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Teorema de Green

O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples "C" e uma integral dupla sobre a região " D", limitada pela curva " C". Tem-se das duas formas para este teorema: a forma normal ( fluxo-divergência) e a forma tangencial ( circulação rotacional). Sendo assim: Utilize o teorema de green para determinar o fluxo- divergente do campo vetorial f ( x,y) = ( x+ y) i - (x² + y²) j , sobre a região limitada pelo triângulo de vértices ( 0,0), (3,0) e (3,3).

A) 3,6
b) 2,4
c) 5,0
d)-1,8
e) -4,5

Cálculo III

UNIUBE


7 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para determinar o fluxo-divergente do campo vetorial da função \(f(x,y) =(x+y)i -(x^2+ y^2)j\) tem-se a forma normal do Teorema de Green apresentada a seguir:


\[\oint_C M\partial y-N \partial x = \iint_D \bigg({\partial M \over \partial x}+{\partial N \over \partial y } \bigg)\partial A\]

Com a função no formato \(f(x,y) =Mi+Nj\) tem-se \(M=(x+y)\)e \(N=-(x^2+ y^2)\) Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x = \iint_D \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial A\]

O triângulo de vértices \((0,0)\) \((3,0)\)e \((3,3)\)é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa conecta os pontos \((0,0)\)e \((3,3)\) Portanto, a hipotenusa consiste na função \(y=x\)

Portanto, os intervalos de \(x\)e \(y\)são:


\[\left\{ \begin{matrix} 0 \le x \le 3 \\ 0 \le y \le x \end{matrix} \right.\]

Portanto, substituindo \(\partial A= \partial y \partial x\) a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x = \int_0^3 \int_0^x \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial y \partial x\]

Resolvendo a integral primeiramente em \(y\) tem-se o seguinte:


\[\eqalign{ \oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg((1+0)-(0+2y) \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg(1-2y \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \bigg(y-y^2 \bigg)\bigg|_0^x g] \partial x \\ &= \int_0^3 \bigg( x-x^2 \bigg) \partial x \\ }\]

Realizando a integral em \(x\) o resultado é:


\[\eqalign{ \oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x &= \int_0^3 \bigg( x-x^2 \bigg) \partial x \\ &= \bigg( {x^2 \over 2}-{x^3 \over 3} \bigg) \bigg|_0^3 \\ &= {3^2 \over 2}-{3^3 \over 3} \\ &= {9 \over 2}-{27 \over 3} \\ &= 4,5-9 \\ &= -4,5 }\]

Resposta correta: e) -4,5.

Para determinar o fluxo-divergente do campo vetorial da função \(f(x,y) =(x+y)i -(x^2+ y^2)j\) tem-se a forma normal do Teorema de Green apresentada a seguir:


\[\oint_C M\partial y-N \partial x = \iint_D \bigg({\partial M \over \partial x}+{\partial N \over \partial y } \bigg)\partial A\]

Com a função no formato \(f(x,y) =Mi+Nj\) tem-se \(M=(x+y)\)e \(N=-(x^2+ y^2)\) Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x = \iint_D \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial A\]

O triângulo de vértices \((0,0)\) \((3,0)\)e \((3,3)\)é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa conecta os pontos \((0,0)\)e \((3,3)\) Portanto, a hipotenusa consiste na função \(y=x\)

Portanto, os intervalos de \(x\)e \(y\)são:


\[\left\{ \begin{matrix} 0 \le x \le 3 \\ 0 \le y \le x \end{matrix} \right.\]

Portanto, substituindo \(\partial A= \partial y \partial x\) a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x = \int_0^3 \int_0^x \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial y \partial x\]

Resolvendo a integral primeiramente em \(y\) tem-se o seguinte:


\[\eqalign{ \oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg({\partial (x+y) \over \partial x}-{\partial (x^2+y^2) \over \partial y } \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg((1+0)-(0+2y) \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \int_0^x \bigg(1-2y \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^3 g[ \bigg(y-y^2 \bigg)\bigg|_0^x g] \partial x \\ &= \int_0^3 \bigg( x-x^2 \bigg) \partial x \\ }\]

Realizando a integral em \(x\) o resultado é:


\[\eqalign{ \oint_C (x+y)\partial y+(x^2 +y^2) \partial x &= \int_0^3 \bigg( x-x^2 \bigg) \partial x \\ &= \bigg( {x^2 \over 2}-{x^3 \over 3} \bigg) \bigg|_0^3 \\ &= {3^2 \over 2}-{3^3 \over 3} \\ &= {9 \over 2}-{27 \over 3} \\ &= 4,5-9 \\ &= -4,5 }\]

Resposta correta: e) -4,5.

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Ivo Aparecido de Oliveira

Há mais de um mês

Utilizando multiplicação de séries, quais são os 3 primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin da função  ?

 

 

 

 

 

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Pergunta 21.25 pts

Qual o valor do Fator Integrante da equação diferencial ordinária?

  x
 

 

 



 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas