Lista 3

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 3................11 - 03 - 13
1.- Expressar as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares r,θ.
2.- Partindo das relações x = 12 z + z∗ e y = 12i z − z∗ , mostre que as relações de
Cauchy-Riemann, para a analiticidade de uma função fz = ux, y + ivx, y, podem ser
postas na forma:
∂f
∂z∗
= 0
Aplique este resultado para verificar a analiticidade das seguintes funções:
(1) fz = xx2 − 3y2 + iy3x2 − y2. (2) fz = x2 + y2 + i2xy (3) fz = x2 − y2 − i2xy
(4) fz = x
x2+y2
+ i −y
x2+y2
3.- Use as condições de Cauchy-Riemann na forma polar para estabelecer a
analiticidade das funções:
(1) zn, n : int > 0 (2) 1
z2
4.- Estude os limites indicados das seguintes funções:
(1) fz = x2+xx+y + i y
2+y
x+y z → 0
(2) fz = Argz z → a, Rea < 0
5.- Num problema de electrostática em 2D, prove que as ”linhas ”equipotenciais
formam uma família de curvas ortogonal à família das linhas de campo.
6.- Determine (analiticamente ) as famílias de curvas ortogonais definidas pelas
seguintes funções analíticas fz = ux, y + ivx, y:
(1) 1z (2) logz (3) ez (4) sinz
Use o MAPLE para fazer os gráficos.
7.- Determine a EDO para cada uma das seguintes famílias de curvas:
(1) y = 2x + C (2) x2 + y2 = C2 (3) y = Cx2 (4) x24 + y
2
9 = C
2 (5) x24 + y
2
c2
= 1
8.- Dada a família u = C, determine analiticamente a família ortogonal v = C nos
casos em que ux, y é dada por:
(1) yx (2) tan−1 yx  (3) xx2+y2
Em que caso a função fz = u + iv resultante é analítica? Explique. Use o MAPLE para
fazer os gráficos.
9.- É dada a função fz = xx2 − 3y2 + iy3x2 − y2.
(1) Verificar se fz é analítica e em que região.
(2) Expressar fz explicitamente em função de z.
10.- Para cada uma das funções harmônicas ux, y listadas abaixo determine uma
função harmônica conjugada vx, y . Identifique a função fz = u + iv resultante :
(a) x2 − y2 (b) x
x2+y2
(c) e−x cosy
1
11.- Seja ux, y uma função harmônica definida numa região simplesmente conexa
A⊆ C. Prove que a função harmônica conjugada é a função vx, y definida por
vx, y = ∫
x0,y0Γ
x,y
− ∂u
∂y dx +
∂u
∂x
dy
para qualquer caminho regular Γ que una os pontos x0, y0 e x, y.
12.- Dada uma função analítica fz = ux, y + ivx, y, faça o gráfico das famílias
ux, y = c e vx, y = c , nos casos em que fz é dada na lista seguinte:
(a) z2 (b) ez (c) logz (d) sinz (e) coshz
Use o MAPLE para fazer o gráfico das famílias, exibindo a sua ortogonalidade.
13.- Construa 3 exemplos de pares de famílias ortogonais de curvas planas ux, y = c ,
vx, y = c, mas que não definam funções analíticas.
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