TRABALHO_MATEMATICA_ANIBAL_INDIVIDUAL

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Instituto Superior dom Bosco
Centro de Ensino à Distância – Centro de Recursos de Gurué
Curso de Ensino em Agropecuária
1° Ano - 2ª Edição
1° Semestre de 2021
Módulo: Análise Matemática Aplicada I
Trabalho Individual 
e-Formando: Aníbal Alberto Nejoloja e-Tutor: Castigo Parruque 
Gurué, Novembro de 2021
Índice											 Pág.
1.	Introdução	1
1.1.	Objectivos	1
1.1.1. Objectivo geral	1
1.1.2. Objectivos específicos	1
1.2.	Metodologia	2
2.	Revisão da literatura	3
2.1.	Aplicações da Matemática I na Agropecuária e na Economia Agrária	3
2.1.1.	Aplicações de Matrizes e Sistemas de Equações na Agropecuária	3
2.1.2.	Aplicações de funções lineares, quadráticas e exponenciais na Economia Agrária				7
2.1.3.	Aplicações de limites e Continuidade na Agropecuária	11
3.	Conclusão	15
4.	Referências bibliográficas	16
	
1. Introdução
Percebemos que num mundo tão ligado o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento. Saber calcular e visualizar os problemas em diferentes contextos é uma habilidade essencial para a formação das pessoas.
A abordagem de matrizes, sistemas de equações, funções lineares, quadráticas e exponenciais, limites e continuidades quase sempre se dá de forma mecânica e dissociada da realidade, o que impede que se perceba a aplicabilidade desses conteúdos e as pessoas tenham maior interesse em aprede-lo. Muitas vezes, não se dispõe de ferramentas para trabalhar o conteúdo de matrizes, sistemas de equações, funções lineares, quadráticas e exponenciais, limites e continuidades de forma inovadora, visto que os materiais didáticos, em sua maioria, não trazem actividades com foco nas aplicações.
1.1. Objectivos
1.1.1. Objectivo geral
· Descrever as aplicações da Matemática I na Agropecuária e na Economia Agrária.
1.1.2. Objectivos específicos
· Identificar as aplicações de matrizes e sistemas de equações na agropecuária;
· Descrever as aplicações de funções lineares, quadráticas e exponenciais na economia agrária;
· Discutir as aplicações de limites e continuidade na agropecuária.
1.2. Metodologia
Como se pode perceber, a preocupação desta pesquisa é ter o nível de realidade, através de motivos, aspirações, valores e atitudes, o que significa a necessidade de um espaço mais profundo dos processos e fenómeno não se podendo resumir a operacionalização de variáveis, razão pela qual usar-se-á a metodologia qualitativa. Para obtenção das informações, percorreu-se em informações de diferentes literaturas disponíveis na internet, vídeos e alguns manuais de Matemática.
A presente pesquisa, enquadra-se quanto aos objectivos nas pesquisas descritivas, visto que ela busca descrever as aplicações da Matemática I na Agropecuária e na Economia Agrária.
2. Revisão da literatura
2.1. Aplicações da Matemática I na Agropecuária e na Economia Agrária
2.1.1. Aplicações de Matrizes e Sistemas de Equações na Agropecuária
2.1.1.1. Matriz
Segundo Boemo & Fioreze (2008), uma matriz A é um agrupamento retangular de elementos dispostos em linhas (horizontais) e colunas (verticais), geralmente entre colchetes ou parênteses. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz.
Exemplos:
A1 = ;		A2 = ;		A3 = 
Ainda Boemo & Fioreze (2008) afirmam que uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que assumem valores reais.
 2.1.1.2. Algumas Aplicações Simples de Matrizes
As matrizes desempenham um papel importante na análise quantitativa das decisões gerenciais. Eles também fornecem métodos muito convenientes e compactos de escrever um sistema de equações lineares simultâneas e métodos de resolvê-los. Essas ferramentas também tornam-se muito úteis em todas as áreas funcionais da gestão. Outra distinta vantagem das matrizes é que uma vez que o sistema de equações pode ser configurado na forma de matriz, eles podem ser resolvidos rapidamente usando um computador (Ferreira, 2013).
Exemplo 1
Suponha uma empresa que reside num país, onde são cobrados impostos estaduais e federais sobre seu lucro. Estes impostos são cobrados da seguinte forma:
· Os impostos estaduais são de 4% do lucro bruto, (lucro sem o pagamento de impostos),
· Os impostos federais são de 30% de seu lucro após o pagamento dos impostos estaduais.
Caso essa empresa resolva fazer uma doação beneficente, essa doação será totalmente deduzida de seus impostos. Num determinado ano seu lucro bruto foi de $200.000, 00. Suponha que a empresa decida fazer uma doação de 10% do lucro líquido (lucro após pagamento dos impostos estaduais e federais), para a organização humanitária internacional Médicos sem Fronteiras.
a) Qual o montante pago em impostos estaduais, impostos federais e para doação aos Médicos sem Fronteiras?
b) Qual o montante pago em impostos se a empresa não fizer a doação?
c) Compare o lucro líquido nos dois casos acima.
Resolução
(a) Vamos modelar esse problema chamando de C o valor da doação beneficente, S o valor pago do imposto estadual e F o valor pago do imposto federal. O lucro da empresa, após os impostos, é 200.000 − (S + F), então C = (0, 10)· [200.000 − (S + F)], ou seja,
C + (0, 1)S + (0, 1)F = 20.000,
Da afirmação de que o imposto estadual é 4% do lucro descontada a doação, obtemos a equação S = (0, 04)· (200.000 − C), ou seja,
(0, 04)C + S = 8.000.
A informação de que o imposto federal é 30% do lucro após a dedução de C e F nos dá a equação F = (0, 30)· [200.000 − (C + S)], ou
(0, 3)C + (0, 3)S + F = 60.000.
Reunindo esses pagamentos obtemos o sistema de equações lineares
C + (0, 1)S + (0, 1)F	= 20.000
(0, 04)C + S	= 8.000
(0, 3)C + (0, 3)S + F	= 60.000
Para resolver esse sistema vamos usar a regra de Cramer, então
C= = = = 13895,782
S= = = = 7444,169
F= = = = 53598,015
Logo a solução do sistema é C = 13.896, 782, S = 7.444, 169 e F = 53.598, 015 Portanto, arredondando para unidade mais próxima, os montantes pagos em impostos estaduais, federais e a contribuição, obtemos respectivamente, R$ 7.444, 00, R$ 53.598, 00
e R$ 13.897, 00.
(b) Se a empresa não optar por fazer a contribuição beneficente, o montante pago em impostos estaduais e federais são:
S = (0, 04)· 200.000
F = (0, 30)· (200.000 − S)
que resulta no sistema
S = 8.000
F − 0, 3S = 60.000
que pode ser facilmente resolvido substituindo o valor de S da primeira equação na segunda, encontrando F = 62.400.
Portando os montantes pagos em impostos estaduais e federais são respectivamente R$ 8.000 e R$ 62.400.
(c) No item (a) o lucro líquido é obtido subtraindo do lucro bruto os impostos e a contribuição beneficente, então:
200.000 − (53.598 + 13.896 + 7.444) = 125.062
Já no item (b), para obter o lucro líquido basta subtrair os impostos do lucro bruto, então:
200.000 − (8.000 + 62.400) = 129.600
Comparando os dois resultados podemos perceber que a doação de R$ 13.897 aos Médicos sem Fronteira realmente custou R$ 4.538 (= R$ 129.600 − R$ 125.062).
Exemplo 2
Necessita-se adubar um terreno acrescentando-se 21 gramas de nitrato, 15 gramas de fosfato e 24,5 gramas de potássio. Dispõe-se para isso de quatro qualidades de adubo com as seguintes características:
a) Cada quilo do adubo 1 custa cinco reais e contém 2 gramas de nitrato, 3 gramas de fosfato e 4 gramas de potássio;
b) O adubo 2 custa dois reais e contém 6 gramas de nitrato, 1 grama de fosfato e 2 gramas de potássio;
c) O adubo 3 um custa três reais e contém 1 grama de nitrato, 8 gramas de fosfato e 3 gramas de potássio;
d) O adubo 4 um custa quatro reais e contém 2 gramas de nitrato, 3 gramas de fosfato e 8 gramas de potássio;
Se o custo por metro quadrado é de vinte e um reais, quanto de adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado?
Primeiro pode-se organizar os dados como na tabela 1.
Tabela 1 – Organizaçãodos dados do problema sobre adubação
	
Componentes
	Tipos de adubo
	
	x1 (Adubo 1)
	x2 (Adubo 2)
	x3 (Adubo 3)
	x4 (Adubo 4)
	
Total
	Custo
	5
	2
	3
	4
	21
	Nitrato
	2
	6
	1
	2
	21
	Fosfato
	3
	1
	8
	6
	15
	Potássio
	4
	2
	3
	3
	24,5
Vamos representar por xi a quantidade de adubo ( i = 1, 2, 3 e 4) a ser misturado para conseguir o efeito desejado.
Assim, o problema é modelado pelo sistema de equações lineares dado pela equação:
2.1.2. Aplicações de funções lineares, quadráticas e exponenciais na Economia Agrária
2.1.2.1. Crescimento populacional 
Para Silva (2015), na ausência de fatores inibidores, o crescimento populacional pode ser descrito por meio de uma função exponencial. Nesse caso, tal expressão (função) pode ser utilizada para calcular o crescimento da população de qualquer espécie.
Por exemplo, sob certas condições o número M(t) de bactérias de uma população no instante t é dado por M(t) = M0.ekt , em que e é o conhecido número de Euler (cujo valor aproximado é 2,7), k é uma constante que depende do número de bactérias, e M0 é o número de bactérias da população no instante t = 0 (Silva, 2015).
Exemplo de aplicação
(BORDEAUX; ANTUNES; RUBINSTEIN, 2008) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) = P0.2 −0,25t . A constante P0 é o valor da população inicial dessa região e P(t) a população t anos depois. Determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente. 
Resolução
Como queremos que a população final seja a quarta parte da inicial, devemos fazer P(t) =. Substituindo na relação dada, temos: = P0.2 −0,25t→ = 
Então: 2−2 = → −2 = − . t→ t = 8 
Assim, a população ficará reduzida à quarta parte após 8 anos.
2.1.2.2. Pressão atmosférica
Também conhecida como esfera de ar, a atmosfera é uma camada de ar que tem quilômetros de espessura e envolve todo o planeta Terra. Sabendo que pressão é a grandeza física que expressa uma força exercida por unidade de área, podemos definir a pressão atmosférica como a força por unidade de área exercida pelo ar contra uma superfície.
A pressão atmosférica é medida por meio de um equipamento conhecido como barômetro, utilizado, por exemplo por algumas indústrias, ou até mesmo automóveis, para medir a pressão, seja ela a pressão de ar dos pneus dos carros, a pressão do óleo do motor, etc. As unidades de medida utilizadas são: polegada ou milímetros de mercúrio (mmHg), quilopascal (kPa), atmosfera (atm), milibar (mbar) e hectopascal (hPa), sendo as três últimas, as mais utilizadas no meio científico.
Aumentando a força exercida pelo ar num determinado ponto, a pressão também aumentará nesse ponto. Logo, podemos deduzir que à medida que a altura h em relação ao nível do mar aumenta, a pressão atmosférica diminui. É conveniente saber que o peso normal do ar ao nível do mar é de 1kgf/cm2 (quilograma-força por centímetro quadrado) e ainda considera-se que a pressão diminui 1hP a (ou 1 mbar) a cada 8 metros que se sobe. Por exemplo, a 8840 metros, a pressão é de apenas 0, 3kgf/cm2 .
Como decorrência da Lei de Boyle, comprova-se que se p0 é a pressão atmosférica ao nível do mar, então a pressão atmosférica a uma altitude h pode ser descrita pela função exponencial p(h) = p0.e−αh , onde α é uma constante e e o número de Euler.
Exemplo de aplicação
Adaptado(BORDEAUX; ANTUNES; RUBINSTEIN, 2008) A pressão atmosférica, ao nível do mar, é de 1 atm (atmosfera). A cada quilômetro que se sobe acima desse nível, a pressão diminui 10%. Mostre que a função que melhor representa a pressão p, em 1 atm, em função da altura h, em km, medida a partir do nível do mar, é uma função do tipo exponencial de comportamento decrescente.
Resolução
Como a pressão atmosférica diminui 10% a cada quilômetro, temos que:
p1 = p0 − 10% de p0
p1 = p0 − 0, 1p0 −→ p1 = 0, 9
Podemos escrever que:
p1 = 0, 9.p0
p2 = 0, 9.p1 = 0, 9.(0, 9.p0) = (0, 9)2 .p0
.....
.....
pn = (0, 9)n .p0
Portanto, podemos afirmar que a pressão atmosférica decresce exponencialmente, já que a base da potência (0, 9)n é um número compreendido entre 0 e 1, o que caracteriza uma função do tipo exponencial decrescente.
2.1.2.3. Potencial Hidrogeniônico (pH)
Os alquimistas foram os ’químicos’ da Idade Média e da Renascença e sabiam que determinadas substâncias, quando dissolvidas em água, formavam soluções com algumas características em comum: gosto azedo e, de um modo geral, capacidade de reagir com metais. Essas substâncias foram classificadas como ácidos. Se um átomo possui número de elétrons diferente do número de prótons, ele chama-se íon. Sabe-se que as características ácidas das soluções devem-se à presença do íon hidrogênio, indicado por H+ , em concentração mais elevada do que na água pura. Por exemplo, ao dissolvermos em água a substância chamada cloreto de hidrogênio, de fórmula HCl, forma-se o ácido clorídrico.
Os átomos de hidrogênio e cloro, formadores da molécula de HCl , separam-se e dão origem aos íons H+ e Cl−. Quanto maior a quantidade de íons H+ num determinado volume de solução, maior será sua acidez. A concentração desses íons é expressa pela concentração molar, ou seja, pelo número de mols de H+ em cada litro de solução e é indicada por [H+] (1 mol de H+ ≈ 6, 02.1023 íons H+ = 602 sextilhões de íons H+).
Como as concentrações são dadas por potências de 10 com expoente negativo (por exemplo, 10−3 , 10−8 , 10−14), o trabalho com esses números traz alguma dificuldade matemática, e, por isso, criou-se a escala de pH, que se utiliza de logaritmos decimais. O termo pH (abreviatura de potencial hidrogeniônico) é uma maneira de expressar a concentração de íons de hidrogênio. Foi criado, em 1909, pelo bioquímico dinamarquês Soren Perter Lauritz Sorensen (1868 - 1939), para simplificar seu trabalho no controle de qualidade de cervejas.
Soren adotou o termo pH para indicar o cologaritmo na base 10 da concentração de H+. Então, usando linguagem matemática, temos: pH = colog[H+] ou pH = −log[H+] o que implica dizer que [H+] = 10−pH. 
Exemplo de aplicação 
Adaptado (LIMA et al., 2010) Para relacionar os conceitos de acidez e alcalinidade com sua vivência, você já deve ter percebido que ao beber, separadamente um pouco de água, de vinagre e de suco de caju sem açúcar têm-se sensações diferentes. A água não causa nenhum desconforto na degustação, o vinagre provoca um azedume, enquanto o suco de caju causa uma sensação adstringente ("amarra a boca"). Isso se deve à concentração de íons H+ na solução. A acidez, a neutralidade ou a alcalinidade de uma solução são expressas pelo pH (potencial hidrogeniônico) da solução, definido por:
pH = −log[H+]
em que [H+] é a concentração de íons hidrogênio H+, em mol/L. Assim, o valor do pH aumenta à medida que a concentração de íons hidrogênio decresce. Quanto menor o pH, mais ácida é a solução. O valor 7 do pH indica que a solução é neutra (nem ácida, nem alcalina); um pH abaixo de 7 indica acidez; e acima de 7, alcalinidade. Por exemplo, o pH da água é 7, do vinagre é menor que 7 e do suco de caju é maior que 7.
Considere as seguintes soluções ácidas: o suco de limão, cujo pH é 2, e o suco de tomate, cujo pH é 4. Qual é a concentração de íons H+, em mol/L, no suco de limão? A concentração de íons H+ no suco de limão equivale a quantas vezes essa concentração no suco de tomate?
Resolução 
Indicando por x e y as concentrações de íons H+, em mol/L, nos sucos de limão e tomate, respectivamente, e utilizando a expressão dada pH = −log[H+], temos que: 
2 = −log x → −2 = log x → x = 10−2
e
4 = −log y → −4 = log y → y = 10−4
Assim, concluimos que: 
· A concentração de íons H+ no suco de limão é 10−2 mol/L 
· E a concentração de íons H+ em mol/L no suco de limão equivale a 100 vezes essa concentração no suco de tomate, pois: 10−4 .100 = 10−4 .102 = 10−2.
2.1.3. Aplicações de limites e Continuidade na Agropecuária
Segundo Vilches (2014), a função de produção de um certo bem em relação à quantidade de matériaprima, em quilogramas, é dada por:
P(x) = 
Determine e interprete a produção quando se tem 2 quilogramas de matéria prima. 
Como P = P(x) não está definida para x = 2, devemos calcular:
 = = 4
isto é, são produzidas 4 unidades.
Gráfico 1. Comportamento de P = P(x)
Modelou-se a evolução da população de uma certa cidade, após t anos, a partir de 2009 por: 
E(t) = 20000 + .
Determine o comportamento da população após t = 3, t = 5, t = 15 anos. Qual é o comportamento a longo prazo?
Como a função é contínua, primeiramente calculamos:
	T
	E(t)
	3
	21800
	5
	21666.7
	15
	20849.1
A longo prazo, temos que:
 = = 2000
Isto é, a longo prazo a população fica estável.
Gráfico 2. Comportamento da população.
Juros compostos
Os juros de uma aplicação de renda fixa é de 6% ao ano, compostos diariamente. São aplicados R$100,00 neste fundo. Determine o ganho após 10 anos, considerando a taxa de 6% de juros compostos continuamente. Calculando diretamente A(t) = 100 × e 0.06t , logo A(10) 182.21 reais.
Gráfico 3. Comportamento da aplicação
Considere um certo investimento que paga 14% de juros anuais sobre um depósito inicial de R$ 3000. Os ganhos da aplicação após 5 anos foram estimados por: 
A = 3000 (1 + 0.14)5t,
onde t é medido em anos. Calcule os ganhos trimestrais e diários da aplicação. Que acontece no caso de os juros serem aplicados continuamente?
Devemos calcular A1 = A|t=1/4 (trimestral), A2 = A|t=1/365 (diária) e o limite de A, respectivamente:
A1 =3533.88 reais
A2 =3005.35reais e
A =6041.25 reais.
Gráfico 4. Gráfico de A = A(t).
Muitas funções utilizadas em Economia não são contínuas e apresentam uma quantidade finita de pontos de descontinuidade. Por exemplo, a função de custo é frequentemente discreta devido à natureza dos bens que ela representa.
Um distribuidor de refrigerantes vende um certo tipo de refrigerante segundo a seguinte lista de preço: R$ 10 por caixa, na compra de até 30 caixas. R$ 8 por caixa, na compra de mais de 30 caixas e menos de 70 caixas. R$ 5 por caixa, na compra de mais de 70 caixas e menos que 150 caixas e R$ 4 por caixa , na compra acima de 150 caixas. Ache a função que representa esta lista e esboce seu gráfico. 
Se x é a quantidade de caixas e p o preço total, a função preço é:
Gráfico 5. Gráfico da função preço.
3. Conclusão
Para obtenção de informações para a presente pesquisa foi realizada uma busca profunda de informações de diferentes fontes de matemática, agropecuária e economia agrária, sendo constatada a deficiência de informações sobre a relação da matemática com a agropecuária e economia agrária. 
A resolução dos problemas de relação de Matemática I com a Agropecuária e com a Economia Agrária com o uso de matrizes, sistemas de equações, funções lineares, quadráticas e exponenciais, limites e continuidades proporciona uma melhor compreensão dos conteúdos básicos possibilitando envolvimento dos docentes e discentes no processo educativo, contextualizando conteúdos estudados, demonstrando que as matrizes, sistemas de equações, funções lineares, quadráticas e exponenciais, limites e continuidades não está dissociada de outros conteúdos da Matemática e de outras áreas do conhecimento. Ao contrário, possibilita a interação entre docentes das mais variadas áreas, favorecendo a elaboração de projetos que envolvam toda a comunidade científica.
Referências bibliográficas
Boemo, M. d., & Fioreze, L. A. (2008). Uma Aplicação da Modelagem Matemática na Agricultura. Santa Maria, Brasil: Disc. Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas, S. Maria.
Ferreira, A. E. (2013). A Importância dos Sistemas Lineares no Ensino Médio e a Contribuição para a Matemática e suas Aplicações. Ponta Grossa: Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Silva, R. J. (2015). Contexto e Aplicações das Funções Exponenciais Ensino Médio: Uma Abordagem Interdisciplinar. Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil: Universidade Estadual do Norte Fluminense.
Vilches, M. A. (2014). Cálculo para Economia e Administração: Volume I. Rio de Janeiro, Brasil: EURJ; Departamento de Análise - IME.
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