Transformada de Laplace

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Processamento Digital de Sinais
Engenharia de Computação
Prof. Anderson Duarte Betiol
IFSP– Birigui
Transformada de Laplace
Definição
Define-se a transformada de Laplace de uma função f (t ) como F (s) como
F (s)=L
[
f (t )
]
=
∫∞
0
f (t )e−st d t
Observação
A definição acima é chamada de unilateral, mas se o intervalo de integração for de −∞ a
+∞ ela será chamada de bilateral.
Exercício
Qual a transformada de Laplace de f (t )= t?
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 1 / 44
Transformada de Laplace
Solução
F (s)=L
[
f (t )
]
=
∫
∞
0
f (t )e−st d t =
∫
∞
0
t e−st d t
F (s)= −
(s t +1) e−s t
s2
∣
∣
∣
∣
∞
t=0
= 0+
(s ×0+1) e0
s2
=
(0+1) (1)
s2
F (s) =
1
s2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 44
Transformada de Laplace
Exercício
Qual a transformada de Laplace de f (t )= 1?
Resposta
F (s) =L
[
f (t )
]
=
∫
∞
0
f (t )e−st d t =
∫
∞
0
1e−st d t
F (s)= −
e−s t
s
∣
∣
∣
∣
∞
t=0
= 0+
e0
s
F (s)=
1
s
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Transformada de Laplace
Exercício
Qual a transformada de Laplace de f (t )= e−at?
Resposta
F (s) =L
[
f (t )
]
=
∫
∞
0
f (t )e−st d t =
∫
∞
0
e−at e−st d t
F (s) =
∫∞
0
e−(s+a)t d t
F (s)= −
e−(s+a) t
s +a
∣
∣
∣
∣
∞
t=0
= 0+
e0
s +a
F (s)=
1
s +a
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Transformada de Laplace
Exercício
Qual a transformada de Laplace de f (t )= cos (ω0t )?
Resposta
F (s)=L
[
f (t )
]
=
∫
∞
0
f (t )e−st d t =
∫
∞
0
cos (ω0t )e
−st d t
F (s)=
e−s t [ω0 sen(ω0t )− s cos (ω0t )]
s2 +ω2
0
∣
∣
∣
∣
∣
∞
t=0
F (s) = 0−
e0
[
ω0✘✘✘
✘✘✘✿
0
sen(ω0 ×0)− s✘✘✘
✘✘✘✿
1
cos (ω0 ×0)
]
s2 +ω2
0
F (s) =−
−s
s2 +ω2
0
=
s
s2 +ω2
0
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Transformada de Laplace
Resposta 2
F (s)=L
[
f (t )
]
=
∫
∞
0
f (t )e−st d t =
∫
∞
0
cos (ω0t )e
−st d t
F (s) =
∫
∞
0
e jω0t +e− jω0t
2
e−st d t =
1
2
∫
∞
0
e−(s− jω0)t +e−(s+ jω0)t d t
F (s)=
1
2
[
−
e−(s− jω0)t
s − jω0
−
e−(s+ jω0)t
s + jω0
]∞
t=0
F (s) =
1
2
[0−0]−
1
2
[
−
e0
s − jω0
−
e0
s + jω0
]
=
1
2
[
1
s − jω0
+
1
s + jω0
]
F (s) =
1
2
[
(s + jω0)+ (s − jω0)
(s − jω0)(s + jω0)
]
=
1
✁2




✁2s
s2 −✓
✓✼
−1
j 2ω2
0




=
s
s2 +ω2
0
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Transformada de Laplace
Tabela
f (t ) L
[
f (t )
]
= F (s)
1
1
s
(1)
eat f (t ) F (s −a) (2)
U (t −a)
e−as
s
(3)
f (t −a)U (t −a) e−asF (s) (4)
δ(t ) 1 (5)
δ(t − t0) e
−st0 (6)
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Transformada de Laplace
Tabela
t n f (t ) (−1)n
d nF (s)
d sn
(7)
f ′(t ) sF (s)− f (0) (8)
f n(t ) snF (s)− s(n−1) f (0)−·· ·− f (n−1)(0) (9)
∫t
0
f (x)g (t −x)d x F (s)G(s) (10)
t n (n = 0,1,2, . . . )
n!
sn+1
(11)
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Transformada de Laplace
Tabela
sen(k t )
k
s2 +k2
(12)
cos(k t )
s
s2 +k2
(13)
eat
1
s −a
(14)
senh(k t )
k
s2 −k2
(15)
cosh(k t )
s
s2 −k2
(16)
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Transformada de Laplace
Tabela
eat −ebt
a −b
1
(s −a)(s −b)
(17)
aeat −bebt
a −b
s
(s −a)(s −b)
(18)
t eat
1
(s −a)2
(19)
t neat
n!
(s −a)n+1
(20)
eat sen(k t )
k
(s −a)2 +k2
(21)
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Transformada de Laplace
Tabela
eat cos(k t )
s −a
(s −a)2 +k2
(22)
eat senh(k t )
k
(s −a)2 −k2
(23)
eat cosh(k t )
s −a
(s −a)2 −k2
(24)
t sen(k t )
2k s
(s2 +k2)2
(25)
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Transformada de Laplace
Tabela
t cos(k t )
s2 −k2
(s2 +k2)2
(26)
t senh(k t )
2k s
(s2 −k2)2
(27)
t cosh(k t )
s2 +k2
(s2 −k2)2
(28)
sen(at )
t
arctan
a
s
(29)
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Transformada de Laplace
Propriedades: Linearidade
L [ax1(t )+bx2(t )] = aX1(s)+bX2(s)
Exercício
Calcule a Transformada de Laplace de g (t ) = 3cos (2t )+5t .
Solução
Usar a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace:
Para as funções f (t ) e g (t ) e constantes a e b, tem-se
L
[
a · f (t )+b · g (t )
]
= a ·L
[
f (t )
]
+b ·L
[
g (t )
]
L [3 ·cos (2t )+5t ] = 3 ·L [cos (2t )]+5 ·L [t ]
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [cos (at )] =
s
s2 +a2
L [cos (2t )] =
s
s2 +22
=
s
s2 +4
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Transformada de Laplace
Solução
L [cos (2t )] =
s
s2 +4
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [t ]=
1
s2
Então, tem-se
L [3 ·cos (2t )+5t ] = 3 ·L [cos (2t )]+5 ·L [t ]
G(s) = 3
( s
s2 +4
)
+5
(
1
s2
)
=
3s
s2 +4
+
5
s2
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Transformada de Laplace
Exercício
Calcule a Transformada de Laplace de g (t ) = 4sen(3t )+3cosh (5t ).
Solução
Usar a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace:
Para as funções f (t ) e g (t ) e constantes a e b, tem-se
L
[
a · f (t )+b · g (t )
]
= a ·L
[
f (t )
]
+b ·L
[
g (t )
]
L [4sen (3t )+3cosh (5t )] = 4 ·L [sen(3t )]+3 ·L [cosh (5t )]
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [sen(at )] =
a
s2 +a2
L [sen(3t )] =
3
s2 +32
=
3
s2 +9
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [cosh (at )] =
s
s2 −a2
L [cosh (5t )] =
s
s2 −52
=
s
s2 −25
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Transformada de Laplace
Solução
L [sen(3t )] =
3
s2 +9
L [cosh (5t )] =
s
s2 −25
L [4sen (3t )+3cosh (5t )] = 4 ·L [sen (3t )]+3 ·L [cosh (5t )]
L [4sen(3t )+3cosh (5t )] = 4 ·
3
s2 +9
+3 ·
s
s2 −25
L [4sen(3t )+3cosh (5t )] =
12
s2 +9
+
3s
s2 −25
L [4sen (3t )+3cosh (5t )] =
3
(
s3 +4 s2 +9 s −100
)
(
s2 +9
)(
s2 −25
)
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Transformada de Laplace
Propriedades: Deslocamento no Tempo
L [x(t − t0)u(t − t0)] = X (s)e
−st0 u(t )=
{
0 para t < 0
1 para t ≥ 0
Exercício
Calcule a Transformada de Laplace de g (t ) = senh(t −4) u(t −4).
Solução
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [senh(at )] =
a
s2 −a2
L [senh(t )] =
1
s2 −1
Aplicando a propriedade Deslocamento no Tempo, tem-se
G(s) =L [senh(t −4) u(t −4)] =
(
1
s2 −1
)
e−4s =
e−4s
s2 −1
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Transformada de Laplace
Propriedades: Deslocamento no Domínio s
L
[
e s0t x(t )
]
= X (s − s0)
Exercício
Calcule a Transformada de Laplace de g (t ) = e3t sen(2t ).
Solução
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [sen(at )] =
a
s2 +a2
L [sen(2t )] =
2
s2 +22
=
2
s2 +4
Aplicando a propriedade Deslocamento no Domínio s, tem-se
G(s) =L
[
e3t sen(2t )
]
=
2
(s −3)2 +4
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Transformada de Laplace
Propriedades: Mudança de Escala no tempo
L [x (at )] =
1
|a|
X
( s
a
)
Exercício
Calcule a Transformada de Laplace de g (t ) = sen(2t ) usando a propriedade.
Solução
Usando a tabela das Transformadas de Laplace: L [sen(t )] =
1
s2 +1
Aplicando a propriedade
L [sen(2t )] =
1
2
1
( s
2
)
2 +1
=
1
✁2
1
s2
✁4
+✁✁✕
4
1
×
✁✁✕
2
4
✁4
=
2
s2 +4
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Transformada de Laplace
Propriedades: Conjugado
L [x∗(t )] = X ∗(s∗)
Propriedades: Diferenciação no tempo
L
[
d
d t
x(t )
]
= s X (s)−x(0)
L
[
d 2
d t 2
x(t )
]
= s2 X (s)− sx(0)−
d
d t
x(0) = s2X (s)− sx(0)− ẋ(0)
L
{
x(n)(t )
}
= sn X (s)− sn−1x(0)− sn−2ẋ(0)−·· ·−x(n−1)(0) = sn X (s)−
n−1
∑
k=0
sn−1−k x(k)(0)
Propriedades: Diferenciação no Domínio s
L [−t x(t )]=
d
d s
X (s)
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Transformada de Laplace
Propriedades: Integração no tempo
L
[
∫t
−∞
x(z)d z
]
=
X (s)s
Teorema do valor inicial
x(0+) = lim
s→∞
s X (s)
Teorema do valor final
lim
t→∞
x(t )= lim
s→0
s X (s)
Teorema da convolução
L
[
f (t )∗ g (t )
]
= F (s)G(s)
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 21 / 44
Transformada de Laplace
Exercício
Calcule a expressão Y (s) para a solução da equação diferencial usando as propriedades
da Transformada de Laplace. Considere y(0)= 1 e y ′(0) = 2
d 2
d t 2
y(t )+3
d
d t
y(t )+2y(t )= 4
Solução
Aplicando-se a Transformada de Laplace com a propriedade da Diferenciação no Tempo.
L
[
d 2
d t 2
y(t )+3
d
d t
y(t )+2y(t )
]
=L [4]
L
[
d 2
d t 2
y(t )
]
+3L
[
d
d t
y(t )
]
+2L
[
y(t )
]
=L [4]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 22 / 44
Transformada de Laplace
Solução: y(0) = 1 e y ′(0) = 2
L
[
d 2
d t 2
y(t )
]
+3L
[
d
d t
y(t )
]
+2L
[
y(t )
]
=L [4]
s2Y (s)− s y(0)− y ′(0)+3
[
sY (s)− y(0)
]
+2Y (s)=
4
s
s2Y (s)− s −2+3[sY (s)−1]+2Y (s)=
4
s
s2Y (s)− s −2+3sY (s)−3+2Y (s)=
4
s
s3Y (s)− s2 −2s +3s2Y (s)−3s +2sY (s)= 4
s3Y (s)+3s2Y (s)+2sY (s)= s2 +5s +4
Y (s)
(
s3 +3s2 +2s
)
= s2 +5s +4
Y (s) =
s2 +5s +4
s3 +3s2 +2s
=
(s +4)✘✘✘(s +1)
(s2 +2 s)✘✘✘(s +1)
=
s +4
s2 +2 s
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 23 / 44
Transformada de Laplace
Solução: y(0) = 1 e y ′(0) = 2
y(t )= 2−e−2t y(0) = 1
y ′(t ) = 2e−2t y ′(0) = 2
y ′′(t )=−4e−2t
d 2
d t 2
y(t )+3
d
d t
y(t )+2y(t )= 4
−4e−2t +3
(
2e−2t
)
+2
(
2−e−2t
)
=
−4e−2t +6e−2t +4−2e−2t = 4
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 24 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Definição
g (t ) =L −1[G(s)] =
1
2πc
∫c+ j∞
c− j∞
G(s)e st d s, para t > 0
Exercício
Calcule a transformada inversa de Laplace.
A) G(s) =
2
s2
B) G(s) =
3
s2 +9
C) G(s) =
s
s2 +16
D) G(s) =
8
s2 −16
E) G(s) =
s −3
s2 −6s +13
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 25 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Solução
A) Na tabela de transformadas de Laplace, na linha (11), tem-se L [t n] =
n!
sn+1
,
G(s) =
2
s2
= 2
1
s2
então, por comparação, tem-se g (t ) = 2t n = 1
B) Na tabela, na linha (12), tem-se L [sen(k t )]=
k
s2 +k2
,
G(s) =
3
s2 +9
então, por comparação, tem-se g (t ) = sen(3t )
C) Na tabela, na linha (13), tem-se L [cos(k t )]=
s
s2 +k2
,
G(s) =
s
s2 +16
então, por comparação, tem-se g (t )= cos(4t )
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 26 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Solução
D) Na tabela de transformadas de Laplace, na linha (16), tem-se L [senh(k t )]=
k
s2 −k2
,
G(s) =
8
s2 −16
= 2
4
s2 −16
então, por comparação, tem-se g (t )= 2senh(4t )
E) G(s) =
s −3
s2 −6s +13
.
Na linha (22), tem-se L
[
eat cos(k t )
]
=
s −a
(s −a)2 +k2
,
Completando quadrado: s2 −6s +13 = s2 −6s +9+4 = (s −3)2 +22.
G(s) =
s −3
(s −3)2 +22
então, por comparação, tem-se g (t ) = e3t cos(2t )
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 27 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
Seja
N (s)
(s −a)(s −b)(s −c)
=
N (s)
D(s)
=
A
s −a
+
B
s −b
+
C
s −c
Então, tem-se
A = (s −a)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=a
B = (s −b)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=b
C = (s −c)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=c
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 28 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
Seja
N (s)
(s −x)3
=
N (s)
D(s)
=
A
s −x
+
B
(s −x)2
+
C
(s −x)3
Então, tem-se
C = (s −x)3
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=x
B =
d
d s
[
(s −x)3
N (s)
D(s)
]∣
∣
∣
∣
s=x
A =
1
2
d 2
d s2
[
(s −x)3
N (s)
D(s)
]∣
∣
∣
∣
s=x
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 29 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
Seja
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)(s −3)3
=
A
s −3
+
B
(s −3)2
+
C
(s −3)3
+
D
s +1
×(s +1)
4s3 −22s2 +31s −7
(s −3)3
=
A(s +1)
s −3
+
B (s +1)
(s −3)2
+
C (s +1)
(s −3)3
+D
Para s =−1
4(−1)3 −22(−1)2 +31(−1)−7
((−1)−3)3
= 0+0+0+D
D = 1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 30 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)(s −3)3
=
A
s −3
+
B
(s −3)2
+
C
(s −3)3
+
D
s +1
×(s −3)3
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)
= A(s −3)2 +B (s −3)+C +
D(s −3)3
(s +1)
Para s = 3
4(3)3 −22(3)2 +31(3)−7
(3+1)
= 0+0+C +0
C =−1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 31 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)(s −3)3
=
A
s −3
+
B
(s −3)2
+
C
(s −3)3
+
D
s +1
×(s −3)3
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)
= A(s −3)2 +B (s −3)+C +
D(s −3)3
(s +1)
Derivando-se
d
d s
[
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)
]
= 2A(s −3)+B +0+
d
d s
D(s −3)3
(s +1)
8s3 −10s2 −44s +38
(s +1)2
= 2A(s −3)+B +0+
d
d s
D(s −3)3
(s +1)
Para s = 3
8(3)3 −10(3)2 −44(3)+38
(3+1)2
= 0+B +0+0 ⇒ B = 2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 32 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)(s −3)3
=
A
s −3
+
B
(s −3)2
+
C
(s −3)3
+
D
s +1
×(s −3)3
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)
= A(s −3)2 +B (s −3)+C +
D(s −3)3
(s +1)
Derivando-se duas vezes
d 2
d s2
[
4s3 −22s2 +31s −7
(s +1)
]
= 2A+0+0+
d 2
d s2
D(s −3)3
(s +1)
8s3 +24s2 +24s −120
(s +1)3
= 2A+0+0+
d 2
d s2
D(s −3)3
(s +1)
Para s = 3
8(3)3 +24(3)2 +24(3)−120
(3+1)3
= A+0+0+0 ⇒ A = 3
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 33 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Separe em frações parciais.
A)
s2 −11s −16
(s +1)(s +2)(s −3)
B)
3s2 −3s −2
(s +1)(s −1)2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 34 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Seja
s2 −11s −16
(s +1)(s +2)(s +3)
=
N (s)
D(s)
=
A
s +1
+
B
s +2
+
C
s +3
Então, tem-se
A = (s +1)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=−1
= ✘✘✘(s +1)
s2 −11s −16
✘✘✘(s +1)(s +2)(s +3)
∣
∣
∣
∣
s=−1
=
(−1)2 −11× (−1)−16
(−1+2)(−1+3)
=
−4
2
=−2
B = (s +2)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=−2
= ✘✘✘(s +2)
s2 −11s −16
(s +1)✘✘✘(s +2)(s +3)
∣
∣
∣
∣
s=−2
=
(−2)2 −11× (−2)−16
(−2+1)(−2+3)
=
10
−1
=−10
C = (s +3)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=−3
= ✘✘✘(s +3)
s2 −11s −16
(s +1)(s +2)✘✘✘(s +3)
∣
∣
∣
∣
s=−3
=
(−3)2 −11× (−3)−16
(−3+1)(−3+2)
=
26
2
= 13
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 35 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Seja
s2 −11s −16
(s +1)(s +2)(s +3)
=
N (s)
D(s)
=
A
s +1
+
B
s +2
+
C
s +3
Então, tem-se
A =−2
B =−10
C = 13
s2 −11s −16
(s +1)(s +2)(s +3)
=
A
s +1
+
B
s +2
+
C
s +3
=
−2
s +1
+
−10
s +2
+
13
s +3
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 36 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Seja
3s2 −3s −2
(s +1)(s −1)2
=
N (s)
D(s)
=
A
s +1
+
B
s −1
+
C
(s −1)2
Então, tem-se
A = (s +1)
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=−1
= ✘✘✘(s +1)
3s2 −3s −2
✘✘✘(s +1)(s −1)2
∣
∣
∣
∣
s=−1
=
3(−1)2 −3× (−1)−2
(−1−1)2
=
4
4
= 1
C = (s −1)2
N (s)
D(s)
∣
∣
∣
∣
s=1
=✘✘✘
✘
(s −1)2
s2 −11s −16
(s +1)✘✘✘
✘
(s −1)2
∣
∣
∣
∣
s=1
=
3(1)2 −3× (1)−2
(1+1)
=
−2
2
=−1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 37 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
3s2 −3s −2
(s +1)(s −1)2
=
N (s)
D(s)
=
A
s +1
+
B
s −1
+
C
(s −1)2
B =
d
d s
[
(s −1)2
N (s)
D(s)
]∣
∣
∣
∣
s=1
=
d
d s
[
✘✘✘
✘
(s −1)2
3s2 −3s −2
(s +1)✘✘✘
✘
(s −1)2
]∣
∣
∣
∣
s=1
=
d
d s
[
3s2 −3s −2
s +1
]∣
∣
∣
∣
s=1
(6 s −3)(s +1)− (3s2 −3s −2)(1)
(s +1)2
∣
∣
∣
∣
s=1
=
3 s2 +6 s −1
(s +1)2
∣
∣
∣
∣
s=1
=
3×12 +6× (1)−1
(1+1)2
=
8
4
= 2
3s2 −3s −2
(s +1)(s −1)2
=
N (s)
D(s)
=
1
s +1
+
2
s −1
+
−1
(s −1)2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 38 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Separe em frações parciais
3s2 −s +8
(s −1)(s2 +4)
e calcule a TIL.
Resposta
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
=
A
(s −1)
+
B s +C
(s2 +4)
A =
[
3s2 − s +8
(s2 +4)
]
s=1
= 2
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
=
A(s2 +4)+ (B s +C )(s −1)
(s −1)(s2 +4)
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
=
2(s2 +4)+ (B s +C )(s −1)
(s −1)(s2 +4)
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 39 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Resposta
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
=
2(s2 +4)+ (B s +C )(s −1)
(s −1)(s2 +4)
3s2 − s +8= 2(s2 +4)+ (B s +C )(s −1)
s = 0
3(0)
2
− (0)+8 = 2((0)
2
+4)+ (B (0)+C )((0)−1)
8 = 8−C ⇒C = 0
s =−1
3(−1)
2
− (−1)+8 = 2((−1)
2
+4)+ (B (−1)+C )((−1)−1)
12 = 10+ (B (−1)+0)(−2) ⇒ B = 1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 40 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Resposta
L
−1
[
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
]
=L
−1
[
2
(s −1)
]
+L
−1
[
s
(s2 +4)
]
L
−1
[
3s2 − s +8
(s −1)(s2 +4)
]
= 2e t +cos (2t )
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 41 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
Separe em frações parciais e calcule a TIL G(s) =
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
Resposta
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
As +B
s2 +9
+
C s +D
s2 +16
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
(As +B )(s2 +16)+ (C s +D)(s2 +9)
(s2 +9)(s2 +16)
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
D s2 +9D +C s3 +9C s +B s2+16B + A s3 +16A s
(s2 +9)(s2 +16)
s3 −4s2 +9s −64 = D s2 +9D +C s3 +9C s +B s2+16B + A s3 +16A s
s3 −4s2 +9s −64 = (A+C )s3 + (B +D)s2 + (16A+9C )s + (16B +9D)
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 42 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Frações Parciais – Exercícios
s3 −4s2 +9s −64 = (A+C )s3 + (B +D)s2 + (16A+9C )s + (16B +9D)









A+C = 1 ×(−9)
B +D = −4 ×(−9)
16A+9C = 9
16B +9D = −64
⇒









−9A−9C = −9
−9B −9D = 36
16A+9C = 9
16B +9D = −64
{
−9A−9C = −9
16A+9C = 9
{
−9B −9D = 36
16B +9D = −64
⇒
{
7A = 0 ⇒ A = 0
16×0+9C = 9 ⇒ C = 1
{
7B = −28 ⇒ B = −4
−9× (−4)−9D = 36 ⇒ D = 0
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 43 / 44
Transformada Inversa de Laplace
Resposta
G(s) =
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
As +B
s2 +9
+
C s +D
s2 +16
G(s) =
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
0× s −4
s2 +9
+
1× s +0
s2 +16
G(s) =
s3 −4s2 +9s −64
(s2 +9)(s2 +16)
=
−4
s2 +9
+
s
s2 +16
=
−4
3
3
s2 +32
+
s
s2 +42
usando uma tabela L −1
[ a
s2 +a2
]
= sen(at ) L −1
[ s
s2 +a2
]
= cos(at )
g (t ) =
−4
3
sen(3t )+cos(4t )
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 44 / 44