Copia de Geometría Plana Semana 20b Resolución 01-45 - Patricia Torres

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PRE
UNIVERSITARIO
20b
GEOMETRÍA PLANA
Problemas del 01 al 45
MATERIAL DE 
ESTUDIO
PROBLEMA 01 
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos P, Q y R; M y N son
puntos medios de los segmentos TQ y TR, respectivamente. Si QR = 9 u,
entonces la diferencia de las longitudes de los segmentos QR y MN es
A) 2 B) 2,8 C) 3,6
D) 3,9 E) 4,5
RESOLUCIÓN 01
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos T, Q y R; M y N son
puntos medios de los segmentos TQ y TR respectivamente. Si QR = 9 u,
entonces la diferencia de las longitudes de los segmentos MR y TN es
Dato:
Clave: E 
Calcule x – y 
x – y = (a + b) = 4,5
2a + 2b = 9
a + b = 4,5
x – y = (3a + 2b) – (2a + b ) = a + b
QT NM R
a ba
y
2a + b
x

QR = 9
A) 
α − 
2
B) 
α + 
4
C) α - 
D) 
α + 
2
E) 
α − 
4
PROBLEMA 02 
En la figura m//ിn, a + b = α y c + d = . Calcule x
a
b
c
d
x
m
n
RESOLUCIÓN 02 En la figura m//ിn, a + b = α y c + d = .Calcule x
Clave: C 
Por ángulos correspondientes:
Se trazan paralelas 
 α -  = x
a
b
c
d
xm
n
a
x
d+x
b + a = c + d + x
α =  + x
a
b
c
d
x
m
n
PROBLEMA 03
En un triángulo ABC la m∠BCA = 36, si se traza la ceviana BM , tal que 
BM = MC y AM = BC, hallar la m∠BAC
A) 18 B) 28 C) 36 D) 40 E) 42
En un triángulo ABC la m∠BC 36, si se traza la ceviana BM , tal que 
BM = MC y AM = BC, hallar la m∠BACRESOLUCIÓN 03
A
B
C36
M
a
a
Triángulo BMC isósceles , la m∠BCA = m∠CBM =36, 
36
72
Se traza la ceviana BQ , tal que BM = BQ, 
Q
El triángulo QBM isósceles
36
b
El triángulo QBA isósceles , BC = AQ = a. Si 
QM = b , AQ = MC =a –b 
a
△ ABQ ≅ △ BMC
△ ABQ isosceles ,
36
36
la m∠BAC = 36 
Clave: C 
PROBLEMA 04
En un triángulo ABC isósceles (AB = BC ) se trazan las cevianas AM y CN 
tal que la m∠BAM = m∠ABC = 20 y m∠BCN = 30, calcule la m∠MNC
A) 50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 80
En un triángulo ABC isósceles (AB = BC ) se trazan las cevianas AM
y CN tal que la m∠BAM = m∠ABC = 20 y m∠BCN = 30, calcule la
m∠MNC
Clave: E
RESOLUCIÓN 04
A
B
C
20
M
N
20
30
α
El triángulo ANC isósceles 
60
50
50
El triángulo ANP equilátero
P
10
60
40
20
El triángulo AMP isósceles
40
40
El triángulo NMP isósceles
α = 70 + 10 = 80
30
80
En un triángulo ABC, las alturas se intersecan en el punto
interior L, tal que AL = BC. Calcule la medida del ángulo BAC.
A) 15 B) 30 C) 37
D) 45 E) 60
PROBLEMA 05
En un triángulo ABC, las alturas se intersecan en el punto interior L, tal que
AL = BC. Calcule la medida del ángulo BAC.RESOLUCIÓN 05
Clave: D 
m∠BAC = x
A
B
C

H
Q
L



AHL  BHC (ALA)
AH = BH
AHB, isósceles: 
m∠BAC = 45
PROBLEMA 06
En un triángulo ABC, mABC = , hacia el mismo semiplano
determinado por el lado AC, en el que se ubica B, se trazan los
triángulos equiláteros AEB, AFC y BGC, respectivamente.
Calcule la medida del ángulo EFG, si B está en el interior del
triángulo AFC.
A) 2 B) 2(180 - ) C) 90 + 
D) 120 -  E) 240 - 
En un triángulo ABC, mABC = , hacia el mismo semiplano
determinado por el lado AC, en el que se ubica B, se trazan los
triángulos equiláteros AEB, AFC y BGC, respectivamente. Calcule
la medida del ángulo EFG, si B está en el interior del triángulo AFC.
RESOLUCIÓN 06
Clave: E 
Dato: 
Incógnita: mEFG = x
A
B
C

E
F G
x
Del gráfico: 
x = mEFA + mAFC + mCFG… (1) 
 
 
AEF  ABC (LAL)  mEFA = 
FGC  ABC (LAL)  mCFG = 
En (1): 
x =  + 60 + 
x = 180 –  + 60
x = 240 – 
PROBLEMA 07
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM y la
altura BH, Q ∈ BC, se trazan QP ꓕ BM y QR ꓕ MC. Si PQ = 6 + n y QR = 3 – n,
entonces la longitud de BH, es
A) 4 B) 5 C) 7
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN 07
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM
y la altura BC, Q ∈ BM, se trazan QP ꓕ BM y QR ꓕ MC. Si PQ = 6 + n y
QR = 3 – n, entonces la longitud de BH, es
Clave: E
A
B
H M R
C
P
Q
Calcule BH
6 + n
3 - n
En el △ABC, teorema de la menor mediana: 
AM = MC = BM 
BH = 9
El △BMC, es isósceles 
Teorema: BH = 6 + n + 3 - n 𝜃
𝜃
PROBLEMA 08
En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si la m∠ABM = 105 y
m∠MBC = 30, entonces la m∠BCM
A) 15 B) 25 C) 30
D) 45 E) 60
RESOLUCIÓN 08
En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si la m∠ABM = 105
y m∠MBC = 30, entonces la m∠BCM
Clave: A
Calcule m∠BCM = x
A
B
H
Q
C
M
105 30
△AHB es notable de 45
x
45
En el △ABC, se traza la altura AH
△HBM, es isósceles
2n
2n
b
b
△AHC, MQ es base media: MQ = n 
b
△AHC, HM es mediana: HM = b 
△BQM, notable de 30 y 60: BM = 2n 
n
2n
x
x
Teorema: x + x = 30 ⇒ x = 15
PROBLEMA 09 
En un polígono equiángulo de n lados, la suma de las medidas de n
ángulos internos es a veces la medida de su ángulo externo. Si a admite
su menor valor entero, entonces el número de lados que tiene dicho
polígono es
A) 4 B) 5 C) 7
D) 9 E) 12
RESOLUCIÓN 09
En un polígono equiángulo de n lados, la suma de las medidas de n
ángulos internos es a veces la medida del ángulo externo. Si a
admite su menor valor entero, entonces el número de lados que
tiene dicho polígono es
Clave: A 
n: número de lados del polígono
n = a
n
(180(n−2))
n = a
360
n
n(n - 2) = 2a

n ≥ 3como
n = 3Si 3(3 - 2) = 2a
a = 1,5
Si n = 4  4(4 - 2) = 2a
a = 4
∴ n = 4
PROBLEMA 10: Cuadriláteros
En un trapecio ABCD los lados BC y AD son paralelos. Las
bisectrices de los ángulo A y B se intersecan en P y las bisectrices
de los ángulos C y D se intersecan en Q. Si AB = 6, BC= 3, CD = 9 y
AD = 10, la longitud del segmento PQ es
A) 0 B) 0.5 C) 0.75
D) 1.0 E) 1.25
En un trapecio ABCD los lados BC y AD son paralelos. Las bisectrices
de los ángulo A y B se intersecan en P y las bisectrices de los ángulos C
y D se intersecan en Q. Si AB = 6, BC= 3, CD = 9 y AD = 10, la longitud del
segmento PQ es
Clave: D 
RESOLUCIÓN 10
A
B C
D
PQ
NM



 



6
5
3
9
10
6
4
Se prolonga BP hasta N
 BAN isósceles AB = AN = 6
Además BP = PN
Se prolonga CQ hasta M
 MDC isósceles CD = DM = 9
MN = 5
Además MQ = QC
Trapecio MBCN
PQ =
5 − 3
2
= 1
PROBLEMA 11: Cuadriláteros
Desde un punto P exterior a un rectángulo ABCD relativo al lado BC, tal
que mBPC = 90. Se traza PM de modo que: M  AD y PM  BC = {Q},
BP = PM = 2(PC) = 2(PQ). BC – AM = 4. La distancia del vértice D a BM
es
A) 2 5 B) 2 2 C) 2 3
D) 3 3 E) 3 2
Desde un punto P exterior a un rectángulo ABCD relativo al lado BC, tal
que mBPC = 90. Se traza PM de modo que: M  AD y PM  BC = {Q},
BP = PM = 2(PC) = 2(PQ). BC – AM = 4. La distancia del vértice D a BM
es
Clave: D 
RESOLUCIÓN 11
A
B
P
C
D
M
Q
53/2
a2a a
a
b 4

45


+53/2
45
x
S
 BPC : m PBC = 53/2
90
  = 45
m ABM = 45 = m SMD
x = 2 2
m MBC =   m BMP =  + 53/2
 QPC : m PCQ =  = mPQC = mBQM = 
 BQM:  +  + 53/2 +  = 180
 DSM:
PROBLEMA 12: Cuadriláteros 
En un cuadrilátero ABCD la m BAD = 75, m ABC = 90 y
AB = BC. La mediatriz de BC interseca en M a AD, Si MC = 8.
la distancia de M a BC es
A) 2 3 B) 3 3 C) 4 3
D) 5 3 E) 6 3
En un cuadrilátero convexo ABCD la m BAD = 75, m ABC = 90 y
AB = BC. La mediatriz de BC interseca en M a AD, Si MC = 8. la
distancia de M a BC es
Clave: C 
RESOLUCIÓN 12
A
B
C
D
75
2a
2a
M
a
a
88
a
30
60
60
x
MB = MC = 8 MT ⊥ AB ; MT = a
 ABM: m ABM = 30
 BMC es equilátero
T
m ABM = 60
m BCM = 60
x = 4 3
26
PROBLEMA 13
Dos circunferencias C1 y C2 son exteriores, se traza las rectas
tangente comunes exteriores PQ y ST tal que P, S C1 y Q, T
C2, luego en PQ se ubican los puntos B y C, y en ST los puntos A
y D de modo que ABCD es un trapecio circunscrito a una
circunferencia cuyas bases AB y CD son tangentes a C1 y C2. Si
PQ = ℓ, entonces la longitud de la mediana del trapecio ABCD
es
A)
ℓ
4
B)
ℓ
3
C)
ℓ
2
D) ℓ E)3ℓ
2
27
Sea x la longitud de la
mediana del trapecio ABCD.
Por teorema:
AE = AS = a, EB = BP = b
DF = DT = m, CF = CQ = n
Además, BL = AS = a
CL = DT = m
Por teorema: x =
a+b+m+n
2
 x =
ℓ
2
RESOLUCIÓN 13
Dos circunferencias C1 y C2 son exteriores, se trazan las rectas tangente
comunes exteriores PQ y ST tal que P, S C1 y Q, T C2, luego en PQ se ubican
los puntos B y C, y en ST los puntos A y D de modo que ABCD es un trapecio
circunscrito a una circunferencia cuyas bases AB y CD son tangentes a C1 y C2.
Si PQ = ℓ, entonces la longitud de la mediana del trapecio ABCD es
A M D TS
P
B
N
C
Q
ℓ
x
a
a
b
b n
n
m
m
a
m
E F
C1
C2
L
Clave: C 
28
En un triángulo ABC, recto en B, en los lados AB, BC y AC se
ubican los puntos N, P y M tal que AM = AN y BN = BP = 7 u.
Si el inradio del triángulo ABC mide 4 u, entonces la longitud del
circunradio del triángulo MNP es
A) 3 B) 5 C) 6
D) 5 2 E) 3 2
PROBLEMA 14
29
Sea R la longitud del radio de la
circunferencia circunscrita al
triángulo MNP.
Dato: r = 4
ANOM y BNOP son trapezoides
simétricos.
Luego, O es el incentro del
ABC
→ OL = 4
Finalmente, R2 = 32 + 42
 R = 5
RESOLUCIÓN 14
En un triángulo ABC, recto en B, en los lados AB, BC y AC se ubican los
puntos N, P y M tal que AM = AN y BN = BP = 7 u. Si el inradio del triángulo
ABC mide 4 u, entonces la longitud (en u) del circunradio del triángulo MNP
es
A
B
CM
N
P
O
L
R
7
m
m
7
4
4
3
R


45 45
R
R
Clave: B 
C1 y C2 son circunferencias tangentes exteriores en el punto D.
Desde el punto P exterior a las dos circunferencias, se trazan
los segmentos PA y PB tangentes a las circunferencias C1 y C2
respectivamente (A ∈ C1 y B ∈ C2). Si m∠ADB = 135, entonces
la m∠APB es
A) 60 B) 75 C) 80 D) 90 E) 100
PROBLEMA 15
RESOLUCIÓN 15
C1 y C2 son circunferencias tangentes exteriores en el punto D. Desde el
punto P exterior a las dos circunferencias, se trazan los segmentos PA y PB
tangentes a las circunferencias C1 y C2 respectivamente (A ∈ C1 y B ∈ C2). Si
m∠ADB = 135, entonces la m∠APB es
A
D
BP
C1
C2
45
X Se traza la tangente común 
interior por el punto D 
𝛼 2(α + β)=270 
X = 360 - 2(α + β) = 90 
Clave: D 
PROBLEMA 16
Desde un punto P exterior a una circunferencia ∁ de centro O, se trazan los 
segmentos tangentes PA , PB (perpendiculares entre si), siendo A, B los 
puntos de tangencia y la secante PCD ( CD cuerda de la circunferencia). Si 
m∠DOA = 2m∠COA, entonces m ෢CB es
A) 15 B)30 C) 45 D) 60 E) 75
RESOLUCIÓN 16
Desde un punto P exterior a una circunferencia ∁ de centro O, se trazan
los segmentos tangentes PA , PB (perpendiculares entre si), siendo A, B
los puntos de tangencia y la secante PCD ( CD cuerda de la
circunferencia). Si m∠DOA = 2m∠COA, entonces m ෢CB es
D
A P
C
B
r
r
r
r
r
𝛼/2𝛼
2𝛼
𝛼
O
2𝛼
𝛼/2
𝛼
Angulo exterior en la circunferencia
m∠APD =
2𝛼−𝛼
2
→ m∠APD =
𝛼
2
∆DAP: isósceles → DA = PA = r
∆DOA: equilátero → 2𝛼 = 60
→ 𝛼 = 30
∴ m෢CB = 60
Incógnita: m ෢CB = x 
x
→ 𝑥 = 60
y como APBO es un cuadrado
Clave: D 
PROBLEMA 17
Desde un punto P, exterior a la semicircunferencia de diámetro AB y
centro O, se trazan la recta secante PEA y la recta tangente PT (T 
෢BE), tal que EB y OT se intersecan en M. Si mOPT = 20, entonces la
medida del ángulo MPT es
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
RESOLUCIÓN 17
Clave: B
Desde un punto P, exterior a la semicircunferencia de diámetro AB y
centro O, se trazan la recta secante PEA y la recta tangente PT (T 
෢BE), tal que EB y OT se intersecan en M. Si mBAT = 20, entonces la
medida del ángulo MPT es
A BO
E
M
20
x
P
T
Por teorema: OT ⊥ PT
Por teorema: mAEB = 90
 Cuadrilátero EPTM, inscriptible
mMPT = mMET = x 
Por teorema: mMET = mBAT
x
Luego: x = 20
x = ?
PROBLEMA 18
En una circunferencia, las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto
E (AB ⊥ CD). Desde E se trazan las perpendiculares EP, EQ y EM a
las cuerdas AD, AC y BC respectivamente. Si mADC = 20, entonces
la medida del ángulo PQM es
A) 120 B) 130 C) 140
D) 150 E) 160
RESOLUCIÓN 18
En una circunferencia, las cuerdas AB y CD se intersecan en el
punto E (AB ⊥ CD). Desde E se trazan las perpendiculares EP, EQ y
EM a las cuerdas AD, AC y BC respectivamente. Si mADC = 20,
entonces la medida del ángulo PQM es
Clave: C 
A
B
C
D
20
x
EP
Q M
Por teorema: mADC = mABC = 20 x = ?
  mPAE = mMCE = 70 
Cuadrilátero PAQE, inscriptible
mPAE = mPQE = 70 
Cuadrilátero MCQE, inscriptible
mMCE = mMQE = 70 
Pero: x = mPQE + mMQE
x = 140
20
PROBLEMA 19
En un trapecio ABCD, AB // CD, en CD se ubica el punto
medio F, AF ∩ B D =E y las prolongaciones de BC y AF se
intersecan en G. Si AE = 4 u y EF = 3 u, entonces la longitud
(en u) de FG es
A) 15 B) 18 C) 20
D) 21 E) 24
𝜶
𝜽
𝜶
x
3n
A B
D
E
C
G
F
4
3
3n
4n
En un trapecio ABCD, AB // CD, en CD se ubica el punto medio F,
AF ∩ B D =E y las prolongaciones de BC y AF se intersecan en
G. Si AE = 4 u y EF = 3 u, entonces la longitud (en u) de FG es
RESOLUCIÓN 19
FG = x = ?
∆DEF ~ ∆BEA:
DF
AB
=
3
4
⟹ DF = 3n y AB = 4n
∆FCG ~ ∆ABG:
x
x + 7
=
3n
4n
4x = 3x + 21
∴ x = 21
Clave: D
PROBLEMA 20
En la figura mostrada , L1 // L2 // L3 // L4. Si AB = 2 u, CD = 5 u, GH = 6 u, 
QR = 8 u y PQ = FG + 2 , entonces la longitud (en u) del segmento FG es
A
B
C
D H
G
F
E
Q
R L1
L2
L3
L4
P
A) 6/7 B) 2/3 C) 5/7
D) 1 E) 3/2
RESOLUCIÓN 20
82
5
6
x
FG = x = ?
x + 2
Teorema de Thales:a
A
B
C
D H
G
F
E
Q
R L1
L2
L3
L4
P
x
a = 
x + 2
8
… (1)
a
6
= 
2
5
… (2)
(1)(2):
7x = 6
x = 
6
7 PQ = x + 2
Sea EF = a
x
a
a
6
= 
x + 2
8
2
5
En la figura mostrada , L1 // L2 // L3 // L4. Si AB = 2 u, CD = 5 u, GH = 6 u,
QR = 8 u y PQ = FG + 2 , entonces la longitud (en u) del segmento FG es
Clave: D
10x = 3x + 6
PROBLEMA 21
Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes
PAB y PCD tal que PA = 9 cm, AB = 3 cm y BC = BD. Calcule la longitud
(en cm) de BC.
A) 6 B) 5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,4
Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes
PAB y PCD tal que PA = 9 cm, AB = 3 cm y BC = BD. Calcule la longitud
(en cm) de BC.
RESOLUCIÓN 21
Clave: A 
C
D
P
2α
2θ
AB
x
9
3
x
α
2α + 2θ
α
∆ABD ∼∆DBP 
AB
BD
= 
BD
BP
3
x
= 
x
12
x = 6
β
Ángulo exterior:
m∠BPD = 
(2α+2θ) − 2θ
2
= α
PROBLEMA 22
En un cuadrilátero ABCD, los ángulos BAD y CDA son rectos, AB = 4 cm, CD = 6 cm,
los puntos P y Q pertenecen a AD tal que AP = PQ = QD. Si CP y BQ se intersecan en
el punto O, entonces la distancia (en cm) de O hacia AD es
A) 1,4 B) 1,1 C) 1,2 D) 1,3 E) 1,5
RESOLUCIÓN 22
Clave: C 
En un cuadrilátero ABCD, los ángulos BAD y CDA son rectos, AB = 4 cm,
CD = 6 cm, los puntos P y Q pertenecen a AD tal que AP = PQ = QD. Si CP
y BQ se intersecan en el punto O, entonces la distancia (en cm) de O
hacia AD es
A
O
D
C
B
QP
T
M
6
4
aaa
R
3
2
Trapecio PQRT:
OM = 
(2)(3)
2 + 3
OM = 1,2
PROBLEMA 23
En un triángulo ABC recto en B, sea E1 y E2 excentros relativos a los 
lados AB y BC respectivamente. Calcule 
E1E2
AC
.
A) 3 B) 1 C) 2 D) 2 E) 
2
2
En un triángulo ABC recto en B, sea E1 y E2 excentros relativos a 
los lados AB y BC respectivamente. Calcule 
E1E2
AC
.RESOLUCIÓN 23
Clave: D 
B
CN
r
rac
J
rc
rc
rc
r a
ra ra
T
ra
rc
E
E
1
2
Se observa que: BJ = rc y BT = ra
Por circunferencias exteriores :
∆E1JB notable (45, 45): E1B = rc 2
DA = AL = PB = BQ = CM = CF = m 
AT = AF = CJ = CD = p (semiperímetro)
entonces: AC = ra + rc
∆BTE2 notable (45, 45): E2B = ra 2
E1 E2 =(ra + rc ) 2
Luego:
E1E2
AC
= 
(ra+ rc ) 2
ra+ rc
∴
E1E2
AC
= 2
P Q
D F
ML
m
m m
m
PROBLEMA 24
En un triángulo ABC de ortocentro H, mABC = 45. Si BH = 4, calcule el 
radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.
A) 2 B) 2 2 C) 
2
2
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN 24
En un triángulo ABC de ortocentro H, mABC = 45. Si BH = 4,
calculeel radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.
Clave: B 
O: Circuncentro del triángulo ABC 
AO = OC = R y m ෢𝐴𝐶 = 90
Luego m∠AOC = 90
∆AOC notable (45, 45)
Por Teorema: BH = 2(OM), entonces: OM = 2
∆OMC: Notable (45 , 45)
R=2 2
A
B
C
H
4 O
R R
2
M
R
45
45
90
Trazar OM ⊥ AC
AM = MC y m ∠ AOM = m ∠ MOC = 45
Dos circunferencias C1 y C2 son secantes en los puntos P y T, el centro O
de C2 pertenece a C1, la cuerda AT de C1 es tangente a C2 ; en la
prolongación de OP se ubica el punto Q tal que PQ=5u y AT=12u,
entonces la distancia (en u) de P a AQ es
A) 4 B) 60/17 C) 60/13
D) 30/7 E) 60/7
PROBLEMA 25 ( Relaciones métricas en el T.R.)
RESOLUCION 25
Dos circunferencias C1 y C2 son secantes en los puntos P y T, el centro O
de C2 pertenece a C1, la cuerda AT de C1 es tangente a C2 ; en la
prolongación de OP se ubica el punto Q tal que PQ=5u y AT=12u, entonces
la distancia (en u) de P a AQ es
Clave: C 
C1
C2
O
P
T
A
Q
5
12
x
H
PH = x 
r
r
12
13
APOT : inscrito en C1
→ AP = AT = 12
∆APQ : R.M. en el rectángulo.
(12)(5) = 13(x)
x = 
60
13
PROBLEMA 26 ( Relaciones métricas en el T.R.)
En una semicircunferencia de diámetro AD se traza la cuerda AB, tal que
AD = 16u y AB = 4 7u, entonces la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de AB y ෢BD (en u) es
A) 13 B) 13 5 C) 12
D) 10 E) 10 5
RESOLUCION 26
En una semicircunferencia de diámetro AD se traza la cuerda AB, tal que
AD = 16u y AB = 4 7u, entonces la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de AB y ෢BD (en u) es
Clave: D 
A DO
B
8 8
M
N
2 7
2 7
θ
θ
x
MN = x
∆AMO: MO = 6 
6
Además se deduce que
AB // ON
θ θ
8 ∆AMO: x2 = 62 + 82
x = 10
PROBLEMA 27
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana BD. Si
mABD = 3 mBAD, AC = a u, BD = b u, entonces la longitud (en u) de
BC es
A) B) C) D) E)
a 4b a
2 2b
−a 4b a
3 2b
− a 4b a
2 3b
− a 3b a
2 2b
− a 3b a
2 b
−
Clave: C
Piden: BC = x
Teorema: AM = MC = MB = 
a
2
 x = 
a
2
4b−a
2b
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana BD. Si
mABD = 3 mBAD, AC = a u, BD = b u, entonces la longitud (en u) de BC es
∆BMD, es isósceles: MD= b
B
DbM
∆MBC, relación métrica: 

2 2 2a a a( ) ( b) x b b ( )
2 2 2
a a
b( )( b)
2 2
− + = +
−
A C

2
a
2
x
b
a
2
a
2
2
a
b
2
−
3
a
RESOLUCIÓN 27
PROBLEMA 28
En una circunferencia C1 de diámetro AB y radio R, se traza la
circunferencia C2 de radio r y tangente interior a C1, además se trazan los
segmentos tangentes AP y BQ ( P y Q ∈ C2 ). Si AP = a u y BQ = b u ,
entonces halle la siguiente expresión:
A) 2 B) 4 C)
1
2
D) 6 E)
5
2
2 2a b
R(R r)
+
−
Clave: B
En una circunferencia C1 de diámetro AB y radio R, se traza la circunferencia
C2 de radio r y tangente interior a C1, además se trazan los segmentos
tangentes AP y BQ ( P y Q ∈ C2 ). Si AP = a u y BQ = b u , entonces halle la
siguiente expresión:
∆AO2B, relación métrica: 
r
Q
2
2 2 2 2 2 2 2 (2R)( a r ) ( b r ) 2(R r)
2
+ + + = − +
b
2 2a b
R(R r)
+
−
BA
T
P
R R
a
r
r
1O
2O
R - r
2 2a r+ 2 2b r+
2 2a b
Piden :
R(R r)
+
−
2 2a b
4
R(R r)
+
 =
−
r
C1
C2
RESOLUCIÓN 28
PROBLEMA 29
ABCD es un paralelogramo y C una circunferencia de diámetro AD,
circunscrita al triangulo ABD, que interseca a BC en P. Si AB = a y el
radio de C mide b, entonces el valor de PC es
A)
a²
b
B)
a
b²
C)
2a²
b
D)
a²
2b
E)
a
b
RESOLUCIÓN 29
Clave: A
ABCD es un paralelogramo y C una circunferencia de diámetro AD,
circunscrita al triangulo ABD, que interseca a BC en P. Si AB = a y
el radio de C mide b, entonces el valor de PC es
A
B C
D
•
P
b
x
a
Nos piden: PC = x 
Prolongamos CD, hasta S 
S
a
a
Por teorema de la secantes: 
(2b)(x) = (2a)a 
x = 
a²
b
b
●
C
PROBLEMA 30
ABCDEF es un hexágono regular y P un punto del arco de la
circunferencia circunscrita. Si BP = a, AP = b, PC = c y ax + c = b,
entonces el valor de x es
A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) 3
RESOLUCIÓN 30
Clave: D 
ABCDEF es un hexágono regular y P un punto del arco BC de la
circunferencia circunscrita. Si BP = a, AP = b, PC = c y ax + c = b,
entonces el valor de x es
A
E
B
D
P
C
F
•
b
a c
n
n
n 3
Nos piden: x 
En ABPC, por teorema: 
bn = an 3 + cn
b = a 3 + c 
Del dato:
ax + c = b = a 3 + c 
x = 3
PROBLEMA 31
En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD de tal
manera que los puntos C y D están en distintos semiplanos respecto de
AB, m ෢CD = 150. Si la diferencia de las distancias de B y A a CD es
6 2 − 3 u. Calcule la longitud del radio de la circunferencia ( en u ).
A) 4 B) 4,5 C) 5
D) 6 E) 8
RESOLUCIÓN 31
Clave: D 
En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD de tal
manera que los puntos C y D están en distintos semiplanos respecto
de AB, m ෢CD = 150. Si la diferencia de las distancias de B y A a CD
es 6 2 − 3 u. Calcule la longitud el radio de la circunferencia( en u ).
A B
C
D 
150
a
b
Dato a − b = 6 2 − 3
R
Calcule R
M
N
P
O
Por teorema en APBM: ON =
a − b
2R
R
E
30
l12
Por base media en ∆ CDE: l12 = 2(ON)
→ l12 = a − b
R 2 − 3 = 6 2 − 3
∴ R = 6
PROBLEMA 32
En un triángulo ABC recto en B, el ángulo ACB mide 11,25.
Si AC = 8 2 + 2 cm, entonces la longitud (en cm) de la
altura relativa a la hipotenusa es
A) 2 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 5
En un triángulo ABC recto en B, el ángulo ACB mide 11,25. Si
AC = 8 2 + 2 cm, entonces la longitud (en cm) de la altura
relativa a la hipotenusa es
RESOLUCIÓN 32
Clave: A 
M
N
2a 2a
a
a 
a
45
Calcule BH
∆ABC: BM = MA = MC = 2a
AC = 4a = 8 2+ 2
∆BHM: HN = NB = MN = a
∆BNH: BH = a 2 - 2
BH= 2 2+ 2 2 − 2
BH = 2 2
H
11,25
CA
B
11,25
22,5 22,5
PROBLEMA 33
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. En un pentágono regular, la intersección de las diagonales determina
otro pentágono regular y la razón de longitudes de los lados es
3 + 5
2
.
II. El lado de un decágono regular, es congruente con la sección áurea de
su respectivo circunradio.
III. Si el pentágono regular y el decágono regular están inscritos en una
circunferencia, entonces la razón entre las longitudes del apotema del
decágono regular y del lado del pentágono regular es
5 + 1
4
.
A) VFV B) FVF C) VVV
D) FFF E) VFF
RESOLUCIÓN 33
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. En un pentágono regular, las intersecciones de las diagonales determina
otro pentágono regular y la razón de las longitudes de los lados es
3 + 5
2
.
II. El lado de un decágono regular, es congruente con la sección áurea de su
respectivo circunradio.
III. Si el pentágono regular y el decágono regular están inscritos en una
circunferencia, entonces la razón entre las longitudes del apotema del
decágono regular y del lado del pentágono regular es
5 + 1
4
I.VERDADERO
II.
Por teorema
VERDADERO
III.
Sea R el circunradio, por teorema: 
ap10 = 
R 10 + 2 5
4
y 5 = 
R 10 − 2 5
2
ap10
5
= 
5 + 1
4
VERDADERO
Clave: C
5
L5L5
L5
L5
L5
a = L5
5 − 1
2
5
5 5
5
36
a 36 a
L5
5
= 
3 + 5
2
5 = a
5 − 1
2
PROBLEMA 34
En un pentágono regular ABCDE, las diagonales AD y CE se intersecan en
P y en la diagonal AC se ubica el punto M, tal que, el ángulo MPC es recto.
Calcule
EP
AM
.
A)
5 − 1
2
B)
5 + 1
4
C)
5 + 3
2
D)
5 − 3
2
E)
5 + 1
2
RESOLUCIÓN 34
En un pentágono regular ABCDE, las diagonales AD y CE se intersecan
en P y en la diagonal AC se ubica el punto M, tal que, el ángulo MPC es
recto. Calcule
EP
AM
.
Clave: E
Sean EP = x y AM = y, calcule 
EP
AM
= 
x
y
B
A
C
D
E
M
P
PQ = x = 10 = x + y
5 −1
2
x
y
En el ◺MPC, se traza la menor mediana AQ
36
36
36
Q
3672 △EAP ≅ △PAQ (LAL) ⇒ EP = PQ = x 
MQ = QC = PQ
x
x
x
x + y 
△QAP es isósceles, AQ = AP = x + y
x
y = 
5 + 1
2
En un triángulo acutángulo ABCde ortocentro H, P es el simétrico de H
respecto de la recta BC y Q es el simétrico de H respecto de la recta AC. Si
m∠HBC = 40 , entonces la m∠PCQ es
A) 80 B) 100 C)120 D) 140 E )160
PROBLEMA 35
RESOLUCIÓN 35
En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H, P es el simétrico de H
respecto de la recta BC y Q es el simétrico de H respecto de la recta AC.
Si m∠HBC = 40 , entonces la m∠PCQ es
Q
H
P
B
CA
40
α
β
α
β
PC = HC y CH = QC
• Teorema de la mediatriz 
x
• ∆PCH y ∆QCH isósceles
m∠PCB = m∠HCB = α
y m∠HCA = m∠QCA = β
• ∆ BLC : α + β = 50
L
x = 100
• En C: x = 2(α + β ) 
Clave: B 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. El centro de simetría de una figura no pertenece a la figura.
II. Existe un cuadrilátero convexo que solo tiene dos ejes de
simetría.
III. No existe un triángulo que tenga centro de simetría.
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVF E) VVV
PROBLEMA 36
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. El centro de simetría de una figura no pertenece a la figura.
II. Existe un cuadrilátero convexo que solo tiene dos ejes de simetría.
III. No existe un triángulo que tenga centro de simetría.
I. Falso
El centro de simetría de un segmento pertenece al segmento. 
II. Verdadero
Los rombos y rectángulos cumplen con esa condición.
III. Verdadero
Si O es centro de simetría del 
triángulo ABC entonces AP// CQ ,
Clave: B 
RESOLUCIÓN 36
B
CA
P
Q
O
•
lo cual es una contradicción.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
PROBLEMA 37 
Con centro O y radio OA, se traza el arco AB tal que m∠AOB = 120 y
OA = 6m. En AO se ubican los puntos E y F (A – E – F) tal que interior
al sector AOB se trazan las semicircunferencias con diámetros AE, FO
y exterior al sector se trazan las semicircunferencias con diámetros
EF y OB. Calcule (en m) el perímetro de la región limitada por los
arcos.
P R. SOM. = x
RESOLUCIÓN 37 
Con centro O y radio OA, se traza el arco AB tal que m∠AOB = 120 y OA = 6 m.
En AO se ubican los puntos E y F (A – E – F) tal que interior al sector AOB se
trazan las semicircunferencias con diámetros AE, FO y exterior al sector se
trazan las semicircunferencias con diámetros EF y OB. Calcule (en m) el
perímetro de la región limitada por los arcos.
Clave: B 
A O 
B 
x = 10
E 
F 
120 
6 
a b 
c 
d 
x = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1
x2
x3
x4
x5
x = 2(6)
120
360
+ (3) + x3 + x4 + x5 
x = 4+ 3 + b + c + a
x = 7 + (b + c + a)
6 = 2a + 2b + 2c  3= a + b + c
x = 10 + 3
76
PREGUNTA 38
En la figura mostrada O y O1 son centros de las circunferencias,
AC = 30 u, BD = 20 u y CD = 12 u. Halle el área de la región AOB
(en u2).
A) 18 B) 20 C) 21
D) 24 E) 30
D
C
O
O1
B
A
77
En la figura mostrada O y O1 son centros de las
circunferencias, AC = 30 u, BD = 20 u y CD = 12 u.
Halle el área de la región AOB (en u2).
Clave: C
RESOLUCIÓN 38
2x =
14  6
2
Base media:
BC = 16
O1J = 6
AB = 30 − 16 = 14
x = 21 u2
D C
O
O1
B
A
D
C
O
O1
B
A
x 30
10
10
12
J
S
OBO1
= x
En DCB:
14
6
78
PREGUNTA 39
En un triángulo rectángulo ABC, los catetos miden AB = 6 u,
BC = 8 u. M, N son los puntos de tangencia de la circunferencia
inscrita con los catetos. Sea E el excentro relativo a BC, calcule el
área de la región triangular MNE (en u2).
A) 2 B) 3 C) 4
D) 2 2 E) 4 2
79
En un triángulo rectángulo ABC, los catetos miden AB = 6 u,
BC = 8 u. M, N son los puntos de tangencia de la circunferencia
inscrita con los catetos. Sea E el excentro relativo a BC, calcule el
área de la región triangular MNE (en u2).
Clave: A
RESOLUCIÓN 39
Poncelet:J
SMNE =
1
2
MN . EJ … (1)E
A
B
En (1):
M
C
N
45
Ir
AB = 6, BC = 8, AC = 10
6 + 8 = 10 + 2r
2 = r
MN = 2 2, EJ = 2
SMNS =
1
2
(2 2) 2 = 2 u2
45
En un rombo ABCD por D se traza la perpendicular a AD que intersecta a
la prolongación de AB en E y a AC en M tal que las áreas de las
regiones AEM y DMC son 25S y 16S respectivamente. Halle el área de la
región cuadrangular BECM.
A)20S B) 22S C) 25S
D) 30S E) 35S
PROBLEMA 40
En un rombo ABCD por D se traza la perpendicular a AD que intersecta
a la prolongación de AB en E y a AC en M tal que las áreas de las
regiones AEM y DMC son 25S y 16S respectivamente. Halle el área de
la región cuadrangular BECM.
RESOLUCIÓN 40
4q5t
Tienen igual altura
MC = 4t
nA
B C
D
E
M 16S
.  AEM ~  DMC
AAEM
ADMC
= (
AM
MC
)2= (
ME
DM
)2
25S
16S
= (
5t
MC
)2= (
5q
DM
)2 ⟹
DM = 4q
4t
y
AADM
ADMC
=
AM
MC
⟹ y
16S
=
5t
4t
y = 20S
ABECM
20S
=
n.5q
n.4q
n
. 
ABECM
y
=
BC.EM
2
AD.DM
2 ABECM = 25S
.  ADM 𝑦  DMC:
⟹
25S
5q
. ABECM = x
Clave: C 
AM = 5t
ME = 5q
Sea:
PROBLEMA 41
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BD (D
𝜖 AC ) y E es un punto de la bisectriz exterior en A tal que DE // BA,
BD = DE, en los triángulos ACE y CED se trazan las alturas EG y
DF respectivamente. Si BC = 24t, AE = 13t y el área de la región
triangular AGE es S, entonces el área de la región triangular DFE es
A)
169
100
S B) 
144
121
S C) 
169
81
S
D) 
196
121
S E) 
169
196
S
RESOLUCIÓN 41
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BD (D 𝜖 AC
) y E es un punto de la bisectriz exterior en A tal que DE // BA, BD = DE, en
los triángulos ACE y CED se trazan las alturas EG y DF respectivamente. Si
BC = 24t, AE = 13t y el área de la región triangular AGE es S, entonces el
área de la región triangular DFE es
. ∆ADE : es isósceles
AB
D
a
a
C
x = 
169
100
S
. Se traza DH ⊥ AB (H 𝜖 AB )
Clave: A
Calcule x
θθ
24t
13t
Ex
S
F
12t
SG
θ

90-
90-
12t
5t
AD = DE = a⟹
m∠DBA = m∠DAB = 
. ⊿ ABC: m∠CBD = m∠BCD = 90-
CD = BD = a⟹
. ⊿AIE : Pitágoras
. ⊿ AEC ~ ⊿ EIA
A⊿AEC
A⊿AIE
= (
13t
5t
)2
H
⟹ DH =12t
. Se traza ഥEI ⊥ prol. BA
I
⟹ EI=12t
. ∆AEC : es triángulo rectángulo
⟹ AI=5t
⟹
4x
S
= (
13t
5t
)2
. ⊿AIE ≅ ⊿AGE Por ALA ⟹ A⊿AIE= S
84
PREGUNTA 42
En un sector circular OPQ (OP y OQ son los radios) se inscribe el
cuadrado ABCD tal que A  OP, B  OQ y C y D son puntos del arco
PQ. Si la medida del ángulo POQ es 60 y OP = OQ = 2 + 3 u,
calcule el área de la región cuadrada ABCD (en u2).
A) 2 B) 1 C) 2 − 3
D) 3 E) 
3
2
85
En un sector circular OPQ (OP y OQ son los radios) se inscribe el
cuadrado ABCD tal que A  OP, B  OQ y C y D son puntos del arco PQ. Si
la medida del ángulo POQ es 60 y OP = OQ = 2 + 3 u, calcule el área de
la región cuadrada ABCD (en u2).
Clave: B
RESOLUCIÓN 42
Como mPOQ = 60, OAB es
equilátero y OA = OB = AB = BC = AD
mOAD = 150
mOAD = m  ODA = 15
También: mBOC = m  OCB = 15
Resulta: mCOD = 30 y CD = 12
Si OP = OQ = R; CD = R 2 − 3
Como R = 2 + 3; CD = 1
Área de ABCD = 12 = 1u2
A
P
D
C
Q
B
R
R
12O
15
15
15
15
30
86
PREGUNTA 43
El área de la región limitada por el trapecio ABCD (BC // AD y BC < AD)
es 7,5 m2. Si AD = 6 m, AC = 3 m y la distancia B a AC es 1 m; calcule
BC (en m).
A) 2,5 B) 2 C) 1,5
D) 1 E) 1,75
87
El área de la región limitada por el trapecio ABCD (BC // AD y BC < AD) es
7,5 m2. Si AD = 6 m, AC = 3 m y la distancia B a AC es 1 m; calcule BC (en
m).
Clave: C
RESOLUCIÓN 43
Además: BCE   ACH y resulta:
Se muestran en la figura, los datos y
la incógnita del problema. Como el
área de la región ABCD es 7,5:
6h + xh = 15
6 + x
2
h = 7,5
x
3
=
1
h
Por tanto:
A
xh = 3 6h + 3 = 15
x =
3
2
= 1,5 m
h = 26
H
D
h
CxB
1
E
3


PROBLEMA 44
Se tienen dos circunferencias tangentes interiores en P y el diámetro AB
de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor en C.
Si AB = 1 y (AC)(CB) = 𝑥, halle el área del círculo menor.
A) 𝜋𝑥 B) 2𝜋𝑥 C) 3𝜋𝑥 D) 4𝜋𝑥 E) 5𝜋𝑥
RESOLUCIÓN 44
Efectuando: r = x
Área(O′)
Circulo = πx
Reemplazando: (m+
1
2
) (
1
2
− m) = 𝑥
Se tienen dos circunferencias tangentes interiores en P y el
diámetro AB de la circunferencia mayor es tangente a la
circunferencia menor en C. Si AB = 1 y (AC)(CB)= 𝑥, halle el
área del círculo menor.
A
B
C
r
1
2
m
𝟏
𝟐
− 𝐫
1
2
− m
P O
O’
Se construye el O’CO, y se distribuyen 
los datos del ejercicio
En el O’CO: r2 + m2 = (
1
2
− r)2
PROBLEMA 45
Se tiene el triángulo isósceles ABC recto en B, con el diámetro AB se traza
una semicircunferencia que interseca al lado AC en P. Si AB = 2r, halle el
área del segmento circular AP.
A)
1
4
r2(π-2) B)
1
4
r2(π-1) C)
1
6
r2(π-2) D)
1
2
r2(π-2) E)
1
8
r2(π-2)
RESOLUCIÓN 45
efectuando:
Se observa en el gráfico:
Segmento(O)
AP =
1
4
πr2 −
1
2
r2
Se tiene el triángulo isósceles ABC recto en B, con el diámetro AB se
traza una semicircunferencia que interseca al lado AC en P. Si AB = 2r,
halle el área del segmento circular AP.
A
C
B r
P
Or
r
Segmento(o)
AP = Sector(o)
AP − RegiónTriángular
AOP
Segmento(O)
AP =
1
4
r2(π − 2)