5_Teorema de Green, Rotacional, Divergente e Laplaciano

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Teorema de Green
Introdução
O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral 
de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla 
na região D delimitada por C. 
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição)
Orientação positiva significa que a região fica a esquerda ao 
percorrermos a curva. No exemplo acima, percorremos a curva C 
no sentido anti-horário!
Teorema de Green
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Teorema de Green
Teorema (Teorema de Green)
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes,
orientada positivamente e seja D a região delimitada por C. Se P
e Q tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre
uma região aberta que contém D, então∫
C
Pdx + Qdy =
"
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dA .
Notações Alternativas
As notações ∮
C
Pd + Qdy e
�
C
Pd + Qdy,
são também usadas para enfatizar que a integral é calculada
sobre uma curva fechada C usando a orientação positiva.
A fronteira da região D também pode ser denotada por ∂D.
Usando essa notação, o teorema de Green é enunciado como"
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dA =
∫
∂D
Pdx + Qdy.
Ideia da demonstração
Mostraremos que ∫
C
Pdx = −
"
D
∂P
∂y
dA .
Para tanto, vamos supor que a região D pode ser escrita como
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},
onde g1 e g2 são funções contínuas.
Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos"
D
∂P
∂y
dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P
∂y
dydx =
∫ b
a
[
P
(
x, g2(x)
)
−P
(
x, g1(x)
)]
dx.
Por outro lado, pode escrever a fronteira C de D como a união dos
caminhos C1, C2, C3 e C4 mostrados abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
O caminho C1 pode ser descrito por
r1(x) = xi + g1(x)j, a ≤ x ≤ b .
Logo, ∫
C1
Pdx =
∫ b
a
P
(
x, g1(x)
)
dx.
De um modo similar, −C3 pode ser descrita por
r3(x) = xi + g2(x)j, a ≤ x ≤ b .
Assim, ∫
C3
Pdx = −
∫
−C3
Pdx = −
∫ b
a
P
(
x, g2(x)
)
dx.
Finalmente, sobre C2 e C4, x é constante e, portanto, dx = 0.
Consequentemente, ∫
C2
Pdx = 0 =
∫
C4
Pdx.
Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x é∫
C
Pdx =
∫
C1
Pdx +
∫
C2
Pdx +
∫
C3
Pdx +
∫
C4
Pdx
=
∫ b
a
P
(
x, g1(x)
)
dx −
∫ b
a
P
(
x, g2(x)
)
dx
=
∫ b
a
[
P
(
x, g1(x)
)
− P
(
x, g2(x)
)]
dx
= −
∫ b
a
[
P
(
x, g2(x)
)
− P
(
x, g1(x)
)]
dx
=−
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P
∂y
dydx = −
"
D
∂P
∂y
dA .
De um modo similar, podemos mostrar que∫
C
Qdy =
"
D
∂Q
∂x
dA ,
descrevendo D da seguinte forma:
D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)},
onde h1 e h2 são funções contínuas.
Finalmente, combinando as equações∫
C
Pdx = −
"
D
∂P
∂y
dA e
∫
C
Qdy =
"
D
∂Q
∂x
dA ,
concluímos que∫
C
Pdx + Qdy =
"
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dA .
Região Simples
Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região
D pode ser escrita tando como
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},
como
D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)},
em que g1, g2, h1 e h2 são todas funções contínuas. Chamamos
tais regiões de regiões simples.
O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D é
a união finita de regiões simples.
Um exemplo é mostrado na figura abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
A ideia é que as integrais de linha sobre C3 e −C3 se cancelam.
O teorema de Green também pode ser aplicado para regiões com
furo, ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. Um
exemplo é mostrado na figura abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
Novamente, a ideia é que as integrais de linha em curvas
percorridas em ambos sentidos se cancelam.
Observe que a região fica sempre a esquerda quando
percorremos a fronteira.
Exemplo 1
Calcule ∫
C
x4dx + xydy,
em que C é a curva triangular constituída pleos seguimentos de
reta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).
� � 16 �1 � x�3 ]10 � 16
1
� y
0
[ 12 y 2 ]y�0y�1�x dx � 12 y10 �1 � x�2 dx
yC
x 4 dx � xy dy � yy( )
D
�
�P
�y dA � y
1
0
y
1�x
0
�y � 0� dy dx�Q
�x
SOLUÇÃO
y
x
C
(1, 0)(0, 0)
(0, 1) y=1-x
D
Exemplo 2
Calcule ∫
C
(3y − esen x)dx + (7x +
√
y4 + 1)dy,
em que C é o círculo x2 + y2 = 9.
SOLUÇÃO A região D delimitada por C é o círculo x2 � y2 � 9, então vamos mudar para 
coordenadas polares depois de aplicar o Teorema de Green:
y�C
�3y � e sin x � dx � (7x � sy 4 � 1) dy=
� 4 y
2	 d
 y
3 r dr � 36	� y
2	
y
3
�7 � 3� r dr d
� yy
D
� �
�x (7x � sy
4 � 1) � �
�y �3y � e
sin x�	dA
Em vez de utilizarmos as coordenadas
polares, podemos simplesmente usar o fato
de que D é um círculo de raio 3 e escrever
yy
D
4 dA � 4 � 	�3�2 � 36	
� y
2	
y
3
�
 
� yy
D
�
�x �
�
Em vez de utilizarmos as coordenadas 
polares, podemos simplesmente usar o fato 
de que D é um círculo de raio 3 e escrever
yy
D
4 dA � 4 � 	�3�2 � 36	
Área de uma Região
Se P e Q são tais que
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 1, (1)
então, pelo teorema de Green, a área de uma região D é dada por
A =
"
D
1dA =
∫
C
Pdx + Qdy.
Exemplos de funções P e Q e que que satisfazem (1), incluem:
P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,
P(x, y) = −y e Q(x, y) = 0,
P(x, y) = −y/2 e Q(x, y) = x/2.
Assim, a área de D pode ser obtida por uma das equações:
A =
∫
C
xdy = −
∫
C
ydx =
1
2
∫
C
xdy − ydx.
Exemplo 3
Determine a área delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
SOLUÇÃO A elipse tem equações paramétricas x � a cos t e y � b sen t, onde 
 0 � t � 2p. Usando, temos
�
ab
2 y
2	
0
dt � 	ab
� 12 y
2p
0
�a cos t��b cos t� dt � �b sen t���a sen t� dt
A � 12 yC x dy � y dx
Exemplo 4
Calcule ∮
C
y2dx + 3xydy,
em que C é a fronteira da região semianular D contida no
semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
� y
p
0
sen u du y
2
1
r 2 dr � [�cos u]0p [ 13 r 3 ]12 � 143
� yy
D
y dA � y
p
0
2
1
y �r sen u� r dr du
y�C
y 2 dx � 3xy dy � yy
D
� �
�x �3xy� � �
�
y �y
2 �	dA
SOLUÇÃO Observe que, apesar de D não ser simples, o eixo y divide em duas 
regiões simples . Em coordenadas polares, podemos escrever
D � {(r, u)�1 � r � 2, 0 � u � p}
 Portanto, o Teorema de Green fornece
0
y
x
C
≈+¥=4
≈+¥=1
D
Introdução
I Rotacional e divergente são duas operações essenciais
nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos
fluidos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas.
I Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a
derivada mas produzem, respectivamente, um campo
vetorial e um campo escalar.
I Ambas operações são descritas em termos do operador
diferencial ∇.
Rotacional e Divergente
Operador Diferencial e o Vetor Gradiente
Definição (Operador Diferencial)
O operador diferencial é definido como:
∇ =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
= i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
.
Exemplo (Vetor Gradiente)
O vetor gradiente é obtido aplicando o operador diferencial ∇
num campo escalar f , ou seja,
∇f =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
= i
∂f
∂x
+ j
∂f
∂y
+ k
∂f
∂z
.
Definição (Rotacional)
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3, então o
rotacional de F, denotado por rot F, é o campo vetorial dado
pelo produto vetorial do operador diferencial com F, ou seja,
rot F = ∇× F.
Em outras palavras,
rot F = ∇× F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
× (P,Q,R)
=
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣
=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
i +
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
j +
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k.
Definição (Divergente)
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3, então o
divergente de F, denotado por div F, é o campo escalar dado
pelo produto escalar do operador diferencial com F, ou seja,
div F = ∇ · F.
Em outras palavras,
div F = ∇ · F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
· (P,Q,R)
=
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Exemplo 1
Determine o rotacional e o divergente de
F(x , y , z) = xzi + xyzj− y2k.
SOLUÇÃO Usando a definição do rotacional, temos
� ��2y � xy� i � �0 � x� j � �yz � 0� k
� �y�2 � x� i � x j � yz k
� � �
�x
�xyz� �
�
�y
�xz�� k
� � �
�y
��y2 � �
�
�z
�xyz�� i � � �
�x
��y2 � �
�
�z
�xz�� j
curl F� � � F � �
i
�
�x
xz
j
�
�y
xyz
k
�
�z
�y2 �
 Pela definição de divergente, temos
� z � xz
�x
�
div F � � � F � �xz� �
�
�xyz� �
�
�y �z
��y2 �
Teorema 
Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais
de segunda ordem contínuas, então o rotacional do gradiente
de f é o vetor nulo, ou seja,
rot (∇f ) = 0.
rot (∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∣∣∣∣∣∣∣ =
(
∂2f
∂y∂z
− ∂
2f
∂z∂y
)
i
+
(
∂2f
∂z∂x
− ∂
2f
∂x∂z
)
j +
(
∂2f
∂x∂y
− ∂
2f
∂y∂x
)
k
= 0i + 0j + 0k
Demonstração. 
Pelo teorema de Clairaut, temos
Lembre-se que F é um campo vetorial conservativo se F = ∇f
para alguma função escalar f . Logo,
Corolário 
Se F é um campo vetorial conservativo, então rot F = 0.
Desse modo, se rot F 6= 0, F não é um campo vetorial
conservativo.
A recíproca do Corolário acima pode ser enunciada da 
seguinte forma:
Teorema 
Se F = Pi + Qj + Rk for um campo vetorial definido sobre todo
R3 cujas funções componentes P,Q e R tenham derivadas
parciais de segunda ordem contínuas e rot F = 0, então F será
um campo vetorial conservativo.
Exemplo 2
O campo vetorial
F(x , y , z) = xzi + xyzj− y2k,
do Exemplo 5 não é conservativo porque
rot F = −y(x + 2)i + x j + yzk,
é diferente do vetor nulo.
Exemplo 3
a) Mostre que o campo vetorial
F(x , y , z) = y2z3i + 2xyz3j + 3xy2z2k,
é conservativo.
b) Determine uma função potencial f tal que F = ∇f .
(a)a) Calculemos o rotacional F:
� �6xyz2 � 6xyz2 � i � �3y2z2 � 3y2z2 � j � �2yz3 � 2yz3 � k
� 0
rot F � � � F � � i��xy2z 3
j
�
�y
2xyz 3
k
�
�z
3xy2z 2 �
Como rot F � 0 e o domínio de F é �3, F é um campo vetorial conservativo pelo 
Teorema anterior.
(b). Temos
fx(x, y, z) � y2z3
fy(x, y, z) � 2xyz3 
fz(x, y, z) � 3xy2z2 
Integrando em relação a x, obtemos
f (x, y, z) � xy2z3 � t(y, z)
,Derivando 3 em relação a y, obtemos fy(x, y, z) � 2xyz3 � ty(y, z). Comparando 
com obtemos ty(y, z) � 0. Assim, t(y, z) � h(z) e
Então 2 
fz(x, y, z) � 3xy2z2 � h�(z)
fornece h�(z) � 0. Portanto, 
1
3
2
1
6
3
f (x, y, z) � xy2z3 � K 
Teorema 
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial sobre R3 e P, Q e R
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
div rot F = 0.
Demonstração.
Pela definição de divergente e rotacional, temos que
div rot F = ∇ · (∇× F) = ∂
∂x
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
+
∂
∂y
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
+
∂
∂z
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
=
∂2R
∂x∂y
− ∂
2Q
∂x∂z
+
∂2P
∂y∂z
− ∂
2R
∂y∂x
+
∂2Q
∂z∂x
− ∂
2P
∂z∂y
= 0
pelo teorema de Clairaut.
Exemplo 4
O campo vetorial
F(x , y , z) = xzi + xyzj − y2k,
do Exemplo 1 não pode ser escrito como o rotacional de outro
campo vetorial porque div F 6= 0. Com efeito, se existisse G tal 
que F = rot G, então div F = div (rot G) = 0.
O divergente do vetor gradiente de uma função de três
variáveis f é
div (∇f ) = ∇ · (∇f ) = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Definição (Operador e Equação de Laplace)
O operador de Laplace ou laplaciano, denotado por ∇2, para
funções de três variáveis é
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
.
A equação de Laplace é
∇2f = 0 ou seja ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
Podemos também aplicar o laplaciano �2 a um campo vetorial 
F � P i � Q j � R k
em termos de suas componentes: �2 F � �2P i � �2Q j � �2R k
Formas vetoriais do teorema de Green
O teorema de Green afirma que∫
C
Pdx + Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
Considerando um campo vetorial F = P(x , y)i + Q(x , y)j + 0k,
temos∫
C
F · dr =
∫ b
a
(
P
dx
dt
+ Q
dy
dt
)
dt =
∫
C
Pdx + Qdy .
Além disso,
rot F =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P(x , y) Q(x , y) 0
∣∣∣∣∣∣ =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k.
Logo,
(rot F) · k =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k · k =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
.
Concluindo, o teorema de Green pode ser escrito na forma
vetorial como ∫
C
F · dr =
∫∫
D
(rot F) · kdA.
de Esta equação expressa a integral de linha da componente tangencial de F 
ao longo de C como uma integral dupla da componente vertical rotacional sobre e a 
a
por
 a região D delimitada por C.
De forma alternativa, podemos descrever a curva C como
r(t) = x(t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b.
O vetor tangente unitário a curva no ponto (x(t), y(t)) é
T(t) =
x ′(t)
‖r′(t)‖
i+ j.
y ′(t)
‖r′(t)‖
.
E mais, o vetor normal unitário externo a curva C é
n(t) =
y ′(t)
‖r′(t)‖
i − j.x
′(t)
‖r′(t)‖
.
 Vamos deduzir, agora, uma fórmula semelhante, envolvendo a componente
normal de F
Por um lado, a integral de linha com relação ao comprimento
do arco de F · n satisfaz∫
C
F · nds =
∫ b
a
(F · n)(t)‖r′(t)‖dt
=
∫ b
a
(
P
y ′(t)
‖r′(t)‖
−Q x
′(t)
‖r′(t)‖
)
‖r′(t)‖dt
=
∫ b
a
(
P
dy
dt
−Q dx
dt
)
dt =
∫ b
a
Pdy −Qdx .
Por outro lado, podemos escrever∫∫
D
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
)
dA =
∫∫
D
(div F)dA.
Desse modo, pelo teorema de Green podemos escrever:∫
C
F · nds =
∫∫
D
(div F)dA.
Essa versão diz que a integral de linha da componente normal de F ao longo 
de C é igual à integral dupla do divergente de F na região D delimitada por C.
C
F · dr =
Concluindo, as duas versões vetoriais do teorema de Green 
são: ∫ ∫∫
D
(rot F) · kdA,
e ∫
C
F · nds =
∫∫
D
(div F)dA.
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