medidasdedispersoemedidasdeposio-140821173057-phpapp01

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS 
FEDROS NURANI 
NELSON POERSCHKE 
SATURNO CÍCERO DE SOUZA 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
Boa Vista 
2011 
 
2 
 
 
 
 
 
 
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS 
FEDROS NURANI 
NELSON POERSCHKE 
SATURNO CÍCERO DE SOUZA 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
07 Out 2011 
 
 
 
Trabalho apresentado como exigência da 
disciplina de Introdução à Estatística do 
Curso de Bacharelado em Engenharia Civil 
da Universidade Federal de Roraima. 
 
Prof.: Josué Gomes da Silva 
 
 
 
 
Boa Vista 
2011 
 
3 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 04 
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 21 
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03.................................................................................... 36 
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04.................................................................................... 45 
 
 
 
4 
 
 
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01 
 Medidas de dispersão, assimetria e curtose. 
 
01. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12. 
 
 a) Qual é a amplitude amostral? 
 
= − ⇒ = 12 − 2 
 
= 10 
 
 b) Determine o desvio médio. 
 
 
| ̅|∙ = 
| |∙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) Calcule a variância. 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi Fi xiFi |xi - ̅|= |di| |di|.Fi ̅ = ∑ ⇒ = 6,14 
 
| |∙
 = 
,
 
 
 = 3,02 
 
 
2 1 2 |2 - 6,14| = 4,14 4,14 
3 1 3 |3 – 6,14| = 3,14 3,14 
4 1 4 |4 – 6,14| = 2,14 2,14 
5 1 5 |5 – 6,14| = 1,14 1,14 
7 1 7 |7 – 6,14| = 0,86 0,86 
10 1 10 |10 – 6,14| = 3,86 3,86 
12 1 12 |12 – 6,14| = 5,86 5,86 
Ʃ 7 43 21,14 
xi Fi xiFi ∙ = ∙ 347 − ( ) 
 
= ∙ 347− 
 
= ∙ ⇒ = ∙ 
 
= ∙ 82,86 
 
= 13,81 
2 1 2 4 
3 1 3 9 
4 1 4 16 
5 1 5 25 
7 1 7 49 
10 1 10 100 
12 1 12 144 
Ʃ 7 43 347 
5 
 
 
02. Para a série: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. 
 
 a) Construir a distribuição simples de freqüência. 
 
xi 5 6 7 8 9 
Fi 3 4 6 3 2 
 
 b) Calcular a amplitude. 
 
= − ⇒ = 9 − 5 
 
= 4 
 
 c) Determinar o desvio médio. 
 
 
| ̅|∙ = 
| |∙ 
 
 
 
 
 
 
 
 d) Calcular a variância populacional. 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi Fi xiFi |xi - ̅|= |di| |di|.Fi 
̅ = ∑ ⇒ = 6,83 
| |∙
 = 
,
 
 = 0,98 
 
5 3 15 |5 - 6,83| = 1,83 5,49 
6 4 24 |6 – 6,83| = 0,83 3,32 
7 6 42 |7 – 6,83| = 0,17 1,02 
8 3 24 |8 – 6,83| = 1,17 3,51 
9 2 18 |9 – 6,83| = 2,17 4,34 
 Ʃ 18 123 17,68 
xi Fi xiFi ∙ = ∙ 867− ( ) 
 
= ∙ ⇒ = ∙ 
 
= ∙ 26,5 ⇒ = 1,47 
 
= 1,47 
5 3 15 75 
6 4 24 144 
7 6 42 294 
8 3 24 192 
9 2 18 162 
Ʃ 18 123 867 
6 
 
 
 e) Calcular o desvio padrão populacional. 
 
= √ 
 
= √1,47 
 
= 1,21 
 
 f) Calcular o coeficiente de variação. 
 
∙ = 
̅
 
 
∙ = ,
,
= 0,177 ≅ 0,18 
 
∙ = 18% 
 
03. Calcular pelo processo abreviado a variância amostral. 
 
Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 
Fi 3 5 8 6 3 
 
( ) = ∙ Σ ∙ −
( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) = ∙ 35 −
( ) ⇒ ( ) = ∙ 35 − 
 
( ) = ∙ ⇒ ( ) = ∙ 34,96 = 1,46 
 
( ) = ℎ . ( ) ⇒ ( ) = 2 . 1,46 = 5,84 
 
( ) = 5,84 
 
 
xi Fi xi (PM) zi zi Fi zi2Fi 
x0 = 7 h = 2 
= = = = −2 
2 4 3 3 -2 -6 12 
4 6 5 5 -1 -5 5 
6 8 8 7 0 0 0 
8 10 6 9 1 6 6 
10 12 3 11 2 6 12 
Ʃ 25 1 35 
7 
 
 
04. Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos: 
 
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 
Fi 1 3 8 3 3 2 
 
 a) Calcular o desvio médio 
 
 
| ̅|∙ = 
| |∙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Determinar a variância populacional (processo breve). 
( ) = ∙ Σ ∙ −
( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) = ∙ 40 −
( ) ⇒ ( ) = ∙ 40 − 
 
( ) = ∙ ⇒ ( ) = ∙ 35 = 1,75 
 
( ) = ℎ . ( ) ⇒ ( ) = 10 . 1,75 = 175 
 
( ) = 175 
xi xi(PM) Fi xiFi |xi - ̅|= |di| |di|.Fi 
̅ = ∑ ⇒ = 65 
| |∙
 = 
 = 11 
 
35 45 40 1 40 |40-65|=25 25 
45 55 50 3 150 |50-65|=15 45 
55 65 60 8 480 |60-65|=5 40 
65 75 70 3 210 |70-65|=5 15 
75 85 80 3 240 |80-65|=15 45 
85 95 90 2 180 |90-65|=25 50 
 Ʃ 20 1300 90 220 
xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi2Fi 
x0 = 70 h = 10 
= = = = −3 
35 45 40 1 -3 -3 9 
45 55 50 3 -2 -6 12 
55 65 60 8 -1 -8 8 
65 75 70 3 0 0 0 
75 85 80 3 1 3 3 
85 95 90 2 2 4 8 
 Ʃ 20 -10 40 
8 
 
 
 c) Determinar o desvio padrão. 
 
= √ 
 
= √175 
 
= 13,23 
 
 d) Calcular o coeficiente de variação. 
 
∙ = 
̅
 
 
∙ = , = 0,177 ≅ 0,20 
 
∙ = 20% 
 
 
 
 e) Determinar o coeficiente de assimetria. (1º coeficiente de Pearson). 
 
 
 
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 
Fi 1 3 8 3 3 2 
 
 
 
= + ∙ ℎ 
= 55 + ∙ 10 ⇒ 55 + ∙ 10 
= 55 + 0,5 ∙ 10 ⇒ 55 + 5 = 60 
 Mo = 60 
 = 55 
Δ = 5 
Δ = 5 
h = 10 
 
 
 
 
= ̅ 
 
=
,
= 0,38 
 
= 0,38 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 f) Calcular o coeficiente de curtose. 
=
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 55 + ( )∙ ⇒ 55 + 1,25 = 56,25 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 65 + ( )∙ ⇒ 65 + 10 = 75,00 
 
 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 45 + ( )∙ ⇒ 45 + 3,33 = 48,33 
 
 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 75 + ( )∙ ⇒ 75 + 10 = 85,00 
 
 
 
 
=
( )
 ⇒ = , ,
( , , )
= ,
∙ ,
= ,
,
= 0,256 
 
 
 
 g) Determinar a amplitude semi-interqualítica. 
 
 
 
= ⇒ = = 10 
 
 
 
xi Fi Fac 
= = 5 
 
= . = = 15 
 
= ∙ = = 2 
 
= ∙ = = 18 
35 45 1 1 
45 55 3 4 
55 65 8 12 
65 75 3 15 
75 85 3 18 
85 95 2 20 
 Ʃ 20 
10 
 
 
 
05. Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra de 45 alunos: 
 
Pesos 
em kg 
40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 
Fi 4 10 15 8 5 3 
 
 a) Determinar a média pelo processo abreviado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Determinar a variância pelo processo abreviado. 
 
( ) = ∙ Σ ∙ −
( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) = ∙ 81 −
( ) ⇒ ( ) = ∙ 81 − 
 
( ) = ∙ ⇒ ( ) = ∙ 79,2 = 1,80 
 
( ) = ℎ . ( ) ⇒ ( ) = 5 ∙ 1,8 = 45 
 
( ) = 45 
 
Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi 
x0 = 57,5 h = 5 
= = , , = = −3 
̅ = ∑ = = - 0,80 
̅ = ℎ ̃ + ⇒ 5(-0,80)+57,5 = 53,5 
R: ̅ = 53,50 
40 45 4 42,5 -3 -12 
45 50 10 47,5 -2 -20 
50 55 15 52,5 -1 -15 
55 60 8 57,5 0 0 
60 65 5 62,5 1 5 
65 70 3 67,5 2 6 
Ʃ 45 -36 
xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi2Fi 
x0 = 57,5 h = 5 
= = , , = = −2 
40 45 42,5 4 -2 -8 16 
45 50 47,5 10 -1 -10 10 
50 55 52,5 15 0 0 0 
55 60 57,5 8 1 8 8 
60 65 62,5 5 2 10 20 
65 70 67,5 3 3 9 27 
 Ʃ 45 9 81 
11 
 
 
 c) Qual é o valor do coeficiente de variação. 
 
 
= √ 
 
= √45 
 
= 6,7 
 
∙ = 
̅
 
 
∙ = ,
,
= 0,1252 
 
∙ = 12,52% 
 
 
 
 d) A distribuição é simétrica? 
 
Pesos 
em kg 
40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 
Fi 4 10 15 8 5 3 
 
= + ∙ ℎ 
= 50 + ∙ 5 ⇒ = 50 + ∙ 5 
= 50 + 0,42 ∙ 5 
= 50 + 2,08 = 52,08 
 = 50 
Δ = 5 
Δ = 7 
h = 5 
= ̅ 
 
= , ,
,
= 0,2119 
 
= 0,21 
 
 A distribuição não é simétrica. É assimétrica positiva. 
 
 
 
 e) A distribuição é mesocúrtica? 
 
=
( )xi Fi Fac 
= = 11,25 
 
= . = = 33,75 
 
= ∙ = = 4,5 
 
= ∙ = = 40,5 
40 45 4 4 
45 50 10 14 
50 55 15 29 
55 60 8 37 
60 65 5 42 
65 70 3 45 
 Ʃ 45 
12 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 45 + ( , )∙ ⇒ 45 + 3,63 = 48,63 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 55 + ( , )∙ ⇒ 55 + 2,97 = 57,97 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 45 + ( , )∙ ⇒ 45 + 0,25 = 45,25 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 60 + ( , )∙ ⇒ 60 + 3,5 = 63,50 
 
=
( )
 ⇒ = , ,
( , , )
= ,
∙ ,
= ,
,
= 0,256 - A distribuição 
não é mesocúrtica. É leptocúrtica. 
 
06. Sendo: 
 
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 
Fi 10 20 35 25 10 
 
 Calcular ̅, S2, S, C.V, As e K 
 
 
 a) Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi Fi xi (PM) xiFi 
̅ = ∑ ⇒ 5550
100
 = 55,50 
 
R: ̅ = 55,50 
30 40 10 35 350 
40 50 20 45 900 
50 60 35 55 1925 
60 70 25 65 1625 
70 80 10 75 750 
Ʃ 100 5550 
13 
 
 
 b) Variância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) Desvio padrão 
 
= √ 
 
= √126 
 
= 11,22 
 
 d) Coeficiente de variação 
 
∙ = 
̅
 
 
∙ = ,
,
= 0,2022 
 
∙ = 20% 
 
 e) Assimetria 
 
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 
Fi 10 20 35 25 10 
 
 
= + ∙ ℎ 
= 50 + ∙ 10 ⇒ = 50 + ∙ 10 
= 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ = 50 + 6 = 56 
 Mo = 53,33 
 = 50 
Δ = 15 
Δ = 10 
h = 10 
 
 
 
xi Fi xi(PM) xiFi ∙ = ∙ 320500− ( ) 
 
= ∙ 320500 − 
 
= ∙ 
= ∙ 
= ∙ 12475 
 
= 126,01 
30 40 10 35 350 12250 
40 50 20 45 900 40500 
50 60 35 55 1925 105875 
60 70 25 65 1625 105625 
70 80 10 75 750 56250 
Ʃ 100 5550 320500 
14 
 
 
= ̅ 
 
= ,
,
= −0,045 
 
= −0,045 - A distribuição não é simétrica. É assimétrica negativa. 
 
 f) Curtose 
 
=
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 40 + ( )∙ ⇒ 40 + 7,5 = 47,5 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 55 + ( )∙ ⇒ 60 + 4 = 64 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 30 + ( )∙ ⇒ 30 + 10 = 40 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 60 + ( )∙ ⇒ 60 + 10 = 70 
 
=
( )
 ⇒ = ,
( )
= ,
∙
= , = 0,275 - A distribuição é platicúrtica. 
 
 
xi Fi Fac = = 25 
 
= . = = 75 
 
= ∙ = = 10 
 
= ∙ = = 90 
30 40 10 10 
40 50 20 30 
50 60 35 65 
60 70 25 90 
70 80 10 100 
Ʃ 100 
15 
 
 
07. A distribuição abaixo possui desvio padrão igual a 3,02. Determine o valor do 
coeficiente de variação. 
 
Classes 0 4 4 8 8 12 Ʃ 
xi(PM) 2 6 10 
Fi 2 3 2 7 
xiFi 4 18 20 42 
 
̅ = ∑ ⇒ 42
7
 = 6 
 
∙ = 
̅
 
 
∙ = , = 0,5033 
 
∙ = 50% 
 
08. Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência 
de cada caixa tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária 
para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes: 
 
Tipos de caixa A B C 
Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300 
Desvio padrão das pressões (bária) 40 50 60 
 
 
 a) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? 
 
 
 
 
 
 
16 
 
09. Um pesquisador da Rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a 
idade. O resultado é dado pela tabela. 
 
 35 26 39 25 39 22 
 42 40 39 22 21 40 
 16 32 39 21 28 39 
 18 37 23 14 27 44 
 30 32 21 15 26 43 
 
 a) Resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado: log 
30 = 1,48. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Apresente os dados na forma de um histograma. 
 
 
Classes xi Fi 
 
14 19 16,5 4 
19 24 21,5 6 
24 29 26,5 5 
29 34 31,5 3 
34 39 36,5 2 
39 44 41,5 10 
 Ʃ 
17 
 
 
 c) Calcule a média e o desvio padrão amostral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) ⇒ = ∙ 30237,5 − ( ) 
 
= ∙ 30237,5− ⇒ = ∙ ⇒ = ∙ 
 
⇒ 2 = 1
29
∙ 2634,17 ⇒ 2 = 90,83 
 
 
= √ 
 
= √90,83 
 
= 9,53 
 
10. É dada a distribuição dos salários semanais de 100 funcionários: 
 
Salários por 
semana (1.000$) 
 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 
Nº de 
empregados 
26 43 17 9 5 
 
 
 a) Calcule a variância populacional. 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
Classes xi Fi xiFi Fac xi2Fi 
̅ = ∑ = 910
30
 
̅ = 30,33 
14 19 16,5 4 66 4 1089 
19 24 21,5 6 129 10 2773,5 
24 29 26,5 5 132,5 15 3511,25 
29 34 31,5 3 94,5 18 2976,75 
34 39 36,5 2 73 20 2664,5 
39 44 41,5 10 415 30 17222,5 
 Ʃ 30 910 30237,5 
xi xi(PM) Fi xiFi ∙ 
 
 
 
 
 
 
 
500 1000 750 26 19500 14625000 
1000 1500 1250 43 53750 67187500 
1500 2000 1750 17 29750 52062500 
2000 2500 2250 9 20250 45562500 
2500 3000 2750 5 13750 37812500 
Ʃ 100 137000 217250000 
18 
 
 
= ∙ 217250000 − ( ) = ∙ 
 
= ∙ ⇒ = ∙ 29560000 ⇒ = 295600 
 
= 295600 
 
 
 b) A distribuição á assimétrica? 
 
 
 
= ̅ 
 
= ,
,
= 0,317 
 
= 0,32 - Sim, a distribuição é assimétrica positiva. 
 
 c) A distribuição á leptocúrtica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 500 + ( )∙ ⇒ 500 + 480,77 = 980,77 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 1500 + ( )∙ ⇒ 1500 + 176,47 = 1676,47 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 500 + ( )∙ ⇒ 500 + 192,31 = 692,31 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 2000 + ( )∙ ⇒ 2000 + 222,22 = 2222,22 
= √ 
 
= √295600 
 
= 543,69 
̅ = ∑ 
̅ = = 1370 
̅ = 1370 
= + ∙ ℎ 
= 1000 + ∙ 500 ⇒ 1000 + ∙ 500 
= 1000 + 0,4 ∙ 500 ⇒ 1000 + 200 = 1197,67 
xi Fi Fac = = 25 
 
= . = = 75 
 
= ∙ = = 10 
 
= ∙ = = 90 
500 1000 26 26 
1000 1500 43 69 
1500 2000 17 86 
2000 2500 9 95 
2500 3000 5 100 
Ʃ 100 
19 
 
 
 
=
( )
 ⇒ = , ,
( , , )
= ,
∙ ,
= ,
,
= 0,227 
 
= 0,227 
 
- Sim, a distribuição é leptocúrtica. 
 
 
11. As notas finais de um aluno nas disciplinas “Apicultura experimental” e 
“Cotonicultura aplicada” foram, respectivamente, 7,8 e 7,3. Sabe-se que na primeira 
disciplina o desvio padrão foi 0,8, com média 8,0; e que na outra tivemos média 7,5, com 
desvio padrão de 1,0. Em que disciplina ele obteve pior classificação relativa? 
 
= ̅ 
 
( ) =
, ,
,
= ,
,
 ⇒ = −0,25 
 
( ) =
, ,
,
= ,
,
⇒ = −0,20 
 
 Em apicultura. 
 
12. Uma mesmo teste de aptidão foi aplicado foi aplicado a dois grupos de funcionários, 
A e B. A média do conjunto A foi 75, com desvio padrão de 16, e a média do grupo B foi 69, 
com variância 64. Quem obteve melhor posição relativa: um empregado do grupo A, que 
obteve 85 pontos, ou um funcionário do grupo B, que alcançou 80 pontos. 
 
= √ 
 
= √64 
 
= 8 
 
= ̅ 
 
( á ) =
 = ,
,
 ⇒ = 0,625 
 
( á ) =
 = ⇒ = 1,375 
 
 O funcionário do grupo B. 
 
 
20 
 
 
13. Qual será a nota de um aluno que obteve escore de -1,5 em Apicultura experimental, 
considerando-se os dados do exercício 11. 
 
−1,5 = ,
,
 
 
− 8,0 = 0,8 .−1,5 ⇒ = −1,2 + 8,0 ⇒ = 6,8 
 
 Nota do aluno = 6,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02 
 Medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose. 
 
 
01. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8 e 2, calcular a média e o desvio padrão populacional. 
 
 
̅ = ∑ ⇒ = ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
̅ = , ⇒ ̅ = 1,58 
 
 
 
= ∙ 12,89 − ( , ) = ∙ , , 
 
= ∙ , ⇒ = ∙ 0,408 ⇒ = 0,082 
 
 
 
 
= √ 
 
= √0,082 
 
= 0,286 
 
 
 
xi Fi xiFi ∙ 
 
 
 
 
 
 
 
1,2 1 1,2 1,44 
1,4 1 1,4 1,96 
1,5 1 1,5 2,25 
1,8 1 1,8 3,24 
2 1 2,0 4 
Ʃ 5 7,9 12,89 
22 
 
 
2. Baseado na seguinte distribuição, calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Média 
 
 
̅ = ∑ = 13384
78
 
 
̅ = 171,59 
b) Mediana 
 
n = 78 (par) ⇒ = 39 
 
= +
∑ .
 ⇒ = 168 + ( ). 
 
= 168 + . ⇒ = 168 + ⇒ = 168 + 3,82 
 
 = 171,82 
 
c) Moda 
= + ∙ ℎ 
= 172 + 33 ∙ 4 ⇒ 172 +
3
18 ∙ 4 
= 172 + 0,17 ∙ 4 
= 172 + 0,67 = 172,67 
= 172,67d) Desvio médio amostral 
 
= | |∙ ⇒ = , 
 
= 3,99 
 
Altura Frequência 
 
160 164 5 
164 168 13 
168 172 22 
172 176 25 
176 180 10 
180 184 3 
 Ʃ 
Altura xi Fi xiFi Fac |xi - ̅|= |di| |di|.Fi 
160 164 162 5 810 5 |162-171,59| = 9,59 47,95 
164 168 166 13 2158 18 |166-171,59| = 5,59 72,67 
168 172 170 22 3740 40 |170-171,59| = 1,59 34,98 
172 176 174 25 4350 65 |174-171,59| = 2,41 60,25 
176 180 178 10 1780 75 |178-171,59| = 6,41 64,10 
180 184 182 3 546 78 |182-171,59| = 10,41 31,23 
 Ʃ 78 13384 311,18 
23 
 
 
 d) Coeficiente de assimetria 
 
 Q1 e Q3 
 
= = 19,5 = . = = 58,55 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 168 + ( , )∙ ⇒ 168 + 0,27 = 168,27 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 172 + ( , )∙ ⇒ 172 + 2,97 = 174,97 
 
= 
 
= , , . ,
, ,
 ⇒ = , ,
,
⇒ = ,
,
 
 
= −0,060 
 
 
 
 
3. Num fim de semana, o supermercado X vendeu as seguintes quantidades de carne. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual foi o preço médio. 
 
 
̅ = ∑ = 98250
2650
 
 
̅ = 37,08 
b) Qual foi a quantidade média. 
 
̅ = ∑ = 98250
185
 
 
̅ = 531,08 
 
 
Altura Preço ($ por kg) Quantidade (kg) xiFi 
Boi 35 1000 35000 
Porco 38 450 17100 
Galinha 39 600 23400 
Peru 45 350 15750 
Peixe 28 250 7000 
 Ʃ 185 2650 98250 
24 
 
 
4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição abaixo, 
sabendo que a média é igual a 11,50. 
 
 
 
 
̅ = ∑ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.3)+(18∙3)+(25∙1)
16
 ⇒ 
 
 11,50 = ( . ) ⇒ 11,50 = ⇒ 11,50 ≠ 11,16 
 
̅ = ∑ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.5)+(18∙3)+(25∙1)
18
 
 
 11,50 = ⇒ 11,50 ≠ 11,33 
 
̅ = ∑ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.7)+(18∙3)+(25∙1)
20
 
 
 11,50 = ⇒ 11,50 = 11,50 
 
xi Fi Fac fi 
1 4 4 0,04 
2 8 12 0,08 
3 18 30 0,18 
4 27 57 0,27 
5 15 72 0,15 
6 11 83 0,11 
7 10 93 0,10 
8 7 100 0,07 
 Ʃ 100 1 
xi 5 8 13 18 25 
Fi 4 5 7 3 1 
25 
 
 
6. Calcular o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da seguinte distribuição: 
 
Classes 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ʃ 
Fi 10 12 12 10 6 50 
Fac 10 22 34 44 50 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 1 + ( , )∙ ⇒ = 1 + ( . )∙ 
 
= 1 + 0,21 ⇒ = 1,21 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ 
 
= +
 . ∑ ∙
⇒ = 3 + ( )∙ ⇒ = 3 + ∙ 
 
= 3 + 0,1 ⇒ = 3,1 
 
= +
∑ ∙
 
 
= +
 . ∑ ∙
⇒ = 3 + ( , )∙ ⇒ = 3 + ( , )∙ 
 
= 3 + 0,25 ⇒ = 3,25 
 
7. Obter a moda e a variância para a seguinte distribuição amostral: 
 
Classes 0 25 25 50 50 75 75 100 100 125 Ʃ 
xi 12,5 37,5 62,5 87,5 112,5 
Fi 20 140 180 40 10 390 
xiFi 250 5250 11250 3500 1125 21375 
x2.Fi 3125 196875 703125 306250 126562,5 1335937,5 
 
 
= + ∙ ℎ ⇒ = 50 + ∙ 25 ⇒ = 50 + ∙ 25 
 
= 50 + 0,22 ∙ 25 ⇒ = 50 + 5,56 ⇒ = 55,56 
26 
 
 
 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) ⇒ = ∙ 1335937,5− ( ) 
 
= ∙ 1335937,5 − ⇒ = ∙ 
 
 = ∙ ⇒ = ∙ 164423,08 
 
 2 = 422,68 
 
8. Lançado um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição, calcular a variância 
populacional e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) 
 
= ∙ 837 − ( ) = ∙ 
 
= ∙ ⇒ = ∙ 152,50 
 
= 3,05 
 
 
= √ 
 
= 3,05 
 
= 1,75 
 
 
xi Fi xiFi xi2Fi 
1 6 6 6 
2 11 22 44 
3 6 18 54 
4 7 28 112 
5 9 45 225 
6 11 66 396 
 Ʃ 50 185 837 
27 
 
 
9. Usando o processo abreviado, calcule a média e a variância amostral: 
 
xi 30000 30002 30004 30006 30008 30010 
Fi 10 12 14 10 4 2 
Fac 10 22 36 46 50 52 
 
 
( ) = ∙ Σ ∙ −
( ∙ ) 
 
( ) = ∙ 164 −
( ) ⇒ ( ) = ∙ 164 − 
 
( ) = ∙ ⇒ ( ) = ∙ 94,769 = 1,86 
 
( ) = ℎ . ( ) ⇒ ( ) = 2 . 1,86 = 7,43 
 
( ) = 7,43 
 
10. Estudar a distribuição abaixo com respeito à assimetria e à curtose. 
 
xi 150 200 200 250 250 300 300 350 350 400 400 450 450 500 
Fi 5 16 21 28 19 8 3 
 
Classes xi Fi xiFi xi2Fi 
150 200 175 5 875 153125 
200 250 225 16 3600 810000 
250 300 275 21 5775 1588125 
300 350 325 28 9100 2957500 
350 400 375 19 7125 2671875 
400 450 425 8 3400 1445000 
450 500 475 3 1425 676875 
Ʃ 100 31300 10302500 
 
xi Fi zi ziFi zi2Fi 
x0 = 30006 h = 2 
= = = = −3 
̅ = ∑ = = -1,15 
̅ = ℎ + 0 ⇒ 2(-1,153)+30006 = 30003,69 
R: ̅ = 30003,69 
30000 10 -3 -30 90 
30002 12 -2 -24 48 
30004 14 -1 -14 14 
30006 10 0 0 0 
30008 4 1 4 4 
30010 2 2 8 8 
Ʃ 52 -60 164 
28 
 
 
̅ = Ʃ ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = 313 
 
= + ∙ ℎ ⇒ = 300 + ∙ 50 ⇒ = 300 + ∙ 50 ⇒ = 321,88 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) ⇒ = ∙ 10302500 − ( ) 
 
= ∙ 10302500 − ⇒ = ∙ 
 
 = ∙ ⇒ = ∙ 505600 ⇒ = 5107,07 
 
= √ ⇒ = 5107,07 ⇒ = 71,46 
 
= ̅ ⇒ = ,
,
 ⇒ = 0,12 
 
Classes xi Fi Fac = = 25 
 
= . = = 75 
 
= ∙ = = 10 
 
= ∙ = = 90 
150 200 175 5 5 
200 250 225 16 21 
250 300 275 21 42 
300 350 325 28 70 
350 400 375 19 89 
400 450 425 8 97 
450 500 475 3 100 
Ʃ 100 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 250 + ( )∙ ⇒ 250 + 9,52 = 259,52 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 350 + ( )∙ ⇒ 350 + 13,16 = 363,16 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 200 + ( )∙ ⇒ 200 + 15,62 = 215,62 
 
= +
∑ ∙
 ⇒ = 400 + ( )∙ ⇒ 400 + 6,25 = 406,25 
 
=
( )
 ⇒ = , ,
( , , )
= ,
∙ ,
= ,
,
⇒ = 0,2718 
 
A distribuição é assimétrica negativa e platicúrtica. 
 
29 
 
 
11. Cronometrando o tempo de várias provas de uma gincana automobilística, 
encontramos: 
 
 Equipe 1: 
 40 provas 
 Tempo médio = 45 s 
 Variância = 400 s2 
 
 Equipe 2: 
 Tempo: 20 40 50 80 
 Nº provas: 10 15 30 5 
 
 
 a) Qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1? 
 
. =
̅
⇒ . = ⇒ . = 0,44 ⇒ . = 44% 
 
 b) Qual a média da equipe 2? 
 
Tempo Fi xiFi 
20 10 200 
40 15 600 
50 30 1500 
80 5 400 
Ʃ 60 2700 
 
̅ = Ʃ ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = 45 
 
 c) Qual o desvio padrão referente à equipe 2? 
 
Tempo Fi xiFi xi2Fi 
20 10 200 4000 
40 15 600 24000 
50 30 1500 75000 
80 5 400 32000 
Ʃ 60 2700 135000 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) ⇒ = ∙ 135000 − ( ) 
 
= ∙ 135000 − ⇒ = ∙ 
 
= ∙ ⇒ = ∙ 13500 ⇒ = 228,81 
 
= √ ⇒ = √228,81 ⇒ = 15,13 
 
30 
 
 
 c) Qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto? 
 
 Equipe 1: 
 40 provas 
 Tempo médio = 45 s 
 
 Equipe 1: 
 60 provas 
 Tempo médio = 45 s 
 
̅ = ̅ ̅ ⇒ ̅ = . . ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = 45 
 
 c) Qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? 
 
 Equipe 1 
. =
̅
⇒ . = ⇒ . = 0,44 ⇒ . = 44% 
 Equipe 2 
. =
̅
⇒ . = , ⇒ . = 0,33 ⇒ . = 33% 
 
 A equipe 2, pois possui o menor coeficiente de variação. 
 
12. Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada região geográfica: 
 
 10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 
 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 
 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 
 8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 
 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16 
 
 a) Agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3. 
 
Classes xi Fi Fac Zi ZiFi Zi2Fi |di|Fi 
 1 4 2,5 14 14 -2 -28 -28 79,8 
 4 7 5,5 14 28 -1 -14 -14 37,8 
 7 10 8,5 11 39 0 0 0 3,3 
10 13 11,5 8 47 1 8 8 26,4 
13 16 14,5 11 58 2 22 22 69,3 
16 19 17,5 2 60 3 6 6 18,6 
Ʃ 60 -6 140 235,2 
31 
 
 
 b) Construir o histograma e o polígono de freqüência. 
 
 
 
 c) Construir o gráfico de freqüência acumulada. 
 
 
 
 
32 
 
 
 d) Calcular a média. 
 
Classes xi Fi xiFi 
 1 4 2,5 14 35 
 4 7 5,5 14 77 
 7 10 8,5 11 93,5 
10 13 11,5 8 92 
13 16 14,5 11 159,5 
16 19 17,5 2 35 
Ʃ 60 492 
 
̅ = Ʃ ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = 8,2 
 
 e) Calcular a mediana. 
 
Classes xi Fi Fac 
 1 4 2,5 14 14 
 4 7 5,5 14 28 
 7 10 8,5 11 39 
10 13 11,5 8 47 
13 16 14,5 11 58 
16 19 17,5 2 60 
Ʃ 60 
 
n = 60 ⇒ = 30 
 
= +
∑ .
= 
 
= 7 + ( ). ⇒ 7 + ( ). ⇒ 7 + ⇒ 7 + 0,55 ⇒ = 7,55 
 
 f) Determinar o 3º quartil. 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒= 4 +
∙
⇒ 4 + 0,21 ⇒ = 4,21 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 10 +
 . ∙
⇒ 10 + 2,25 ⇒ = 12,25 
 
 g) Calcular o 4º decil. 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 4 +
 . ∙
⇒ 4 + 2,14 ⇒ = 6,14 
 
 h) Calcular o 47º percentil. 
 
33 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 7 +
 . ∙
⇒ 7 + 0,05 ⇒ = 7,05 
 
 i) Determinar a medida que deixa 25% das rendas. 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 4 +
 . ∙
⇒ 4 + 0,21 ⇒ = 4,21 
 
 j) Calcular o desvio médio. 
 
Classes xi Fi |xi - ̅|= |di| |di|Fi 
 1 4 2,5 14 |2,5-8,2|=|5,7| 79,8 
 4 7 5,5 14 |5,5-8,2|=|2,7| 37,8 
 7 10 8,5 11 |8,5-8,2|=|0,3| 3,3 
10 13 11,5 8 |11,5-8,2|=|3,3| 26,4 
13 16 14,5 11 |14,5-8,2|=|6,3| 69,3 
16 19 17,5 2 |17,5-8,2|=|9,3| 18,6 
Ʃ 60 235,2 
 
| |∙ ⇒ , ⇒ = 3,92 
 
 l) Calcular variância. 
 
Classes xi Fi Zi ZiFi Zi2Fi 
 1 4 2,5 14 -2 -28 -28 
 4 7 5,5 14 -1 -14 -14 
 7 10 8,5 11 0 0 0 
10 13 11,5 8 1 8 8 
13 16 14,5 11 2 22 22 
16 19 17,5 2 3 6 6 
Ʃ 60 -6 140 
 
( ) = ∙ Σ ∙ −
( ∙ ) ⇒ ( ) = ∙ 140 −
( ) 
 
( ) = ∙ 140 − ⇒ ( ) = ∙ ⇒ ( ) = ∙ 139,4 = 2,36 
 
( ) = ℎ . ( ) ⇒ ( ) = 3 . 2,36 ⇒ ( ) = 21,24 
 
 m) Determinar o desvio padrão. 
 
= √ ⇒ = √21,24 ⇒ = 4,61 
34 
 
 
 n) Qual é o valor do coeficiente de variação? 
 
. =
̅
⇒ . = ,
,
⇒ . = 0,56 ⇒ . = 56% 
 
 o) A distribuição é simétrica? 
 
= ⇒ = , , . ,
, ,
 ⇒ = ,
,
⇒ = 0,169 
 Não é simétrica. 
 
 p) A distribuição é mesocúrtica? 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 1 +
 . ∙
⇒ 1 + 1,29 ⇒ = 2,29 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 13 +
 . ∙
⇒ 13 + 1,91 ⇒ = 14,91 
 
=
( )
 ⇒ = , ,
( , , )
⇒ = ,
∙ ,
⇒ = ,
,
⇒ = 0,3185 
 Não é mesocúrtica. 
 
 q) Usando o gráfico de freqüência acumulada, represente o 1º quartil, o 7º decil e o 
80º percentil. 
 
Classes xi Fi Fac 
 1 4 2,5 14 14 
 4 7 5,5 14 28 
 7 10 8,5 11 39 
10 13 11,5 8 47 
13 16 14,5 11 58 
16 19 17,5 2 60 
Ʃ 60 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 4 +
∙
⇒ 4 + 0,21 ⇒ = 4,21 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 10 +
. ∙
⇒ 10 + 1,25 ⇒ = 11,25 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 13 +
 . ∙
⇒ 13 + 0,27 ⇒ = 13,27 
 
35 
 
 
 
 
 r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessas famílias. 
 
 O salário médio das famílias, que é de R$ 8200,00, está acima do centro da 
distribuição, conforme mostra a mediana, que é de R$ 7550,00. Neste caso, isso foi causado 
por alguns valores grandes que sensibilizam mais a média e menos a mediana. Isso demonstra 
que a distribuição não é simétrica e mais tarde será abordado na análise da simetria. 
 O desvio médio mostra que a dispersão em torno da média é de R$ 3920,00. 
 A variância e o desvio padrão, valores sempre positivos, indicam que a distância 
entre os valores medidos e a média foi de R$ 4611,00. 
 Os cálculos chegaram a um coeficiente de variação, desvio padrão dividido pela 
média, de 56%. 
 A distribuição é assimétrica, pois os quartis não estão equidistantes, e positiva, 
pois a moda encontra-se à esquerda da mediana. 
 O valor da curtose, 0,3185, mostra que há um achatamento na curva de 
distribuição, tornando-a platicúrtica. 
 
36 
 
 
III. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03 
 
 Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta. 
 
1. A média aritmética é a razão entre: 
 a) ( ) o número de valores e o somatório deles. 
 b) ( X ) o somatório dos valores e o número deles. 
 c) ( ) os valores extremos. 
 d) ( ) os dois valores centrais. 
 
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50, a moda será: 
 a) ( ) 50. 
 b) ( X ) 60. 
 c) ( ) 66. 
 d) ( ) 90. 
 
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é: 
 a) ( ) a moda. 
 b) ( ) a média. 
 c) ( X ) a mediana. 
 d) ( ) o lugar mediano. 
 
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é: 
 a) ( ) positiva. 
 b) ( ) negativa. 
 c) ( ) diferente de zero. 
 d) ( X ) zero. 
 
5. Na série, 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será a: 
 a) ( ) média e a moda. 
 b) ( X ) a média e a mediana. 
 c) ( ) a mediana e a moda. 
 d) ( ) a média, a mediana e a moda. 
 
37 
 
 
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de 
erros, utilizamos: 
 a) ( X ) moda. 
 b) ( ) média. 
 c) ( ) mediana. 
 d) ( ) qualquer uma das anteriores. 
 
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as 
freqüências absolutas, então a mediana é: 
 
 
 
= 6 + ( ). ⇒ 6 + ( ). ⇒ 6 + ⇒ 6 + 1,0 = 7,0 
 
 a) ( ) 6,5. 
 b) ( ) 8,0. 
 c) ( ) 7,5. 
 d) ( X ) 7,0. 
 
8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana: 
 a) ( ) 3 valores. 
 b) ( X ) 2 valores. 
 c) ( ) 3,5 valores. 
 d) ( ) 4 valores. 
 
9. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que: 
 
 
 
38 
 
 
 a) ( ) a moda é maior que a mediana e menor que a média. 
 b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior que a média. 
 c) ( ) a moda é menor que a mediana e esta é maior que a média. 
 d) ( X ) a mediana é maior que a média e menor que a moda. 
 
10. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre: 
 a) ( X ) desvio padrão e média. 
 b) ( ) média e desvio padrão. 
 c) ( ) amplitude semi-interquartílica e mediana. 
 d) ( ) desvio padrão e moda. 
 
11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da: 
 a) ( X ) média. 
 b) ( ) mediana. 
 c) ( ) ponto médio. 
 d) ( ) moda. 
 
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é: 
 a) ( ) negativo. 
 b) ( ) positivo. 
 c) ( ) a unidade. 
 d) ( X ) zero. 
 
13. Na série, 10, 20, 40, 50, 70 80 a mediana será: 
 
n = 06 (par) 
 
⇒ = º ⇒ e + 1 ⇒ + 1 = º ⇒ 
 
 = ⇒ = ⇒ = 45 
 
 a) ( ) 30. 
 b) ( ) 35. 
 c) ( ) 40. 
 d) ( X ) 45. 
 
39 
 
 
14. Examinando a figura abaixo, podemos dizer: 
 
 
 a) ( X ) O desvio padrão da distribuição A é maior que o da distribuição B, e as 
médias são iguais. 
 b) ( ) O desvio padrão de A é menor que o de B e ás médias são diferentes. 
 c) ( ) O desvio padrão de A é igual ao de B, independentemente do valor da 
média. 
 d) ( ) As distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação. 
 
15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas, o resultado foi o seguinte: 
 Turma A: ̅ = 5 e = 2,5 
 Turma B: ̅ = 4 e = 2 
 Com esses resultados podemos afirmar que: 
 a) ( ) A turma B apresentou maior dispersão absoluta. 
 b) ( ) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta. 
 c) ( ) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B. 
 d) ( X ) A dispersão absoluta de A é maior que a de B, mas em termos relativos as 
duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas. 
 
16. O desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será: 
 a) ( ) 3. 
 b) ( ) 18. 
 c) ( ) 36. 
 d) ( X ) 81. 
 
17. 50% dos dados da distribuição situam-se: 
 a) ( ) abaixo da média. 
 b) ( X ) acima da mediana. 
 c) ( ) abaixo da moda. 
40 
 
 
 d) ( ) acima da média. 
 
18. Dada a figura abaixo, (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição 
será: 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 4 +
 ∙
⇒ 4 + 1,0 ⇒ = 5,0 
 
 a) ( X ) 5,0. 
 b) ( ) 5,5. 
 c) ( ) 4,8. 
 d) ( ) 3,0. 
 
19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são: 
 Estatística: ̅ = 80 e = 16 
 História: ̅ = 20 e = 5 
 
. =
̅
⇒ . = ⇒ . = 0,2 ⇒ . = 20% 
 
. =
̅
⇒ . = ⇒ . = 0,25 ⇒ . = 25% 
 
 a) ( ) 16% e 40%. 
 b) ( X ) 20% e 25%. 
 c) ( ) 50% e 40%. 
 d) ( ) 80% e 40%. 
 
20. Média, mediana e moda, são medidas de: 
 a) ( ) dispersão. 
 b) ( X ) posição. 
41 
 
 
 c) ( ) assimetria. 
 d) ( ) curtose. 
 
21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de $ 2500,00 cada um, quatro 
escriturários recebendo $ 6000,00 cada um, um chefe de escritório com salário de $ 10000,00 
e três técnicosrecebendo $22000,00 cada um.: 
 A média desses salários é: 
 
̅ = ∑ ⇒ ̅ = ( , . ) ( , . ) ( . ) ⇒ ̅ = ⇒ ̅ =10500,00 
 
 a) ( ) 1050,00. 
 b) ( ) 5050,00. 
 c) ( ) 26250,00. 
 d) ( X ) n.r.a. 
 
22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se: 
 a) ( ) mediana. 
 b) ( ) média. 
 c) ( X ) moda. 
 d) ( ) 1º quartil. 
 
23. Na distribuição abaixo: 
 
 A moda é: 
 
= + ∙ ℎ ⇒ = 50 + ∙ 10 ⇒ = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ = 56 
 
 a) ( ) 50,6. 
 b) ( ) 55. 
 c) ( ) 50. 
 d) ( X ) 56 
 
42 
 
 
24. Para a distribuição: 
 
 
 
 A média será: 
̅ = ∑ ⇒ ̅ = ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) 
 
̅ = ⇒ ̅ 313 
 
 a) ( ) 350. 
 b) ( X ) 314. 
 c) ( ) 324,76. 
 d) ( ) 323,80 
 
25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição: 
 
 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 40 +
 . ∙
⇒ 40 + 6 ⇒ = 46 
 
 a) ( X ) 46. 
 b) ( ) 50. 
 c) ( ) 49,6. 
 d) ( ) 63 
 
26. O 5º decil da distribuição: 
 
 
 
 = +
∑ ∙
 ⇒ = 6 +
 . ∙
⇒ 6 + 0,60 ⇒ = 6,60 
 
43 
 
 
 a) ( ) 7,20. 
 b) ( ) 5,50. 
 c) ( X ) 6,60. 
 d) ( ) 7,20. 
 
27. A média da distribuição: 
 
 
 
̅ = ∑ ⇒ ̅ = ( . ) ( . ) ( . ) ⇒ ̅ = ⇒ ̅ = 11,4 
 
 a) ( ) 12,0. 
 b) ( ) 8,50. 
 c) ( ) 10,83. 
 d) ( X ) 11,40. 
 
28. O desvio médio da distribuição: 
 
 
 
̅ = ∑ ⇒ = 120 
 
= | |∙ ⇒ = ⇒ = 16 
 
 a) ( ) 12. 
 b) ( ) 14. 
 c) ( X ) 16. 
 d) ( ) 18. 
 
29. A variância da distribuição: 
 
 
 
44 
 
 
 
Classes xi Fi xiFi xi2Fi 
1 3 2 0,2 0,4 0,8 
3 5 4 0,4 1,6 6,4 
5 7 6 0,4 2,4 14,4 
 1 4,4 21,6 
 
 
 
= ∙ Σ ∙ − ( ∙ ) ⇒ = ∙ 21,6− ( , ) 
 
 = ∙ 21,6 − , ⇒ = ∙ 2,24 ⇒ = 2,24 
 
 a) ( X ) 2,24. 
 b) ( ) 2,8. 
 c) ( ) 2,5. 
 d) ( ) 4. 
 
30. A média de uma série de valores iguais a uma constante é: 
 
 a) ( ) zero. 
 b) ( X ) o valor da constante. 
 c) ( ) a unidade. 
 d) ( ) não é possível calcular o desvio padrão. 
 
 
 
 
45 
 
 
IV. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04 
 Teoria. 
 
1. Explique qual a utilizada das medidas de dispersão. Dê três exemplos. 
 
 Possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de 
determinado fenômeno de forma resumida, e representam os fenômenos pelos seus valores 
médios em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. 
 Ex: 
 
2. O que são medidas de dispersão? 
 
 São medidas que servem para verificar a representatividade das medidas de posição, 
pois é comum encontrar-se séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de 
maneira distinta. 
 
3. Fale sobre as medidas de curtose. 
 
 Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com referência 
ao grau de achatamento, podemos ter: curva leptocúrtica, curva mesocúrtica e curva 
platicúrtica. 
 
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que 
acontecerá com a média? E com a variância da série? 
 
 A média também é multiplicada pela mesma constante. 
 A variância será multiplicada pelo quadrado dessa constante. 
 
5. Quanto vale Ʃ( − ̅)? 
 
 Em estatística, Ʃ( − ̅) = 0. 
 
6. Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que acontecerá com a 
média e a variância da série. 
46 
 
 
 A média é acrescida deste número e a variância permanecerá inalterada. 
 
7. O primeiro decil é igual ao décimo percentil? Explique. 
 
 Sim. O 1º decil é e o 10º percentil é ; e = . 
 
8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais as medidas que você 
utilizaria para: 
 a) Descobrir o salário mais freqüente. 
 
 Moda 
 
 b) Descobrir o salário que divide o pagamento em partes iguais? 
 
 Mediana 
 
 c) Descobrir a dispersão absoluta em torno da média. 
 
 Desvio médio 
 
 d) Descobrir o grau de dispersão relativo. 
 
 Desvio padrão 
 
9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana como sendo a média aritmética entre o 
1º e o 3º quartis? 
 
 Não. Vejamos o seguinte exemplo: 
 
 Foram calculadas as seguintes medidas para notas dos alunos em duas disciplinas: 
 Estatística: Q1 = 3,0; Q3 = 6,5; ̅ = 5 
 Matemática: Q1 = 2,0; Q3 = 7,0; ̅ = 5 
 
Estat.: ⇒ , ⇒ , = 4,75 
 
Mat.: ⇒ ⇒ = 4,5 
 
 Observa-se que em nenhum dos casos a média aritmética entre os dois quartis é igual 
à mediana. 
47 
 
 
10. Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da 
variância? 
 
 Quando a série for muito extensa, os valores de X forem muito grandes e a amplitude 
entre tais valores for constante.