Ex19_Otimizacao

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSORES: Paloma de Oliveira Campos e André Felipe de Almeida Xavier 
LISTA 19 – OTIMIZAÇÃO 
 
01) Encontre dois números, cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo. 
 
02) Encontre dois números, cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 
 
03) Encontre um número positivo tal que a soma do número e seu inverso seja a tão pequena quanto possível. 
 
04) Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 100 𝑚 cuja a área seja a maior possível. 
 
05) Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000 𝑚² cujo perímetro seja o menor possível? 
 
06) Um modelo usado para a produção 𝑌 de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio 𝑁 no solo (medido 
em unidades apropriadas) é: 𝑌 =
𝑘𝑁
1+𝑁²
 em que 𝑘 é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio da a melhor 
produção? 
 
07) A taxa (em mg de carbono/m³/h) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela 
função 𝑃 =
100𝐼
𝐼2+𝐼+4
 em que 𝐼 é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade da luz 𝑃 é 
máximo? 
 
08) Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 300 𝑚 de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la 
em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total possível das quatro partes? 
 
a) Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com divisões rasas e largas e alguns com divisões profundas e 
estreitas. Encontre as áreas totais dessas configurações. Parece que existe uma área máxima? Se a resposta for 
sim, estime-a. 
b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma notação e marque no diagrama seus símbolos. 
c) Escreva uma expressão para a área total. 
d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis. 
e) Use a parte (d) para escrever a área total como função de uma variável. 
f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com a estimativa feita na parte (a). 
 
09) Um fazendeiro que cercar uma área de 15.000 𝑚² em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca 
paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca? 
 
10) Se 1.200 𝑐𝑚² de material estivessem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, 
encontre o maior volume possível da caixa. 
 
11) O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por: 
𝐶 𝑞 = 600 + 2,2𝑞 e 𝑅 𝑞 = 10𝑞 − 0,006𝑞² sendo 0 ≤ 𝑞 ≤ 900. 
a) Encontre a quantidade 𝑞 que maximiza o lucro com a venda desse produto. 
b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro? 
c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo? 
 
12) Uma fábrica produz 𝑥 milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por 
𝐶 𝑥 = 2𝑥³ + 6𝑥² + 18𝑥 + 60 e o valor obtido na venda é dado por 𝑅 𝑥 = 60𝑥 − 12𝑥², determine o número 
ótimo de unidades mensais que maximizam o lucro (𝐿 = 𝑅 − 𝐶). 
 
 
 
GABARITO 
 
01) RESP.: 50 e -50. 
02) RESP.: -10 e -10. 
03) RESP.: -1 e -1 
04) RESP.: 25m por 25m 
05) RESP.: 𝟏𝟎 𝟏𝟎 m e 𝟏𝟎 𝟏𝟎 m. 
06) RESP.: N=1 
07) RESP.: 𝑰 = 𝟐 
08) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) RESP.: 100 m por 150 m. 
10) RESP.: 4.000 cm³. 
11) RESP.: A) q=650; B) q aprox. 82; C) q=0. 
12) RESP.: 1000.