Aula_2

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Aula 2
Cristiano Quevedo Andrea1
1UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
FAENG - Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo e Geografia
Campo Grande 2021.
UFMS Campo Grande 2021 1 / 28
Resumo
1 Introdução
2 A Transformada de Laplace
3 Exercício
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Introdução
Introdução
O método de transformada de Laplace é uma metodologia
operacional que pode ser utilizado com vantagens para resolver
equações diferenciais lineares.
Utilizando a transformada de Laplace podemos converter muitas
funções, tais como senoides, em uma função algébrica de uma
variável complexa.
Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de
sistemas, sem a necessidade de resolver equações diferenciais.
Após a resolução via transformada de Laplace, pode-se obter a
resposta transitória e a resposta em regime.
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A Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace
Vamos definir:
1 f (t) é uma função do tempo t , tal que f (t) = 0 para t < 0.
2 s é a variável complexa.
3 L é um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele
prefixa é para ser transformada pela integral Laplace
∫ 0
∞
e−stdt .
4 F (s) é a transformada de Laplace de f (t).
Então, a transformada de Laplace de f (t) é definida por:
L[f (t)] = F (s) =
∫
∞
0
e−st [f (t)]dt =
∫
∞
0
f (t)e−stdt .
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A Transformada de Laplace
Exemplo : Considere a função
f (t) = 0, para t < 0,
= Ae−bt para t ≥ 0,
os termos A e b são constante. Assim a transformada de Laplace é
obtida da seguinte maneira,
L[f (t)] = F (s) =
∫
∞
0
Ae−bte−stdt ,
F (s) =
∫
∞
0
Ae−(s+b)tdt ,
F (s) =
A
s + b
.
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A Transformada de Laplace
Consideração
A transformada de Laplace de uma função f (t) existe se f (t) é
seccionalmente contínua em todo o intervalo finito na região t > 0 e se
a função é de ordem exponencial.
Função de Ordem Exponencial
Uma função f (t) é de ordem exponencial se existe uma constante σ
real e positiva tal que a função,
e−σt |f (t)|,
tende a zero quando t tende ao infinito.
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A Transformada de Laplace
Transformada de Laplace: Degrau, Rampa e Senoide (t > 0)
1 Degrau
f (t) = A, ⇒ L[f (t)] = F (s) = A
s
2 Rampa
f (t) = At , ⇒ L[f (t)] = F (s) = A
s2
3 Senoide
f (t) = Asen(ωt) ⇒ L[f (t)] = F (s) = Aω
s2 + ω2
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A Transformada de Laplace
Teoremas da Transformada de Laplace
1 Função Transladada: considere a função f (t − α).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
f(
t)
f(
t
−
α
)
Tempo [seg] e α igual a 1.
L[f (t − α)] = e−αsF (s)
2 Multiplicação de f (t) por e−αt
L[e−αt f (t)] = F (s + α)
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A Transformada de Laplace
Mudança na Escala de Tempo
Ao analisar sistemas físicos, às vezes é necessário alterar a
escala de tempo ou normalizar uma dada função do tempo.
Assim será alterado a base de tempo t para t
α
.
L
[
f
(
t
α
)]
= αF (αs).
Teorema da Diferenciação
L
[
d
dt
f (t)
]
= sF (s)− f (0)
Generalizando para derivadas de qualquer ordem, tem-se:
L
[
dn
dtn
f (t)
]
= snF (s)− sn−1f (0)− sn−2 ḟ (0)− · · · − sf (0)n−2 − f (0)n−1
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A Transformada de Laplace
Teorema do Valor Final
Se f (t) e ddt f (t) são transformáveis segundo Laplace, e se
limt→∞ f (t) existe e se F (s) é analítica no semiplano direito do
plano s, incluindo o eixo jω, exceto por um pólo simples na
origem, então,
lim
t→∞
f (t) = lim
s→0
sF (s)
Teorema do Valor Inicial
Se f (t) e ddt f (t) são ambos transformáveis segundo Laplace, e se
lims→0 F (s) existe, então,
f (0+) = lim
s→∞
sF (s)
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A Transformada de Laplace
Teorema da Integração A transformada de Laplace da integral
de f (t) é dada por,
L
[
∫
f (t)dt
]
=
F (s)
s
− f
−1(0)
s
sendo f−1(0) =
∫
f (t)dt , avaliada em t = 0.
Consideração
Se f (t) envolve uma função impulso, modifica-se a equação anterior,
L+
[
∫
f (t)dt
]
=
F (s)
s
−
f−1(0+)
s
L
−
[
∫
f (t)dt
]
=
F (s)
s
−
f−1(0
−
)
s
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A Transformada de Laplace
Função Impulso
0 100 200 300 400 500 600 700 800
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
δ(t) = 2ω
sen(2ωt)
2ωt
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A Transformada de Laplace
Teorema da Derivada Complexa
Se f (t) for transformável por Laplace, então, exceto nos pólos de
F (s),
L[tf (t)] = − d
ds
F (s)
Generalizando,
L[tnf (t)] = (−1)n d
n
dsn
F (s)
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A Transformada de Laplace
Integrais de Convolução
Considere o seguinte sistema descrito na forma de diagrama de
blocos:
Entrada
G(s) H(s)
Saída
Neste caso temos,
Saída = Entrada(G(s)H(s)) ⇋ Domínio da Frequência
Entretanto se tivermos,
Entrada
g(t) h(t)
Saída
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A Transformada de Laplace
Podemos obter o sistema resultado ilustrado no diagrama de blocos
anterior por meio da convolução,
g(t) ∗ h(t) =
∫ t
0
g(t − τ)h(τ)dτ, sendo ∗ denota convolução.
A expressão anterior está descrita no domínio do tempo.
Consideração
É mais simples equacionar sistemas para projeto de sistemas de
controle abordando a plana no domínio da frequência. Em outras
palavras, é menos complexo realizar projeto de sistema de controle
para sistemas descritos na forma de Laplace ao invés de estarem
descrito em equações temporais.
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A Transformada de Laplace
Tabela de Transformadas de Laplace
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A Transformada de Laplace
Transformada de Laplace Inversa
O processo de transformar uma variável descrita no espaço
frequencial para o espaço temporal e denominado de transformada
inversa de Laplace, e sua denominação é:
L−1
Matematicamente f (t) é determinado por meio de F (s) da seguinte
maneira:
f (t) =
1
2πj
∫ c+jω
c−jω
F (s)estds, t > 0. (1)
sendo c a abscissa de convergência uma constante real e escolhida
como maior do que as partes reais de todos os pontos singulares de
F (s).
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A Transformada de Laplace
Método de Frações Parciais
Se F (s), a transformada de Laplace de f (t), é separada em componentes,
F (s) = F1(s) + F2(s) + · · ·+ Fn(s).
e se as transformadas inversas de Laplace de F1(s),F2(s), · · · ,Fn(s) são
conhecidas, então,
L−1[F (s)] = L−1[F1(s)] + L−1[F2(s)] + · · ·+ L−1[Fn(s)],
f (t) = f1(t) + f2(t) + · · ·+ fn(t).
Frequentemente, F (s) é descrita da seguinte maneira:
F (s) =
B(s)
A(s)
,
sendo A(s) e B(s) polinômios em s, e o grau de A(s) é maior do que o grau
de B(s). Ainda, os polinômios podem ter os graus iguais, ou até o grau do
numerador maior do que o denominador.
UFMS Campo Grande 2021 18 / 28
A Transformada de Laplace
Consequentemente,
F (s) =
B(s)
A(s)
=
K (s + z1)(s + z2) · · · (s + zp)
(s + p1)(s + p2) · · · (s + pn)
F (s) tem Apenas Pólos Distintos
Neste caso F (s) pode ser expandido em uma soma de simples
frações parciais.
Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace da seguinte
função:
F (s) =
s + 3
(s + 1)(s + 2)
Podemos expandir F (s) como,
F (s) =
a1
s + 1
+
a2
(s + 2)
UFMS Campo Grande 2021 19 / 28
A Transformada de Laplace
Assim temos que determinar os valores de a1 e a2, então,
a1 = lim
s→−1
(s + 1)(s + 3)
(s + 1)(s + 2)
= 2
a2 = lim
s→−2
(s + 2)(s + 3)
(s + 1)(s + 2)
= −1
Portanto,
f (t) = L−1[F (s)] = L−1
[
2
s + 1
]
− L−1
[
1
s + 2
]
Assim,
f (t) = 2e−t − e−2t
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A Transformada de Laplace
F (s) tem Pólos Conjugados Complexos
Se F (s) possui pólos conjugados complexos, temos que utilizar a
seguinte expansão:
F (s) =
B(s)
A(s)
=
α1s + α2
s + p1
+
α3
s + p3
+ · · ·+ αn
s + pn
.
Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace de:
F (s) =
(s + 1)
s(s2 + s + 1)
A função F (s) pode ser expandida da seguinte maneira:
F (s) =
(s + 1)
s(s2 + s + 1)
=
α1s + α2
(s2 + s + 1)
+
α3
s
(2)
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A Transformada de LaplaceMultiplicando-se ambos os lados de (2) por (s2 + s + 1) temos,
(s + 1)
s
= (α1s + α2) +
α3
s
(s2 + s + 1) (3)
Considerando s = −0, 5 + j0, 866 em (3)
0, 5 + j0, 866
−0, 5 + j0, 866 = α1(−0, 5 + j0, 866) + α2
0, 5 + j0, 866 = α1(−0, 5 + j0, 866) + α2(−0, 5 + j0, 866)
Igualando-se as partes imaginárias e reais temos o seguinte sistema:
{
α1 + α2 = −1
α1 − α2 = −1
(4)
Então, α1 = −1 e α2 = 0.
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A Transformada de Laplace
Para determinar α3, multiplicamos ambos os lados de (2) por s, e
consideramos s = 0:
α3 =
[
s(s + 1)
s(s2 + s + 1)
]
s=0
= 1 (5)
Portanto,
F (s) =
−s
s2 + s + 1
+
1
s
=
1
s
− s + 0, 5
(s + 0, 5)2 + 0, 8662
+
0, 5
(s + 0, 5)2 + 0, 8662
(6)
Aplicado a transformada de Laplace inversa em (6) temos,
f (t) = 1 − e−0,5tcos0, 866t + 0, 578e−0,5tsen0, 866t
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A Transformada de Laplace
F (s) tem pólos múltiplos
Considere F (s) = B(s)A(s) , onde A(s) = 0 tem raízes p1 de
multiplicidade r (as outras raízes são distintas). A(s) pode então
ser escrita como:
A(s) = (s + p1)
r (s + pr+1)(s + pr+2) · · · (s + pr+n)
A expansão em frações parciais de F (s) é:
F (s) =
B(s)
A(s)
=
br
(s + p1)r
+
br−1
(s + p1)r−1
+ · · ·+ b1
(s + p1)
+
ar+1
(s + pr+1)
+
ar+2
(s + pr+2)
+ · · ·+ an
(s + pn)
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A Transformada de Laplace
Exemplo : Determine a transformada inversa de Laplace da função F (s):
F (s) =
s2 + 2s + 3
(s + 1)3
Expandindo F (s) em frações parciais temos,
F (s) =
b3
(s + 1)3
+
b2
(s + 1)2
+
b1
(s + 1)
(7)
Então, os coeficientes podem ser determinados da seguinte maneira:
b3 = lim
s→−1
(s + 1)3(s2 + 2s + 3)
(s + 1)3
= 2,
b2 =
[
d
ds
(s + 1)3(s2 + 2s + 3)
(s + 1)3
]
s→−1
= (2s + 2)s→−1 = 0,
b1 =
1
(3 − 1)!
[
d2
ds2
(s + 1)3(s2 + 2s + 3)
(s + 1)3
]
s→−1
=
1
2
2 = 1.
UFMS Campo Grande 2021 25 / 28
A Transformada de Laplace
Assim,
F (s) =
2
(s + 1)3
+
1
(s + 1)
Então,
f (t) = (t2 + 1)e−t , t ≥ 0.
Aplicação :
Considere o sistema mecânico ilustrado abaixo:
δ(t): impulso
x(t)
mola
m
massa m e mola de constante elástrica K
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A Transformada de Laplace
A equação diferencial que representa a dinâmica do sistema ilustrado
anteriormente é:
mẍ(t) + Kx(t) = δ(t). (8)
Aplicando-se a transformada de Laplace em (8), temos,
m
[
s2X (s)− sx(0)− ẋ(0)
]
+ KX (s) = 1.
Considerando-se as condições iniciais nulas, temos,
X (s) =
1
ms2 + K
.
Utilizando a transformada inversa pode-se obter x(t) como,
x(t) =
1√
mK
sen
√
K
m
t .
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Exercício
Exercício em Sala
Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimir rapidamente
cópias para um computador. O laser é posicionado por um sinal de
controle de entrada, r(t), tal que,
Y (s) =
5(s + 100)
s2 + 60s + 500
R(s) (9)
A entrada r(t) representa a posição desejada do feixe de laser.
Determine:
1 a saída y(t) quando r(t) for um degrau unitário de entrada,
2 qual é o valor final de valor de y(t).
UFMS Campo Grande 2021 28 / 28
	Introdução
	A Transformada de Laplace
	Exercício