Ex17_TaxasRelacionads

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSORES: Paloma de Oliveira Campos e André Felipe de Almeida Xavier 
LISTA 17 – TAXAS RELACIONADAS 
 
01) Se 𝑉 for o volume de um cubo com aresta de comprimento 𝑥 e, à medida que o tempo passa, o cubo 
se expandir, encontre 𝑑𝑉/𝑑𝑡 em termos de 𝑑𝑥/𝑑𝑡. 
 
02) Se 𝐴 for a área do círculo com raio 𝑟 e, à medida que o tempo passa, o círculo se expandir, encontre 
𝑑𝐴/𝑑𝑡 em termos de 𝑑𝑟/𝑑𝑡. 
 
03) Suponha que vaze petróleo por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se 
o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1 𝑚/𝑠, quão rápido a área do 
vazamento está crescendo quando o raio é igual a 30 𝑚? 
 
04) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 𝑐𝑚/𝑠. Com que taxa a área do quadrado 
estará aumentando quando a área do quadrado for de 16 𝑐𝑚²? 
 
05) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8 𝑐𝑚/𝑠 e sua largura está crescendo a 
uma taxa de 3 𝑐𝑚/𝑠. Quando o comprimento for de 20 𝑐𝑚 e a largura for de 10 𝑐𝑚, quão 
rapidamente estará crescendo a área do retângulo? 
 
06) Um tanque cilíndrico com raio de 5 𝑚 está sendo enchido com água a uma taxa de 3 𝑚³/𝑚𝑖𝑛. Quão 
rápido estará aumentando a altura da água? 
 
07) Se 𝑦 = 𝑥³ + 2𝑥 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 5, encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 quanto 𝑥 = 2. 
 
08) Se 𝑥² + 𝑦² = 25 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 6, encontre 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 quando 𝑦 = 4. 
 
09) Se 𝑧² = 𝑥² + 𝑦²,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3, encontre 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 quando 𝑥 = 5 e 𝑦 = 12. 
 
10) Uma partícula move-se ao longo da curva 𝑦 = 1 + 𝑥³. Quando ela atinge o ponto (2,3), a 
coordenada 𝑦 está crescendo a uma taxa de 4 𝑐𝑚/𝑠. Quão rápido está variando a coordenada 𝑥 do 
ponto naquele instante? 
 
11) Um avião voa horizontalmente a uma altitude 2 𝑘𝑚, a 800 𝑘𝑚/ℎ, e passa diretamente sobre uma 
estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta 
quando ele está a 3 𝑘𝑚 além da estação. 
 
12) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1 𝑐𝑚²/
𝑚𝑖𝑛, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 𝑐𝑚. 
 
 
13) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6𝑚 de altura. Um homem com 2𝑚 de altura anda, 
afastando-se do poste com velocidade de 1,5 𝑚/𝑠 ao longo de uma trajetória reta. Com que 
velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 𝑚 do poste? 
 
14) Ao meio-dia, o navio 𝐴 está a 150 𝑘𝑚 a oeste do navio 𝐵. O navio 𝐴 está navegando para leste a 
35 𝑘𝑚/ℎ, e o navio 𝐵 está navegando para norte a 25 𝑘𝑚/ℎ. Quão rápido varia a distância entre os 
navios às 4 horas da tarde? 
 
15) Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 𝑘𝑚/ℎ e o 
outro para oeste a 72 𝑘𝑚/ℎ. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois? 
 
16) Um homem começa a andar para o norte a 1,2 𝑚/𝑠 a partir de um ponto 𝑃. Cinco minutos depois uma 
mulher começa a andar para o sul a 1,6 𝑚/𝑠 de um ponto 200𝑚 a leste de 𝑃. A que taxa as pessoas 
estão se distanciando 15 minutos depois de a mulher começar a andar? 
 
17) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛, enquanto a área do triângulo cresce a uma 
taxa de 2 𝑐𝑚²/𝑚𝑖𝑛. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é de 10 𝑐𝑚 e a área, 
100 𝑐𝑚²? 
 
 
GABARITO 
01) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑥2 .
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
02) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
03) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 60𝜋 𝑚²/𝑠 
04) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 48 𝑐𝑚²/𝑠 
05) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 140 𝑐𝑚²/𝑠 
06) 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
3
25𝜋
𝑚/𝑚𝑖𝑛 
07) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 70 
08) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ±8 
09) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ±
46
13
 
10) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2 𝑐𝑚/𝑠 
11) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ±
2400
13
 13 𝑘𝑚/ℎ 
12) 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
1
20𝜋
 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 
13) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
3
4
𝑚/𝑠 
14) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
≅ 43,01 𝑘𝑚/ℎ 
15) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 78 𝑘𝑚/ℎ 
16) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2,8 𝑚/𝑠 
17) 
𝑑𝑏
𝑑𝑡
= 1,6 𝑐𝑚/𝑠