 
para determinarmos a mediana. Na série 2, 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, o quarto e 
o quinto termos são que dividem a série em dois subconjuntos com o mesmo 
número de elementos. Dessa forma, a mediana dessa é dada por 9 + 142 = 11,5.
Perceba que a mediana, além de uma medida de tendência central, também é con-
siderada separatriz, pois divide o conjunto de dados em duas partes com iguais 
quantidades de elementos.
Medidas de posição: média, mediana e moda6
As separatrizes separam o conjunto de dados em grupos com o mesmo número de 
valores, os quartis dividem o conjunto em 4 (quatro) partes iguais, os decis em 10 (dez) 
e os percentis em 100 (cem).
Moda
A moda é geralmente a medida de tendência central mais simples de ser 
informada, pois exige apenas a observação dos dados existentes. Definimos 
moda como o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de 
dados. Ou seja, é o valor mais comum dentre todos do conjunto.
No exemplo 2, 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, temos um conjunto em que todos os 
elementos têm a mesma frequência. Isso implica em um conjunto amodal, ou 
sem moda. Já a série de dados 2, 5, 8, 8, 8, 9, 9 14, 23, 32, 56 tem moda igual 
a 8, e a série 2, 5, 8, 8, 8, 9, 9 14, 23, 32, 56, 56, 56 tem duas modas: 8 e 56. 
Neste último caso, chamamos o conjunto de bimodal.
Escolha da medida de posição mais adequada
A escolha entre a média, a mediana e a moda depende dos fatores que elas 
afetam. É necessário conhecer suas propriedades com a finalidade de adequar 
a melhor medida a cada caso em estudo.
Uma das características da média é sua sensibilidade a valores muito altos 
ou muito baixos do conjunto de dados, pois é uma medida que reflete cada 
valor do conjunto. Sendo assim, uma análise possível é: quando os valores 
extremos do conjunto de dados são consideravelmente dispersos dos de-
mais, a média não é uma medida de posição indicada para análise, pois 
ela não representaadequadamente a maioria dos dados do conjunto.
Por outro lado, a mediana é, de fato, insensível aos valores extremos do 
conjunto, podendo estes se alterarem, e, mesmo assim, a mediana se manter. 
Portanto, no caso citado, a indicação é a utilização da mediana como medida 
de posição mais adequada.
Em contrapartida, a média é mais prática de ser calculada, visto que, para 
encontrar a mediana, é imprescindível a ordenação dos dados, o que acarreta 
7Medidas de posição: média, mediana e moda
em grande dificuldade quando o conjunto apresenta grande quantidade de 
dados, sobretudo quando não se utiliza de recursos tecnológicos para tal.
A moda é geralmente um ponto isolado, mas de maior peso no conjunto de 
elementos. Sua característica é vantajosa sobre as demais, pois é sempre um valor 
típico, o qual tem maior quantidade de valores concentrados no mesmo ponto.
Quando temos dados qualitativos, não podemos aplicar as medidas de posição média 
e mediana, por motivos óbvios. Em contrapartida, a moda é uma medida de posição 
que pode ser obtida mesmo em conjuntos de dados qualitativos.
Aplicação a partir das definições
Nesta etapa de estudo, aplicaremos os conceitos estudados anteriormente em 
alguns exemplos de atividades, a fim de utilizar as ferramentas estatísticas 
para o desenvolvimento do raciocínio lógico, enquanto descobrimos a melhor 
maneira para encontrar as soluções. 
Em um conjunto com 15 dados, a média aritmética é igual a 9. Depois de uma vistoria 
detalhada nos dados, descobriu-se que alguns eram inconsistentes e precisavam 
ser desconsiderados. Assim, os números 34, 27, 14 foram retirados. Qual será a nova 
média do conjunto?
Solução:
Temos que o primeiro conjunto tinha média igual a:
x– =
x1 + ... x15
15 = 9
Assim, a soma de todos os 15 elementos do conjunto de dados é dada por:
x1 + ... x15 = 9 · 15 = 135
Medidas de posição: média, mediana e moda8
Com a retirada de três elementos, passamos a ter 12 dados, e sua soma representada 
por:
x1 + ... x12 = 135 – 34 – 27 – 14 = 60
Aplicando a definição de média, temos:
x– =
x1 + ... x12
12
60 = 5
12
=
Aplicou-se uma prova para 80 alunos da turma da disciplina de Estatística. Porém, 
como o espaço físico era pequeno, dividiu-se a turma em duas partes, que realizaram 
a prova em dias diferentes. No primeiro dia, 35 alunos realizaram a avaliação, e a média 
desse grupo foi 9,0. No segundo dia, aplicou-se a prova para os demais, que obtiveram 
média igual a 7,0. Qual foi a média da turma toda? 
Solução:
Podemos representar a média da turma do primeiro dia como:
x— =
x1 + ... x35
35 = 91
bem como a média da segunda turma é:
x— =
x1 + ... x45
45 = 72
x1 + ... x35 = 9 · 35 = 315
x1 + ... x45 = 7 · 45 = 315
x1 + ... x80 = 315 + 315 = 630
Portanto, a média final é igual a:
x— =
x1 + ... x80
80 = 7,87f
630
80
=
9Medidas de posição: média, mediana e moda
Uma loja de roupas está promovendo um bazar de suas peças e fez a seguinte 
promoção:
 � 2 blusas custam R$ 89,00 cada;
 � 4 blusas custam R$ 68,00 cada;
 � 6 blusas custam R$ 57,00 cada.
Qual é o preço médio das blusas desta loja no seu bazar?
Solução:
Os valores expostos na promoção nos fornecem a seguinte relação:
x– =
(2 · 89,00) + (4 · 68,00) + (6 · 57,00)
12 = = 66,00
792
12
Concluímos, assim, que o preço médio de cada blusa é igual a R$ 66,00.
Os próximos exemplos da aplicação da média são exercícios adaptados de 
concursos de vestibular, que mostram variações no raciocínio utilizado para 
empregar o cálculo da média.
(FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 dados, sendo esses números inteiros 
distintos, estritamente positivos, é igual a 16. O maior valor existente entre esses 
dados é igual a:
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
Solução:
Como indicado, o conjunto tem cinco elementos. Assim, da mesma maneira das 
soluções anteriores, temos:
x– =
x1 + ... x5
5 = 16
Medidas de posição: média, mediana e moda10
Portanto, a soma de todos os 5 elementos do conjunto de dados é dada por:
x1 + ... x5 = 16 · 5 = 80
Então, para descobrirmos o maior valor possível entre os 5 dados, assumiremos os 
4 outros valores como os menores possíveis, ou seja:
1 + 2 + 3 + 4 + x = 80
Sendo assim, o maior valor possível do conjunto de dados é:
x = 80 – 1 – 2 – 3 – 4
x = 70
Resposta: letra D.
(FUVEST) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 
a 100, e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 
8 alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, 
enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o 
professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 
pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou 
a ser 80, e a dos reprovados, 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco 
pontos extras.
b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, 
atingiram nota para a aprovação?
Solução:
a) Com os dados informados no problema, temos:
x– reprovados =
x1 + ... x8
8 = 65
x– aprovados =
x1 + ... x12
12 = 77
x– total =
(x1 + ... x8) + (x1 + ... x12)
20 =
520 + 924
20
= 72,2
A média das notas da classe antes da atribuição dos cinco pontos extras era de 72,2.
11Medidas de posição: média, mediana e moda
b) A nova média de toda a turma, após a atribuição dos cinco pontos por aluno, é:
x1 + ... x5 = 16 · 5 = 80
x– = 520 + 924 + (5 · 20)
20
=
1544
20
= 77,2
Com a atribuição dos cinco pontos, é possível que alguma quantidade de alunos tenha 
sido aprovada — chamemos essa quantidade de A. Sendo assim, a nova quantidade 
de alunos aprovados é 12 + A, e de alunos reprovados, 8 – A.
Temos, do enunciado, que a nova média dos aprovados é 80, e dos reprovados, 
68,8. Então:
77,2 = (12 + A) 80 + (8 – A) 68,8
20
Resolvendo a equação, temos que A = 3.
Assim, 3 alunos foram aprovados após a atribuição dos 5 pontos.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para cursos de engenharia e infor-
mática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Leitura recomendada
BECKER, J. L. Estatística básica: transformando dados em informação. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
Medidas de posição: média, mediana e moda12
Conteúdo:
 
DICA DO PROFESSOR
Uma forma de representar dados coletados em uma pesquisa é realizando alguns cálculos que 
podem resumi-los com um ou mais valores. Nesta Dica do Professor, vamos abordar as 
chamadas medidas de tendência central, que representam a posição aproximada em que os dados 
estão circulando.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Em determinado momento na BMF&BOVESPA, eram negociados 10 títulos de R$ 
20.000,00, 6 de R$ 10.000,00 e 4 de R$ 5.000,00. Dado os títulos, responda: qual é o 
valor médio em R$ dessa negociação na bolsa?
A) 20.000,00.
B) 14.000,00.
C) 280.000,00.
D) 5.000,00.
E) 10.000,00.
Três candidatos a um emprego estão disputando uma única vaga. A empresa 
informou que passarão para a próxima etapa apenas os dois que apresentarem as 
modas mais altas nas atividades já realizadas até agora. Observe a seguir as notas de 
cada um deles. 
 
2) 
- Candidato X: 3, 4, 3, 7, 3, 8. 
- Candidato Y: 2, 4, 4, 9, 4, 2. 
- Candidato Z: 5, 8, 4, 7, 3, 9. 
 
Agora, assinale a alternativa que indica quais dos dois candidatos serão aprovados e 
a que explica se moda é um bom critério de seleção.
A) Passarão os candidatos X e Z, pois são os dois com as notas mais altas. Sim, moda é um 
bom critério de seleção, uma vez que foi pedida a moda mais alta.
B) Passarão os candidatos X e Z, pois são os dois com as notas mais altas. Não, moda não é 
um bom critério de seleção, pois desconsidera as notas que não se repetem.
C) Passarão os candidatos Y e Z, pois são os doiscom as notas mais altas. Sim, moda é um 
bom critério de seleção, uma vez que foi pedida a moda mais alta.
D) Passarão os candidatos X e Y. Moda não costuma ser o melhor critério de escolha, pois 
desconsidera as notas que não se repetem.
E) Passarão os candidatos Y e Z, pois são os dois com as notas mais altas. Moda não costuma 
ser o melhor critério de escolha, pois desconsidera as notas que não se repetem.
3) Dois candidatos a uma vaga de trabalho se classificaram para a etapa final e farão 
uma última prova valendo dez pontos, totalizando sete notas. Observe a seguir as 
notas de cada um deles até o momento. 
- Candidato X: 3, 4, 3, 7, 3, 8. 
- Candidato Y: 2, 4, 4, 9, 4, 2. 
O contratado será aquele que obtiver a maior média em todas as sete provas. O 
primeiro candidato a fazer a prova teve nota igual a 7. Nesse casso, assinale a 
alternativa que indica CORRETAMENTE se o outro candidato conseguirá superá-lo, 
sabendo que a nota é sempre um número inteiro.
A) Sim, basta tirar 8.
B) Sim, mas precisa tirar 9.
C) Sim, mas só se conseguir tirar 10.
D) Não, nem se conseguir tirar 10.
E) Não, pois é muito difícil que ele consiga tirar 10.
4) Um aluno, assim que passou no vestibular, decidiu que iria juntar 
R$ 12.000,00 para fazer uma viagem quando se formasse (no final do quarto ano). 
Nos dois primeiros anos conseguiu juntar uma média de 
R$ 2.500,00 por ano, no terceiro ano ele conseguiu juntar R$ 3.000,00. Quanto ele 
precisará, exatamente, juntar no quarto ano para conseguir realizar seu sonho?
A) R$ 2.500,00.
B) R$ 2.750,00.
C) R$ 2.950,00.
D) R$ 4.000,00.
E) R$ 3.150,00.
Uma empresa seleciona 6 funcionários fumantes e promove um pequeno ciclo de palestras 
com esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras, 
são coletados dados sobre a quantidade de cigarros que cada um desses fumantes estava 
consumindo diariamente até a data da palestra e uma semana após eles foram novamente 
5) 
questionados sobre a quantidade de cigarros diária.
O gestor deseja verificar se os funcionários diminuíram o consumo de cigarros após as 
palestras. Caso seja verificado que eles diminuíram pelo menos 5 cigarros diários, em 
média, após a palestra, a empresa iniciará um programa de combate ao fumo com base no 
que foi apresentado nas palestras. Tais dados são expressos da seguinte maneira:
De acordo com os dados coletados, qual será a decisão do gestor? Em seus cálculos, utilize 
uma aproximação com uma casa decimal.
A) O gestor deve iniciar a campanha de combate ao fumo, pois a média antes das palestras era 
de 18,5 cigarros ao dia e após as palestras passou a 11,5 cigarros.
B) O gestor não deve iniciar a campanha de combate ao fumo, pois a média antes das 
palestras era de 17,2 cigarros ao dia e após as palestras passou a 11,5 cigarros.
C) O gestor não deve iniciar a campanha de combate ao fumo, pois a média antes das 
palestras era de 17,2 cigarros ao dia e após as palestras passou a 11,3 cigarros.
O gestor deve iniciar a campanha de combate ao fumo, pois a média da diferença do D) 
consumo diário entre o antes e depois foi de 5,8 cigarros.
E) O gestor deve iniciar a campanha de combate ao fumo, pois a média da diferença do 
consumo diário entre o antes e depois foi de 6,5 cigarros.
NA PRÁTICA
A média é uma das medidas de posição mais conhecidas e pode estar presente em situações 
vivenciadas diariamente, sendo que a média aritmética é a medida de posição mais utilizada. No 
entanto, em alguns casos, utilizamos outro tipo de média: a ponderada. Esta média é útil em 
situações em que cada termo pode apresentar um peso diferente, enquanto na média aritmética 
cada termo tem o mesmo peso. A média ponderada é dada por:
Um exemplo disso é o cálculo da inflação, ilustrado no exemplo a seguir.
Um dos índices utilizados para calcular a inflação é o IPCA. Ele foi desenvolvido pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) em 1979 e começou a ser divulgado a partir de 
janeiro de 1980. Os pesos são obtidos na Pesquisa de Orçamentos Familiares – POF, que é 
realizada pelo IBGE a cada cinco anos em todo o território brasileiro. O quadro a seguir ilustra 
esses pesos.
 
PESO DOS GRUPOS DE PRODUTOS E SERVIÇOS
Tipo de gasto Antes de 31/12/2011 Depois de 01/01/2012
Alimentação e bebidas 23,46% 23,12%
Transportes 18,69% 20,54%
Habitação 13,25% 14,62%
Saúde e cuidados pessoais 10,76% 11,09%
Despesas pessoais 10,54% 9,94%
Vestuário 6,94% 6,67%
Comunicação 5,25% 4,96%
Artigos de residência 3,90% 4,69%
Educação 7,21% 4,37%
Total 100% 100%
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estatística
Para aprofundar seus estudos sobre as medidas de tendência central, leia o capítulo 3 do livro 
Estatística [Série Schaum] Spiegel, Murray R.; Stephens, Larry J. Ele apresenta a definição, 
fórmulas e exemplos do cálculo de cada uma das medidas estudadas.
Estatística
Acompanhe nesse vídeo uma aula sobre medidas de posição, onde o professor define cada uma 
dessas medidas e apresenta exemplos de seus cálculos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Estatística - Medidas de posição
Esse vídeo apresenta exemplos do cálculo das medidas de posição média, mediana e moda para 
o caso de dados agrupados.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Medidas de posição e dispersão
Neste vídeo você verá a explicação conceitual de medidas de dispersão. Como interpretar o 
desvio padrão e o desvio médio. Medidas de dispersão na Estatística
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Testes Relativos à Média e a Proporções 
(Grandes e Pequenas Amostras)
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos diferenciar testes relativos à média e às proporções 
para grandes e pequenas amostras. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar testes relativos à média de testes relativos às proporções.•
Contrastar testes relativos à média de testes de grandes e de pequenas amostras.•
Comparar testes relativos às proporções e testes de grandes e de pequenas amostras.•
DESAFIO
Explique, com suas palavras, a diferença entre testes relativos à média e testes relativos às 
proporções. E, sobre os testes relativos à média, explique qual(is) a(s) principal(is) diferença(s) 
ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras. A resposta será avaliada conforme o 
seguinte critério: não serão aceitas cópias dos conceitos constantes nos livros indicados. É 
importante explicá-la de forma clara. 
INFOGRÁFICO
Para ilustrarmos as diferenças ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras, 
comparamos as curvas da distribuição normal e da Student. Lembramos que esta é mais 
utilizada em substituição à normal, pela facilidade de se encontrar sua tabela, mas isso não é 
obrigatório, e o estudo de alguns eventos utiliza outras distribuições.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe o capítulo Testes Relativos à Média e a Proporções (Grandes e Pequenas Amostras) 
do livro Estatística, que é a base teórica para esta Unidade de Aprendizagem. 
Boa leitura.
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Testes relativos à média 
e a proporções (grandes 
e pequenas amostras)
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar testes relativos à média de testes relativos a proporções.
 � Contrastar testes relativos à média de testes de grandes e de pequenas 
amostras.
 � Comparar testes relativos às proporções e testes de grandes e de 
pequenas amostras.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar os testes estatísticos, ou seja, os testes de 
hipóteses. Você irá aprender como aplicá-los e verificar em que situações 
eles são utilizados. Aqui você irá conhecer melhor dois deles: o teste de 
hipóteses relativo à média e o teste de hipóteses relativo à proporção.É importante saber que não existem apenas esses dois tipos de testes 
de hipóteses, mas especialmente os testes de hipóteses para médias e 
para proporções são os mais utilizados.
Testes para médias e proporções
Testes estatísticos fazem parte da estatística inferencial. Existem testes de 
hipóteses para vários parâmetros, aqui veremos os testes relativos às médias 
e testes relativos às proporções.
Os testes relativos à média servem para testar médias de uma amostra com 
o parâmetro populacional. Para a média ainda temos testes para comparar 
duas ou mais médias de amostras diferentes. Além disso, com essa mesma 
teoria de testes estatísticos, também podemos calcular intervalos de confiança 
para a média.
Os testes relativos à proporção servem para testar uma determinada pro-
porção, um determinado percentual, verificar se esse percentual é diferente 
ou não da proporção populacional.
Não são apenas esses os testes existentes em estatística, temos outros, por 
exemplo, o teste para a variância.
Segundo Kazmier (2008), o propósito do teste de hipóteses é determinar 
se um valor suposto (hipotético) para um parâmetro da população, como a 
média populacional, deve ser aceitável como sendo plausível, baseado no 
indício da amostra.
Independentemente do tipo de teste realizado e do parâmetro a ser testado, 
o procedimento para a aplicação de um teste de hipóteses será o mesmo.
Hipóteses
Quando falamos em testes estatísticos, estamos falando em testes de hipóteses, 
sendo assim, antes de iniciarmos qualquer um dos testes, precisamos formular 
as hipóteses.
Sempre teremos duas hipóteses, uma oposta complementar à outra. São 
denominadas hipótese nula e hipótese alternativa:
H0: hipótese nula
H1: hipótese alternativa
Na literatura, também é encontrada a hipótese alternativa representada 
por Ha, em vez de H1.
A hipótese nula representa o valor que se tem como referência e sempre será a hi-
pótese de igualdade (=, ≥, ≤). Já a hipótese alternativa representa o contraposto a 
essa referência. 
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)2
O teste de hipótese é realizado para aceitar ou rejeitar a hipótese nula, 
para verificar se existem evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula 
ou se não existem evidências suficientes para não a rejeitar (ou seja, aceitar 
a hipótese nula). Essa decisão é tomada com base no nível de significância, 
representado por α, que é a probabilidade de erro do tipo I. 
Os testes podem aceitar ou rejeitar a hipótese nula. Quando aceitamos ou 
rejeitamos essa hipótese, podemos cometer dois tipos de erros (Quadro 1):
 � Erro do tipo I — é o erro cometemos ao rejeitar a hipótese nula, quando, 
na realidade, a hipótese nula é verdadeira. A probabilidade de cometer 
o erro do tipo I é o nível de significância. 
 � Erro do tipo II — é o erro que cometemos ao aceitar a hipótese nula 
quando, na realidade, a hipótese nula é falsa. A probabilidade de co-
metermos o erro do tipo II é representada por β.
H0 verdadeira H0 falsa
H0 aceita Decisão correta Erro tipo II (β)
H0 rejeitada Erro tipo I (α) Decisão correta
Quadro 1. Tipos de erros no teste de hipóteses
O funcionamento de quaisquer testes de hipóteses passa por etapas bem 
definidas. Sempre precisamos, de forma inicial, formular as hipóteses nula e 
alternativa para depois definir o nível de significância do teste. Cada um dos 
testes terá uma estatística de teste a ser comparada com o nível de significância 
(α). A partir da comparação do valor calculado com o nível de significância 
aceitamos ou rejeitamos a hipótese alternativa. 
Nível de significância
Segundo Spiegel e Stephens (2009), ao testar uma hipótese estabelecida, a 
probabilidade máxima com a qual estaremos dispostos a correr o risco de erro 
do tipo I é denominada nível de significância do teste.
3Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
O nível de significância do teste (α), é representado pelo valor de p ou também co-
nhecido como p-value (termo em inglês). Quanto menor for o valor de p, menor é 
a consistência entre os dados da hipótese nula. Esse nível de significância deve ser 
estabelecido antes de realizarmos o teste, antes de coletarmos a amostra.
Rejeitamos H0 se o valor da probabilidade da estatística de teste for inferior 
ao valor de p. Não podemos rejeitar H0 quando o valor da probabilidade da 
estatística de teste for maior do que o valor de p.
Na Figura 1, vemos a representação da curva normal, utilizada para o teste 
de hipóteses para médias. A região crítica considera um nível de significância 
de 5%. A região de rejeição é representada nas duas caudas da curva, dividimos, 
então, 2,5% para cada uma das caudas. Valores da probabilidade da estatística 
de teste inferiores a 0,025 recaem dentro da região crítica, em que rejeitamos 
H0; valores superiores a 0,025 recaem na região de aceitação; então, valores 
da probabilidade da estatística de teste superiores a 0,025 não nos permitem 
rejeitar a hipótese nula.
Figura 1. Curva normal reduzida com região crítica (0,05) e região de aceitação 
(0,95).
Fonte: Spiegel e Stephens (2009, p. 267).
Região crítica
0,025
Região crítica
0,025
Região de aceitação
0,95
z = –1,96 z = 1,96
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)4
Podemos utilizar a comparação do p-value com a probabilidade da estatística 
de teste ou, então, comparar o valor calculado na estatística de teste com o 
valor tabelado referente ao nível de significância.
Os testes podem ser unilaterais ou bilaterais, essa escolha ocorre de 
acordo com a hipótese alternativa (Figura 2). 
 � Se a hipótese for de o parâmetro estudado ser menor, a região crítica 
será unilateral e a região crítica estará na cauda da esquerda. 
 � Se a hipótese for de o parâmetro estudado ser maior, a região crítica 
será unilateral e a região crítica estará na cauda da direita.
 � Se a hipótese for de o parâmetro estudado ser diferente, a região crítica 
será bilateral e a região crítica estará nas duas caudas e o nível de 
significância será dividido por dois.
Figura 2. Regiões críticas dos testes de hipóteses.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 345).
Teste unilateral à esquerda Teste bilateral Teste unilateral à direita
Rejeitar Rejeitar Rejeitar Rejeitar
α α/2 α/2 α
Não rejeitar Não rejeitar Não rejeitar
1 – α 1 – α 1 – α
μ0 μ0 μ0
Valor crítico Valores críticos Valores críticos Valor crítico
Podemos construir um roteiro para aplicação de um teste de hipóteses. 
Esse roteiro pode ser seguido, independentemente do tipo de teste de hipóteses 
aplicado, seja ele paramétrico ou não paramétrico (Figura 3).
5Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
Figura 3. Passos para aplicação do teste de 
hipóteses.
Formulação das hipóteses e
de
nição do nível de
signi
cância
Cálculo da estatística de teste
De acoro com o nível de
signi
cância estabelecer a regra
de decisão
Concluir a respeito, aceitar ou
rejeitar o H0
Em resumo, os passos para a formulação de um teste de hipóteses seguem sempre 
a mesma rotina; porém, duas hipóteses e estatísticas de teste variam de teste para 
teste, assim como as distribuições de probabilidades aplicadas (tabelas utilizadas para 
a obtenção do nível de significância).
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)6
Testes de hipóteses para a média
Para os testes de médias, podemos ter testes para uma, duas ou mais de duas 
médias. Podemos querer comparar a média de um valor amostral com a média 
da população (valor de referência), ou podemos querer comparar duas médias 
oriundas de duas populações distintas. Também podemos querer comparar 
mais de duas médias de populações distintas.
Teste para uma média com σ (desvio-padrão) 
conhecido
Esse teste é realizado quando temos uma média amostral e a comparamos 
com um valor de referência. Nesse caso, sabemos o valor do desvio-padrão 
populacional por estudos anteriores. Coletamos uma amostra, calculamosa 
sua média e a comparamos com um valor de referência da média da população. 
Essa é a diferença dos testes para pequenas e grandes amostras. Se tiver-
mos uma amostra maior do que 30 utilizamos a tabela de distribuição normal 
para o teste. Caso não conheçamos o desvio-padrão populacional, ou nossa 
amostra seja inferior a 30 elementos, utilizamos a tabela de distribuição de 
probabilidade t-student.
Precisamos seguir uma espécie de roteiro para a realização de um teste 
de hipóteses, definimos as hipóteses e o nível de significância (é importante 
defini-lo antes da realização do teste para não sermos tendenciosos; após, 
calculamos a estatística de teste, estabelecemos a regra de decisão e concluí-
mos a respeito). No caso do teste de hipóteses para uma média considerando 
o desvio populacional conhecido, teremos as etapas definidas. As hipóteses 
a serem formuladas podem ser as seguintes:
H0: μ = μ0
H1: μ ≠ μ0
H0: μ ≥ μ0
H1: μ < μ0
H0: μ ≤ μ0
H1: μ > μ0
Teste bilateral
Teste unilateral à esquerda
Teste unilateral à direita
7Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
Esse valor compara a média amostral com o valor de referência.
Zcalculdo =
x— – µ0
σ/√n
Onde:
x—é a média amostral;
μ0 é o valor de referência;
𝜎 é o desvio-padrão populacional;
n é o tamanho da amostra.
Para que possamos tomar a decisão sobre o resultado do teste temos duas 
opções. Uma delas é comparar o valor calculado nessa estatística de teste 
(nessa fórmula), comparando com um valor tabelado referente ao nível de 
significância e teremos:
Se |zcalculado| > |ztabelado| → rejeitamos H0
Se |zcalculado| < |ztabelado| → não rejeitamos H0
A outra opção é comparar a probabilidade do valor encontrado na estatís-
tica de teste e compará-lo diretamente com o p-value (nível de significância). 
O valor da probabilidade da estatística de teste pode ser obtido com recursos 
computacionais ou, então, pela tabela da distribuição normal padrão (Figura 4). 
Os valores do nível de significância mais comumente utilizados são 1%, 5% 
e 10% (α = 0,01; α = 0,05; α = 0,10). Teremos:
Se o nível de significância da estatística de teste < α → rejeitamos H0
Se o nível de significância da estatística de teste > α → não rejeitamos H0
Por fim, tomamos a decisão de aceitar ou rejeitar nossa hipótese nula. 
Obviamente, quando rejeitamos a hipótese nula, a hipótese que passa a valer 
é a hipótese alternativa.
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)8
Fi
gu
ra
 4
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ab
el
a 
de
 d
is
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o,
 á
re
a 
so
b 
a 
cu
rv
a.
9Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
Uma empresa de envase de refrigerantes está recebendo reclamações a respeito da 
quantidade de líquido nas garrafas de 2 litros do produto. Sabe-se que, historicamente, 
a média dessas embalagens é de 2 litros com um desvio-padrão de 0,3 litros. Uma 
amostra de 50 garrafas retirada de um lote apresentou média de 1,8 litros. Verificaremos 
se existem evidências suficientes para afirmar que as garrafas possuem quantidade 
envasada inferior a 2 litros, com nível de significância de 5%.
Formulando as hipóteses, o que queremos testar é a hipótese de termos menos de 
2 litros em cada garrafa, então o teste será unilateral à esquerda:
H0: μ ≥ 2
H1: μ < 2
Cálculo da estatística de teste:
Zcalculado =
x— – μ0
σ/√n 
= = –4,71
1,8 – 2
0,3/√50
Podemos estabelecer a regra de decisão de duas formas, conforme visto. De forma ini-
cial, procuramos na tabela o valor para o nível de significância de 5%. Esse valor é encon-
trado procurando no meio da tabela o valor de 0,0500; com a precisão dessa tabela encon-
tramos o valor aproximado de 0,0505 e, cruzando a linha e a coluna em que esses valores 
se encontram, achamos o valor tabelado de -1,64. Observe que, se o teste fosse unilateral, 
à direita teríamos esse mesmo valor; porém com o sinal positivo, uma vez que a 
distribuição normal é simétrica em torno do eixo. Então:
Se |4,71| > |1,64| → rejeitamos H0.
Para exercitarmos, vamos verificar a regra de decisão utilizando a probabilidade 
da estatística de teste comparada com o nível de significância de 0,05. Em primeiro 
lugar, recorremos à tabela ou a algum software. Na tabela, procuramos o valor de -4,7 
cruzando a primeira coluna com a coluna do 0,01 (que é a segunda casa decimal). A 
tabela inicia em -3,99 e, antes disso, temos probabilidade 0,0000. Qualquer valor antes 
disso também terá probabilidade 0,0000; assim sendo, a probabilidade da estatística 
de teste de -4,71 é de 0,0000.
Se o nível de significância da estatística de teste = 0,0000 < α = 0,0500 → rejeitamos H0.
Podemos tomar a decisão utilizando uma ou outra forma. Aqui foram utilizadas as 
duas formas para melhor explicação.
Podemos concluir que existem evidências suficientes para afirmar que a quantidade 
envasada nas garrafas de 2 litros dessa empresa é inferior a esse conteúdo, com nível 
de significância de 5%.
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)10
Teste para uma média com σ (desvio-padrão) 
desconhecido
Esse teste também serve para comparar a média da amostra com o valor refe-
rência da população; porém o utilizamos sempre que tivermos uma amostra 
pequena (n < 30) ou quando não conhecermos o verdadeiro valor do desvio-
-padrão populacional. Para esse teste faremos uso de outra tabela, a t-student. 
Essa tabela é de uma distribuição de probabilidades t que tem formato muito 
semelhante ao da distribuição normal; no entanto, na distribuição t, o tamanho 
da amostra influencia na probabilidade abaixo da curva.
Figura 5. Tabela de distribuição de probabilidade t-student, área sob a curva 
cauda da direita.
11Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
As hipóteses a serem formuladas são as mesmas de quando se conhece o 
desvio-padrão populacional. Continuamos comparando uma média amostral 
com um valor de referência.
H0: μ = μ0
H1: μ ≠ μ0
H0: μ ≥ μ0
H1: μ < μ0
H0: μ ≤ μ0
H1: μ > μ0
Teste bilateral
Teste unilateral à esquerda
Teste unilateral à direita
Na estatística de teste de hipóteses para uma média, esse valor compara a 
média amostral com o valor de referência.
tcalculdo =
x— – µ0
s/√n
Em que:
x— é a média amostral;
μ0 é o valor de referência;
s é o desvio-padrão amostral;
n é o tamanho da amostra.
Também podemos comparar o valor calculado nessa estatística de teste, 
comparando com um valor tabelado referente ao nível de significância. Para 
localizarmos o valor de t tabelado, escolhemos, na primeira linha, o valor 
do nível de significância. Escolhemos na coluna desse o valor referente ao 
tamanho da amostra pesquisada e teremos:
Se |tcalculado| > |ttabelado| → rejeitamos H0
Se |tcalculado| < |ttabelado| → não rejeitamos H0
Ou, ainda, podemos comparar a probabilidade do valor encontrado na 
estatística de teste e compará-lo diretamente com o p-value (nível de signifi-
cância). Nesse caso, podemos conseguir o valor da probabilidade da estatística 
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)12
de teste apenas por recursos computacionais, pois a tabela possui apenas 
valores fixos de α. Teremos:
Se o nível de significância da estatística de teste < α → rejeitamos H0
Se o nível de significância da estatística de teste > α → não rejeitamos H0
Ainda temos testes para comparação de duas médias, tanto para desvio-
-padrão conhecido quanto para o desvio-padrão desconhecido ou amostras 
menores do que 30 elementos.
Hipóteses:
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
H0: μ1 ≥ μ2
H1: μ1 < μ2
H0: μ1 ≤ μ2
H1: μ1 > μ2
Teste bilateral
Teste unilateral à esquerda
Teste unilateral à direita
Estatística de teste
Para desvio-padrão conhecido:
zcalculado = 
x—1 – x
—
2
σ2
n1
1 σ2
n2
2+
Onde:
x—1 e x
—
2 — médias amostrais;
σ21 e σ22 — variâncias populacionais;
n1 e n2 — tamanhos da amostra.
13Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenasamostras)
Estatística de teste
Para desvio-padrão desconhecido ou tamanho da amostra inferior a 30 
elementos:
zcalculado = 
x—1 – x
—
2
s2
n1
1 s2
n2
2+
Onde:
x—1 e x
—
2 — médias amostrais;
s21 e s22— variâncias amostrais;
n1 e n2 — tamanhos da amostra.
Além do teste para duas médias, ainda temos o teste para a comparação de 
mais de duas médias que se chama ANOVA (do inglês, analysis of variance) 
e o teste para amostras pareadas.
O teste ANOVA utiliza a tabela de distribuição F. O cálculo da estatística de teste é 
bastante complexo, pois realizamos vários cálculos para montarmos a tabela ANOVA 
para podermos encontrar o valor calculado da estatística de teste. 
Testes de hipóteses para proporção
Segundo Doane e Seward (2014), as proporções são usadas com frequência 
em situações de negócios porque a coleta de dados de proporção é simples. 
Também, porque muitos indicadores de desempenho em negócios, como a 
fatia de mercado, são expressos como proporção.
Como vimos, independentemente do tipo de teste de hipóteses a ser uti-
lizado, sempre teremos o mesmo roteiro de aplicação, que será a formulação 
das hipóteses e a escolha do nível de significância, o cálculo da estatística 
de teste, o estabelecimento da regra de decisão, ou seja, a rejeição ou não da 
hipótese nula e, finalmente, a tomada de decisão com base no teste.
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)14
Um pressuposto que precisamos salientar com relação ao teste de hipóteses 
para a proporção é que, para uma amostra considerada grande, a proporção 
dessa amostra estudada segue uma distribuição normal.
Assim sendo, a tabela utilizada para os níveis de significância e para a 
estatística de teste é a da distribuição normal quando temos grandes amostras.
Passando por cada uma das etapas de um teste de hipóteses, no caso de 
compararmos uma proporção à um valor referência, teremos:
As hipóteses para o teste de uma proporção:
H0: � = �0
H1: � ≠ �0
H0: � ≥ �0
H1: � < �0
H0: � ≤ �0
H1: � > �0
Teste bilateral
Teste unilateral à esquerda
Teste unilateral à direita
A estatística de teste para esse teste será:
zcalculado =
p – �0
�0(1 – �0)
n
Onde:
p é a proporção amostral;
π0 é a proporção referência;
n é o tamanho da amostra.
A regra de decisão estabelecida será de acordo com o nível de significância 
e o valor da estatística de teste. Assim como no teste da média podemos utilizar 
duas formas para a regra de decisão. Ambas resultam no mesmo resultado, 
na mesma escolha.
Tomada de decisão com base no valor calculado comparando com um valor 
tabelado referente ao nível de significância:
15Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
Se |Zcalculado| > |Ztabelado| → rejeitamos H0
Se |Zcalculado| < |Ztabelado| → não rejeitamos H0
E também comparando a probabilidade da estatística de teste com o p-value 
(nível de significância):
Se o nível de significância da estatística de teste < α → rejeitamos H0
Se o nível de significância da estatística de teste > α → não rejeitamos H0
Com essa regra de decisão podemos decidir sobre a conclusão do teste 
aplicado.
Uma fábrica de carros realizou uma pesquisa com 100 consumidores que adquiriam 
um determinado modelo de automóvel quanto à proporção de clientes satisfeitos 
com o acabamento geral do veículo. A proporção calculada nessa amostra foi de 
65% de clientes amostrados satisfeitos. Sabe-se que, em geral, o nível de satisfação 
dos consumidores é de 70%. Vamos testar a hipótese de diminuição dessa proporção, 
com nível de significância de 5%.
Formulando as hipóteses, o que queremos testar é a hipótese de termos menos de 
65% de satisfação, então o teste será unilateral à esquerda.
H0: π ≥ 0,7
H1: π < 0,7
Calculando a estatística de teste:
Zcalculado =
p – π0
π0(1 – π0)
n
0,65 – 0,7
0,7(1 – 0,7)
100
= = –0,1091 = –0,11
Vamos verificar a regra de decisão das duas maneiras disponíveis. O valor para o nível 
de significância de 5% já visto é o valor aproximado de 0,0505 e, cruzando a linha e a 
coluna em que esses valores se encontram, achamos o valor tabelado de -1,64. Então:
Se |0,11| < |1,64| → não rejeitamos H0
Pela regra de decisão, utilizando a probabilidade da estatística de teste comparada 
com o nível de significância de 0,05, para o valor de -0,11 temos probabilidade 0,4562.
Se o nível de significância da estatística de teste = 0,4562 > α = 0,0500 → não 
rejeitando H0
Concluímos que não existem evidências suficientes para afirmar que a satisfação dos 
clientes quanto ao acabamento do carro tenha diminuído, com nível de significância 
de 5%.
Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)16
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: AMGH; Bookman, 2014. 840 p.
KAZMIER, L. J. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2008. 392 p. (Coleção Schaum).
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 600 p. 
(Coleção Schaum).
17Testes relativos à média e a proporções (grandes e pequenas amostras)
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, falaremos um pouco mais sobre testes relativos à média e às proporções para grandes 
e pequenas amostras.
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EXERCÍCIOS
1) A solução deste exercício será explicada utilizando o Microsoft Excel©. Um vitivinicultor 
compra rolhas para envasar seus vinhos de um fornecedor que garante que seu diâmetro 
médio é de 20 mm, com desvio-padrão de 0,3 mm. Se o diâmetro médio das rolhas não for 
efetivamente igual a 20 mm, ele terá problemas com seu processo de envase: o diâmetro 
maior pode “emperrar” a máquina enroladora, e o diâmetro menor não oferece o lacre 
adequado ao vinho. Uma amostra de 100 rolhas evidenciou os diâmetros apresentados no 
quadro a seguir. Este lote deve ser aceito? 
 
A) Não há evidências suficientes para recusar o lote, ou seja, ele deve ser aceito.
B) Não há evidências suficientes para recusar o lote, ou seja, ele não deve ser aceito.
C) Há evidências suficientes para recusar o lote, ou seja, ele deve ser aceito.
D) Há evidências suficientes para recusar o lote, ou seja, ele não deve ser aceito.
E) Não há dados suficientes para a solução deste exercício.
2) Uma grande indústria está preocupada com o tempo perdido pelo funcionário ao 
falar de futebol, com média de 60 horas por ano e desvio-padrão de 20 horas. Após 
uma campanha de conscientização junto aos trabalhadores, mediu-se novamente e, 
entre os 9 funcionários, o número de horas “falando de futebol” caiu em 10 horas por 
ano. O setor de Recursos Humanos - RH alega que isso é prova do bom resultado do 
programa de conscientização, ao nível de 5%. Você, como diretor da empresa, 
concorda? Por quê? 
A) Você concorda que caiu, mas não ao nível de 5%.
B) Como 10 horas representam uma redução de 16,67% das originais 60 horas, a campanha 
deu resultado com este percentual.
C) A diretoria somente entenderá que a campanha deu certo quando os funcionários pararem 
de falar de futebol, pois não adianta reduzir um pouco.
D) Não há dados suficientes para a solução deste exercício.
E) Você concorda que caiu ao nível de 5%.
Em um centro de treinamento olímpico, cada atleta leva 100 minutos para concluir 
uma série de exercícios. Foi feita uma alteração com o objetivo de aumentar a 
intensidade dos exercícios, buscando uma redução no tempo total de atividade. Após 
algumas semanas, foram escolhidos os tempos de 16 atletas, obtendo-se a média de 15 
minutos de redução, com desvio-padrão de 12 minutos. Com base nessas informações, 
3) 
pode-se afirmar que aconteceu uma melhora no treinamento ao nível de 5% de 
significância? Por quê? Considere que há mais de 30 atletas no centro. 
A) O treinamento melhorou pouco, pois a redução no tempo é muito próxima ao desvio-
padrão.
B) Sim, o treinamento melhorou, pois é feito em mais tempo.
C) Sim, o treinamentomelhorou, pois é feito em menos tempo.
D) O treinamento melhorou, mas não nos níveis esperados.
E) O treinamento não melhorou.
4) Uma grande empresa de alimentos controla a qualidade de seus produtos também 
por meio da variação do peso das embalagens prontas para venda, ou seja, após o 
alimento ser colocado dentro da embalagem. Sabe-se que o peso de cada uma deve 
ser de meio quilo, com desvio-padrão de apenas 10 gramas. Foram recolhidas 16 
embalagens para teste e, neste, verificou-se uma média de 487 gramas. Considerando-
se a distribuição normal e supondo uma significância de 5%, pode-se dizer que há 
algum problema com o peso das embalagens? Marque a alternativa correta. 
A) Não existem evidências suficientes para afirmar que o peso das embalagens sejam 
diferentes de 500g.
B) Existem evidências suficientes para afirmarmos que o peso médio é igual a 500g.
C) Não possuímos dados suficientes para realizarmos o teste.
D) Não existem evidências suficientes para afirmarmos que o peso das embalagens seja igual 
a 500g.
E) Existem evidências suficientes para afirmarmos que o peso médio é diferente de 500g.
5) Um determinado país alega que seus habitantes vivem além dos 60 anos a uma 
proporção de 0,60. Se de cada mil habitantes, 530 ultrapassam 60 anos de idade, é 
possível confirmar a afirmação ao nível de 5% de significância? Marque a alternativa 
CORRETA. 
A) Sim, pois certamente os habitantes vivem além dos 60 anos, em proporção de 0,60.
B) Não, pois os habitantes vivem além dos 61,2 anos, em proporção de 0,60.
C) Sim, pois na realidade, os habitantes vivem além dos 61,2 anos, em proporção de 0,60.
D) Não, pois os habitantes não vivem além dos 60 anos, em proporção de 0,60.
E) Sim, pois os habitantes vivem por volta de 59,4 anos o que, em uma significância de 5%, 
atende à proporção de 0,60.
NA PRÁTICA
É fato que a teoria está bastante consolidada quanto ao uso de distribuições contínuas, entre elas 
a Student, quando se trabalha com pequenas amostras. 
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Teste de hipótese da média para Sigma Conhecido
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Estatística aplicada: Medidas de 
Dispersão
APRESENTAÇÃO
A estatística está relacionada aos métodos científicos para coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de dados. Nesta Unidade de Aprendizagem você conhecerá as medidas de 
dispersão que constituem um ponto importante da análise estatística de dados obtidos por 
medição. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer medidas de dispersão.•
Diferenciar medidas de dispersão e medidas de tendência central.•
Calcular a amplitude, desvio padrão, variância e coeficiente de variação de um conjunto de 
dados.
•
DESAFIO
Imagine que você trabalha em uma empresa metalmecânica e seu supervisor solicitou que fosse 
feito um estudo de repetibilidade de medições. 
Você mediu a mesma peça, no mesmo ambiente e com o mesmo instrumento 5 vezes e seus 
resultados foram: 
- M1: 53,32 mm 
- M2: 53,33 mm 
- M3: 53,33 mm 
- M4: 53,31 mm 
- M5: 53,34 mm
Sabendo que a dispersão neste caso é um dado importante calcule a amplitude e o desvio padrão 
e explique qual dos dois resultados você usaria e justifique a utilização deste resultado.
INFOGRÁFICO
Tratamos sobre as medidas de dispersão, no entanto, um fator muito importante relacionado 
com as medidas de dispersão é o ato de realizar uma medida, seja ela uma medida de 
temperatura, pressão, força, massa, tensão, corrente, etc. Todas estas medidas possuem 
incertezas, algumas inerentes ao processo de medida e outras associadas aos instrumentos de 
medição. No Brasil é o Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (INMETRO) 
quem garante que estas medidas ou essas incertezas estão corretas. 
A seguir você vai conhecer um pouco mais a fundo a respeito deste laboratório, como ele opera 
em âmbito nacional e como os laboratórios associados ao INMETRO prestam serviços a 
comunidade. 
CONTEÚDO DO LIVRO
O grau para o qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio é 
denominado de variação ou dispersão dos dados. Acompanhe um trecho da obra Estatística, de 
Spiegel e Stephens. Inicie sua leitura pelo tópico Desvio Padrão e Outras Medidas de Dispersão.
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ESTATÍSTICA
4a edição
S755e Spiegel, Murray R.
 Estatística [recurso eletrônico] / Murray R. Spiegel, Larry J.
 Stephens ; tradução José Lucimar do Nascimento. – 4. ed. –
 Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-7780-520-4
 1. Estatística. I. Stephens, Larry J. II. Título. 
CDU 311
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
Murray R. Spiegel recebeu o grau de M.S. em Física e o de Ph.D. em Matemática na Cornell University. Ele foi 
cogitado para estudar em Harvard University, Columbia University, Oak Ridge e Rensselaer Polytechnic Institute 
e trabalhou como consultor em matemática para diversas empresas de grande porte. Atualmente é Professor e 
Presidente do Departamento de Matemática no Rensselaer Polytechnic Institute no Hartford Graduate Center. Ele 
interessou-se por vários ramos da matemática, especialmente aqueles que envolvem a aplicação em problemas de 
física e engenharia. Ele foi autor de diversos artigos de jornais e 14 livros em vários ramos da matemática.
Larry J. Stephens é Professor de Matemática na University of Nebraska em Omaha, onde leciona desde 1974. Ele 
também lecionou na University of Arizona, Gonzaga University e Oklahoma State University. Trabalhou também 
em instituições como a NASA, a Lawrence Berkeley National Laboratory e o Los Alamos National Laboratory. 
Fez extensos trabalhos de consultoria e, ao longo de 10 anos foi consultor e responsável por seminários num gru-
po de engenheiros da 3M em Valley, Nebraska. O Dr. Stephens tem mais de 35 anos de experiência no ensino de 
metodologia estatística, estatística em engenharia e estatística matemática. Tem mais de 50 publicações em jornais 
profi ssionais, e escreveu livros que fazem parte da Coleção Schaum bem como livros da série Utterly Confused and 
Demystifi ed publicado pela McGraw-Hill.
DISPERSÃO OU VARIAÇÃO
O grau para o qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio é denominado de 
variação ou dispersão dos dados. Existem várias medidas de dispersão ou variação, sendo as mais comuns a am-
plitude total, o desvio médio, a semi-amplitude interquartílica, a amplitude entre os percentis 10 e 90 e o desvio 
padrão.
AMPLITUDE TOTAL
A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre o maior e o menor número do conjunto.
Exemplo 1 a amplitude total do conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12, é: 12 – 2 � 10. Algumas vezes, a amplitude total 
é indicada, simplesmente, pela citação do menor e do maior número. Neste caso, por exemplo, a amplitude total poderia 
ser indicada como 2 a 12 ou 2–12.
DESVIO MÉDIO
O desvio médio de um conjunto de N números X1, X2,..., XN é abreviando por DM e é definido por
 
em que é a média aritmética dos números e é o valor absoluto do desvio de 
 
em relação a (O 
valor absoluto de um número é ele próprio, sem o sinal que lhe é associado, e é indicado por meio de duas linhas 
verticais, uma em cada lado do número; assim, ⎪ – 4⎪ � 4; ⎪ + 3⎪ � 3 ⎪ 6⎪ � 6; ⎪ – 0,84⎪ � 0,84.)
Desvio Padrão e 
Outras Medidas 
de Dispersão
Capítulo 4
116 ESTATÍSTICA
Exemplo 2 Determine o desvio médio do conjunto de números 2, 3, 6, 8, 11.
Se X1, X2,..., XK ocorrem com as freqüênciasf1, f2,..., fK respectivamente, o desvio médio poderá ser escrito 
como
 
em que Essa forma é útil para dados agrupados, em que os representam os pontos mé-
dios e os são as freqüências de classe correspondentes.
Ocasionalmente, o desvio médio é definido em termos dos desvios absolutos, em relação à mediana ou a ou-
tra média, em vez da aritmética. Uma propriedade interessante da soma é que ela é mínima quando 
a é a mediana, ou seja, o desvio médio em relação à mediana é um mínimo.
Note que seria mais apropriado usar a terminologia desvio médio absoluto, em vez de desvio médio.
AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA
A amplitude semi-interquartílica ou desvio quartílico de um conjunto de dados é indicada por Q e é definida 
por
 
em que Q1 e Q3 são o primeiro e o terceiro quartis referentes aos dados (veja os Problemas 4.6 e 4.7). A amplitude 
interquartílica Q3 – Q1 é usada algumas vezes, mas a amplitude semi-interquartílica é mais comum como medida 
de dispersão.
AMPLITUDE ENTRE OS PERCENTIS 10 E 90
A amplitude percentílica entre 10 e 90 de um conjunto de dados é definida por
 
em que P10 e P90 são o 10º e 90º percentis referentes aos dados (veja o Problema 4.8). A semi-amplitude percen-
tílica entre 10 e 90, ½ (P90 – P10), também pode ser usada, mas normalmente isso não acontece.
DESVIO PADRÃO
O desvio padrão de um conjunto de N números X1, X2,..., XN é indicado por s e definido por
 
em que x representa o desvio de cada um dos números Xj em relação à média Assim, s é a raiz média quadrática 
(RMS) dos desvios, em relação à média ou, como é muitas vezes denominado, o desvio da raiz média quadrática.
CAPÍTULO 4 • DESVIO PADRÃO E OUTRAS MEDIDAS DE DISPERSÃO 117
Se X1, X2,..., XK ocorrem com as freqüências f1, f2,..., fK, respectivamente, o desvio padrão pode ser definido 
como
em que Esta equação é útil para os dados agrupados.
Às vezes, o desvio padrão correspondente aos dados de uma amostra é definido com (N – 1), em lugar de N 
nos denominadores das Equações (5) e (6), porque o valor resultante representa uma estimativa melhor do des-
vio padrão da população da qual a amostra foi extraída. Para grandes valores de N (certamente N > 30) não há, 
praticamente, diferenças entre as duas definições. Também, quando for necessária melhor estimativa, poderá ser 
obtida multiplicando-se o desvio padrão, calculado de acordo com a primeira definição, por Por 
essa razão, podemos conservar a definição anteriormente apresentada nas Equações (5) e (6).
VARIÂNCIA
A variância de um conjunto de dados é definida como o quadrado do desvio padrão e é, deste modo, representada 
por s2, símbolo definido nas Equações (5) e (6).
Quando é necessário distinguir entre o desvio padrão de uma população e o de uma amostra dela, adota-se 
freqüentemente o símbolo s para o último e (letra minúscula grega sigma) para o primeiro, assim, s2 e repre-
sentariam a variância da amostra e a variância da população, respectivamente.
MÉTODOS ABREVIADOS PARA O CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO
As Equações (5) e (6) podem ser escritas, respectivamente, sob as formas equivalentes
 
em que indica a média dos quadrados dos diferentes valores de X, ao passo que indica o quadrado da média 
dos diferentes valores de X (veja os Problemas 4.12 e 4.14).
Se é o desvio de cada valor de , em relação a uma constante arbitrária A, os resultados de (7) 
e (8) tornam-se, respectivamente,
 
(Veja os Problemas 4.15 e 4.17.)
118 ESTATÍSTICA
Quando os dados estão agrupados em uma distribuição de freqüência, cujos intervalos de classe têm a mesma 
amplitude c, temos ou e o resultado de (10) torna-se
Esta equação proporciona um método bastante abreviado para o cálculo do desvio padrão, que deveria ser sempre 
usada para dados agrupados, quando as amplitudes dos intervalos de classe forem iguais. Esse é denominado 
método abreviado e é exatamente análogo ao utilizado para o cálculo da média aritmética dos dados agrupados, 
no Capítulo 3 (veja os Problemas 4.16 a 4.19).
PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO
 1. O desvio padrão (DP) pode ser definido por
em que a é uma média próxima da aritmética. De todos esses desvios padrões, o mínimo é aquele para o qual 
 por causa da Propriedade 2 no Capítulo 3. Essa propriedade fornece uma importante razão para que o des-
vio padrão seja definido como acima. Para a demonstração dessa propriedade, veja o Problema 4.27.
 2. Para as distribuições normais (veja o Capítulo 7) isso significa que (como mostra a Figura 4-1):
(a) 68,27% dos casos estão incluídos entre e (ou seja, um desvio padrão de cada lado da 
média).
(b) 95,45% dos casos estão incluídos entre e (ou seja, dois desvios padrões de cada lado 
da média).
(c) 99,73% dos casos estão incluídos entre e (ou seja, três desvios padrões de cada lado da 
média).
Para as distribuições moderadamente assimétricas, as porcentagens acima podem ser aproximadamente man-
tidas (veja o Problema 4.24).
 3. Suponha-se que dois conjuntos constem de N1 e N2 números (ou duas distribuições de freqüência com as 
freqüências totais N1 e N2), tenham variâncias dadas por e , respectivamente, e a mesma média En-
tão, a variância conjunta ou combinada de ambos os conjuntos (ou ambas as distribuições de freqüências) 
é dada por
 
Note que é a medida aritmética ponderada das variâncias. Esse resultado pode ser generalizado para três ou mais 
conjuntos.
 4. O teorema de Chebyshev afirma que para existe pelo menos de distribuição de 
probabilidade para qualquer variável dentro de k desvios padrão da média. Em particular, quando k � 2, exis-
te pelo menos ou 75% dos dados no intervalo quando k � 3 existem 
pelo menos ou 89% dos dados no intervalo e quando k � 4 existem 
pelo menos ou 93,75% dos dados no intervalo 
CAPÍTULO 4 • DESVIO PADRÃO E OUTRAS MEDIDAS DE DISPERSÃO 119
Média DP Média DP
Média DP Média DP
Média DP Média DP
Figura 4-1 Ilustração da regra empírica.
CONTROLE DE CHARLIER
O controle de Charlier, para os cálculos da média e do desvio padrão pelo método abreviado (desvio em classes), 
utiliza as seguintes identidades
(Veja o Problema 4.20.)
120 ESTATÍSTICA
CORREÇÃO DE SHEPPARD PARA A VARIÂNCIA
O cálculo do desvio padrão conduz a certo erro, devido ao agrupamento dos dados em classes (erro de agrupa-
mento). Para corrigir o erro de agrupamento, adotamos a seguinte equação
 
Variância corrigida variância de dados agrupados
em que c é a amplitude do intervalo de classe. O termo corretivo, c2⁄12, que é subtraído, é denominado correção 
de Sheppard. É usado para as distribuições de variáveis contínuas, cujas “extremidades” tendem gradualmente 
para zero em ambas as direções.
Os estatísticos divergem a respeito de quando e se as correções de Sheppard devem ser aplicadas. Certamen-
te, elas não deveriam ser aplicadas sem um exame completo da situação. Isso não somente porque muitas vezes 
elas tendem a super corrigir, substituindo erros antigos por novos. Neste livro, a menos que haja indicação em 
contrário, não serão usadas essas correções.
RELAÇÕES EMPÍRICAS ENTRE AS MEDIDAS DE DISPERSÃO
Para as distribuições moderadamente assimétricas, temos as fórmulas empíricas
Desvio médio (desvio padrão)
Amplitude semi-interquartílica (desvio padrão)
Essas expressões resultam do fato de que para distribuições normais, o desvio médio e a amplitude semi-inter-
quartílica são iguais, respectivamente, a 0,7979 e 0,6745 vezes o desvio padrão.
DISPERSÃO ABSOLUTA E RELATIVA. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é 
denominada dispersão absoluta. Entretanto, uma variação ou dispersão de 10 cm, na medida de uma distância de 
1.000 m, é inteiramente diferente, quanto ao efeito, da mesma variação de 10 cm em uma distância de 20 m. Uma 
medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, definida por
 
Se a dispersão absoluta é o desvio padrão s e a média é a aritmética a dispersão relativa é denominada 
coeficiente devariação ou de dispersão; este é indicado por V e dado por
 
Coeficiente de variação 
e geralmente expresso em percentagem. Outras possibilidades também ocorrem (veja o Problema 4.30).
Note que o coeficiente de variação é independente das unidades adotadas. Por isso, é útil na comparação de 
distribuições cujas unidades podem ser diferentes. Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa 
de ser útil quando está próximo de zero.
CAPÍTULO 4 • DESVIO PADRÃO E OUTRAS MEDIDAS DE DISPERSÃO 121
VARIÁVEL PADRONIZADA, ESCORES PADRONIZADOS
A variável que mede o desvio em relação à média, em unidades de desvio padrão, é denominada variável padro-
nizada e é uma quantidade adimensional (ou seja, independe das unidades usadas), e é dada por
 
Se os desvios em relação à média forem dados em unidades de desvio padrão, diz-se que estão expressos 
em unidades padrão ou escores padrão. Essas grandezas são muito valiosas para a comparação das distribuições 
(veja o Problema 4.31).
SOFTWARE E MEDIDAS DE DISPERSÃO
Os softwares usados em estatística fornecem uma variedade de medidas de dispersão. As medidas de dispersão 
são geralmente dadas em estatística descritiva. O EXCEL permite ao usuário o cálculo de todas as medidas discu-
tidas nesse livro. O MINITAB e o EXCEL são discutidos e as respostas de outros pacotes de softwares são dadas 
nos problemas resolvidos.
Exemplo 3
(a) O EXCEL fornece os cálculos de várias medidas de dispersão. O exemplo a seguir ilustra várias desses medi-
das. Foi feita uma pesquisa em uma grande companhia e a pergunta foi: quantos e-mails você envia por sema-
na? Os resultados para 75 empregados são mostrados em A1:E15 de uma planilha EXCEL.
A amplitude é dada por �MAX(A1:E15)–MIN(A1:E15) ou 125 – 24 � 101. O desvio médio é dado por 
�AVEDEV(A1:E15) ou 24,42. A amplitude semi-interquartílica é dada pela expressão �(PERCENTILE(A1:E15,0.75)-
PERCENTILE(A1:E15,0.25))/2 ou 22. A amplitude percentílica entre 10 e 90 é dada por PERCENTILE(A1:15,0.9)-
PERCENTILE(A1:E15,0.1) ou 82,6.
O desvio padrão e a variância são dados por �STDEV(A1:E15) ou 29,2563 e �VAR(A1:E15) ou 855,932 para 
amostras e �STDEVA(A1:E15) ou 29,0606 e �VARP(A1:E15) ou 844,52 para populações.
122 ESTATÍSTICA
Figura 4-2 Caixa de diálogo do MINITAB.
A caixa de diálogo na Figura 4-2 mostra as opções de escolha no MINITAB para medidas de dispersão e de tendên-
cia central. O resultado de saída é o seguinte:
Estatística descritiva: e-mails
Problemas Resolvidos
Amplitude total
 4.1 Determine a amplitude total de cada um dos conjuntos de números: (a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5; (b) 9, 3, 
8, 8, 9, 8, 9, 18.
SOLUÇÃO
Em ambos os casos, amplitude total � número maior – número menor � 18 – 3 � 15. Entretanto, como se vê nos róis 
de (a) e de (b),
há variação ou dispersão muito maior em (a) do que em (b). De fato, (b) consiste, principalmente, de oitos e noves.
Como a amplitude total não indica nenhuma diferença entre os conjuntos, não é uma boa medida de dispersão para 
este caso. Em geral, quando houver valores extremos, a amplitude total é uma medida insatisfatória para a dispersão.
Consegue-se um aperfeiçoamento, mediante a exclusão dos casos extremos 3 e 18. Então, para (a), a amplitude 
total é (15 – 5) � 10, enquanto para (b) ela é (9 – 8) � 1, o que indica claramente o fato de (a) apresentar maior dis-
persão do que (b). Entretanto, não é desse modo que a amplitude total é definida. O intervalo semi-interquartílico e 
a amplitude entre os percentis 10 e 90 foram planejados para melhorar a amplitude total, mediante a eliminação dos 
casos extremos.
 4.2 Determinar a amplitude total das alturas dos estudantes da Universidade XYZ, apresentada na Tabela 2.1.
CAPÍTULO 4 • DESVIO PADRÃO E OUTRAS MEDIDAS DE DISPERSÃO 123
SOLUÇÃO
Há duas maneiras para definir a amplitude total para os dados agrupados.
1º método
Amplitude total � ponto médio da classe mais elevada � 
ponto médio da classe mais baixa � 186,5 � 154,5 � 32 cm.
2º método
Amplitude total � limite superior verdadeiro da classe mais elevada � 
limite inferior verdadeiro da classe mais baixa � 190,5 – 150,5 � 40 cm.
O 1º método tende a eliminar, de certo modo, os casos extremos.
Desvio médio
 4.3 Determine o desvio médio dos conjuntos de números de Problema 4.1.
SOLUÇÃO
(a) A média aritmética é
O desvio médio é
O desvio médio indica que o conjunto (b) apresenta dispersão menor do que (a), como esperado.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Nesta Dica do Professor, você verá uma introdução à estatística, passando pelas medidas de 
centro e de dispersão, aprenderá a diferenciá-las e também verá como são calculadas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) São medidas de dispersão: 
A) Média, moda e mediana.
B) Amplitude, média e desvio padrão.
C) Amplitude, variância e desvio padrão.
D) Variância, coeficiente de variação e mediana.
E) Moda, desvio médio e desvio padrão.
2) O que as medidas de dispersão representam? 
A) A proximidade de um valor central.
B) Um valor central.
C) A variabilidade das medidas.
D) Um processo estável.
E) Medidas isoladas.
3) Qual a amplitude do conjunto A: { 2,1,4,5,8 } .
A) 6.
B) 4.
C) 7.
D) 1.
E) 8.
4) Qual o desvio padrão amostral do conjunto B: { 1,1,3,4,5,1,3 } .
A) 2,57.
B) 4.
C) 1,49.
D) 5.
E) 1,61.
5) Em que atividades metrológicas são aplicadas as medidas de dispersão? 
A) Estimativa de incerteza de medição somente.
B) Estimativa da incerteza de medição, leitura de instrumentos, estudos de confiabilidade 
metrológica.
C) Estimativa de incerteza de medição, estudos de confiabilidade metrológica e no controle 
estatístico de processo.
D) Calibração, rastreabilidade e leitura de instrumentos.
E) Leitura de paquímetro, leitura de micrômetro e leitura de relógio comparador.
NA PRÁTICA
A seguir, você irá ver de forma prática como as medidas de dispersão podem auxiliar no 
controle de qualidade de uma empresa. Será apresentada de forma prática a implementação das 
medidas de dispersão mais utilizadas; a amplitude, a variância e o desvio padrão além da média. 
Suponha então uma empresa que fabrique parafusos. Uma medida importante para garantir a 
qualidade do produto fabricado é a medida de comprimento. Para esta empresa é importante 
garantir que o tamanho dos seus parafusos não varie fora de seus valores aceitáveis.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estatística
No sitio a seguir você vai ter acesso a um portal dedicado a estatística
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Medições na vida cotidiana - Inmetro
No video a seguir você irá conhecer melhor o INMETRO e as medições no cotidiano
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Estatística (Média, Mediana, Moda, Variância e Desvio Padrão)
No link a seguir você vai ser como são calculados alguns valores estatísticos e as medidas de 
dispersão
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Probabilidade
APRESENTAÇÃO
A teoria da probabilidade é o ramo da matemática que estuda experimentos ou fenômenos 
aleatórios. Por meio dela, é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. A 
inteligência artificial busca métodos e formas de simular a forma de pensar do ser humano. 
Dessa forma, a utilização da probabilidade está fortemente relacionada aos algoritmos 
inteligentes.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer os conceitos básicos de probabilidade, 
como contagem, espaço amostral e evento. Também vai entender o que é probabilidade 
condicional e o teorema de Bayes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir contagem, evento e espaço amostral.•
Distinguir probabilidade, probabilidade condicionale teorema de Bayes.•
Explicar a utilização da probabilidade na inteligência artificial.•
DESAFIO
Na análise da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, três fatores devem ser 
considerados: contagem, evento e espaço amostral. Em probabilidade, espaço amostral significa 
o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Com relação ao 
evento, não são considerados quaisquer subconjuntos do espaço amostral.
Veja o seguinte caso:
Considerando que você seja um profissional especialista em sistemas inteligentes, responda:
1- Qual a justificativa para a utilização de conceitos da Probabilidade na construção do 
algoritmo desse sistema?
2- Identifique possíveis variáveis a serem consideradas. Justifique a sua proposta relacionando 
conceitos básicos com o universo proposto.
INFOGRÁFICO
A probabilidade tem por objetivo permitir a identificação de ocorrência de eventos sujeitos a 
incertezas. Sua utilização no planejamento e inferência estatística é bastante conhecida e tem se 
revelado de grande importância para a inteligência artificial.
Veja neste Infográfico conceitos relacionados à probabilidade. Entender seus conceitos básicos é 
fundamental para quem deseja atuar nessa área de pesquisa.
CONTEÚDO DO LIVRO
A probabilidade permite, por meio de cálculos, identificar a possibilidade de um fato ou 
condição ocorrer. A probabilidade analisa os eventos aleatórios que, alinhados, produzem um 
resultado uníco e repetitivo e que serão repetidos inúmeras vezes, desde que as mesmas 
condições sejam respeitadas. 
No capítulo Probabilidade, do livro Inteligência Artificial, você aprenderá sobre os conceitos 
básicos de probabilidade e entenderá como a probabilidade está relacionada à inteligência 
artificial.
Boa leitura.
INTELIGÊNCIA 
ARTIFICIAL
Fabricio Machado da Silva
Probabilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir contagem, evento e espaço amostral.
 � Distinguir probabilidade, probabilidade condicional e teorema de 
Bayes.
 � Identificar a utilização da probabilidade na inteligência artificial.
Introdução
A história da probabilidade se iniciou com os jogos de cartas, dados e 
roleta, talvez por isso haja uma grande quantidade de exemplos de jogos 
de azar associados ao seu estudo. A teoria da probabilidade é calcular 
a chance de ocorrência de um resultado em um experimento aleatório, 
permitindo prever com certa antecipação essa chance.
Neste capítulo, você estudará as definições básicas de probabilidade, 
contagem, evento, espaço amostral; sua utilização na inteligência artificial; 
bem como a diferença entre probabilidade, probabilidade condicional 
e teorema de Bayes.
Definições básicas de probabilidade
A probabilidade é uma técnica de estudo das chances de ocorrência de cada 
resultado de um experimento aleatório, às quais são atribuídos os números 
reais do intervalo entre 0 e 1 — os resultados mais próximos de 1 têm mais 
chances de ocorrer. Ela também pode ser apresentada na forma de percentual.
A probabilidade associa números às chances de determinado resultado 
acontecer, assim, quanto maior for o número, maior deve ser a chance. Existem 
ainda um menor número que representa a impossibilidade da ocorrência desse 
evento e um maior que mostra a certeza do resultado. Para analisar a probabi-
lidade de sua ocorrência, é necessário entender três fatores envolvidos nela:
Fi
gu
ra
 1
. M
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m
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n-
lin
e)
.
Probabilidade2
 � contagem;
 � evento;
 � espaço amostral.
Em probabilidade, o espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis re-
sultados de um experimento aleatório e, no evento, são considerados quaisquer 
subconjuntos desse espaço amostral. Na Figura 1, você pode ver um exemplo 
de mapa mental para entender melhor os conceitos de probabilidade. Perceba 
que o espaço está em uma etapa anterior ao evento, simbolizando exatamente 
o que já foi relatado.
Contagem
Em matemática, a definição de contagem é o ato de determinar um número 
de elementos de um conjunto (finito), e existem evidências arqueológicas que 
possibilitam concluir que o processo de contar tenha sido utilizado há mais de 
50 mil anos por culturas primitivas para acompanhar os dados econômicos 
e sociais, como:
 � quantidade de membros do grupo, das presas, etc.;
 � propriedades e dívidas.
O princípio de contagem levou ao desenvolvimento da notação matemática, 
dos sistemas numéricos e da escrita atual. Ela ainda pode ocorrer de várias 
formas, por exemplo, verbalmente, falando cada número em voz alta (ou 
mentalmente) para acompanhar o progresso, utilizado com frequência para 
contar objetos presentes em vez de uma variedade de coisas no decorrer do 
tempo (horas, dias, semanas, etc.). Também pode ser por meio de marcações, 
com base de contagem unitária, registrando uma marca para cada objeto e 
contando seu total, o que é útil quando se deseja contar objetos ao longo de 
períodos, como o número de ocorrências de algo durante um dia. A contagem 
usual é realizada em base decimal, já os computadores usam base binária 
(zeros e uns).
A realização da contagem permite determinar a quantidade de elementos 
de determinado conjunto, por exemplo, o censo demográfico, que, por meio 
dela, sabe o número de elementos dos seguintes conjuntos:
Fi
gu
ra
 1
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m
en
ta
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pr
ob
ab
ili
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Fo
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 T
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01
5,
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lin
e)
.
3Probabilidade
 � quantidade de pessoas que vivem em determinado estado ou cidade;
 � quantidade de pessoas do sexo masculino e do feminino que vivem em 
determinado lugar.
No exemplo anterior, o estado ou a cidade podem ser o conjunto da con-
tagem, assim como o sexo.
Evento
O evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral e pode conter nenhum 
elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos desse espaço. Já seu número 
de elementos é representado da seguinte forma: n(E), sendo E o evento em 
questão. Seus exemplos incluem duas opções.
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda.
O evento é sair cara e tem um único elemento. Sua representação também 
pode ser feita com notações de conjuntos, e seu número de elementos se trata 
de n(E) = 1.
E = {cara}
b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par, e seu número de elementos se trata de 
n(E) = 3.
E = {2, 4, 6}
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são cha-
mados de simples. Quando eles forem iguais ao espaço amostral, se chamam 
evento certo e sua probabilidade de ocorrência é 100%. Caso eles sejam iguais 
ao conjunto vazio, se denominam evento impossível e têm 0% de chances de 
ocorrência.
Espaço amostral
O espaço amostral, também chamado de universo, é um conjunto que possui 
todos os pontos amostrais de um evento aleatório, por exemplo, quando se 
referir ao experimento lançar uma moeda, ele será formado por cara e co-
roa. Além disso, como se trata de um conjunto, qualquer notação deste pode 
representá-lo.
Probabilidade4
Assim, o espaço amostral, seus subconjuntos e as operações que o envol-
vem herdam as propriedades e operações dos conjuntos numéricos, por isso, 
pode-se dizer que os possíveis resultados do lançamento de duas moedas são:
S = {(x, y) naturais | x < 7 e y < 7}
Nesse caso, S representa o conjunto de pares ordenados, formados pelos 
resultados dos dois dados. Já o número de elementos de um espaço amostral 
é representado da seguinte maneira: dado o espaço amostral Ω, o número de 
elementos de Ω é n(Ω).
O espaço amostral S (finito) é equiprovável quando os eventos elementares têm 
probabilidades iguais de ocorrência. Assim, em um espaço amostral equiprovável S 
(finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
P(A) =
número de elementos de A
número de elementos de S
=
n(A)
n(S)
Probabilidade condicional
A probabilidade condicionalrefere-se à probabilidade de um evento ocorrer 
com base em um anterior e, evidentemente, ambos precisam ser conjuntos 
não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.
Por exemplo, se no lançamento simultâneo de dois dados obtêm-se números 
em suas faces superiores, qual a probabilidade de que a soma desses números 
seja 8, desde que seus resultados sejam ímpares? Veja que ela está condicionada 
aos resultados ímpares nos dois dados, logo, lançamentos que têm um ou dois 
números pares na face superior podem ser descartados, havendo uma redução 
no espaço amostral.
O novo espaço amostral é composto dos seguintes pares:
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}.
5Probabilidade
Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de se 
obter 8 no lançamento de dois dados é de 2/9, considerando que os resultados 
obtidos são ambos ímpares.
Para entender melhor a probabilidade condicional, considere um espaço 
amostral S finito não vazio e um evento A de S, se quiser outro evento B 
desse espaço S, a nova probabilidade é indicada por P(B|a), denominada 
como a probabilidade condicional de B em relação ao A. Assim, ela formará 
um novo espaço amostral, pois agora este será A e os elementos do evento B 
pertencerão a B ∩ A, como você pode ver na Figura 2.
Figura 2. Probabilidade condicional.
Fonte: Brito (2018, documento on-line).
BA∩BA
E
Há diversos casos para ilustrar a probabilidade condicional, por exemplo, 
as chances de um bebê nascer menina é um evento A, mas a probabilidade de 
essa criança ter doença celíaca (intolerância ao glúten) se trata de um evento 
B. Essa situação pode ser considerada uma probabilidade condicional, porque 
a doença celíaca atinge mais mulheres do que homens. Se as chances fossem 
iguais para pessoas dos dois gêneros, esses eventos não estariam condicionados 
e seriam uma probabilidade marginal ou incondicional, pois a possibilidade 
de que um deles ocorra não influencia na do outro.
Assim, se os eventos forem independentes, a probabilidade não será con-
dicional, pois você representa a probabilidade condicional com a seguinte 
expressão: P (A|B), que se lê “a probabilidade condicional de A em relação a 
B”. Já a fórmula para calculá-la é:
P (A|B) = P(A∩B)/P(B)
Probabilidade6
Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ocorrerem ao 
mesmo tempo é dada por:
P(A∩B) = P(A).P(B)
Já se você colocar isso na fórmula da probabilidade condicional, encontrará:
P (A|B) = P(A∩B)/P(B)
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B)
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B)
P(A|B) = P(A)
Portanto, a probabilidade de A ocorrer não se altera.
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da proba-
bilidade de um evento dado que outro já ocorreu, o que se chama probabilidade 
condicional. Para esse teorema, precisa-se ter alguma informação anterior ou 
saber que determinado evento já ocorreu e qual sua probabilidade. Baseada 
nessa inferência bayesiana, surge a expressão grau de crença, ou a confiança 
em algum evento anterior.
Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, 
uma abordagem particular da inferência estatística. Assim, quando for apli-
cado, as probabilidades envolvidas nele podem ter diferentes interpretações 
de probabilidade.
Com a interpretação bayesiana, o teorema expressa como a probabilidade 
de um evento (ou seu grau de crença) deve ser alterada após considerar as 
evidências sobre sua ocorrência. Apesar do pioneirismo, essa abordagem caiu 
em esquecimento nas ciências e foi preterida pela frequentista, que ainda é 
hegemônica, mas devido ao grande aumento na capacidade de processamento 
dos computadores, a bayesiana renasceu com muita força.
Para calcular pelo teorema de Bayes a probabilidade de um evento A dado 
que um B ocorreu, P(A|B), tem-se a seguinte fórmula:
P(A/B) =
P(B/A)*P(A)
P(B)
7Probabilidade
Em que,
P(B|A): probabilidade de B acontecer dado que A ocorreu;
P(A): probabilidade de A ocorrer;
P(B): probabilidade de B ocorrer.
Em um algoritmo probabilístico, a mesma sequência de entrada não leva sempre 
a um mesmo estado final de computação, porque as transições entre os estados 
dependem do estado atual, do símbolo recebido e de uma escolha aleatória. 
Simplificadamente, imagine que, além de ler um símbolo para decidir o próximo 
passo de computação, a máquina ainda lance uma moeda para decidir se passa 
ou não ao próximo estado.
Aplicação da probabilidade na inteligência 
artificial
A inteligência artificial é um campo amplo há muitas décadas, que vem sendo 
impulsionado rapidamente com a informática e a computação. Sua aplicação 
nos sistemas especialistas procura escrever programas que copiem e repro-
duzam os modos como os seres humanos pensam, falam, compreendem e 
aprendem, elaborando uma réplica da inteligência humana e aplicando-a nas 
diversas áreas da empresa.
Esses sistemas especialistas aplicam a inteligência artificial nas empresas 
e, segundo O´Brien (2004), situam-se na área da ciência cognitiva, a qual 
utiliza disciplinas como biologia, neurologia, psicologia e matemática para 
verificar como os seres humanos aprendem, criam e desenvolvem as aplicações 
baseadas no conhecimento com acompanhamento de um especialista. Trata-se 
de sistemas que agem e comportam-se como um ser humano, utilizados para 
solucionar problemas em áreas específicas da empresa. 
Probabilidade8
Os dois grandes paradigmas para o desenvolvimento de sistemas especia-
listas em inteligência artificial são o simbólico e o subsimbólico (conexionista). 
No paradigma conexionista, utiliza-se técnicas de redes neurais para representar 
e solucionar problemas em um domínio específico, sendo aplicável aos domí-
nios nos quais a forma de raciocínio do especialista não pode ser totalmente 
explicitada. No simbólico, por sua vez, o conhecimento é disposto em uma 
base de conhecimentos, em que as inferências são representadas por meio 
de regras do tipo SE-ENTÃO. Geralmente, o raciocínio do sistema se baseia 
em uma árvore de decisões, mas nesse caso, o conhecimento do especialista 
deve ser adquirido e representado do modo mais aprofundado possível para 
permitir que o sistema emule seu comportamento.
A rede bayesiana trabalha com relações causais quantificadas por valores 
de probabilidade condicional e, segundo Murteira (1990), “a causalidade 
é a vantagem de nossa existência e a desvantagem de nossa matemática. 
Acreditamos em causalidade em nossas interações com a realidade, mas é 
difícil capturá-la em nossos modelos”. Portanto, considerando que a causa 
precede o efeito, é fundamental ter um processo unidirecional para modelar 
a causalidade — se B causa A, então B ocorre antes de A. Já no contexto da 
lógica clássica, a implicação não capta uma relação causal por problemas de 
falta de direcionalidade, em que (B->A) é equivalente a (]B->]A), assim não 
permite que a causalidade seja modelada.
As redes bayesianas são compostas de duas partes complementares: uma 
qualitativa e outra quantitativa (GAAG, 1996). A parte qualitativa é um 
modelo gráfico (grafo acíclico direcionado), em que as variáveis incluem 
os nodos e as regras, relações de dependência entre elas, chamadas de arcos 
direcionados. Assim, um arco ligando as variáveis A e B (na forma A->B) 
indica que a variável B é a consequência e a variável A se trata da causa, 
apresentando uma relação de dependência resumida na regra “se A então 
B”. Porém, se não houver um arco ligando duas variáveis, assume-se que 
elas são independentes.
Veja na Figura 3 um exemplo de rede bayesiana.
9Probabilidade
Fi
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 3
. E
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 D
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20
08
).
Probabilidade10
Nos sistemas especialistas probabilísticos, os valores de probabilidade 
refletem a crença do especialista sobre o que espera que ocorra em situações 
similares às que têm experiência e aprendeu ao longo de sua vivência. Assim, 
ele tenta extrapolar com base em experiência e aprendizadono domínio de 
aplicação.
Conheça um instituto brasileiro de inteligência artificial, que usa probabilidade e 
estatística, no link a seguir.
https://qrgo.page.link/QeSBj
Administrado pelo Centro de Estudos do Risco da Universidade Federal da Bahia 
(CER-UFBA), o site Previsão Esportiva tem o objetivo de agregar pesquisadores, alunos 
de graduação e pós-graduação interessados no desenvolvimento metodológico 
estatístico para dados esportivos. As previsões divulgadas são obtidas a partir de um 
modelo estatístico para os resultados dos jogos, que considera os fatores: mando de 
campo, poder de ataque e poder de defesa de cada equipe do campeonato. Saiba 
mais sobre esse assunto no link a seguir.
https://qrgo.page.link/T2hWE
BRITO, R. Probabilidade condicional: o que é, exemplos e exercícios! Stoodi, 22 jul. 
2018. Disponível em: https://www.stoodi.com.br/blog/2018/07/11/probabilidade-
-condicional/. Acesso em: 14 maio 2019.
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: EDUSP, 2008.
11Probabilidade
MURTEIRA, B. J. F. Probabilidades e estatística. 2. ed. Lisboa: McGraw-Hill, 1990. 2 v.
TABORDA, A. Mapa mental: probabilidade. Desconversa, 13 ago. 2015. Disponível em: 
https://descomplica.com.br/blog/matematica/mapa-mental-probabilidade/. Acesso 
em: 14 maio 2019.
Leituras recomendadas
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2006.
MURTEIRA, B. J. et al. Introdução à estatística. 2. ed. Lisboa: McGraw Hill, 2002.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2014.
Probabilidade12
DICA DO PROFESSOR
Um dos grandes problemas em inteligência artificial é o tratamento dos dados incertos, isto é, 
como tomar uma decisão sem ter as informações necessárias. A necessidade de tratar a incerteza 
em sistemas levou à construção de sistemas inteligentes probabilísticos.
Nesta Dica do Professor, será apresentado um pouco do conceito de computação probabilistica e 
sua ligação com a área de Inteligência Artificial.
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EXERCÍCIOS
1) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se 
para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso 
é de 25%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a 
probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade desse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi 
dada a estimativa de chuva?
A) 0,075
B) 0,150
C) 0,325
D) 0,600
E) 0,800
2) Em Matemática, a definição de contagem é o ato de determinar um número n de 
elementos de um conjunto (finito). Sebre esse conceito, é correto afirmar que:
A) Em todo conjunto com um número de elementos finitos, é possível aplicar a contagem, 
pois é um conjunto possível de determinar sua quantidade.
B) A contagem não faz sentido para sistemas de I.A.
C) A contagem é um recurso da Matemática e não tem relação com I.A.
D) Não é possível usar a contagem para saber a população de um país.
E) A contagem pode ser aplicada para saber, por exemplo, a quantidade de planetas na 
galáxia.
3) Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de 
simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e 
sua probabilidade de ocorrência é de 100%. 
Sobre eventos é correto afirmar:
A) Eventos simples são subconjuntos de um espaço amostral.
B) O evento é um subconjunto de um espaço amostral.
C) Não é possível ter um evento certo quando se tem somente um elemento no espaço 
amostral.
D) Não é possível ter evento simples quando espaço amostral é maior que um elemento.
E) Não existe espaço amostral maior que um.
4) Há diversas formas possíveis para ilustrar a probabilidade condicional. Por exemplo: 
as chances de um bebê nascer menina é um evento A. Agora, a probabilidade dessa 
criança apresentar doença celíaca, que é intolerância ao glúten, é um evento B. 
Baseado nesse exemplo, assinale a alternativa correta:
A) O exemplo não está relacionado com probabilidade condicional.
B) O exemplo está relacionado a um único espaço amostral.
C) O exemplo está relacionado à probabilidade condicional.
D) O exemplo não tem qualquer relação com probabilidade.
E) O exemplo não pode ser resolvido por meio de um sistema inteligente.
5) Nos sistemas especialistas probabilísticos, os valores de probabilidade refletem a 
crença do especialista sobre o que ele espera que ocorra em situações similares 
àquelas que têm experiência e que aprendeu ao longo de sua vivência. A utilização 
dos conceitos de probabilidade está diretamente relacionada:
A) Apenas com os cálculos de fatores envolvidos com problemas matemáticos
B) Sistemas especialistas não se baseiam em crenças e por isso não têm relação alguma com 
probabilidade.
C) Apesar de se chamarem sistemas especialistas probalísticos, não têm relação com 
probabilidade e sim com aprendizado de máquina.
D) Sistemas especialistas utilizam a probabilidade para ter um grau de crença na ocorrência 
de determinado evento.
E) Uso de probabilidade em sistemas especialistas está diretamente ligado a sua aplicação em 
campos de pesquisa.
NA PRÁTICA
A probabilidade faz parte do dia a dia dos indivíduos e está presente nas mais rotineiras tarefas 
do cotidiano. Todos os dias as pessoas se deparam com situações que as obrigam a tomar 
decisões sobre as quais não têm certeza, mas apenas indicações que as permitem decidir com 
alguma probabilidade de acerto.
Veja, neste Na Prática, que você está rodeado de eventos probabilísticos.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Dicas de PROBABILIDADE - Questão matemática Comentada com Dica de RLM
Veja algumas dicas de probabilidade com questões comentadas que ajudarão a assimilar o tema.
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Correlações
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos os testes de correlações entre as variáveis em 
estudo. Qual a influência que uma variável tem sobre a outra? Elas são dependentes ou 
independentes? A compreensão dos testes de correlações auxilia na interpretação das variáveis, 
nas possíveis influências que uma mantém sobre a outra e, principalmente, nos auxiliam a obter 
informações sobre uma determinada amostra ou população.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que é um teste de correlação.•
Diferenciar as correlações: positiva, negativa e nula.•
Identificar a partir da correlação o grau de associação entre as variáveis.•
DESAFIO
Imagine os seguintes dados de um grupo de pessoas ainda em crescimento (estado fisiológico 
normal de crescimento). 
 
Marque um ponto em cada cruzamento da idade com a altura.
Após a construção do diagrama, identifique se os pontos tem uma tendência de comportamento; 
eles estão subindo ou descendo? Conforme a sua interpretação, trace uma reta identificando a 
principal tendência desses pontos.
Após desenhar a reta sobre os pontos, responda:
1 - O que podemos concluir sobre cada indivíduo?
2 - A idade interfere na altura?
3 - As variáveis idade e altura tem associação? De qual tipo? Podemos correlacioná-las?
4 - Qual a conclusão prática sobre esse gráfico?
 
Para realizar a atividade, você deverá atender aos seguintes itens:
1 - Analisar os dados da tabela.
2 - Construir o gráfico identificando os pontos no cruzamento da idade com a altura, em que, no 
eixo x, fique a idade e, no eixo y, fique a altura. Marque um ponto em cada local, representado 
cada indivíduo.
3 - Trace uma reta identificando o comportamento dos dados (ascendente ou descente).
4 - Responda as questões sobre esse gráfico.
INFOGRÁFICO
Veja abaixo a representação gráfica dos conceitos estudados nesta Unidade de 
Aprendizagem.CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe um trecho da obra que aborda o assunto sobre correlações: CALLEGARI-
JACQUES, S.M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2003.
O livro servirá de base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Inicie a leitura pelo capítulo 10, página 84.
Boa leitura.
C157b Callegari-Jacques, Sidia M.
Bioestatística [recurso eletrônico] : princípios e aplicações / Sidia M.
Callegari-Jacques. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Artmed, 2007.
Editado também como livro impresso em 2003.
ISBN 978-85-363-1144-9
1. Biologia. 2. Estatística Aplicada. I. Título.
CDU 57.087.1
Catalogação na publicação: Juliana Lagôas Coelho – CRB 10/1798
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Alfa- Beta- Alfa- Beta-
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02-Analise-cap09-13.p65 4/7/2007, 14:3091
Bioestatística 91
O coeficiente de correlação entre quantidades de albumina e beta-globulinas
foi r = 0,011, com um valor de ⎪tcalc⎪ igual a 0,470 (gl =18; P > 0,40). A conclu-
são, portanto, deve ser que não há evidências suficientes para se afirmar que
existe correlação entre níveis de albumina e níveis de beta-globulinas nesses ani-
mais.
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
O coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação e infor-
ma que fração da variabilidade de uma característica é explicada estatisticamente
pela outra variável.
Para os dados de albumina e alfa-globulinas, o coeficiente de determinação é
r2 = (−0,439)2 = 0,1927.
Isso significa que 19% da variação observada no nível sérico de albumina em
cavalos manga-larga são “explicados” pelo fato de que a quantidade de alfa-glo-
bulinas também varia entre os indivíduos (e vice-versa).
FIGURA 10.4 Relação entre níveis séricos de albumina e alfa-globulinas 1 e 2 (gráfico à esquerda)
e albumina e beta-globulinas (à direita), em cavalos puro-sangue manga-larga.
Albumina
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Albumina
B
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3,0
2,6
2,2
1,8
1,0
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
1,4
FIGURA 10.5 Diagramas de dispersão para variáveis contínuas: casos em que o coeficiente de
correlação r deve ser usado com cautela.
a b
02-Analise-cap09-13.p65 4/7/2007, 14:3092
92 Sidia M. Callegari-Jacques
Exemplo 3. Em um estudo realizado em 111 indígenas do sexo masculino,
pertencentes à tribo Caingangue do Rio Grande do Sul (Salzano e colaboradores,
1980), a correlação entre o peso e a estatura foi r = 0,58 (t = 7,43; gl = 109; P <
0,001). Pode-se então dizer que 34% (0,582) da variação que se observa nestas
pessoas quanto ao peso corporal explicam-se porque elas variam também quanto
à estatura. Os66% restantes devem ser explicados por outros fatores.
REQUISITOS AO ESTUDO DA CORRELAÇÃO
Embora não haja necessidade de satisfazer pressuposição alguma para calcular o
coeficiente de correlação entre duas variáveis quantitativas, o teste de significância
da correlação somente será realizado corretamente se:
(1) Tanto a variável x quanto a y têm distribuição normal.
(2) A variação dos valores de x para cada valor fixo de y é sempre a mesma,
isto é, o valor de σx
2
 
é o mesmo nos vários níveis de y (homocedasticida-
de). No exemplo do tempo de estudo e nota na prova, isto equivaleria a
dizer que, embora a nota esperada (a média) seja diferente para cada
tempo de estudo, o grau de variação em torno dos diferentes valores es-
perados é o mesmo.
(3) Da mesma forma, a variação dos valores de y (σy
2) é a mesma para todos os
valores de x.
Se os dados satisfazem tais pressuposições, o coeficiente de correlação de
Pearson é o instrumento mais adequado para medir a associação entre x e y; se
não satisfazem, não há nenhuma garantia de que esta seja a medida mais correta
da correlação. Daí a importância de se examinar o gráfico de dispersão dos pontos
antes de se efetuar uma análise desta natureza. Se as pressuposições são satisfei-
tas, a nuvem de pontos apresenta a forma de uma elipse.
A Figura 10.5 ilustra duas situações nas quais se deve usar com cautela o
coeficiente de correlação de Pearson. No caso da Figura 10.5.a, o valor de r calcu-
lado para os dados é 0,84. No entanto, tal valor é altamente influenciado pelos
dois pontos que se encontram à direita, afastados dos demais: retirando-os do
cálculo, o valor de r diminui para 0,46. O problema consiste em aceitar que dois
pontos apenas sejam os responsáveis por um aumento tão grande na medida da
associação. A Figura 10.4.b, por outro lado, mostra que o coeficiente de correla-
ção obtido não pode ser testado corretamente da forma mostrada acima, uma vez
que a nuvem de pontos indica que está sendo violada a pressuposição de homoce-
dasticidade. Situações como estas podem, às vezes, ser resolvidas por meio de
uma transformação (logarítmica ou de outro tipo) nos dados representados em
um ou ambos os eixos do diagrama.
Não é demais lembrar que o coeficiente de correlação mede uma associação,
não uma relação de causa e efeito. Assim, se a correlação observada entre os
níveis de albumina e alfa-globulinas no sangue de eqüinos manga-larga é r = −0,44,
isto não quer dizer que a quantidade de albumina no sangue determina a de alfa-
globulinas, ou vice-versa, mas apenas que os teores dessas proteínas estão varian-
do juntos. Deve-se sempre considerar a possibilidade de que haja outros fatores
determinando os níveis tanto de uma quanto da outra variável.
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DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir explica as principais características de um teste de correlação, como 
interpretá-lo e o significado do valor de r da correlação.
Assista ao vídeo e associe as informações com tudo que foi descrito no capítulo 10 do livro.
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EXERCÍCIOS
1) Em uma correlação de Pearson, em que o valor de r = 1, podemos dizer que:
A) É uma correlação perfeita negativa.
B) É uma correlação fraca.
C) É uma correlação perfeita e positiva.
D) É uma correlação utilizada em análises de dados sem distribuição normal.
E) É uma correlação de intensidade moderada.
2) Quando é indicado o uso do teste de correlação?
A) Para verificar a associação de variáveis qualitativas.
B) Para comparar dois grupos de variáveis.
C) Para mostrar a associação entre duas variáveis quantitativas.
D) Para descobrir quanto é importante cada variável.
E) Para mensurar as variáveis.
3) Analise as imagens e responda que tipo/nível de correlação existe entre as variáveis, 
respectivamente.
A) Correlação nula e correlação fraca.
B) Correlação forte e correlação nula.
C) Correlação fraca e correlação regular.
D) Correlação regular e correlação forte.
E) Correlação perfeita negativa e uma correlação perfeita positiva.
4) Segundo o valor do coeficiente de correlação (R), defina as categorias das correlações 
respectivamente aos seguintes valores:
0 0 |- 0,3 0,3 |- 0,6 0,6 |- 0,9 0,9 |- 1 1
A) Perfeita, muito forte, forte, regular, fraca e nula.
B) Inexistente, nula, fraca, regular, forte, muito forte e perfeita.
C) Nula, fraca, regular, moderada, forte e perfeita.
D) Nula, fraca, regular, forte, muito forte e negativa.
E) Nula, fraca, regular, forte, muito forte e perfeita.
Defina o nível de correlação dos gráficos, respectivamente:5) 
A) Nula, forte, regular, nula.
B) Nula, forte, forte, nula.
C) Nula, forte, muito forte e perfeita.
D) Nula, fraca, regular, nula.
E) Nula, regular, forte e nula.
NA PRÁTICA
Veja agora uma situação prática da facilidade de uso dos conhecimentos sobre a utilização 
da correlação de variáveis na vida real acadêmica.
Um professor percebe que, em sua disciplina de bioestatística, o nível de ansiedade de um 
acadêmico no momento pré-prova dificultava a concentração e a resolução da prova. Refletindo 
a respeito dessa situação, o professor propôs para uma turma que a primeira pergunta da prova 
fosse a seguinte:
- Qual o seu nível de ansiedade neste exato momento de 0 a 10, sendo que 0 significa nenhuma 
ansiedade e 10 totalmente ansioso?
Continue lendo na imagem a seguir:
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Epidemiologia Moderna
Princípios de Bioestatística
Bioestatística: Princípios e Aplicações
Correlação e Regressão
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Correlação e Regressão
APRESENTAÇÃO
A correlação foi criada por Karl Pearson e é uma forma de associação entre duas variáveis (X e 
Y). Este indicador é simples, mas torna-se uma ferramenta poderosa para analisar duas variáveis 
métricas de uma pesquisa.
A regressão expande este conceito, permitindo que o pesquisador analise e interprete a relação 
entre uma variável e muitas outras.
Nesta Unidade de Aprendizagem você irá estudar sobre a importância destes dois conceitos e 
como eles contribuem sobremaneira para as análises, interpretações e relações entre variáveis de 
uma mesma pesquisa. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os tipos de correlação e como elas se tornam base para a análise de regressão.•
Reconhecer os métodos de análise de regressão bivariada e multivariada.•
Analisar as técnicas utilizadas para as análises de regressão.•
DESAFIO
Marcelo abriu recentemente uma loja de produtos orgânicos na cidade de São Paulo. Para que 
obtenha retorno do investimento e ganhe os clientes adeptos a este consumo, Marcelo está 
realizando uma pesquisa com diferentes públicos, sendo possível então compreender sua 
aderência com os produtos.
Avalie quais são as variáveis dependentes e independentes e diga em que situação se aplicaria a 
correlação e uma possível regressão posteriormente.
INFOGRÁFICO
Acompanhe o Infográfico, que apresenta a linha de pensamento de um pesquisador que inicia a 
análise de dados. Primeiramente, entende-se quais são as variáveis, decidindo-se sobre as 
técnicas de correlaçãoe, posteriormente, regressão.
CONTEÚDO DO LIVRO
A técnica mais comum de ajuste de uma linha reta a um diagrama de dispersão é o 
procedimento dos mínimos quadrados. Essa técnica determina a reta de melhor ajuste, 
minimizando o quadrado das distâncias verticais de todos os pontos a partir da reta.
Acompanhe um trecho do livro Pesquisa de marketing: uma orientação aplicada, base teórica 
para esta Unidade de Aprendizagem. Inicie seus estudos pelo tópico Como fazer a análise de 
regressão bivariada, em que são explicados os fluxos das etapas envolvidas e sua importância 
para a análise. Finalize no tópico Multicolinearidade, que aborda uma etapa importante que deve 
ser controlada pelo pesquisador.
Boa leitura. 
PESQUISA de6ª EDIÇÃO
UMA ORIENTAÇÃO
APLICADA
NARESH
MALHOTRA
AAKER, D.
Abaixo os Silos
AAKER, D.
Construindo Marcas Fortes
AAKER, D.
Estratégia de Portfólio de Marcas
AAKER, D.; JOACHIMSTHALER, E.
Como Construir Marcas Líderes
FARRIS, P.; BENDLE, N.; PFEIFER, P.; REIBSTEIN, D.
Métricas de Marketing
FISK, P.
O Gênio do Marketing
GUMMESSON, E.
Marketing de Relacionamento Total: 
Gerenciamento de Marketing, Estratégia de 
Relacionamento e Abordagens de CRM para a 
Economia de Rede, 3.ed.
KOTLER, P.
O Marketing sem Segredos
KOTLER & COLS.
Marketing Estratégico para a Área da Saúde
KOTLER, P.; LEE, N.
Coleção Wharton
Marketing no Setor Público: Um Guia para um 
Desempenho mais Eficaz
KOTLER, P.; LEE, N.
Marketing Social, 3.ed.
KOTLER, P.; LEE, N.
Coleção Wharton
Marketing contra a Pobreza
KOTLER, P.; PFOERTSCH, W.
Gestão de Marca em Mercados B2B
LIGHT, L.; KIDDON, J.
Seis Regras para a Revitalização da Marca
LINDSTROM, M.
Brand Sense: Os Segredos Sensoriais por trás 
das Coisas que Compramos
NEUMEIER, M.
The Brand Gap: O Abismo da Marca, 2.ed.
NEUMEIER, M
A Empresa Orientada pelo Design
NEUMEIER, M
Zag: A Estratégia No. 1 das Marcas Bem- 
-Sucedidas
RANGAN, V.K.
Transformando sua Estratégia de Ingresso no 
Mercado
REIN, I.; KOTLER, P.; SHIELDS, B.
Marketing Esportivo: A Reinvenção do Esporte na 
Busca de Torcedores
PARENTE, J.; LIMEIRA, T.; BARKI, E.
Varejo para a Baixa Renda
RUST, R.T.; ZEITHAML, V.; LEMON, K.N.
O Valor do Cliente: O Modelo que está 
Reformulando a Estratégia Corporativa 
SHETH, J.; SOBEL, A.
Clientes para Toda a Vida: Como Grandes 
Profissionais Desenvolvem Sólidos 
Relacionamentos
SILK, A.
O Que é Marketing?
SIMON, H.; BILSTEIN, F.; LUBY, F.
Gerenciar para o Lucro, não para Participação de 
Mercado
WHEELER, A.
Design de Identidade da Marca, 2.ed. 
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As empresas utilizam a pesquisa de marketing para garantir competitividade e evitar 
os altos custos de más decisões baseadas em informações desqualificadas. 
Se você é um profissional do marketing, entender os consumidores, fornecedores, 
parceiros de canal, funcionários, concorrentes e o ambiente é fundamental para 
desenvolver programas de marketing eficientes. 
Se você não atua na área de marketing, certamente a empresa ou a organização 
para a qual você trabalha utiliza informações de pesquisa de marketing para tomar 
decisões. Você precisa saber como gerar tais informações e como avaliar sua 
relevância, precisão e utilidade. 
O processo de pesquisa que descrevemos neste livro é muito amplo e aplica-se a 
qualquer área da administração, não só ao marketing. Portanto, este livro vai auxiliá-
-lo a ser mais eficiente no seu trabalho, não importa em que área você atue.
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Os alunos podem acessar um variado conjunto de dados 
para auxiliar nos seus estudos.
Os professores devem visitar a Área do Professor 
para acessar material exclusivo deste livro.
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024966_Pesquisa de Marketing 1 22/09/11 17:26
M249p Malhotra, Naresh K. 
 Pesquisa de marketing [recurso eletrônico] : uma 
 orientação aplicada / Naresh K. Malhotra ; tradução: Leme 
 Belon Ribeiro, Monica Stefani ; revisão técnica: Janaina de 
 Moura Engracia Giraldi. – 6. ed. – Dados eletrônicos. – Porto 
 Alegre : Bookman, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-407-0062-8
 1. Marketing. 2. Pesquisa de marketing. I. Título.
CDU 658.8:005.52
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 427
Como fazer análise de regressão bivariada
As etapas a serem desenvolvidas na análise de regressão bivariada 
são descritas na Figura 17.2. Suponha que o pesquisador pretenda 
explicar atitudes em relação à cidade de residência em termos da 
duração da residência (ver Tabela 17.1). Para deduzir tais relacio-
namentos, é muitas vezes útil examinar, em primeiro lugar, um dia-
grama de dispersão.
Fazer o diagrama de dispersão
Um diagrama de dispersão é um gráfico dos valores de duas variá-
veis para todos os casos ou observações. É costume grafar a variável 
dependente no eixo vertical e a variável independente no eixo hori-
zontal. O diagrama de dispersão serve para determinar a forma da 
relação entre as variáveis e pode alertar o pesquisador quanto a de-
terminados padrões dos dados, ou possíveis problemas. Quaisquer 
combinações incomuns das duas variáveis podem ser facilmente 
identificadas. A Figura 17.3 mostra um gráfico de Y (atitude em re-
lação à cidade) comparado com X (tempo de residência). Os pontos 
parecem dispor-se em uma faixa que vai da esquerda inferior para a 
direita superior. Pode-se ver logo o padrão: à medida que uma das 
variáveis aumenta, a outra também aumenta. Por esse gráfico, pare-
ce que a relação entre X e Y é linear, podendo ser descrita por uma 
linha reta. Como determinar a reta que melhor descreve os dados?
A técnica mais comum de ajuste de uma linha reta a um dia-
grama de dispersão é o procedimento dos mínimos quadrados. 
Essa técnica determina a reta de melhor ajuste minimizando o qua-
drado das distâncias verticais de todos os pontos a partir da reta e 
esse procedimento é chamado de regressão dos mínimos quadrados 
ordinários (MQO*). A reta de melhor ajuste é chamada de reta de re-
gressão. Qualquer ponto que não esteja sobre a reta de regressão não 
é plenamente considerado. A distância vertical do ponto até a reta é 
o erro, ej (ver Figura 17.5). Elevam-se ao quadrado as distâncias de 
todos os pontos até a reta e somam-se os resultados, obtendo-se a 
soma dos quadrados dos erros, que é a medida do total dos erros, �e2j. 
Ao ajustar a reta, o procedimento de mínimos quadrados minimiza 
a soma dos quadrados dos erros. Colocando-se Y no eixo vertical e 
X no eixo horizontal, como na Figura 17.5, a reta de melhor ajuste é 
chamada de regressão de Y em função de X, pois as distâncias ver-
ticais são minimizadas. O diagrama de dispersão indica se a relação 
entre Y e X pode ser modelada como em uma linha reta e, consequen-
temente, se o modelo de regressão bivariada é apropriado.
Procedimento dos mínimos quadrados
Técnica de ajuste de uma linha reta a um diagrama de dispersão pela 
minimização do quadrado das distâncias verticais de todos os pontos 
a partir da reta. Tal procedimento é denominado regressão dos míni-
mos quadrados ordinários.
Formular o modelo de regressão bivariada
No modelo de regressão bivariada, a forma geral de uma reta é:
onde
Y � variável dependente ou de critério
X = variável independente ou previsora
�0 � intercepto da reta
�1 � coeficiente angular da reta
Estimar os parâmetros
Fazer o diagrama de dispersão
Formular o modelo geral
Estimar o coeficiente de regressão padronizado
Testar a significância
Identificar a intensidade e a significância da associação
Verificar a precisãoda previsão
Examinar os resíduos
Fazer a validação cruzada do modelo
FIGURA 17.2 Como fazer uma análise de regressão bi-
variada.
2,25
9
6
3
4,5 6,75 9 11,25 13,5 15,75 18
Duração da residência
A
tit
ud
e
FIGURA 17.3 Gráfico da atitude versus tempo de residência.
* N de T.: Ordinary least-squares (OLS).
SPSS Arquivo de Saída
SAS Arquivo de Saída
Malhotra_17.indd 427Malhotra_17.indd 427 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
428 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
Este modelo implica uma relação determinística, no sentido de 
que Y é completamente determinado por X. O valor de Y pode ser 
perfeitamente previsto desde que conheçamos �0 e �l. Em pesqui-
sa de marketing, entretanto, poucas relações são determinísticas. 
Por isso, o processo de regressão acrescenta um termo de erro para 
responder pela natureza probabilística ou estocástica da relação. A 
equação básica da regressão se escreve:
Onde ei é o termo de erro associado à i-ésima observação.
8 A es-
timação dos parâmetros de regressão, �0 e �1, é relativamente simples.
Estimar os parâmetros
Na maioria dos casos, �0 e �1 são desconhecidos e devem ser es-
timados com base nas observações amostrais, mediante a equação
onde Ŷi é o valor estimado, ou previsto, de Yi, e a e b estimam �0 
e �1, respectivamente. A constante b costuma ser chamada de co-
eficiente de regressão não padronizado. É o coeficiente angular da 
reta de regressão e indica a variação esperada em Y quando X varia 
de uma unidade. As fórmulas para o cálculo de a e b são simples.9 
6
3
2,25 4,5 6,75 9 11,25 13,5 15,75 v
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
9
Linha 4
A
tit
ud
e
Duração da residência
Linha 1
Linha 2
Linha 3
FIGURA 17.4 Que linha reta é a melhor?
Y
X
�0 + �1X
X1 X2 X3 X4 X5
Yj
Yi
ej
ei
FIGURA 17.5 Regressão bivariada.
Malhotra_17.indd 428Malhotra_17.indd 428 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 429
O coeficiente angular, b, pode ser calculado em termos da covariân-
cia entre X e Y (COVxy) e da variância de X como:
Pode-se então calcular o intercepto a como:
Para os dados da Tabela 17.1, pode-se ilustrar a estimação dos 
parâmetros como segue:
Convém lembrar, de cálculos anteriores da correlação simples, que
Dado n � 12, pode-se calcular b como segue:
Observe que esses coeficientes foram estimados com base nos 
dados brutos (não transformados). Se a padronização dos dados 
for considerada desejável, o cálculo dos coeficientes padronizados 
também pode ser feito de imediato.
Estimar o coeficiente de regressão padronizado
Padronização é o procedimento pelo qual os dados brutos são trans-
formados em novas variáveis, com média 0 e variância 1 (Capítulo 
14). Quando os dados são padronizados, o intercepto toma o valor 
0. Usa-se a expressão coeficiente beta ou peso beta para denotar 
o coeficiente de regressão padronizado. Neste caso, o coeficiente 
angular obtido pela regressão de Y sobre X, Byx, é o mesmo que o 
coeficiente angular obtido pela regressão de X sobre Y, Bxy. Além 
disso, cada um desses coeficientes de regressão é igual à correlação 
simples entre X e Y.
Byx � Bxy � rxy
Há uma relação simples entre os coeficientes de regressão pa-
dronizados e não padronizados:
Byx � byx(sx/sy)
Para os resultados de regressão dados na Tabela 17.2, o valor do 
coeficiente beta é estimado em 0,9361. Observe que esse também é 
o valor de r calculado anteriormente neste capítulo.
Uma vez estimados, os parâmetros podem ser testados quanto 
à sua significância.
Testar a significância
Podemos testar a significância estatística da relação linear entre X e 
Y examinando as hipóteses:
A hipótese nula implica que não há qualquer relação linear entre 
X e Y. A hipótese alternativa é que há alguma relação, positiva ou 
TABELA 17.2
Regressão bivariada
R múltiplo 0,93608
R2 0,87624
R2 ajustado 0,86387
Erro padrão 1,22329
gl
Análise da variância
Soma de quadrados
Quadrado 
médio
Regressão 1 105,95222 105,95222
Residual 10 14,96444 1,49644
F � 70,80266 Significância de F � 0,0000
Variáveis na equação
Variável b EPB Beta (B) t Significância de t
Tempo de residência 0,58972 0,07008 0,93608 8,414 0,0000
(constante) 1,07932 0,74335 1,452 0,1772
SPSS Arquivo de Saída
SAS Arquivo de Saída
Malhotra_17.indd 429Malhotra_17.indd 429 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
430 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
negativa, entre X e Y. Em geral, faz-se um teste bicaudal. Pode-se 
utilizar uma estatística t com n – 2 graus de liberdade, onde
EPb denota o desvio-padrão de b e é chamado de erro padrão.
10 A 
distribuição t foi estudada no Capítulo 15.
Com um programa de computador, a regressão da atitude so-
bre o tempo de residência, utilizando-se os dados da Tabela 17.1, 
apresentou os resultados da Tabela 17.2. O intercepto a é 1,0793 e 
o coeficiente angular b é 0,5897. Portanto, a equação estimada é:
Atitude (Ŷ) = 1,0793 + 0,5897 (tempo de residência)
O erro padrão ou o desvio-padrão de b é estimado em 0,07008, 
e o valor da estatística t é t � 0,5897/0,07008 � 8,414, com n – 2 
� 10 graus de liberdade. Na Tabela 4 dos Apêndices Estatísticos, 
vemos que o valor crítico de t com 10 graus de liberdade e � � 0,05 
é 2,228 para um teste bicaudal. Como o valor calculado de t é maior 
do que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Logo, existe uma 
relação linear significativa entre a atitude em relação à cidade e 
o tempo de residência nela. O sinal positivo do coeficiente angu-
lar indica que essa relação é positiva. Em outras palavras, os que 
residem há mais tempo na cidade têm atitude mais favorável em 
relação a ela. A implicação para gerentes, autoridades municipais 
e políticos é a mesma que a discutida para a correlação simples, 
sujeita à representatividade da amostra.
Determinar a intensidade e a significância da 
associação
Uma inferência relacionada envolve a determinação da intensidade 
e da significância da associação entre Y e X. A intensidade da re-
lação é medida pelo coeficiente de determinação, r2. Na regressão 
bivariada, r2 é o quadrado do coeficiente de correlação simples ob-
tido ao correlacionar as duas variáveis. O coeficiente r2 varia entre 
0 e 1 e indica a proporção da variação total em Y que é ocasionada 
pela variação em X. A decomposição da variação total em Y é aná-
loga à da análise da variância (Capítulo 16). Conforme mostra a 
Figura 17.6, a variação total, SQy, pode ser decomposta na variação 
proporcionada pela reta de regressão, SQreg, e o erro ou a variação 
residual, SQerro ou SQres, como segue:
SQy � SQreg + SQres
Onde
Pode-se então calcular a intensidade da associação:
Para ilustrar os cálculos de r2, consideremos novamente o efei-
to do tempo de residência sobre a atitude em relação à cidade. Pelos 
cálculos anteriores do coeficiente de correlação simples, sabemos 
que:
Os valores previstos (Ŷ) podem ser calculados com auxilio da 
equação de regressão:
Atitude (Ŷ) � 1,0793 + 0,5897 (tempo de residência)
Para a primeira observação da Tabela 17.1, esse valor é:
(Ŷ) � 1,0793 + 0,5897 x 10 � 6,9763
Para cada observação sucessiva, os valores previstos são, pela 
ordem: 8,1557, 8,1557, 3,4381, 8,1557, 4,6175, 5,7969, 2,2587, 
11,6939, 6,3866, 11,1042, 2,2587. Portanto,
Y
X
Y
Variação
total,
SQ
y
Variação residual,
SQ
res
Variação explicada,
SQ
reg
FIGURA 17.6 Decomposição da variação total na re-
gressão bivariada.
Malhotra_17.indd 430Malhotra_17.indd 430 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 431
Pode-se ver que SQy = SQreg + SQ,s. Além disso,
Outro teste equivalente para examinar a significância da rela-
ção linear entre X e Y (significância de b) é o teste da significância 
do coeficiente de determinação. As hipóteses, neste caso, são:
H0: R
2
 pop � 0
H1: R
2
 pop > 0
A estatística de teste apropriada é a estatística F:
que tem distribuição F com 1 e n – 2 graus de liberdade. O teste F 
é uma forma generalizada do testet (ver Capítulo 15). Se uma va-
riável aleatória tiver distribuição t com n graus de liberdade, então 
t2 tem distribuição F com 1 e n graus de liberdade. Logo, o teste F 
para testar a significância do coeficiente de determinação é equiva-
lente a testar as seguintes hipóteses:
H0: �1 � 0
H1: �1 � 0
Ou
H0: � �0
H1: � � 0
Pela Tabela 17.2, pode-se ver que:
que é o mesmo valor já calculado anteriormente. O valor da esta-
tística F é:
com 1 e 10 graus de liberdade. A estatística F calculada excede o 
valor crítico de 4,96 obtido na Tabela 5 dos Apêndices Estatísticos. 
Portanto, a relação é significativa ao nível � � 0,05, corroborando 
os resultados do teste t. Se a relação entre X e Y for significativa, 
faz sentido prever os valores de Y com base nos valores de X e esti-
mar a precisão da predição.
Verificar a precisão da previsão
Para estimar a precisão dos valores previstos, Ŷ, convém calcular o 
erro padrão da estimativa, EPE. Essa estatística é o desvio-padrão 
dos valores reais de Y em relação aos valores Ŷ previstos.
Ou
ou, de forma mais geral, se há k variáveis independentes,
O EPE pode ser interpretado como uma espécie de resíduo médio 
ou erro médio na predição de Y com base na equação de regressão.11
Podem surgir dois casos de previsão. O pesquisador pode que-
rer predizer o valor médio de Y para todos os casos com um de-
terminado valor de X, digamos X0, ou prever o valor de Y para um 
único caso. Em ambas as situações, o valor previsto é o mesmo e é 
dado por Ŷ, onde:
Entretanto, o erro padrão é diferente nas duas situações, embora em 
ambas seja uma função do EPE. Para grandes amostras, o erro pa-
drão na predição do valor médio de Y é , e para predizer 
valores individuais de Y é EPE. Logo, a construção de intervalos 
de confiança (ver Capítulo 12) para os valores previstos varia, con-
forme estejamos prevendo o valor médio ou o valor para uma única 
observação.
Para os dados da Tabela 17.2, o EPE é estimado conforme a 
seguir:
As duas etapas finais da regressão bivariada, a saber, o exame dos 
resíduos e a validação cruzada do modelo, serão consideradas mais 
adiante.
Suposições
O modelo de regressão exige várias suposições na estimativa dos pa-
râmetros e no teste de significância, conforme mostra a Figura 17.5:
 1. O termo de erro tem distribuição normal. Para cada valor fixo 
de X, a distribuição de Y é normal.12
 2. As médias de todas essas distribuições normais de Y, dado X, 
situam-se em uma reta de coeficiente angular b.
 3. A média do termo de erro é 0.
 4. A variância do termo de erro é constante. Essa variância não 
depende dos valores que X toma.
 5. Os termos de erro não são correlacionados. Em outras pala-
vras, as observações são extraídas independentemente umas 
das outras.
Mediante exame dos resíduos, pode-se obter uma visualização 
do alcance dessas suposições. Esse assunto é abordado na próxima 
seção sobre regressão múltipla.13
PESQUISA ATIVA
Associando a propaganda e as vendas da Ford
Acesse www.ford.com e pesquise na Internet (utilizando um dispo-
sitivo de busca) e no banco de dados on-line de sua biblioteca infor-
mações sobre as relações entre propaganda e vendas para fabricantes 
de automóveis.
Formule um modelo de regressão bivariada explicando a relação 
entre propaganda e vendas na indústria automobilística.
Como diretor de marketing da Ford Motor Company, como você 
determinaria suas despesas com propaganda?
Malhotra_17.indd 431Malhotra_17.indd 431 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
432 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
Regressão múltipla
A regressão múltipla envolve uma única variável dependente e 
duas ou mais variáveis independentes. As questões suscitadas no 
contexto da regressão bivariada também podem ser resolvidas via 
regressão múltipla, com a consideração de variáveis independentes 
adicionais:
 • A variação nas vendas pode ser explicada em termos da va-
riação nas despesas de propaganda, nos preços e no nível de 
distribuição?
 • A variação na participação de mercado pode ser decorrência 
do tamanho da equipe de vendas, das despesas de propaganda 
e dos orçamentos de promoção de vendas?
 • A conscientização dos consumidores quanto à qualidade é 
determinada pela sua percepção quanto a preços, imagem e 
atributos da marca?
regressão múltipla
Técnica estatística que desenvolve simultaneamente uma relação ma-
temática entre duas ou mais variáveis independentes e uma variável 
dependente intervalar.
A regressão múltipla pode também responder a outras questões:
 • Quanto da variação nas vendas pode ser explicado pelas des-
pesas de propaganda, pelos preços e pelo nível de distribuição?
 • Qual é a contribuição das despesas de propaganda para expli-
car a variação nas vendas, quando os níveis de preços e de 
distribuição são controlados?
 • Que níveis de venda podemos esperar, dados os níveis de des-
pesas, de preços e de distribuição?
Pesquisa real
Marcas globais – anúncios locais
Os europeus são receptivos a produtos de outros países, mas quando se 
trata de propaganda, preferem a “prata da casa”. Em uma pesquisa feita 
por Yankelovich and Partners (www.yankelovich.com) e suas afiliadas, 
constatou-se que os comerciais favoritos da maioria dos europeus se 
referiam a marcas locais, embora eles não hesitem em comprar produtos 
de marcas estrangeiras. Respondentes na França, na Alemanha e no Rei-
no Unido indicaram a Coca-Cola como o refrigerante mais comprado. 
Entretanto, os franceses escolheram como favorito o anúncio da afa-
mada e premiada água Perrier. Na Alemanha, o anúncio preferido foi 
o de uma marca alemã de cerveja sem álcool, Clausthaler. No Reino 
Unido, porém, a Coca-Cola foi não apenas a bebida favorita como a 
preferida na propaganda. À luz desses resultados, a questão importante 
é: a propaganda ajuda? Ela contribui para aumentar a probabilidade de 
venda da marca, ou apenas mantém em alta o conhecimento da marca? 
Uma forma de resolver esse problema consiste em fazer uma regressão 
na qual a variável dependente é a probabilidade de compra da marca e 
as variáveis independentes são as avaliações das qualidades do produto 
e avaliações da propaganda. Podem ser elaborados modelos separados, 
com propaganda e sem ela, para avaliar qualquer diferença significativa 
na contribuição. Podem também ser analisados testes t para verificar a 
contribuição significativa tanto dos atributos da marca como da propa-
ganda. Os resultados indicam até que ponto a propaganda desempenha 
um papel importante nas decisões de compra da marca. Junto a esses 
resultados, um estudo realizado recentemente revelou que a tentativa de 
construir fidelidade na compra de uma marca por meio de promoções de 
vendas não é uma forma desejável de alcançar esse objetivo. Segundo o 
estudo, as promoções de vendas apenas incentivam uma troca momen-
tânea de marca e simplesmente melhoram o desempenho a curto prazo 
para as empresas. Além disso, no longo prazo, uma promoção de ven-
das pode implicar uma baixa qualidade, ou imagem de marca instável 
frente aos consumidores, ou pode inclusive confundi-los, o que poderia 
também levar a um declínio na fidelidade à marca. Os resultados desse 
estudo mostram que sacrificar a propaganda e confiar nas promoções de 
vendas reduz as associações de marca, o que finalmente acabará levando 
a uma diminuição nas compras por fidelidade à marca.14 ■
A forma geral do modelo de regressão múltipla é:
que é estimado pela seguinte equação:
modelo de regressão múltipla
Equação usada para explicar os resultados da análise de regressão 
múltipla.
Como anteriormente, o coeficiente a representa o intercepto, 
mas os bs são agora coeficientes de regressão parcial. O critério de 
mínimos quadrados estima os parâmetros de forma a minimizar o 
erro total, SQres.Esse processo também maximiza a correlação entre 
os valores reais de Y e os valores previstos, Ŷ. Todas as suposições 
feitas na regressão bivariada aplicam-se também à regressão múlti-
pla. A seguir definimosalgumas estatísticas associadas e, posterior-
mente, descrevemos o processo da análise de regressão múltipla.15
Estatísticas associadas à regressão múltipla
A maioria das estatísticas e dos termos estatísticos utilizados na 
regressão bivariada também se aplicam à regressão múltipla. Além 
disso, são empregadas as seguintes estatísticas:
R2 ajustado: R2, coeficiente de determinação múltipla, é ajus-
tado para o número de variáveis independentes e para o ta-
manho da amostra levando em conta os retornos decrescentes. 
Após as primeiras variáveis, as variáveis independentes adi-
cionais não oferecem grande contribuição.
Coeficiente de determinação múltipla: a intensidade de asso-
ciação em regressão múltipla é medida pelo quadrado do coe-
ficiente de correlação múltipla, R2, que é chamado também de 
coeficiente de determinação múltipla.
Teste F: o teste F é usado para testar a hipótese nula de que 
o coeficiente de determinação múltipla na população, R2pop, é 
zero. Isso equivale a testar a hipótese nula H0: �1 � �2 � �3 
�... ��k � 0. A estatística de teste tem distribuição F com k e 
(n – k – 1) graus de liberdade.
Teste F parcial: pode-se testar a significância de um coefi-
ciente de regressão parcial, �i, de Xi, com auxílio de uma esta-
tística F incremental. A estatística F incremental se baseia no 
incremento da soma explicada de quadrados resultante da adi-
ção da variável independente Xi à equação de regressão após 
terem sido incluídas todas as outras variáveis independentes.
Coeficiente de regressão parcial: o coeficiente de regressão 
parcial, b1, denota a variação no valor previsto, Ŷ, por unidade 
de variação em X1 quando as outras variáveis independentes, 
X2 a Xk, são mantidas constantes.
Malhotra_17.indd 432Malhotra_17.indd 432 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 433
Como fazer análise de regressão múltipla
Os passos para a elaboração de uma análise de regressão múltipla 
são similares aos adotados na regressão bivariada. O foco da dis-
cussão reside nos coeficientes de regressão parcial, intensidade de 
associação, teste de significância e avaliação de resíduos.
Coeficientes de regressão parcial
Para entender o significado de um coeficiente de regressão parcial, 
consideremos um caso em que há duas variáveis independentes, de 
forma que
Ŷ = a + b1X1 + b2X2
Observemos inicialmente que a magnitude relativa do coeficiente 
de regressão parcial de uma variável independente costuma ser dife-
rente daquela do seu coeficiente de regressão bivariada. Em outras 
palavras, o coeficiente de regressão parcial, b1, será diferente do 
coeficiente de regressão, b, obtido ao fazermos Y regredir sobre X1 
somente. Isso ocorre porque X1 e X2 são geralmente correlacionadas. 
Na regressão bivariada, não consideramos X2, e qualquer variação 
em Y compartilhada por X1 e X2 foi atribuída a X1. Entretanto, no 
caso de variáveis independentes múltiplas, isso não se justifica mais.
A interpretação do coeficiente de regressão parcial, b1, é que 
ele representa a variação esperada em Y quando X1 varia de uma 
unidade mas X2 é mantida constante ou controlada de outra forma. 
De maneira semelhante, b2 representa a variação esperada em Y 
para uma variação unitária em X2, quando X1 é mantida constante. 
É, pois, adequada a designação de coeficientes de regressão parcial 
para b1 e b2. Pode-se ver também que os efeitos combinados de X1 e 
X2 sobre Y são aditivos. Em outras palavras, se X1 e X2 variam cada 
um de uma unidade, a variação esperada em Y será (b1 + b2).
Conceitualmente, pode-se ilustrar como segue a relação entre 
o coeficiente de regressão bivariada e o coeficiente de regressão 
parcial. Suponhamos que se deva remover de X1 o efeito de X2. Para 
tanto, fazemos uma regressão de X1 sobre X2. Em outras palavras, 
estimaríamos a equação X̂1� a + bX2 e calcularíamos o resíduo Xr. 
� (X1 – X̂1). O coeficiente de regressão parcial, b1, é igual ao coe-
ficiente de regressão bivariada, br, obtido da equação Ŷ � a + brXr. 
Em outras palavras, o coeficiente de regressão parcial, b1, é igual 
ao coeficiente de regressão, br, entre Y e os resíduos de X1 dos quais 
foi removido o efeito de X2. Pode-se dar interpretação análoga ao 
coeficiente parcial b2.
A extensão ao caso de k variáveis é imediata. O coeficiente de 
regressão parcial, b1, representa a variação esperada em Y quando 
X1 varia de uma unidade e X2 a Xk são mantidas constantes. Pode ser 
interpretado também como o coeficiente de regressão bivariada, b, 
para a regressão de Y sobre os resíduos de X1 quando o efeito de X2 
a Xk foi removido de X1.
Os coeficientes beta são os coeficientes de regressão parcial 
obtidos quando todas as variáveis (Y,X1,X2,. Xk) foram padronizadas 
com média 0 e variância 1 antes de estimar a equação de regressão. 
A relação dos coeficientes padronizados para os não padronizados 
é a mesma que a anterior:
O intercepto e os coeficientes de regressão parcial são estima-
dos ao resolver um sistema de equações simultâneas obtido ao dife-
renciar e igualar a 0 as derivadas parciais. Como esses coeficientes 
são estimados automaticamente por vários programas de computa-
dor, não vamos apresentar os detalhes. Cabe notar, entretanto, que 
as equações não podem ser resolvidas se (1) o tamanho da amostra, 
n, não superar o número de variáveis independentes, k, ou (2) uma 
variável independente tiver correlação perfeita com outra.
Suponha que, ao explicar a atitude em relação à cidade, intro-
duzamos uma segunda variável – a importância atribuída ao clima. 
A Tabela 17.1 apresenta os dados dos 12 entrevistados em um teste 
preliminar sobre atitude em relação à cidade, tempo de residência 
e importância atribuída ao clima. A Tabela 17.3 exibe os resultados 
da análise de regressão múltipla. O coeficiente de regressão parcial 
TABELA 17.3
Regressão múltipla
R múltiplo 0,97210
R2 0,94498
R2 ajustado 0,93276
Erro padrão 0,85974
gl
Análise da variância
Soma de quadrados
Quadrado 
médio
Regressão 2 114,26425 57,13213
Resíduo 9 6,65241 0,73916
F � 77,29364 Significância de F � 0,0000
Variáveis na equação
Variável b SEB Beta (B) t Significância de t
Importância 0,28865 0,08608 0,31382 3,353 0,0085
Tempo 0,48108 0,05895 0,76363 8,160 0,0000
(Constante) 0,33732 0,56736 0,595 0,5668
SPSS Arquivo de Saída
SAS Arquivo de Saída
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434 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
para o tempo de residência (X1) agora é 0,48108, diferente do que 
era no caso bivariado. O coeficiente beta correspondente é 0,7636. 
O coeficiente de regressão parcial para a importância atribuída ao 
clima (X2) é 0,28865, com um coeficiente beta de 0,3138. A equa-
ção estimada de regressão é:
(Ŷ) � 0,33732 + 0,48108X1 + 0,28865X2
Ou
Atitude � 0,33732 + 0,48108 (Tempo) + 0,28865 (Importância)
Essa equação pode ser utilizada para vários fins, inclusive a previ-
são de atitudes em relação à cidade com base no conhecimento do 
tempo de residência dos entrevistados na cidade e a importância 
que eles atribuem ao clima.
Intensidade de associação
Pode-se determinar a intensidade da relação estipulada pela equa-
ção de regressão utilizando medidas adequadas de associação. A 
variação total se decompõe como no caso bivariado:
SQy = SQreg + SQres
Onde:
A intensidade da associação é medida pelo quadrado do coeficiente 
de correlação múltipla, R2, também chamado de coeficiente de de-
terminação múltipla.
O coeficiente de correlação múltipla, R, também pode ser visto 
como o coeficiente de correlação simples, r, entre Y e . São dignos 
de nota vários pontos sobre as características de R2. O coeficien-
te de determinação múltipla, R2, não pode ser menor que o maior 
bivariado, r2, de qualquer variável independente individual com a 
variável dependente. R2 será maior quando as correlações entre as 
variáveis independentes forem baixas. Se as variáveis independen-
tes forem estatisticamente independentes(não correlacionadas), 
então R2 será a soma dos r2 bivariados de cada variável indepen-
dente com a variável dependente. R2 não pode decrescer quando se 
acrescentam mais variáveis independentes à equação de regressão. 
Entretanto, em virtude dos retornos decrescentes, as variáveis adi-
cionais não dão qualquer contribuição sensível.16 Por essa razão, R2 
é ajustado para o número de variáveis independentes e o tamanho 
da amostra pela fórmula:
Para os resultados de regressão dados na Tabela 17.3, o valor de 
R2 é:
Esse valor é maior do que o valor de r2, 0,8762, obtido no caso 
bivariado, que é o quadrado da correlação simples (momento-
-produto) entre atitude em relação à cidade e tempo de residência. 
O R2 obtido na regressão múltipla também é maior do que o qua-
drado da correlação simples entre atitude e importância atribuída 
ao clima (que pode ser estimada em 0,5379). O R2 ajustado é es-
timado em:
 
Observe que o valor de R2 ajustado está próximo de R2 e ambos são 
maiores do que r2 para o caso bivariado. Isso sugere que o acrés-
cimo da segunda variável independente, importância atribuída ao 
clima, dá uma contribuição para explicar a variação da atitude em 
relação à cidade.
Teste da significância
Esse teste envolve o teste da significância não só da equação de 
regressão global como dos coeficientes específicos de regressão 
parcial. A hipótese nula para o teste global é que o coeficiente de 
determinação múltipla na população, R2pop, é zero.
H0: R
2
pop � 0
Isso equivale à seguinte hipótese nula:
H0: �1 � �2 � �3 �...� �k � 0
O teste global pode ser feito com uma estatística F:
que tem distribuição F com k e (n – k – 1) graus de liberdade.17 Para 
os resultados de regressão múltipla da Tabela 17.3,
significativo ao nível � � 0,05.
Se a hipótese nula for rejeitada, pelo menos um coeficiente de 
regressão parcial da população é diferente de zero. Para determinar 
que coeficientes específicos (�´is) são diferentes de zero, são ne-
cessários testes adicionais. O teste da significância dos �´is pode 
ser feito da maneira análoga ao do caso bivariado, utilizando testes 
t. A significância do coeficiente parcial da importância atribuída ao 
clima pode ser testada pela seguinte equação:
que tem distribuição t com n – k – 1 graus de liberdade. Esse coefi-
ciente é significativo ao nível � � 0,05. Testa-se de maneira análo-
ga a significância do coeficiente do tempo de residência, que cons-
tatamos ser significativa. Logo, tanto o tempo de residência como 
a importância atribuída ao clima são importantes para explicar a 
atitude em relação à cidade.
Malhotra_17.indd 434Malhotra_17.indd 434 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 435
Alguns programas de computador contêm um teste F equiva-
lente, geralmente chamado de teste F parcial. Esse teste envolve 
uma decomposição da soma de quadrados de regressão, SQreg, em 
componentes relativos a cada variável independente. Na aborda-
gem padrão, isso se faz supondo que cada variável independente 
tenha sido acrescentada à equação de regressão após terem sido 
incluídas todas as outras variáveis independentes. O incremento na 
soma de quadrados explicada, resultante da adição de uma variável 
independente, é o componente da variação atribuída àquela variá-
vel, e se denota por SQxi.
18 Testa-se a significância do coeficiente de 
regressão parcial para esta variável, com auxílio de uma estatística 
F incremental:
que tem distribuição F com 1 e (n – k – 1) graus de liberdade.
Embora um valor alto de R2 e coeficientes significativos de re-
gressão parcial sejam satisfatórios, a eficácia do modelo de regres-
são deve ser avaliada mais cuidadosamente mediante o exame dos 
resíduos.
Exame dos resíduos
Um resíduo é a diferença entre o valor observado de Yi, e o valor 
previsto pela equação de regressão, Ŷi. Os resíduos são utilizados 
no cálculo de várias estatísticas associadas à regressão. Além disso, 
os diagramas de dispersão, em que são diagramados os resíduos 
versus os valores previstos, Ŷi, tempo, ou variáveis previsoras, per-
mitem uma visão adequada das suposições fundamentais e da vali-
dade do modelo ajustado.19
resíduo
Diferença entre o valor observado de Y, e o valor previsto pela equa-
ção de regressão, Ŷi.
A suposição de um termo de erro distribuído normalmente 
pode ser avaliada construindo um histograma dos resíduos padro-
nizados. Uma verificação visual revela se a distribuição é normal. 
Também é útil examinar o gráfico de probabilidade de normalidade 
dos resíduos padronizados, que mostra os resíduos padronizados 
comparados a resíduos padronizados esperados de uma distribuição 
normal. Se os resíduos observados forem normalmente distribuí-
dos, eles ficarão em uma reta de 45°. Além disso, dê uma olhada 
na tabela de estatísticas residuais e identifique quaisquer valores 
padronizados previstos ou resíduos padronizados que são maiores 
do que ± um ou dois desvios-padrão. Essas porcentagens podem ser 
comparadas com o que se poderia esperar com a distribuição nor-
mal (68 e 95%, respectivamente). Com o teste K-S de uma amostra, 
fazemos uma avaliação mais formal.
A suposição de variância constante do termo de erro pode 
ser examinada diagramando os resíduos versus os valores pre-
vistos da variável dependente, Ŷi. Se o padrão não for aleatório, a 
variância do termo de erro não é constante. A Figura 17.7 mostra 
um padrão cuja variância depende dos valores de Ŷi.
Um gráfico dos resíduos ao longo do tempo, ou da sequência 
de observações, lançará alguma luz sobre a suposição de que os 
termos de erro não são correlacionados. Se essa suposição for ver-
dadeira, deve-se observar um padrão aleatório. Um gráfico como 
o da Figura 17.8 indica uma relação linear entre os resíduos e o 
tempo. O teste de Durbin-Watson é um procedimento mais formal 
para estudar as correlações entre os termos de erro20.
O gráfico de resíduos versus variáveis independentes eviden-
cia se um modelo linear é adequado ou não. Mais uma vez, o grá-
fico deve apresentar um padrão aleatório. Os resíduos dispõem-se 
aleatoriamente, com dispersão relativamente igual em torno de 0, e 
não devem apresentar qualquer tendência, seja positiva ou negativa.
Para verificar se devemos incluir quaisquer variáveis adicio-
nais na equação de regressão, podemos fazer uma regressão dos 
resíduos sobre as variáveis propostas. Se qualquer variável explica 
uma proporção significativa da variação residual, ela deve ser in-
cluída. A inclusão de variáveis na equação de regressão deve ser 
fortemente orientada pela teoria do pesquisador. Assim, um estudo 
dos resíduos proporciona uma visualização valiosa da adequação 
das suposições básicas e do modelo que é ajustado. A Figura 17.9 
exibe um gráfico que indica que as suposições básicas são satis-
feitas e que o modelo linear é adequado. Se o exame dos resíduos 
indicar que as suposições básicas da regressão linear não são satis-
feitas, o pesquisador pode transformar as variáveis, em uma ten-
tativa de satisfazer as suposições. Transformações, como extrair 
logaritmos, ou raízes quadradas ou recíprocas, podem estabilizar a 
variância, normalizar a distribuição ou tornar linear a relação.
Os gráficos e as tabelas residuais podem ser pedidos quando a 
regressão é feita, por exemplo, ao usar o SPSS. Você deve realizar 
essas análises para a regressão múltipla dos dados da Tabela 17.1. 
A partir do histograma, pode-se ver que cinco resíduos são posi-
tivos, enquanto sete são negativos. Ao comparar a distribuição de 
R
es
id
ua
ls
Predicted Y Values
R
es
íd
uo
s
Valores previstos de Y
FIGURA 17.7 Gráfico dos resíduos, indicando que a va-
riância não é constante.
R
es
id
ua
ls
Time
R
es
íd
uo
s
Tempo
FIGURA 17.8 Gráfico indicando uma relação linear en-
tre resíduos e tempo.
R
es
id
ua
ls
Predicted Y Values
R
es
íd
uo
s
Valores previstos de Y
FIGURA 17.9 Gráfico de resíduos indicando que o mo-
delo ajustado é adequado.
Malhotra_17.indd 435Malhotra_17.indd435 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
436 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
frequência com a distribuição normal mostrada no mesmo resulta-
do, visualizamos que a suposição de normalidade provavelmente 
não é satisfeita, mas que o desvio da normalidade pode não ser 
significativo. Certamente, podemos fazer um teste estatístico mais 
formal para a normalidade se isso for garantido. Todos os resíduos 
estatísticos estão dentro de ± dois desvios-padrão. Além disso, mui-
tos dos resíduos são relativamente pequenos, o que indica que a 
maioria dos modelos de previsão são bons.
O gráfico da probabilidade de normalidade mostra que os resí-
duos estão bem próximos da reta de 45° apresentada. Quando compa-
ramos o gráfico dos resíduos padronizados com os valores previstos, 
nenhum padrão sistemático pode ser visto na disposição dos resíduos. 
Finalmente, a tabela de estatísticas residuais indica que todos os va-
lores previstos e todos os resíduos estão dentro de ± dois desvios-
-padrão. Assim, concluímos que a regressão múltipla dos dados da 
Tabela 17.1 não parece resultar em violações inaceitáveis das suposi-
ções. Isso sugere que a relação que estamos tentando prever é linear e 
que os termos de erro são mais ou menos distribuídos normalmente.
Pesquisa real
O que influencia os preços dos ingressos? Um novo 
estádio!
Uma das principais fontes de receita para qualquer time profissional é a 
venda de ingressos, especialmente a venda para os sócios da tempora-
da. Um estudo fez uma análise de regressão para identificar que fatores 
causavam a variação dos preços dos ingressos entre os times na mesma 
liga em um determinado ano. A equação de regressão empregada foi a 
seguinte:
LNPMI � a0 + a1NVIT + a2RENDA + a3PAG+ a4POP + a5TEND + 
a6CAP + a7EST
Onde:
LNPMI � logaritmo neperiano do preço médio dos ingressos
PMI � preço médio dos ingressos
NVIT � número médio de vitórias do time nas últimas três temporadas
RENDA � nível médio de renda da população da cidade
PAG � folha de pagamento do time
POP � tamanho da população da cidade
TEND � tendências no setor
CAP � público como porcentagem da capacidade
EST � se o time está jogando em um estádio novo
A pesquisa reuniu dados cobrindo um período de 7 anos (1996-2002). 
Os dados financeiros foram obtidos do Team Marketing Reports e os 
outros dados foram coletados utilizando fontes disponíveis publica-
mente, como reportagens esportivas. Os resultados das análises de re-
gressão podem ser vistos na tabela no pé da página.
Os resultados sugerem que diversos fatores influenciam os preços 
dos ingressos, e o principal deles foi o fato de o time estar jogando em 
um estádio novo. 21 ■
Como no exemplo anterior, algumas variáveis independentes conside-
radas em um estudo muitas vezes se mostram insignificantes. Quando 
há muitas variáveis independentes e o pesquisador suspeita que nem 
todas elas são significantes, a regressão passo a passo deve ser usada.
Regressão passo a passo
O objetivo da regressão passo a passo é selecionar, entre inúme-
ras variáveis previsoras, um pequeno subconjunto de variáveis que 
respondam pela maior parte da variação na variável dependente. 
Nesse procedimento, as variáveis previsoras entram na equação de 
regressão, ou saem dela, uma de cada vez.22 Há várias abordagens 
para a regressão passo a passo.
regressão passo a passo
Procedimento de regressão em que as variáveis previsoras entram na 
equação de regressão, ou saem dela, uma de cada vez.
 1. Inclusão avançada. Inicialmente, não há variáveis previsoras 
na equação de regressão. Elas são introduzidas uma de cada 
vez somente se satisfizerem certos critérios definidos em ter-
Resultados da regressão
MLB NBA NFL NHL
Variável
Coefi-
ciente
Estatísti-
ca t
Valor 
p
Coefi-
ciente
Estatísti-
ca t
Valor 
p
Coefi-
ciente
Estatísti-
ca t
Valor 
p
Coefi-
ciente
Estatísti-
ca t
Valor 
p
Constante 1,521 12,012 0,000 2,965 20,749 0,000 2,886 18,890 0,000 3,172 16,410 0,000
POP 0,000 5,404 0,000 0,000 5,036 0,000 0,000 –2,287 0,023 0,000 2,246 0,026
RENDA 0,000 3,991 0,000 0,000 0,208 0,836 0,000 3,645 0,000 0,000 0,669 0,504
EST 0,337 5,356 0,000 0,108 3,180 0,002 0,226 3,357 0,001 0,321 4,087 0,000
NVIT 0,000 0,091 0,927 0,004 3,459 0,001 0,013 2,190 0,030 0,001 0,369 0,713
CAP 0,006 8,210 0,000 0,000 2,968 0,003 0,002 1,325 0,187 0,005 3,951 0,000
PAG 0,004 4,192 0,000 0,008 5,341 0,000 0,001 0,607 0,545 0,002 1,099 0,273
TEND 0,047 6,803 0,000 0,016 1,616 0,100 0,058 6,735 0,000 0,009 0,718 0,474
CAN (Canadá) –0,146 –3,167 0,002
 
R2 Ajustado 0,778 0,488 0,443 0,292
Estatística F 98,366 28,227 24,763 9,545
Significância de F 0,000 0,000 0,000 
Malhotra_17.indd 436Malhotra_17.indd 436 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
CAPÍTULO 17 ● CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 437
mos da razão F. A ordem em que as variáveis são incluídas se 
baseia na contribuição para a variância explicada.
 2. Eliminação para trás. Inicialmente, todas as variáveis previso-
ras são incluídas na equação de regressão. Removem-se então 
as variáveis previsoras uma de cada vez, com base na razão F.
 3. Solução passo a passo. Combina-se a inclusão antecipada 
com a remoção das variáveis previsoras que não mais satisfa-
zem o critério especificado em cada passo.
Os procedimentos da regressão passo a passo não resultam em 
equações ótimas de regressão, no sentido de gerar o maior R2 para um 
número determinado de previsores. Em razão das correlações entre 
previsores, pode ocorrer que uma variável importante nunca venha a 
ser incluída, enquanto variáveis menos importantes podem ser intro-
duzidas na equação. Para identificar uma equação ótima de regressão, 
teríamos de calcular soluções combinatórias em que se examinem to-
das as combinações possíveis. Ainda assim, a regressão passo a passo 
é útil quando o tamanho da amostra for grande em relação ao número 
de variáveis previsoras, conforme mostra o exemplo a seguir.
Pesquisa real
Saindo... para o shopping center
Até mesmo no século XXI olhar e comparar é uma parte fundamental 
das compras – seja on-line ou no shopping. Os clientes gostam de ana-
lisar suas decisões de compra antes de realizá-las. Muitos consideram 
que os varejistas de lojas físicas têm uma vantagem sobre os varejistas 
da Internet quando se trata de comparar, porque os primeiros são maio-
res em tamanho e ofertas de produtos. Embora a Web seja mais atraente 
para os compradores mais jovens, o shopping continuará muito à fren-
te nessa corrida, especialmente com tantas opções de entretenimento 
sendo construídas dentro dele atualmente. Elaborou-se um perfil dos 
clientes comparadores em shopping centers regionais utilizando três 
conjuntos de variáveis independentes: demográficas, comportamentais 
e variáveis psicológicas de atitude. A variável dependente consistiu 
em um índice de curiosidade/comparação. Em uma regressão passo 
a passo incluindo os três conjuntos de variáveis, constatou-se que o 
aspecto demográfico era o previsor mais poderoso do comportamento 
de comparação. A equação final de regressão, que continha 20 das 36 
variáveis possíveis, incluía todas as características demográficas. A ta-
bela a seguir apresenta os coeficientes de regressão, erros padrão dos 
coeficientes e seus níveis de significância.
Ao interpretar os coeficientes, deve-se ter em mente que quanto 
menor for o índice de curiosidade/comparação (a variável dependen-
te), maior a tendência de apresentar um comportamento associado à 
comparação. Os dois previsores com maiores coeficientes são gênero e 
situação de emprego. Os comparadores tendem a ser mulheres empre-
gadas. Tendem também a se situar em posição ligeiramente inferior em 
comparação com outros clientes do shopping center, apresentando ní-
veis mais baixos de instrução e de renda, após levar em conta os efeitos 
do gênero e da situação de emprego. Embora os comparadores tendam 
a ser um pouco mais jovens que os não comparadores, não são necessa-
riamente solteiros;os que relatam tamanhos maiores de família tendem 
a se associar a menores valores do índice de curiosidade/comparação.
O perfil menos afluente dos curiosos em relação a outros clientes 
indica que as lojas especializadas nos shopping centers devem dar ên-
fase a produtos de preço moderado. Isso pode explicar a taxa historica-
mente baixa de falência em shopping centers de tais lojas e a tendência 
das lojas especializadas, com preços elevados, a se localizarem apenas 
em galerias de prestígio ou em shopping centers mais qualificados.23 ■
Regressão do índice de curiosidade/comparação sobre as variáveis descritivas e de atitude por 
ordem de entrada na regressão passo a passo
Descrição da variável Coeficiente EP Significância
Gênero (0 � masc., 1� fem.) – 0,485 0,164 0,001
Situação de emprego (0 � empregado) 0,391 0,182 0,003
Autoconfiança – 0,152 0,128 0,234
Instrução 0,079 0,072 0,271
Intenção quanto à marca – 0,063 0,028 0,024
Vê TV durante o dia? (0 � sim) 0,232 0,144 0,107
Tensão – 0,182 0,069 0,008
Renda 0,089 0,061 0,144
Frequência das visitas ao shopping – 0,130 0,059 0,028
Menos amigos que a maioria 0,162 0,084 0,054
Bom comprador – 0,122 0,090 0,174
As opiniões de outros são importantes – 0,147 0,065 0,024
Controle sobre a vida – 0,069 0,069 0,317
Tamanho da família – 0,086 0,062 0,165
Pessoa entusiasta – 0,143 0,099 0,150
Idade 0,036 0,069 0,603
Número de compras feitas – 0,068 0,043 0,150
Compras por estabelecimento 0,209 0,152 0,167
Compra com economia – 0,055 0,067 0,412
Excelente avaliador de qualidade – 0,070 0,089 0,435
CONSTANTE 3,250
R2 global � 0,477
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438 PARTE III ● COLETA, PREPARAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS E RELATÓRIO
Multicolinearidade
A regressão passo a passo e a regressão múltipla são dificultadas 
pela presença da multicolinearidade. Praticamente todas as análises 
de regressão múltipla feitas em pesquisa de marketing envolvem 
previsores ou variáveis independentes que são correlacionados. 
Entretanto, surge a multicolinearidade quando as intercorrelações 
entre os previsores são muito altas. A multicolinearidade pode ori-
ginar vários problemas, incluindo:
multicolinearidade
Situação de intercorrelações muito altas entre variáveis independentes.
 1. Os coeficientes de regressão parcial podem não ser estimados 
com precisão. Os erros padrão tendem a ser muito altos.
 2. As magnitudes e os sinais dos coeficientes de regressão par-
cial podem variar de uma amostra para outra.
 3. Torna-se difícil avaliar a importância relativa das variáveis in-
dependentes ao explicar a variação na variável dependente.
 4. Algumas variáveis previsoras podem ser incluídas ou removi-
das incorretamente na regressão passo a passo.
Nem sempre fica claro o que constitui uma multicolinearidade 
grave, embora tenham sido sugeridas várias regras e processos 
empíricos, bem como processos de maior ou menor complexida-
de para enfrentar o problema.24 Um processo simples consiste em 
utilizar apenas uma das variáveis em um conjunto de variáveis al-
tamente correlacionadas. Alternativamente, pode-se transformar o 
conjunto de variáveis independentes em um novo conjunto de pre-
visoras mutuamente independentes, recorrendo-se a técnicas como 
análise dos componentes principais (ver Capítulo 19). Podem ser 
utilizadas também técnicas mais especializadas, como regressão 
em crista e regressão de raízes latentes.25
PESQUISA ATIVA
Avaliação da marca e preferência pelos laptops Lenovo
Visite www.lenovo.com e pesquise na Internet (utilizando um dis-
positivo de busca) e no banco de dados on-line de sua biblioteca 
informações sobre os fatores que os consumidores utilizam ao 
avaliar as marcas concorrentes de laptops.
Como diretor de marketing da Lenovo Computers, como você 
melhoraria a imagem e o posicionamento competitivo de sua marca?
Formule um modelo de regressão múltipla explicando as prefe-
rências do consumidor por marcas de laptop como uma função das 
avaliações da marca nos fatores de critérios de escolha dos consumi-
dores para avaliar marcas concorrentes.
Importância relativa dos previsores
Na presença da multicolinearidade, exige-se um cuidado especial na 
avaliação da importância relativa de variáveis independentes. Na pes-
quisa de marketing aplicada, é conveniente determinar a importância 
relativa dos previsores. Melhor dizendo: qual é a importância das 
variáveis independentes na justificativa para a variação na variável 
dependente?26 Infelizmente, como os previsores são correlacionados, 
não existe uma medida não ambígua da importância relativa dos pre-
visores na análise de regressão.27 Não obstante, há várias abordagens 
para avaliar a importância relativa das variáveis previsoras.
 1. Significância estatística. Se o coeficiente de regressão par-
cial de uma variável não for significativo, conforme determi-
nado por um teste incremental F, essa variável é considerada 
como não importante. Ocorre uma exceção a essa regra se 
houver fortes razões teóricas para crer que a variável seja 
importante.
 2. Quadrado do coeficiente de correlação simples. Essa medi-
da, r2, representa a proporção da variação na variável depen-
dente explicada pela variável independente em uma relação 
bivariada.
 3. Quadrado do coeficiente de correlação parcial. Essa medida, 
R2yxi.xj xk é o coeficiente de determinação entre a variável de-
pendente e a variável independente, controlando os efeitos das 
outras variáveis independentes.
 4. Quadrado do coeficiente de correlação de partes. Este coefi-
ciente representa um aumento em R2 quando se introduz uma 
variável em uma equação de regressão que já contém as outras 
variáveis independentes.
 5. Medidas baseadas em coeficientes padronizados ou pesos 
beta. As medidas mais usadas são os valores absolutos dos 
pesos beta, |Bi|, ou seus quadrados Bi
2. Como são coeficientes 
parciais, os pesos beta levam em conta o efeito das outras va-
riáveis independentes. Essas medidas vão se tornando menos 
confiáveis conforme aumentam as correlações entre as variá-
veis previsoras (a multicolinearidade aumenta).
 6. Regressão passo a passo. Utiliza-se a ordem em que os previ-
sores entram em uma equação de regressão ou saem dela para 
inferir sua importância relativa.
Como os previsores são correlacionados, ao menos até certo 
ponto, em praticamente todas as situações de regressão, nenhu-
ma dessas medidas é satisfatória. É possível também que as di-
ferentes medidas indiquem uma ordem diferente de importância 
dos previsores.28 Todavia, se todas as medidas forem examinadas 
coletivamente, pode-se obter uma visualização conveniente da 
importância relativa dos previsores.
Pesquisa de decisão
West Michigan Whitecaps: estimulando a 
fidelidade dos torcedores
A situação
O West Michigan Whitecaps (www.whitecaps-baseball.com), um 
time da liga nacional de beisebol de Gram Rapids, Estados Unidos, 
queria saber o que eles deveriam fazer para desenvolver a fidelidade 
dos torcedores. Como eles poderiam mantê-la, fazê-la crescer e apro-
veitá-la? O diretor geral Scott Lane contratou a empresa de pesquisa 
Message Factors (www.messagefactors.com), com base em Memphis, 
Tennessee, para ajudar a identificar maneiras de manter com eficácia 
a fidelidade dos torcedores com um orçamento limitado. A Message 
Factors desenvolveu um estudo que usou uma técnica proprietária de 
análise de valor que examinava a relação entre o valor geral percebido 
e os atributos de satisfação específicos a fim de identificar os elemen-
tos que impulsionam a fidelidade. Ela ajudou a determinar as quatro 
coisas que os clientes querem lhe dizer, que são os elementos básicos 
– o que os clientes esperam da empresa; questões de valor – o que 
os clientes valorizam na empresa; irritações – o que os clientes não 
gostam na empresa; e sem importância – com o que os clientes não se 
importam na empresa.
Pesquisas qualitativas foram feitas para identificar um conjunto de 
71 atributos que influenciarama fidelidade dos torcedores. Em seguida, 
um questionário elaborado para incorporar os 71 atributos foi aplicado 
Malhotra_17.indd 438Malhotra_17.indd 438 15/09/11 08:5715/09/11 08:57
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Quando o nível de associação/relação entre as variáveis é muito grande, o pesquisador identifica 
a multicolinearidade e realiza algumas ações para ajustar esses resultados, possibilitando que os 
resultados sejam mais efetivos para a pesquisa. Assista ao vídeo a seguir, que explica a 
multicolinearidade.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) A respeito da correlação, marque a alternativa com informações INCORRETAS.
A) a) Correlação momento-produto (r) é uma estatística que resume a força de associação 
entre duas variáveis não métricas.
B) b) Coeficiente de correlação parcial é uma medida da associação entre duas variáveis após 
controlar ou ajustar os efeitos de uma ou mais variáveis adicionais.
C) c) Coeficiente de correlação de partes é uma medida da correlação entre X e Y quando os 
efeitos lineares das outras variáveis independentes foram removidos de X (mas não de Y).
D) d) Correlação não métrica é uma medida de correlação para duas variáveis não métricas, 
que se baseia em classificações para calcular a correlação.
E) e) Covariância é a relação sistemática entre duas variáveis, em que uma modificação em 
uma delas acarreta em modificação correspondente na outra (COVxy).
Em que situações a análise de regressão pode ser utilizada? Analise as afirmativas e 
marque a CORRETA. 
I. Determinar se as variáveis independentes explicam uma variação significativa na 
2) 
variável dependente: se existe uma relação. 
II. Determinar quanto da variação na variável dependente pode ser explicado pelas 
variáveis independentes: intensidade da relação. 
III. Determinar a estrutura ou a forma da relação: a equação matemática que 
relaciona as variáveis independentes e dependentes. 
IV. Predizer os valores da variável independente. 
V. Controlar outras variáveis dependentes quando da avaliação das contribuições de 
uma variável ou conjunto de variáveis específicas. 
A) I, II e III estão corretas.
B) I e III estão corretas.
C) I, III e IV estão corretas.
D) III, IV e V estão corretas.
E) IV e V estão corretas.
3) O que é a regressão bivariada? 
A) A intensidade da associação que é medida pelo coeficiente de determinação, r2.
B) Um gráfico dos valores de duas variáveis para todos os casos ou observações.
C) Procedimento de dedução de uma relação matemática, na forma de uma equação, entre 
uma única variável métrica dependente e uma única variável métrica independente ou 
previsora.
D) O coeficiente angular que se obtém pela regressão de Y sobre X quando os dados são 
padronizados.
E) Medida de correlação para duas variáveis não métricas, que se baseia em classificações 
para calcular a correlação.
4) Como fazer uma análise de regressão bivariada? Analise os fluxos propostos e 
marque qual deles estaria na ordem adequada. 
A) 
 
 B) 
 
 C) 
 
 D) 
 
 E) 
 
5) Marque a opção que NÃO condiz com estatísticas associadas à regressão múltipla. 
A) R2 ajustado.
B) Coeficiente de determinação múltipla.
C) Teste F.
D) Teste F parcial.
E) Coeficiente bivariado.
NA PRÁTICA
Victória é gerente de marketing do supermercado Grande Coração. Devido à crise econômica do 
País, o estabelecimento passou a vender menos, e, em um intervalo de seis meses, percebeu-se 
grande diminuição dos lucros.
Após o investimento, Victória percebeu que as vendas aumentaram, e o lucro tem aumentado 
bastante. Porém, Victória agora tem uma grande dúvida: as vendas aumentaram por que o 
consumo voltou a ser maior ou foi efeito das propagandas nas quais a empresa investiu?
Victória percebe, então, a necessidade de uma análise de dados baseada em correlação, para 
entender qual a associação entre: AUMENTO DAS VENDAS vs. PROPAGANDAS.
A partir desta análise, Victória pôde obter duas diferentes conclusões:
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Regressão Linear Simples - Inferência Estatística
Esse vídeo apresenta dicas para você aprender como fazer inferência estatística na análise de 
regressão linear simples, utilizando o Excel para os cálculos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Regressão Linear Múltipla - Variáveis Dummy parte 1
Nesse vídeo você vai aprender o que são Variáveis Dummy e como utilizá-las na regressão 
linear múltipla, sendo demonstrado num caso prático e usando o Excel.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Correlação exercício pesquisa
Aqui é desenvolvido um exercício baseado numa pesquisa, a respeito de correlação, 
relembrando os principais conceitos teóricos sobre o assunto. Assista o vídeo e acompanhe o 
passo-a-passo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Princípio fundamental da Contagem
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos o princípio fundamental da contagem por meio 
de sua definição e exemplos. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer o princípio fundamental de contagem;•
Diferenciar regra da soma de regra do produto;•
Encontrar a solução para problemas utilizando o princípio fundamental de contagem.•
DESAFIO
Carla comprou um carro novo e deseja realizar uma viagem longa para testá-lo. Ela está em 
Recife e quer viajar para Porto Alegre, mas também precisa passar por São Paulo para rever 
familiares. Pesquisando na internet, Carla descobriu que há 5 roteiros diferentes para chegar a 
São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São 
Paulo.
Considerando as opções disponíveis para esta viagem, determine de quantas maneiras possíveis 
Carla poderá viajar de Recife a Porto Alegre.
 
INFOGRÁFICO
O princípio fundamental da contagem é uma das ferramentas mais importantes em Análise 
Combinatória, estabelecendo os principais raciocínios utilizados na resolução de problemas de 
contagem.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Suponha que existe um evento E que possa ocorrer de m maneiras e, independente deste, há um 
segundo evento F que pode ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer 
de m + n maneiras.
Acompanhe trechos extraídos do livro "Matemática Discreta", de Lipschutz e Lipson. Essa obra 
foi escolhida como base teórica da nossa unidade.
Boa leitura.
Terceira edição
Seymour Lipschutz e Marc Lipson
Problema 
 Resolvido
A AJUDA PERFEITA PARA SEUS ESTUDOS!
Mais de 450 problemas resolvidos
 Explicações claras e concisas de todos os conceitos
 Inclui conjuntos, teoria dos grafos, álgebra Booleana, 
cálculo proposicional, máquinas de Turing e muito mais!
Matemática 
Discreta
L767m Lipschutz, Seymour. 
 Matemática discreta [recurso eletrônico] / Seymour 
 Lipschutz, Marc Lars Lipson ; tradução técnica: Adonai
 Schlup Sant’anna. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto 
 Alegre : Bookman, 2013.
 (Coleção Schaum)
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-65837-78-1
 1. Matemática. 2. Matemática discreta. I. Lipson, Marc 
 Lars. II. Título.
CDU 51
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
SEYMOUR LIPSCHUTZ é docente do Departamento de Matemática da Temple University e lecionou no Polytechnic 
Institute of Brooklyn. Obteve seu Ph.D. no Courant Institute of Mathematical Sciences da New York University, em 
1960. É um dos autores mais prolíficos da Coleção Schaum e escreveu também Probability: Finite Mathematics, 2.ed.; 
Beginning Linear Algebra; Set Theory; Essential Computer Mathematics e Álgebra Linear, 2.ed. (publicado pela Book-
man Editora).
MARC LARS LIPSONé docente do Departamento de Matemática da University of Virginia e lecionou na University 
of Georgia. Obteve seu Ph.D. em finanças na University of Michigan, em 1994. É também coautor com Seymour Lips-
chutz de 2000 Solved Problems in Discrete Mathematics e de Álgebra Linear, 3.ed. (publicado pela Bookman Editora).
Técnicas de Contagem
Capítulo 5
5.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo desenvolve algumas técnicas para determinar, sem enumeração direta, o número de resultados possí-
veis de um evento em particular ou o número de elementos de um conjunto. Tal contagem sofisticada é, às vezes, 
chamada de análise combinatória. Ela inclui o estudo de permutações e combinações.
5.2 PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM
Há dois princípios básicos de contagem usados ao longo deste capítulo. O primeiro envolve adição e, o segundo, 
multiplicação.
Princípio da Regra da Soma:
Suponha que algum evento E possa ocorrer de m maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n manei-
ras. Suponha também que ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem 
ocorrer de m + n maneiras.
Princípio da Regra do Produto:
Suponha que existe um evento E que possa ocorrer de m maneiras e, independente deste, há um segundo 
evento F que pode ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras.
Os princípios acima podem ser estendidos para três ou mais eventos. Ou seja, suponha que um evento E1 possa 
ocorrer de n1 maneiras, um segundo evento E2 possa ocorrer de n2 maneiras e, seguindo E2, um terceiro evento E3 
possa ocorrer de n3 maneiras e assim por diante. Então:
Regra da Soma: Se nenhum par de eventos pode ocorrer ao mesmo tempo, logo um dos eventos pode ocorrer de:
n1 + n2 + n3 + · · · maneiras.
Regra do Produto: Se os eventos ocorrem um após o outro, então todos os eventos podem ocorrer na ordem 
indicada de:
n1 · n2 · n3 · . . . maneiras.
Exemplo 5.1 Suponha que uma faculdade tenha três disciplinas diferentes de história, quatro disciplinas diferen-
tes de literatura e duas disciplinas diferentes de sociologia.
MATEMÁTICA DISCRETA88
(a) O número m de maneiras que um estudante pode escolher uma de cada tipo de disciplina é:
m = 3(4)(2) = 24
(b) O número n de maneiras que um estudante pode escolher apenas uma disciplina é:
n = 3 + 4 + 2 = 9
Há uma interpretação conjuntista dos dois princípios recém-vistos. Especificamente, suponha que n(A) denota 
o número de elementos em um conjunto A. Então:
 (1) Princípio da Regra da Soma: Suponha que A e B são conjuntos disjuntos. Logo,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
 (2) Princípio da Regra do Produto: Seja A × B o produto cartesiano dos conjuntos A e B. Logo,
n(A × B) = n(A) · n(B)
5.3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS
Discutimos duas funções matemáticas importantes frequentemente empregadas em combinatória.
Função fatorial
O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! e se lê “n fatorial” ou “fatorial de n”. Logo,
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n−2)(n−1)n = n(n−1)(n−2) · . . . · 3 · 2 · 1
Consequentemente, 1! = 1 e n! = n(n − l)!. É também conveniente definir 0! = 1.
Exemplo 5.2
(a) 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24, 5 = 5 · 4! = 5(24) = 120.
(b) e, em termos mais gerais,
(c) Para valores grandes de n, usa-se a aproximação de Stirling (onde e = 2,7128…):
Coeficientes binomiais
O símbolo , que se lê “nCr” ou “combinação de n por r”, onde r e n são inteiros positivos com r ≤ n, é definido 
como se segue:
 ou, equivalentemente, 
Observe que n − (n − r) = r. Isso nos leva à importante relação a seguir:
Lema 5.1: ou, equivalentemente, , onde a + b = n.
CAPÍTULO 5 • TÉCNICAS DE CONTAGEM 89
Motivados por esse fato, definimos 0! = 1. Afinal,
Exemplo 5.3
(a) 
Observe que tem exatamente r fatores tanto no numerador quanto no denominador.
(b) Suponha que queremos computar . Haverá sete fatores em ambos numerador e denominador. Contudo, 
10 − 7 = 3. Logo, usamos o Lema 5.1 para calcular:
Coeficientes binomiais e triângulo de Pascal
Os números são chamados de coeficientes binomiais, uma vez que eles aparecem como coeficientes na expan-
são (a + b)n. Especificamente:
Teorema (Binomial) 5.2: 
Os coeficientes das potências sucessivas de a + b podem ser arranjados em uma disposição triangular de nú-
meros, chamada de triângulo de Pascal, como representado na Fig. 5-1. Os números no triângulo de Pascal têm as 
seguintes propriedades interessantes:
 (i) O primeiro e o último número em cada linha é 1.
 (ii) Todos os demais números podem ser obtidos, adicionando os dois números que aparecem acima deles. 
Por exemplo:
10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10, 20 = 10 + 10.
Uma vez que esses números são coeficientes binomiais, estabelecemos formalmente a propriedade acima.
Figura 5-1 Triângulo de Pascal.
Teorema 5.3: 
MATEMÁTICA DISCRETA90
5.4 PERMUTAÇÕES
Qualquer disposição de um conjunto de n objetos em uma dada ordem é chamada de permutação dos objetos (to-
mados todos de uma vez). Uma disposição de quaisquer r ≤ n desses objetos em uma dada ordem é chamada de 
“r-permutação” ou “permutação de n objetos tomados r por vez”. Considere, por exemplo, o conjunto de letras A, 
B, C, D. Então:
 (i) BDCA, DCBA e ACDB são permutações das quatro letras (tomadas todas de uma vez).
 (ii) BAD, ACB e DBC são permutações das quatro letras tomadas três por vez.
 (iii) AD, BC e CA são permutações das quatro letras tomadas duas por vez.
Geralmente, estamos interessados na quantia de tais permutações sem listá-las.
O número de permutações de n objetos tomados r por vez é denotado por
P(n, r) (outros textos podem usar nPr, Pn,r ou (n)r).
O teorema a seguir se aplica.
Teorema 5.4: P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) = 
Enfatizamos que existem r fatores em n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1).
Exemplo 5.4 Encontre o número m de permutações de seis objetos, digamos, A, B, C, D, E, F, tomados três por 
vez. Em outras palavras, determine a quantia de “palavras de três letras” usando apenas as seis letras dadas sem 
repetição.
Representemos a palavra genérica de três letras pelas três posições seguintes:
——, ——, ——
A primeira letra pode ser escolhida de 6 maneiras; seguindo esta, a segunda letra pode ser escolhida de 5 maneiras; 
e, finalmente, a terceira letra pode escolhida de 4 maneiras. Escrevemos cada número em sua posição apropriada 
como se segue:
Pela Regra do Produto, há m = 6 · 5 · 4 = 120 possíveis palavras de três letras sem repetição, a partir das seis letras. 
Logo, existem 120 permutações de 6 objetos tomados 3 por vez. Isso está de acordo com a fórmula do Teorema 5.4:
P(6, 3) = 6 · 5 · 4 = 120
De fato, o Teorema 5.4 é demonstrado da mesma maneira como fizemos neste caso em particular.
Considere agora o caso especial de P(n, r), quando r = n. Obtemos o seguinte resultado.
Corolário 5.5: Existem n! permutações de n objetos (tomados todos de uma vez).
Por exemplo, há 3! = 6 permutações das três letras A, B, C. Elas são
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Permutações com repetições
Frequentemente, queremos saber o número de permutações de um multiconjunto, ou seja, um conjunto de objetos 
tais que alguns são repetidos. Denotamos por
P(n; n1, n2, . . . , nr)
CAPÍTULO 5 • TÉCNICAS DE CONTAGEM 91
o número de permutações de n objetos, dos quais n1 são repetidos, n2 são repetidos, . . ., nr são repetidos. A fórmu-
la geral é a seguinte:
Teorema 5.6: P(n; n1, n2, . . . , nr) = 
Indicamos a demonstração do teorema acima com um exemplo específico. Suponha que queremos formar to-
das as possíveis “palavras” com cinco letras, usando os caracteres da palavra “BABBY”. Existem 5! = 120 permu-
tações dos objetos B1, A, B2, B3, Y, onde os três Bs são distinguidos. Observe que as seis permutações a seguir
B1 B2 B3AY, B2 B1 B3AY, B3 B1 B2AY, B1 B3 B2AY, B2 B3 B1AY, B3 B2 B1AY
produzem a mesma palavra quando os subscritos são removidos. O 6 vem do fato de que há 3! = 3·2·1 = 6 manei-
ras distintas para colocar os três B’s nas três primeiras posições da permutação. Isso é verdade para cada conjunto 
de três posiçõesnas quais os B’s podem aparecer. Consequentemente, o número de palavras diferentes de cinco 
letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra “BABBY” é:
Exemplo 5.5 Encontre o número m de palavras de sete letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra 
“BENZENE”.
Buscamos o número de permutações de 7 objetos, dos quais 3 são indistinguíveis (os três E’s), e 2 são indistin-
guíveis (os dois N’s). Pelo Teorema 5.6,
Amostras ordenadas
Muitos problemas se referem à escolha de um elemento a partir de um conjunto S, digamos, com n elementos. 
Quando escolhemos um elemento após o outro, digamos, r vezes, chamamos a escolha de amostra ordenada de 
tamanho r. Consideramos dois casos.
(1) Amostragem com reposição
Aqui o elemento é devolvido ao conjunto S antes que o próximo objeto seja escolhido. Assim, em cada vez existem 
n maneiras para escolher um elemento (repetições são permitidas). A Regra do Produto nos diz que o número de 
tais amostras é:
n · n · n · · · n · n(r fatores) = nr
(2) Amostragem sem reposição
Aqui o elemento não é devolvido ao conjunto S antes que o próximo seja escolhido. Logo, não há repetição na 
amostra ordenada. Tal amostra é simplesmente uma r-permutação. Assim, o número de tais amostras é:
Exemplo 5.6 Três cartas são escolhidas uma após a outra em uma baralho de 52 cartas. Encontre o número m de 
maneiras que isso pode ser feito: (a) com reposição; (b) sem reposição.
(a) Cada carta pode ser escolhida de 52 maneiras. Logo, m = 52(52)(52) = 140 608.
MATEMÁTICA DISCRETA92
(b) Aqui não há devolução. Portanto, a primeira carta pode ser escolhida de 52 maneiras, a segunda de 51, e a 
terceira de 50 maneiras. Logo,
m = P(52,3) = 52(51)(50) = 132 600
5.5 COMBINAÇÕES
Seja S um conjunto com n elementos. Uma combinação desses n elementos tomados r por vez é qualquer seleção 
de r dos elementos, onde a ordem não interessa. Tal seleção é chamada de r-combinação; é simplesmente um sub-
conjunto de S com r elementos. O número de tais combinações é denotado por
C(n, r) (outros textos podem usar nCr, Cn,r ou Cr
n).
Antes de apresentarmos a fórmula geral para C(n, r), consideraremos um caso especial.
Exemplo 5.7 Encontre o número de combinações de 4 objetos A, B, C, D, tomados 3 por vez.
Cada combinação de três objetos determina 3! = 6 permutações dos objetos como se segue:
Assim, o número de combinações multiplicado por 3! nos dá o número de permutações; ou seja,
Mas P(4, 3) = 4 · 3 · 2 = 24 e 3! = 6; logo, C(4, 3) = 4, como observado acima.
Como indicado, qualquer combinação de n objetos, tomados r por vez, determina r! permutações dos objetos 
na combinação; isto é,
P(n, r) = r! C(n, r)
Consequentemente, obtemos a seguinte fórmula para C(n, r), que formalmente estabelecemos como um teorema.
Teorema 5.7: 
Lembre que o coeficiente binomial foi definido como logo,
Devemos usar C(n, r) e como sinônimos.
Exemplo 5.8 Um fazendeiro compra 3 vacas, 2 porcos e 4 galinhas de um homem que tem 6 vacas, 5 porcos e 8 
galinhas. Encontre o número m de escolhas que o fazendeiro tem.
O fazendeiro pode escolher as vacas de C(6, 3) maneiras, os porcos de C(5, 2) e as galinhas de C(8, 4). Assim, 
o número m de escolhas é o seguinte:
m = = 20 · 10 · 70 = 14 000
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir apresenta alguns exemplos de utilização do princípio fundamental da contagem 
na resolução de problemas. Veja!
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Quantos números naturais pares de dois algarismos é possível formar? 
A) 50.
B) 45.
C) 100.
D) 81.
E) 11.
2) O menu de um restaurante é composto por 2 opções de massa, 4 opções de carne, 3 
opções de salada, 3 opções de bebida alcoólica e 5 tipos de refrigerante. Quantas 
composições de refeições podem ser escolhidas por um cliente, considerando que ele 
só poderá escolher uma opção de bebida e, obrigatoriamente, uma opção de cada 
alimento. 
A) 360.
B) 72.
C) 17.
D) 192.
E) 108.
3) De quantas maneiras distintas Ana poderá se vestir para sua entrevista de trabalho? 
Considere que ela tem 6 calças sociais e 5 blusas em seu guarda-roupa. 
A) 5.
B) 6.
C) 22.
D) 11.
E) 30.
4) Na feira de filhotes para adoção, os seis animais foram organizados em fila para 
facilitar a visitação das pessoas. Há um gato, um coelho e quatro cachorros. 
Considerando que todos os cachorros devem ficar entre os demais animais, de 
quantos modos distintos os seis podem ser enfileirados? 
A) 6.
B) 12.
C) 24.
D) 36.
E) 48.
5) No Brasil, as placas de carro são formadas por três letras e quatro algarismos. Sabe-
se também que a data para o pagamento do IPVA é definida conforme o último 
algarismo da placa. Determine a quantidade de placas nas quais o número formado 
pelos algarismos termine em 1. 
A) 17.576.
B) 3.210.
C) 27.576.
D) 175.760.
E) 17.576.000.
NA PRÁTICA
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Princípio fundamental da contagem
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Reconhecendo o princípio fundamental da contagem como estratégia na resolução de 
problemas combinatórios
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Combinação de Negócios
APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO Olá! Os métodos de reorganização das sociedades podem ocorrer mediante 
processos de incorporações, fusão ou cisão ou, ainda, de outras formas. Estes processos podem 
ser simples ou complexos. A incorporação ocorre quando uma ou mais sociedades têm seu 
patrimônio absorvido por outra. A fusão acontece mediante a união de duas ou mais sociedades 
formando uma nova. A cisão corresponde ao processo de transferência das parcelas do seu 
patrimônio para uma ou mais sociedades. Nas três situações, a nova empresa assumirá as 
responsabilidades. Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar os aspectos societários, 
tributários e contábeis que envolvem todo o processo. Bons estudos! Ao final desta unidade, 
você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer o conceito da combinação de negócios.•
Identificar os aspectos legais, societários e contábeis do processo.•
Analisar a abrangência da combinação de negócios.•
DESAFIO
As empresas Medeiros e Santos, após aprovação em assembleia geral, decidem realizar uma 
fusão, originando uma nova sociedade, denominada MS – Investimentos.
Analise o balanço patrimonial das empresas Medeiros e Santos considerando o mesmo período 
para ambas, na data da fusão:
BALANÇO PATRIMONIAL 31.12.2014
MEDEIROS SANTOS
ATIVO
Circulante 15.000 13.000
Não Circulante 58.000 18.000
73.000 31.000
PASSIVO
Circulante 10.000 7.000
Não Circulante 5.000 4.000
Patrimônio Líquido 58.000 20.000
73.000 31.000
 
 
Apresente o balanço patrimonial referente à fusão das duas empresas, dando origem à empresa 
MS – Investimentos.
INFOGRÁFICO
O infográfico aponta o que envolve o processo de reorganização societária. Confira!
CONTEÚDO DO LIVRO
Na obra "Contabilidade avançada", você poderá compreender o processo de reorganização de 
sociedades e, assim, entender a incorporação, fusão e cisão das empresas e as diferenças 
existentes entre estes processos.
Inicie seus estudos no tópico Reorganização societária e finalize em Aquisição de controle. 
Após, leia o tópico Enfoques contábeis.
Boa leitura!
CONTABILIDADE
AVANÇADA
Conteúdo:
Aline Alves
 
Combinação de negócios
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta unidade, você deve apresentar os seguintes aprendi-
zados:
 � Reconhecer o conceito da combinação de negócios.
 � Identificar os aspectos legais, societários e contábeis do processo.
 � Analisar a abrangência da combinação de negócios.
Introdução
Os métodosde reorganização das sociedades podem ocorrer me-
diante processos de incorporações, fusão ou cisão, ou de outras for-
mas. Estes processos podem ser simples ou complexos. A incorpo-
ração ocorre quando uma ou mais sociedades têm seu patrimônio 
absorvido por outra. A fusão acontece mediante a união de duas ou 
mais sociedades formando uma nova. A cisão corresponde ao pro-
cesso de transferência das parcelas do seu patrimônio para uma ou 
mais sociedades. Nas três situações a nova empresa assumirá as res-
ponsabilidades.
Neste texto, você vai entender de forma clara sobre os aspectos 
societários, tributários e contábeis que envolvem todo o processo.
Reorganização societária
No processo de reorganização societária, você precisa compreender alguns 
conceitos de forma bem transparentes. São eles:
Relação de substituição: se refere à relação entre os direitos dos sócios 
efetivos, antes ou depois da transação. Nesse caso, os proprietários precisam 
conservar o patrimônio efetivo antes da transação.
Métodos de avaliação: a legislação não exige nenhum critério específico 
de avaliação. Contudo, dependendo da escolha da avaliação, poderão resultar 
efeitos diversos. Devido a esse fato, podem acontecer casos em que a ava-
liação do negócio não está conforme protocolo. Nesses casos, o negócio acon-
tece pelo valor de mercado e a normatização segue o valor contábil. 
Data-base da reorganização societária: nesse caso, a avaliação deve 
ocorrer com base na posição do patrimônio em data específica. Dessa forma, 
Contabilidade_Avancada.indb 21 19/09/16 14:38
nos processos de fusão, incorporação e cisão, você deve estar atento a duas 
situações fundamentais:
 � A data de avaliação do patrimônio líquido;
 � A data de aprovação da assembleia para a incorporação.
Alterações patrimoniais posteriores: a transação é efetivada no mo-
mento de aprovação da assembleia. Todavia, as transações da sociedade con-
sideradas objeto do negócio seguem acontecendo normalmente. Com isso, no 
período entendido como data-base e data de aprovação, ocorrerá um aumento 
patrimonial, ou seja, lucro ou redução correspondendo ao prejuízo decorrente 
das atividades da empresa. Os resultados decorrentes são denominados de 
“variações patrimoniais posteriores”, que deverão ser destinadas conforme 
protocolo.
Valor do reembolso referente às ações dos acionistas contraditórios: 
conforme o protocolo ou estatuto, os acionistas que não concordarem com os 
termos da negociação deverão ser beneficiados. Eles têm a possibilidade de 
saída da sociedade. Dessa forma, receberão o valor de suas ações conforme o 
determinado. O reembolso poderá ser compreendido por meio da legislação, 
no artigo 45 da Lei 6.404/76.
Por meio da negociação de organizações, surgem ótimas oportunidades 
para ganhos relevantes de capital. A compra de empresas possui fases cres-
centes e decrescentes nos mercados financeiros internacionais. Nesse sen-
tido, os processos de compra e fusão de entidades podem envolver recursos 
relevantes. A busca das empresas por advogados se explica por esse evento, 
vinculado à dificuldade das questões operacionais, fiscais e legais do pre-
domínio de processos de negociações envolvendo a aquisição e a fusão de 
organizações.
Em conciliação ao processo de convergência das normas contábeis com as normas 
internacionais de contabilidade, o CPC emitiu o Pronunciamento Técnico CPC 15 – 
Combinação de Negócios, vinculado à IFRS 3 – Normas Internacionais de Contabili-
dade.
A combinação de negócios se refere a um evento em que um comprador 
adquire o controle sobre um ou mais negócios. Sua finalidade é melhorar a 
Contabilidade avançada22
Contabilidade_Avancada.indb 22 19/09/16 14:38
significância, a confiança e a equiparação dos dados concedidos pela em-
presa, por meio das suas demonstrações contábeis, a respeito da combinação 
de negócios e seus reflexos. Você deve saber que a particularidade principal 
da combinação de negócios é a aquisição do controle de um negócio.
Aspectos societários e legais
Em concordância com a legislação, a combinação de negócios é amparada 
pela Lei 6.404/76 e pela Lei 9.457/97. Já na ocorrência de reestruturação so-
cietária em companhias abertas, existe a obrigação de remeterem-se as Ins-
truções 319/99, 349/01 e 469/08.
A Lei 6.404/76, artigo 223, afirma que a incorporação, a fusão ou a cisão 
podem ocorrer no meio de sociedades da mesma espécie ou diferentes. Essa 
lei também afirma que esses processos precisarão ser determinados na forma 
prevista, para a modificação de estatutos específicos ou contratos sociais. 
Como exemplo dessa situação, você pode considerar uma sociedade por ações. Nela, 
a determinação ocorrerá por meio de assembleia geral extraordinária, que deve obe-
decer à legislação, de acordo com o estatuto. Já na sociedade limitada, ocorrerá o que 
estiver estabelecido em contrato, observando cada situação. Na ocorrência da origem 
de uma sociedade – por exemplo, no caso da cisão –, você precisa analisar as normas 
que regulam a constituição do tipo societário específico. Dessa forma, a cisão que cor-
responda a uma nova empresa deverá ser elaborada em conformidade com a legis-
lação, de acordo com a Lei das Sociedades por Ações.
Aa CPC 15 R1 determina alguns princípios e obrigações relacionados ao 
comprador. Por exemplo:
 � O método como são reconhecidos e mensurados, mediante demons-
trações contábeis, os ativos identificáveis contraídos, os passivos ado-
tados e as participações societárias de não controladores na empresa 
comprada;
 � Os critérios de reconhecimento e mensuração do ágio por meio de 
perspectiva de rentabilidade futura, decorrente da combinação de ne-
gócios ou do recebimento originário da aquisição benéfica;
23Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 23 19/09/16 14:38
 � Os dados que precisam ser publicados para permitir aos usuários das 
demonstrações contábeis mensurarem a natureza e os reflexos finan-
ceiros da combinação de negócios. 
O Pronunciamento CPC 15 R1 não pode ser praticado nas seguintes ocasiões:
(a) na contabilização da formação de negócios em conjunto em 
suas demonstrações contábeis (Alterada pela Revisão CPC 06); 
(b) na aquisição de ativo ou grupo de ativos que não constitua 
negócio nos termos deste Pronunciamento. Nesse caso, o ad-
quirente deve identificar e reconhecer os ativos identificáveis 
adquiridos individualmente (incluindo aqueles que atendam 
à definição de ativo intangível e o critério para seu reconheci-
mento de acordo com o Pronunciamento Técnico CPC 04 – Ativo 
Intangível) e os passivos assumidos. O custo do grupo deve ser 
alocado individualmente aos ativos identificáveis e aos passivos 
que o compõem com base em seus respectivos valores justos na 
data da compra. Operações e eventos desse tipo não geram ágio 
por expectativa de rentabilidade futura (goodwill); 
(c) em combinação de entidades ou negócios sob controle co-
mum (os itens B1 a B4 contêm orientações adicionais). 
2A. Os requisitos deste Pronunciamento não se aplicam à aqui-
sição por entidade de investimento, conforme definido no Pro-
nunciamento Técnico CPC 36 – Demonstrações Consolidadas, de 
investimento em controlada que deva ser mensurado ao valor 
justo por meio do resultado. 
Diferença entre incorporação, fusão e cisão
Incorporação: o processo de incorporação pode ser compreendido por meio 
da Lei 6.404/76, artigo 227. Essa lei afirma que, na incorporação, ocorre a 
absorção de uma ou mais sociedades por outra, que assume todos os seus 
direitos e obrigações, obedecendo aos artigos 223 a 226 da mesma lei. Nesse 
processo, as empresas incorporadas deixam de existir, e a entidade incorpora-
dora passa a ser a responsável pelas suas personalidades jurídicas. 
Contabilidade avançada24
Contabilidade_Avancada.indb 24 19/09/16 14:38
A operação da incorporação gera efeitos internos e externos nos plane-
jamentos societário, tributário e fiscal. A transação de incorporação poderá 
ser realizada por meio dovalor contábil. No entanto, a Lei 6.404/76 requisita 
um laudo de avaliação com o intuito de proteger terceiros e acionistas. Dessa 
forma, essa lei não permite que os bens sejam integrados ao patrimônio da 
organização com valor superior ao de mercado. Além disso, não permite a 
incorporação de bens com valores inferiores ao de mercado.
Para o processo de incorporação, é preciso que ocorram três assembleias gerais das 
sociedades que demonstrem interessem. Uma das assembleias deve ser realizada na 
empresa incorporada e duas na empresa incorporadora.
Você deve estar atento aos seguintes aspectos do processo de incorporação:
 � Após a aprovação do protocolo, a assembleia geral deverá autorizar 
o aumento de capital a ser subscrito e realizado pelos proprietários 
vigentes da empresa incorporadora. Isso deverá ser feito a partir da 
versão do seu patrimônio líquido. Dessa forma, é preciso identificar os 
peritos que realizarão a avaliação;
 � Na aprovação do protocolo pela assembleia geral, a empresa incorpo-
rada irá autorizar seus administradores a executar os atos previstos 
para a incorporação, inclusive a subscrição do aumento de capital da 
incorporada;
 � A incorporadora será extinta por meio da aprovação da assembleia 
geral da incorporada, do parecer de avaliação e da incorporação. A 
empresa incorporada é responsável por articular a organização, o ar-
quivamento e a divulgação dos atos da incorporação.
Fusão: por meio dessa transação, ocorre a união de duas ou mais em-
presas com o objetivo de formar novas organizações. Estas vão assumir todas 
as responsabilidades com relação aos direitos e obrigações, de acordo com o 
artigo 228 da Lei 6.404/76.
Pela fusão, o patrimônio da nova empresa será definido com base na ava-
liação decorrida, considerando as empresas envolvidas. A nova empresa re-
sultará da união dos patrimônios fundidos. No processo de transação, você 
deve observar as normas aplicadas à incorporação, porém sob o argumento de 
25Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 25 19/09/16 14:38
que na fusão as organizações atraídas ao processo desaparecerão, originando 
outra empresa. No término do processo, o novo estatuto deverá ser elaborado 
e aprovado pela assembleia geral.
Como procedimento da fusão, três assembleias gerais devem ser realizadas, ocorrendo 
uma em cada organização e uma determinante, que definirá a criação de uma nova 
sociedade.
Cisão: esse procedimento obedece ao artigo 229 da Lei 6.404/76. Nele, 
ocorre uma transação pela qual a empresa transporta parcelas do patrimônio 
líquido para uma ou mais empresas que foram constituídas para esse fim ou 
que já existiam. Dessa forma, a empresa cindida é exterminada. Isso pode 
ocorrer pela cisão total de todo o patrimônio ou pela divisão do seu capital, 
por meio de cisão parcial. 
Existem duas formas de cisão: total ou parcial. Na cisão total, a empresa é liquidada. Na 
parcial, ela perdura com redução do seu capital.
A transação da cisão apresenta efeitos societários, tributários e contábeis. 
Na cisão, ocorrem alterações em todas as empresas envolvidas no processo, 
exceto na criação de uma empresa nova. Na cisão parcial, a empresa passa a 
ter parcelas menores do seu patrimônio, com efeitos resultantes na sua estru-
tura e na sua contabilidade. Por consequência, as empresas que recebem essas 
parcelas têm o aumento do capital.
Alienação de controle
A alienação de controle é a transferência, realizada direta ou indiretamente, 
de ações inseridas ao controle. Ela se refere a ações ligadas aos acordos de 
acionistas e de valores mobiliários modificados em ações com direitos de 
subscrição de ações referentes a outros títulos; ou ainda a diretos relacionados 
Contabilidade avançada26
Contabilidade_Avancada.indb 26 19/09/16 14:38
a valores mobiliários transformados em ações que possam originar a alie-
nação do controle acionário da empresa.
Para melhor compreensão, você pode verificar o que diz o artigo 254-A da 
Lei 6.404/76, conforme segue:
Art. 254-A. A alienação, direta ou indireta, do controle de com-
panhia aberta somente poderá ser contratada sob a condição, 
suspensiva ou resolutiva, de que o adquirente se obrigue a fazer 
oferta pública de aquisição das ações com direito a voto de pro-
priedade dos demais acionistas da companhia, de modo a lhes 
assegurar o preço no mínimo igual a 80% (oitenta por cento) do 
valor pago por ação com direito a voto, integrante do bloco de 
controle. (Incluído pela Lei nº 10.303, de 2001)
§ 1º Entende-se como alienação de controle a transferência, de 
forma direta ou indireta, de ações integrantes do bloco de con-
trole, de ações vinculadas a acordos de acionistas e de valores 
mobiliários conversíveis em ações com direito a voto, cessão de 
direitos de subscrição de ações e de outros títulos ou direitos re-
lativos a valores mobiliários conversíveis em ações que venham a 
resultar na alienação de controle acionário da sociedade. (Incluí-
do pela Lei nº 10.303, de 2001)
§ 2º A Comissão de Valores Mobiliários autorizará a alienação de 
controle de que trata o caput, desde que verificado que as con-
dições da oferta pública atendem aos requisitos legais. (Incluído 
pela Lei nº 10.303, de 2001)
§ 3º Compete à Comissão de Valores Mobiliários estabelecer nor-
mas a serem observadas na oferta pública de que trata o caput. 
(Incluído pela Lei nº 10.303, de 2001)
§ 4º O adquirente do controle acionário de companhia aberta 
poderá oferecer aos acionistas minoritários a opção de permane-
cer na companhia, mediante o pagamento de um prêmio equi-
valente à diferença entre o valor de mercado das ações e o valor 
pago por ação integrante do bloco de controle. (Incluído pela Lei 
nº 10.303, de 2001). 
27Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 27 19/09/16 14:38
Aquisição de controle
A aquisição de controle é distinta da alienação de controle. Na existência da 
alienação de controle, há antes um verdadeiro controlador que realiza a venda 
do controle até para um comprador. Porém, na aquisição de controle, o com-
prador pode obter o controle por meio da compra – por exemplo, pela compra 
de ações de investidores –, sem a necessidade de existir um investidor entre 
eles ou um conjunto de investidores que possuam o controle.
O artigo 257 da Lei 6.404/76 afirma o seguinte:
Art. 257. A oferta pública para aquisição de controle de compa-
nhia aberta somente poderá ser feita com a participação de ins-
tituição financeira que garanta o cumprimento das obrigações 
assumidas pelo ofertante.
§ 1º Se a oferta contiver permuta, total ou parcial, dos valores 
mobiliários, somente poderá ser efetuada após prévio registro na 
Comissão de Valores Mobiliários.
§ 2º A oferta deverá ter por objeto ações com direito a voto em 
número suficiente para assegurar o controle da companhia e será 
irrevogável.
§ 3º Se o ofertante já for titular de ações votantes do capital da 
companhia, a oferta poderá ter por objeto o número de ações 
necessário para completar o controle, mas o ofertante deverá fa-
zer prova, perante a Comissão de Valores Mobiliários, das ações 
de sua propriedade.
§ 4º A Comissão de Valores Mobiliários poderá expedir normas 
sobre oferta pública de aquisição de controle. 
Aquisição de controle com goodwill
Na CPC 15, você pode verificar que o ágio mediante rentabilidade futura é 
determinado como um ativo que retrata privilégios econômicos futuros de-
correntes dos ativos obtidos pela combinação de negócios. Esses ativos não 
são identificados de forma individual e reconhecidos separadamente. Consi-
derando como base a avaliação efetivada com relação à data de aquisição e 
às exigências do pronunciamento, o comprador precisa reconhecer o ágio por 
Contabilidade avançada28
Contabilidade_Avancada.indb 28 19/09/16 14:38
rentabilidade futura (goodwill), designada pela divergência positiva existente 
entre:
 � O valor justo referente à contraprestação deslocada em troca do con-
trole, adicionado ao valor das participações denão controladores na 
adquirida e, havendo possibilidade, ao valor justo de qualquer partici-
pação que tenha antecedido o adquirente na adquirida;
 � O valor justo referente aos ativos identificáveis obtidos, líquido dos 
passivos admitidos.
Na possibilidade de uma diferença negativa, o comprador precisará con-
siderar como ganho uma compra vantajosa no resultado do período, nesse 
caso um deságio. A situação mencionada, referente à compra vantajosa, não 
é considerada, porém não é impossível. Ela pode acontecer, por exemplo, na 
combinação de negócios que decorram de uma venda imposta.
Antes do reconhecimento sobre o ganho resultante da compra vantajosa, o comprador 
deve favorecer uma conferência. Ela serve para constatar que todos os ativos obtidos e 
os passivos admitidos foram identificados e avaliados de forma correta. Nesse sentido, 
é preciso revisar os processos de mensuração usados para medir a participação dos 
não controladores por meio de qualquer participação antecedente ao comprador na 
adquirida e da contraprestação que sofreu transferência em virtude do controle da 
adquirida. O principal objetivo é garantir que as mensurações retratem de forma ade-
quada todos os dados disponíveis, possuindo como data-base a data em que ocorreu 
a aquisição.
A contraprestação que foi substituída por controle da adquirida precisa ser 
avaliada pelo seu valor justo na data em que ocorreu a transação. Para isso, 
você deve observar o seguinte cálculo: 
a. Ativos que foram transferidos pelo adquirente, podendo considerar di-
nheiro ou outros ativos ou negócios;
b. Passivos incorridos pelo adquirente em conjunto com os ex-sócios da 
adquirida;
c. Instrumentos patrimoniais formulados pelo adquirente, como as ações 
ordinárias, as ações preferenciais, as quotas de capital, os bônus de 
subscrição, as participações em entidades de mútuo e as opções.
29Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 29 19/09/16 14:38
A exceção que não se enquadra nessa regra se refere à mensuração de 
valor justo. Ela se aplica na ocorrência dos planos de pagamento com base em 
ações do comprador. Eles são fornecidos em substituição aos planos de paga-
mentos com base em ações, que estão em posse dos funcionários da adquirida 
e inseridos na determinação da contraprestação. Em virtude dessa situação, 
a mensuração deve possuir como base a CPC 10, que trata sobre pagamento 
baseado em ações.
Enfoques contábeis
No aspecto contábil da cisão, cabem as mesmas observações feitas sobre a incor-
poração, obedecendo a seus tipos. Para sua contabilização, você deve realizar os 
seguintes lançamentos na empresa que sofreu a cisão e na receptora:
a. Efetuar lançamento a crédito nas contas ativas pelo valor referente às 
parcelas que devem ser transferidas para a empresa nova. Em contra-
partida, debitar a conta cisão, criada para fins de registro da operação;
b. Realizar o débito das contas passivas referente ao valor das parcelas 
transferidas para a empresa nova. Além disso, creditar a conta cisão, 
criada anteriormente.
c. Efetuar débito na conta de capital social pelo valor que representa o 
patrimônio líquido transferido. Depois, efetuar a crédito a conta de só-
cios retirantes;
d. Debitar a conta de sócios retirantes pelo montante da operação, credi-
tando, em contrapartida, a conta cisão.
A CVM é responsável por definir as regras especiais de mensuração e contabilização 
que são praticáveis às transações relacionadas à fusão, à incorporação e à cisão, em 
concordância com o artigo 226 da Lei 6.404/76. Essa lei abrange a companhia aberta, 
assim como a alienação de controle por outros métodos que não seja a incorporação, 
a fusão ou a cisão. Quanto às questões contábeis, a norma executável, conforme apro-
vação da CVM pela Deliberação 580/09, é o Pronunciamento Técnico CPC 15.
Já no processo de incorporação, a empresa incorporadora deverá realizar 
o registro contábil ou um aumento de capital, ou ainda um ganho ou uma 
Contabilidade avançada30
Contabilidade_Avancada.indb 30 19/09/16 14:38
perda patrimonial, por meio das contas de apuração de resultado. O aumento 
de capital só acontece quando a incorporadora não participa do capital da em-
presa incorporada. Na ocorrência de participação desse capital, você precisa 
realizar a apuração do respectivo resultado, que deve ser lançado em conta 
diferenciada. Isso precisa ser feito por meio de um comparativo entre o valor 
da participação à qual será dada baixa e o valor correspondente ao patrimônio 
incorporado.
Para os aspectos contábeis da fusão, no que for aplicável com relação à 
avaliação, aos balanços e aos registros contábeis, você deve considerar as ob-
servações realizadas sobre os aspectos contábeis da incorporação.
Na legislação, você pode verificar os regulamentos sobre o processo da combinação de 
negócios nas Leis 6.404/76, 9.457/97 e 10.303/01, sempre que as diversas informações 
não forem suficientes.
31Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 31 19/09/16 14:38
1. Com relação ao processo de reorga-
nização societária, escolha a alterna-
tiva correta:
a) Pode ser considerado funda-
mental nos processos de reor-
ganização societária a data de 
avaliação do patrimônio líquido.
b) Na reorganização societária de 
acordo com os métodos de ava-
liação, existem critérios que são 
obrigatórios e específicos para a 
avaliação.
c) Quanto a relação de substituição 
podemos afirmar que é uma 
relação referente as obrigações 
dos sócios, antes ou depois da 
transação.
d) Relativo as alterações patrimoniais 
posteriores, é correto afirmar que 
a operação é considerada efetiva 
quando os sócios decidem entre 
eles mesmos a aprovação ou não.
e) O valor do reembolso referente 
às ações dos acionistas contra-
ditórios diz que de acordo com 
o voto dos sócios, os acionistas 
que não concordarem com os 
termos da negociação, devem ser 
beneficiados, por exemplo, com 
sua saída da sociedade. 
2. De acordo com os aspectos legais 
e societários, verifique as opções e 
aponte a única correta:
a) A combinação de negócios é 
regulamentada pela Lei 6.404/79.
b) O artigo que aborda o processo 
de incorporação, fusão ou cisão 
é o art.331 da Lei 6.404/76, onde 
é determinado que ocorrer entre 
sociedades do mesmo tipo ou 
diferentes.
c) O CPC 15 que aborda a combi-
nação de negócios não pode 
ser aplicado na contabilização 
da formação de negócios em 
conjunto em suas demonstrações 
contábeis.
d) Uma situação onde o CPC 15 é 
completamente aplicável, ocorre 
em combinação de entidades ou 
negócios sob controle comum.
e) De acordo com o CPC 15, é 
entendido como princípios e 
obrigações, a extinção posterior 
a mensuração do ágio, mediante 
estimativas futuras de rentabili-
dade.
3. Com relação ao processo de incor-
poração, escolha a alternativa que 
considerar correta:
a) O artigo que explica todo o pro-
cesso de incorporação é o art. 337.
b) A operação de incorporação po-
derá ser realizada mediante valor 
contábil, no entanto, a legislação 
exige um laudo de avaliação com 
o intuito de proteger terceiros e 
acionistas.
c) No processo de incorporação, 
apenas uma única Assembleia 
Geral decisiva basta.
d) No processo de incorporação, as 
empresas incorporadas perma-
necem na decisão de opiniões 
que são tomadas em conjunto.
e) É permitido mediante a lei que 
os bens sejam integrados ao 
patrimônio da organização com 
valor superior ao de mercado, 
desta forma também permitindo 
a incorporação de bens com 
inferiores ao de mercado.
Contabilidade avançada32
Contabilidade_Avancada.indb 32 19/09/16 14:38
4. Com relação aos processos de cisão 
e fusão, analise e escolha a única 
opção correta:
a) A cisão somente poderá ocorrer 
pelo método total.
b) No processo de cisão são apresen-
tados somente efeitos tributários, 
desconsiderando os societários.
c) Na cisão ocorre o processo onde 
as parcelas da empresa, referente 
ao patrimônio líquido são retidas.
d) A partir da fusão ocorre o pro-
cesso de união entreduas ou 
mais empresas com o intuito de 
formar novas organizações.
e) O artigo que aborda sobre o 
processo de fusão é o art.341.
5. Diante das alternativas que envolvem 
a combinação de negócios, avalie e 
escolha a única opção correta:
a) A aquisição de controle e a 
alienação de controle são consi-
deradas muito semelhantes
b) Conforme o art. 254-A da lei 
6.404/76, fica determinado que 
é de reponsabilidade do CPC a 
definição de regras que devem 
ser observadas na oferta pública.
c) A CVM define as regras referente 
à mensuração e contabilização, 
porém somente as praticáveis a 
fusão.
d) A alienação de controle ocorre 
mediante transferência exclusiva-
mente direta.
e) Na aquisição de controle o ad-
quirente poderá obter o controle 
através da compra de ações.
COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS. Combinação de negócios. Brasília, DF, 1976. Dispo-
nível em: <http://www.cvm.gov.br/export/sites/cvm/legislacao/leis/anexos/Lei6404-76.
pdf>. Acesso em: 15 set. 2016.
COMITÊ DE PRONUNCIAMENTOS CONTÁBEIS. Demonstrações consolidadas. Disponível 
em: <http://static.cpc.mediagroup.com.br/Documentos/235_CPC_15_R1_rev%2006.
pdf>. Acesso em: 15 set. 2016.
Leituras recomendadas
IUDÍCIBUS, S.; MARTINS, E.; GELBCKE, .R. Manual de contabilidade das sociedades por 
ações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
IUDÍCIBUS, S.; MARTINS, E.; GELBCKE, E.R.; SANTOS, A. Manual de contabilidade societária. 
São Paulo: Atlas, 2010.
NEVES, S. Contabilidade avançada e análise das demonstrações financeiras. 11. ed. São 
Paulo: Frase Editora, 2002.
OLIVEIRA, L. M. et al. Manual de contabilidade tributária: textos e testes com as respostas. 
10. ed. São Paulo: Atlas, 2011.
PEREZ, J. H. Jr.; OLIVEIRA, L. M. Contabilidade avançada: textos e testes com as respostas. 
7. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
33Combinação de negócios
Contabilidade_Avancada.indb 33 19/09/16 14:38
Contabilidade_Avancada.indb 34 19/09/16 14:38
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir mostra os processos de incorporação, fusão e cisão das sociedades, apontando 
as possibilidades de reorganizar uma sociedade. Assista!
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) , 1) Com relação ao processo de reorganização societária, aponte a alternativa 
CORRETA.
A) A data de avaliação do patrimônio líquido pode ser considerada fundamental nos processos 
de reorganização societária.
B) Na reorganização societária, de acordo com os métodos de avaliação, há critérios 
obrigatórios e específicos para a avaliação.
C) Quanto a relação de substituição, podemos afirmar que é uma relação referente às 
obrigações dos sócios, antes ou depois da transação.
D) Relativo às alterações patrimoniais posteriores, é correto afirmar que a operação é 
considerada efetiva quando os sócios decidem entre eles mesmos a aprovação ou não.
E) O valor do reembolso referente às ações dos acionistas contraditórios aponta que, de 
acordo com o voto dos sócios, os acionistas que não concordarem com os termos da 
negociação devem ser beneficiados, por exemplo, com sua saída da sociedade.
2) , 2) De acordo com os aspectos legais e societários, verifique as opções e aponte a 
CORRETA.
A) A combinação de negócios é regulamentada pela Lei no 6.404/79.
B) O artigo que aborda o processo de incorporação, fusão ou cisão é o 331 da Lei no 
6.404/76, determinando que ocorre entre sociedades do mesmo tipo ou diferentes.
C) O CPC 15 que aborda a combinação de negócios não pode ser aplicado na contabilização 
da formação de negócios em conjunto em suas demonstrações contábeis.
D) Uma situação em que o CPC 15 é completamente aplicável ocorre em combinação de 
entidades ou negócios sob controle comum.
E) De acordo com o CPC 15, é entendida como princípio e obrigação a extinção posterior à 
mensuração do ágio, mediante estimativas futuras de rentabilidade.
3) , 3) Com relação ao processo de incorporação, escolha a alternativa CORRETA.
A) O artigo que explica todo o processo de incorporação é o 337 da Lei no 6.404/76.
B) A operação de incorporação poderá ser realizada mediante valor contábil, mas a legislação 
exige um laudo de avaliação com o intuito de proteger terceiros e acionistas.
C) No processo de incorporação, apenas uma assembleia geral decisiva basta.
D) No processo de incorporação, as empresas incorporadas permanecem na decisão de 
opiniões que são tomadas em conjunto.
E) É permitido, mediante a Lei no 6.404/76, que os bens sejam integrados ao patrimônio da 
organização com valor superior ao de mercado, também permitindo a incorporação de 
bens com valores inferiores ao de mercado.
4) , 4) Com relação aos processos de cisão e fusão, analise e escolha a opção CORRETA.
A) A cisão poderá ocorrer somente pelo método total.
B) No processo de cisão são apresentados somente efeitos tributários, desconsiderando os 
societários.
C) Na cisão ocorre o processo em que as parcelas da empresa, referentes ao patrimônio 
líquido, são retidas.
D) A partir da fusão ocorre o processo de união entre duas ou mais empresas com o intuito de 
formar novas organizações.
E) O artigo que aborda o processo de fusão é o 341 da Lei no 6.404/76.
5) , 5) Diante das alternativas que envolvem a combinação de negócios, avalie e aponte a 
opção CORRETA.
A) A aquisição e a alienação de controle são consideradas muito semelhantes.
B) Conforme o art. 254-A da Lei no 6.404/76, fica determinado que é de responsabilidade do 
CPC a definição de regras que devem ser observadas na oferta pública.
C) A CVM define as regras referentes à mensuração e contabilização, mas somente as 
praticáveis à fusão.
D) A alienação de controle ocorre mediante transferência exclusivamente direta.
E) O adquirente poderá fazer a aquisição de controle através da compra de ações.
NA PRÁTICA
A empresa Plus passará por uma cisão parcial. Em 31/12/2015, ela apresenta a seguinte 
demonstração:
Através de uma reunião entre os sócios, ficou decidido e acordado por todos que João e Roberto 
(que somam 30% relativos ao capital da organização) poderiam sair da sociedade para a 
constituição de uma nova sociedade, mediante o processo de cisão parcial. Para esse processo, 
deve-se aplicar os 30% que João e Roberto têm sobre as contas patrimoniais da empresa cindida, 
que serão transferidos para a nova sociedade.
Após o processo de cisão, você pode observar como são realizados os registros contábeis na 
empresa cindida e na nova sociedade.
Definição da participação pelo percentual de 30%:
- Patrimônio líquido = R$ 140.000,00 
- Valor da participação = R$ 42.000,00
Ativos que serão cindidos:
- Caixas = R$ 2.000,00 
- Aplicações = R$ 10.000,00 
- Clientes = R$ 30.000,00 
= R$ 42.000,00
A seguir, você poderá verificar o balanço patrimonial da empresa Plus após a cisão:
BALAN‚ÇO PATRIMONIAL PLUS APÓS A CISÃO PARCIAL
ANTES CISÃO DEPOIS ANTES CISÃO DEPOIS
ATIVO R$ R$ PASSIVO R$ R$
Circulante Circulante
Caixa 12.000 -2.000 10.000 Fornecedores 10.000 10.000
Aplicaçõ›es 10.000 -10.000 0 Sal‡ários a pagar 10.000 10.000
Clientes 30.000 -30.000 0 Financiamentos 20.000 20.000
Estoques 58.000 58.000 Impostos 30.000 30.000
110.000 -42.000 68.000 70.000 0 70.000
Imobilizado 100.000 PatrimTMônio L’íquido
Capital 100.000 -30.000 70.000
Reservas 40.000 -12000 28.000
140.000 70.000
210.000 -42.000 68.000 210.000 -42.000 140.000
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
O que é fusão, aquisição, incorporação, cisão e joint venture?
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
PIMENTA, M. M.; MARQUES, J. A. V.; RODRIGUES, A. Combinação de negócios: uma 
investigação sobre as recentes reestruturações no setor aéreo brasileiro.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Distribuição paramétrica
APRESENTAÇÃO
NestaUnidade de Aprendizagem, estudaremos a distribuição paramétrica, a qual tem por 
característica uma representação gráfica em histograma representando uma curva de Gauss. A 
distribuição paramétrica existe apenas em variáveis quantitativas que permitem a análise da 
distribuição de frequências.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Diferenciar uma distribuição de frequência paramétrica de uma não paramétrica.•
Definir quais medidas expressam adequadamente uma distribuição de frequência 
paramétrica.
•
Expressar o cálculo de probabilidades baseado na tabela da normal padronizada.•
DESAFIO
Para auxiliar na compreensão desta Unidade de Aprendizagem, teremos um desafio!
Ao realizar uma pesquisa sobre o peso dos alunos de uma faculdade da área da saúde, um 
pesquisador entrevistou 300 acadêmicos, sendo 150 mulheres e 150 homens. Obteve as 
seguintes informações:
Após a construção do histograma para analisar a distribuição de frequências, o pesquisador 
percebeu que o estudo obteve uma curva de distribuição normal (Gauss) e, portanto, já que a 
distribuição era paramétrica, resolveu apresentar os dados aos seus alunos.
Com base nessas informações, auxilie o pesquisador a escolher quais medidas de tendência 
central e de dispersão e variabilidade devem ser utilizadas para apresentação dos dados. Para 
auxiliar nas futuras ações do pesquisador, crie um fluxograma com principais testes possíveis de 
serem utilizados em dados paramétricos.
Para realizar esta atividade, você deverá atender aos seguintes itens:
1. Identificar quais são as medidas que melhor expressam os dados paramétricos.
2. Justificar por que essas são as melhores medidas para esse tipo de dados.
3. Identificar os principais testes estatísticos que podem ser utilizados em dados paramétricos.
4. Construir um fluxograma que auxilie o pesquisador nas suas ações futuras.
INFOGRÁFICO
O esquema mostra os principais conceitos estudados nesta Unidade de Aprendizagem.
CONTEÚDO DO LIVRO
O assunto desta Unidade é discutido no livro "Bioestatística: princípios e aplicações" que servirá 
de base teórica. Inicie a leitura pelo Capítulo 4, Distribuição normal ou de Gauss que é 
sinônimo de distribuição paramétrica. Bons estudos!
C157a Callegari-Jacques, Sidia M.
Bioestatística: princípios e aplicações / Sidia M.
Callegari-Jacques. – Porto Alegre : Artmed, 2003.
ISBN 978-85-363-0092-4
1. Medicina – Dados biológicos - Estatística. I. Título.
CDU 616-001/.995.1:31
Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto – CRB 10/1023
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