Primitivação por frações parciais

Prévia do material em texto

27/08/2015 Primitivação por frações parciais
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/tecnicas_prim/fracoes/prim_p_frac.htm 1/3
       
Primitivação por frações parciais
Esta técnica é utilizada quando precisamos encontrar a família de primitivas de
uma função que é dada por uma fração racional, isto é, pelo quociente de dois
polinômios.  Os  primeiros  exemplos  são  muito  simples  e,  na  verdade,  não
apresentam nada de novo.
O primeiro exemplo envolve uma substituição bem fácil:
O  segundo  é  um  exemplo  importante,  mas  também  é  fácil  pois  é  uma
primitiva imediata.
Um exemplo um pouco mais geral pode ser o seguinte:
No exemplo a seguir, a função integrando é uma fração racional e resolvemos
a integral através de uma substituição, já que, no numerador temos "quase" a
derivada da função que aparece no denominador.
No exemplo seguinte precisamos da nova técnica:
 
27/08/2015 Primitivação por frações parciais
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/tecnicas_prim/fracoes/prim_p_frac.htm 2/3
   
De  modo  geral,  uma  função  racional  pode  ser  decomposta  numa  soma  de
frações mais  simples  e,  por  isso,  dizemos  que  fazemos  a  decomposição  em
frações  parciais.  Evidentemente,  se  o  grau  do  polinômio  do  numerador  for
maior  ou  igual  ao  grau  do  polinômio  do  denominador,  em  primeiro  lugar,
efetuamos  a  divisão  dos  polinômios,  para  separar  a  "parte  inteira".  Depois
decompormos a fração resultante em frações parciais.
A  decomposição  é  feita  com  base  em  quatro  Teoremas  de  Existência  que,
basicamente, resolvem o problema:
Sejam  a,  b,  ,  ,  números  reais,  com  .  Então,
existem números reais A e B, tais que:
  Sejam  ,  ,  números  reais,  com    e  P  um
polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Então, existem números reais
A, B e D, tais que:
 
 Sejam  b,  c, ,  números  reais  e  P  um  polinômio cujo
grau  é  estritamente  menor  que  3.  Suponhamos  ainda  que    não
admite raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem
números reais A, B e D, tais que:
 Sejam b, c,   , números  reais e P um polinômio cujo
grau  é  estritamente  menor  que  5.  Suponhamos  ainda  que    não
27/08/2015 Primitivação por frações parciais
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/tecnicas_prim/fracoes/prim_p_frac.htm 3/3
admite raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem
números reais A, B, D, E e F, tais que:
Precisamos  observar  que  o  polinômio  do  denominador  sempre  pode  ser
decomposto num produto de  fatores de primeiro e segundo graus. Os  fatores
de primeiro grau aparecem quando existem raízes reais; as raízes complexas
são responsáveis pelos fatores de segundo grau.
Evidentemente,  todos  esses  teoremas  poderiam  ser  enunciados  numa  forma
mais geral. O que precisa estar claro é que o grau do polinômio do numerador
deve ser estritamente menor do que o grau do polinômio do denominador, para
podermos efetuar a decomposição em frações parciais. Se esse não for o caso,
primeiro  fazemos  a  divisão  de  polinômios,  a  fim  de  tornar  o  problema  mais
simples, como no Exemplo 9.