Questão resolvida - Usando multiplicadores de Lagrange, calcule a área máxima de um retângulo com perímetro igual a 200 m - Cálculo II

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Usando multiplicadores de Lagrange, calcule a área máxima de um retângulo com perímetro 
igual a .200 m
 
Resolução: 
 
por;
 
𝛻F x, y = 𝜆𝛻g x, y( ) ( )
 
Vamos definir que os lados do retângulo são e ;x y
 
Assim, o perímetro é;
 
g x, y = x+ x+ y+ y = 200 g x, y = 2x+ 2y = 200 g x, y = 2 x+ y = 200( ) → ( ) → ( ) ( )
 
 g x, y = x+ y = g x, y = x+ y = 100( )
200
2
→ ( )
 é a área do retângulo, dado por;F x, y( )
 
F x, y = xy( )
 
Então, os gradiente e são;𝛻F x, y( ) 𝛻g x, y( )
 
 
x
x
yy
(1)
(2)
 Usamos a relação de Lagrange, encontramos os valores extremos usando a definida dada
 
𝛻F x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨y, x⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
𝛻g x, y = ⟨1, 1⟩( )
 
Substituindo os gradientes encontrados na equação 1, fica;
 
 
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
 
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
𝜆 =⏫⏪ 
1
 
 
𝜆 =⏫⏪ 
1
Igualando os , fica;𝜆
 
= y = x
1
x
1
y
→
 
Substituindo o valor encontrado para (em função de ) na equação 2, temos; y x
 
x+ x = 100 2x = 100 x = x = 50→ →
100
2
→
 
Logo, y = 50
 
 
 
 
 
(3)
⟨1, 1⟩ = 𝜆⟨y, x⟩
⟨1, 1⟩ = ⟨y𝜆, x𝜆⟩
1 = y𝜆
1 = x𝜆
1 = y𝜆 → y𝜆 = 1
y
1 = x𝜆 → x𝜆 = 1
x
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Dessa forma, temos um ponto de máximo de , ou seja, da área do retângulo no ponto F x, y( )
 sujeito a restrição do perímetro , com isso a área máxima é;50, 50( ) g x, y( )
 
A = 50 ⋅ 50 A = 2500 mMáx → Máx
2
 
Obs.: Há apenas um ponto que fornece um valor de máximo sujeita a restrição dada, já P
que quando (na restrição), e , dessa forma, não há ponto de x ±∞→ y ±∞→ f x, y ∞( ) →
mínimo.
 
 
(Resposta )