Função Quadrática

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Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau 
 
De acordo com as condições existentes de uma função do 2º grau, temos os seguintes 
gráficos: 
 
a > 0, temos as seguintes possibilidades de gráficos: 
 
∆ > 0 
 
 
 
 
 
∆ = 0 
 
 
 
 
 
∆ < 0 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-uma-parabola.htm
a < 0, temos as seguintes possibilidades de gráficos: 
 
 
 
∆ > 0 
 
 
 
 
 
∆ = 0 
 
 
 
 
∆ < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértices da Parábola 
 
 
 
 
a > 0, valor mínimo 
 
 
 
 
 
 
a < 0, valor máximo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de 
valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor 
do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: 
 
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo. 
 
 
 
 
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo 
y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao 
valor do eixo y onde a parábola o intersecta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que é uma função do 2º grau? 
 
Uma função f: R à → é chamada de função do 2º grau ou função quadrática quando 
existir a, b, c € R com a ≠ 0, de maneira que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x € R. 
 
Exemplos: 
 f(x) = 6x2 - 4x + 5 → a = 6; b = -4; c = 5. 
 f(x) = x2 - 9 → a = 1; b = 0; c = -9. 
 f(x) = 3x2 +3x → a = 3 ; b = 3 ; c = 0. 
 f(x) = x2 – x → a = 1; b = -1; c = 0. 
 
Para cada número real x, devemos substituir e realizar as devidas operações 
para encontrar sua imagem. Veja o exemplo a seguir: 
Vamos determinar a imagem do número real -2 da função f(x) = 6x2 - 4x + 5. Para isso, 
basta substituir o número real dado na função, assim: 
 
f (-2) = 6(-2)2 – 4(-2) +5 
f (-2) = 6(4) + 8 +5 
f (-2) = 24 + 8 + 5 
f (-2) = 37 
 
Logo, a imagem do número -2 é 37, resultando no par ordenado 
(-2; 37). 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Dada a função f(x) = -x2 + 2x – 4. Determine: 
 
a) A intersecção com o eixo OY. 
b) A intersecção com o eixo OX. 
c) Esboce o gráfico da função. 
Solução: 
 
a) Para determinar a intersecção com eixo OY , basta tomar o valor de x = 0 
 
0. -(0)2 +2(0) – 4 
0 + 0 – 4 
-4 
Assim, temos o par ordenado (0, -4). 
b) Para encontrar a intersecção com o eixo OX, basta tomar o valor de y = 0. Assim: 
-x2 +2x – 4 = 0 
 
Utilizando o método de Bhaskara, temos que: 
Δ = b2 - 4ac 
Δ = (2)2 - 4(-1)(-4) 
Δ = 4 - 16 
Δ = -12 
Como o valor do discriminante é menor que zero, a função não intercepta o eixo X. 
c) Para fazer o esboço do gráfico, devemos olhar os pontos de intersecção e analisar a 
concavidade da parábola. Como a < 0, a parábola será côncava para baixo. Assim: 
 
 
 
 
2. Qual é a soma das coordenadas do vértice de uma função do segundo grau definida 
por f(x) = 2x2 + 10x + 12? 
a) – 3,0 
b) 3,0 
c) 2,5 
d) – 2,5 
e) 0,5 
Para determinar as coordenadas do vértice de uma função do segundo grau, existem 
algumas técnicas. A mais conhecida faz uso de duas fórmulas, uma para encontrar a 
coordenada x, conhecida como xv, e a outra para a coordenada y, conhecida como yv. 
Nessas fórmulas, basta substituir os coeficientes da função e o valor de Δ para encontrar 
os valores de x e y do vértice. Observe: 
xv = – b 
 2a 
xv = – 10 
 2·2 
xv = – 10 
 4 
xv = – 2,5 
yv = – Δ 
 4a 
yv = – (100 – 4·2·12) 
 4·2 
yv = – (100 – 96) 
 8 
yv = – 4 
 8 
yv = – 0,5 
 
 
A soma das coordenadas do vértice da função dada é: 
– 2,5 – 0,5 = – 3,0 
 Alternativa A. 
 
 
3. Qual é o resultado da soma das raízes reais da função f(x) = x2 + 16x + 39? 
a) 16 
b) – 16 
c) 10 
d) – 10 
e) – 13 
Para resolver essa questão, basta encontrar as raízes da função e somá-las. Para calcular 
as raízes de funções do segundo grau, existem diversos métodos. Para este exercício, 
usaremos o método conhecido como completar quadrados. 
Lembre-se: para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, devemos fazer f(x) 
= 0, portanto, temos: 
f(x) = x2 + 16x + 39 
0 = x2 + 16x + 39 
x2 + 16x + 39 = 0 
Observe que 16/2 = 8 e 82 = 64, logo: 
x2 + 16x + 39 + 64 = 0 + 64 
x2 + 16x + 64 = 64 – 39 
(x + 8)2 = 25 
√(x + 8)2 = ± √25 
x + 8 = ± 5 
x = 5 – 8 = – 3 
ou 
x = – 5 – 8 = – 13 
A soma das raízes é: 
– 3 – 13 = – 16 
Alternativa B. 
Referências 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Gráfico da função de 2º grau"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm. Acesso em 09 de junho de 2020. 
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-segundo-grau.htm. Acesso em 08 de junho de 2020. 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Gráfico da função de 2º grau"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm. Acesso em 08 de junho de 2020. 
SILVA, Robson Luiz. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola. Disponível em: 
 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-segundo-grau.htm. Acesso em 08 de junho de 2020.