019 - Matemática Completo - Thiago Pacífico - Razão e Proporção

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Professor Thiago Pacífico – Matemática aula 03 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
“Há somente dois tipos de homens: os justos, que se imaginam pecadores; e os 
pecadores, que se consideram justos.” 
 PASCAL 
 
“Posso não concordar com nenhuma das palavras que você diz, mas defenderei até o fim 
o direito de você dizê-las.” 
 VOLTAIRE 
CONCEITO DE RAZÃO 
 
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da 
divisão entre as grandezas. 
Assim, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, calcula-se a razão entre a e b através do 
quociente da divisão de a por b. 
Para indicarmos a razão entre a e b usamos: 
b
a
 ou a : b (“a” está para “b”). 
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número “b” é chamado de 
conseqüente. 
Razão entre a e b = 
b
a
 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-
versa 





a
b
e
b
a
. Note que, o produto de duas razões inversas é sempre igual a 1. 
1
a
b
.
b
a
=
 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
���� CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO 
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por 
ele. 
Concorrência = 
oferecidasvagasdeºn
inscritos.canddeºn
 
 
���� VELOCIDADE MÉDIA 
 
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. 
 
Velocidade média = 
t
SV
gasto tempo
apercorriad distância
m ∆
∆
=∴ 
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���� DENSIDADE DE UM CORPO 
 
É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. 
 
Densidade = 
V
md
volume
massa
=∴ 
 
���� DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO 
 
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
região dessa área
região uma de habitantes de ºn
ademográfic
Densidade
= 
 
 
���� ESCALA NUMÉRICA 
 
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho 
real, medidos na mesma unidade. 
 
real o compriment
desenho no o comprimentEscala = 
D
dE =∴ 
 
→→→→ Tamanhos de Escala 
 
•••• Escala Grande 
 
 É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela destinada a pequenos 
comprimentos reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É usada em cartas ou plantas. 
 
•••• Escala Pequena 
 
 É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela destinada a grandes 
comprimentos reais (áreas continentais). É pobre em detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. 
 
 
Observação 
 
Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se apresenta sob a forma de um 
segmento de reta graduado. Nele, cada graduação representa 1 cm de comprimento no desenho. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala = ou 1: 20.000.000. 
 
cm000.000.20
cm1
km200
cm1
=
0km 200km 400km 600km 800km
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens à 
seguir 
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? 
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da prova? 
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? 
 
Solução: 
 
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo: 
a) 
2
7
10
35
==
ERRADAS
CERTAS
= 7 : 2 
 
(proporção de 7 certas para cada 2 questões erradas) 
 
b) 
5
1
50
10
==
TOTAL
ERRADAS
= 1 : 5 
 
(proporção de 1 errada para cada 5 questões da prova) 
 
c) 
7
1
35
5
==
CERTAS
BRANCO
= 1 : 7 
 
(proporção de 1 em branco para cada 5 questões certas) 
 
 
CONCEITO DE PROPORÇÃO 
 
Proporção é uma igualdade de duas razões 
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta 
ordem, uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro 
e o quarto (c:d). Representamos isto por: 
 
d
c
b
a
=
 ou a : b = c : d 
 
E lemos: “a está para b assim como c está para d”. 
Na proporção 
d
c
b
a
= , destacamos que os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c 
são chamados meios. 
 
 
 
a : b = c : d d
c
b
a
=
 
 
 
 
 
MEIOS 
EXTREMOS 
MEIOS 
EXTREMOS 
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���� PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO 
 
→→→→ Propriedade Fundamental 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
c.bd.a
d
c
b
a
=⇔=
 
 
→→→→ Soma dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 








+
=
+
+
=
+
⇔=
d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
→→→→ Diferença dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 







−
=
−
−
=
−
⇔=
d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
→→→→ Soma dos Antecedentes e Conseqüentes 
 
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como 
qualquer antecedente está para seu conseqüente. 
 
db
ca
d
c
b
a
+
+
==
 
 
���� QUARTA PROPORCIONAL 
 
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta proporcional desses números 
dados o número x tal que: 
x
c
b
a
=
 
 
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b e c, nessa ordem. 
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���� TERCEIRA PROPORCIONAL 
 
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional desses números o 
número x tal que: 
 
x
b
b
a
=
 
 
���� SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS 
 
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. Também, pode ser 
chamada de proporção múltipla. Em símbolos, temos: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
=====
 
 
A principal propriedade a ser utilizada é: 
 
 
k
b...bbb
a...aaa
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n321
n321
n
n
3
3
2
2
1
1
=
++++
++++
=====
 
 
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são ditos diretamente proporcionais 
aos números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ..., bn), quando as razões de cada termo de A pelo 
seu correspondente em B forem iguais , isto é: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
=====
 
 
Estevalor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente proporcionais aos 
números da sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade 
“k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
.4
3
124
4
16;4
5
20
=== e 
 
Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4. 
 
 
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02. Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente proporcionais aos 
números da sucessão (4, 2, 1). 
 
Solução: 
 
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 



=
=
⇒==⇒==
5
10
12
5
124
20
y
xyxyx
 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ... bn), quando os produtos de cada termo da sucessão A 
pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é: 
 
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k 
 
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. 
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente 
proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B. 
 
k
b
1
a
...
b
1
a
b
1
a
b
1
a
n
n
3
3
2
2
1
1
====
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente proporcionais aos números da 
sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. 
Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 72. 
 
02. Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente 
proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
 
Solução: 
 
Pela definição, temos: 





=⇒=
=⇒=
=⇒=
.1z3636.z
.12y36y.3
.4x369.x
 
 
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03. Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 
Solução: 
 
Sejam x e y as partes procuradas: 
 



=
=
⇒===⇒





+
+
==
=+
8y
10x
2
9
18
4
y
5
x
45
yx
4
y
5
x
18yx
 
 
 
04. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do 
TRF de uma certa circunscrição judiciária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de 
laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se 
João digitou 27 laudas, determine o total de laudas do processo. 
 
Solução: 
 
Sejam 
 – Laudas de João: x 
 – Laudas de Maria: y 
Então: 
 
8
36
x
 = 
12
30
y
= 
12
30
8
36
+
+ yx
 
 
Como x = 27, temos: 
 
8
36
27
 = 
12
30
8
36
+
+ yx
 
Ou seja: 
 
36
8
.27 = 
2
5
2
9
+
+ yx
 
 6 = 
7
yx +
 
Então: 
 x+y = 42 
 
 
 
 
IDADE TEMPO DE SERVIÇO 
JOÃO 36 ANOS 8 ANOS 
MARIA 30 ANOS 12 ANOS 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. Pensei em dois números naturais. A razão do maior para o menor é 2. A soma deles é menor 
do que 20 e a diferença entre eles é maior do que 5. Qual o produto desses números? 
a) 72 
b) 60 
c) 48 
d) 36 
 
02. Beatriz tem 12 anos e sua irmã, 18. Daqui a quantos anos a razão entre a idade de Beatriz e 
a de sua irmã será de 3 para 4? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
03. Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. 
Continuando neste ritmo, terminarei de ler o restante do livro em: 
a) 24 horas 
b) 32 horas 
c) 48 horas 
d) 36 horas 
e) 30 horas 
 
04. Um supermercado fazia em um determinado dia a seguinte promoção na venda de um kit 
com cinco sabonetes: pague 3 e leve 5, além disso eram vendidos unidades avulsas. 
Aproveitando a promoção, levei 32 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? 
a) 14 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
 
05. A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Então a área real, em m2, 
de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12cm e 14cm é: 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 42 
e) 54 
 
06. Um veículo vai da cidade A à cidade B e outro vai de B para A numa mesma estrada. 
Ambos partem num mesmo instante, mantêm velocidades constantes e se cruzam no ponto C, 
localizado a 3/5 da distância de A para B. Nessas condições, se a velocidade do primeiro é 75 
km/h, a velocidade do segundo é: 
a) 62 km/h 
b) 50 km/h.. 
c) 48 km/h 
d) 45 km/h 
e) 42 km/h 
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07. A planta do prédio de uma empresa foi feita na escala de 1:250. Determine a área real que 
está representada na planta por 4cm2. 
a) 20m2 
b) 25m2 
c) 10m2 
d) 100m2 
e) 16m2 
 
 
08. Em um concurso vestibular, a razão entre o número de candidatos inscritos na área de 
Ciências Humanas e na de Ciências Exatas é, nessa ordem, 9/7. A porcentagem de candidatos 
inscritos na área de ciências humanas é: 
a) 55,5% 
b) 56,25% 
c) 56,5% 
d) 56,75% 
e) 57,5% 
 
 
09. Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:30, as dimensões de uma sala 
retangular são 30cm e 16cm. A área real desta sala retangular é: 
a) 480 m2 
b) 48 m2 
c) 14,4 m2 
d) 43,2 m2 
 
 
10. Das pessoas presentes em uma festa, sabe-se que a razão entre o número de mulheres e o 
de homens, nessa ordem, é 7/13. Nessas condições, o número de mulheres é igual a que 
porcentagem do total de pessoas presentes? 
a) 35% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 13% 
e) 7% 
 
 
11. Três semi-retas partem de um mesmo ponto Q, formando 3 ângulos que cobrem todo o 
plano e são proporcionais aos números 11, 12 e 13. O suplemento do maior dos 3 ângulos, em 
graus, mede: 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
 
 
12. Um triângulo tem seus ângulos internos proporcionais aos números 2, 3 e 4. Determine o 
maior deles. 
a) 20 
b) 40 
c) 60 
d) 80 
e) 100 
 
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13. Considere a, b, c e d números reais não-nulos, tais que 
d
c
b
a
==== . Considere também 
x
ca
b
a ++++
==== , 
onde x é uma incógnita. Pela proporção dada, x é igual a: 
a) b + d 
b)a + b 
c) c + d 
d) b + c 
 
14. Na série de razões 
4
Z
3
Y
2
X
== , calcule o valor de X + Y + Z, sabendo que X + 3Y + 2Z = 76. 
a) 34 
b) 35 
c) 36 
d) 37 
e) 38 
 
 
15. Se x, y e z são reais não-nulos e 
x
z
z
y
y
x
== , então a expressão: )²zyx(
xzyzxy
++
++
 é igual a: 
a) 1 
b) 2/3 
c) 1/3 
d) 2/9 
e) 1/9 
 
 
16. Dois números têm produto igual a 1125 e estão entre si assim como 5 está para 9. A soma 
desses dois números é: 
a) 90 
b) 82 
c) 75 
d) 70 
e) 60 
 
 
17. Em um bar, suco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 1 parte de 
xarope para 2 de água, e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 
1 para 5. Juntando dois copos de suco com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope 
com água na razão de: 
a) 1 para 3. 
b) 2 para 5. 
c) 3 para 5. 
d) 5para13. 
e) 6 para 17. 
 
 
18. Sejam X e Y duas grandezas inversamente proporcionais. Se X sofre um acréscimo de 25%, 
o decréscimo percentual sofrido por Y é: 
a) 20% 
b) 22% 
c) 24% 
d) 25% 
 
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19. Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, se uma aumentar 60% a outra 
diminuirá: 
a) 37,5% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 62,5% 
e) 10,5% 
 
 
 
20. O dono de uma empresa resolveu distribuir uma gratificação de R$1.400,00 entre seus dois 
gerentes, de forma inversamente proporcional às faltas de cada um num determinado mês. 
Quanto caberá ao mais assíduo, se os gerentes faltaram 5 e 2 vezes respectivamente? 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 1000 
 
 
 
21. Em um determinado Banco será dividido um prêmio de R$2.400,00 entre os três 
funcionários que mais se destacaram no último ano. A parte que caberá a cada funcionário é 
diretamente proporcional ao tempo de serviço prestado a empresa. Sabendo que Thiago 
Pacífico tem 3 anos de empresa, Ricardo 4 anos e Daniel 5 anos, determine a quantia que 
coube ao funcionário que ficou com a maior quantia. 
a) 1200 
b) 1000 
c) 800 
d) 600 
 
 
22. O presidente de um clube de futebol resolveu dividir uma gratificação de R$ 1.400,00 entre 
os dois melhores jogadores de uma certa partida, de forma inversamente proporcional ao 
número de faltas que eles cometeram no jogo. Se um jogador A fez 5 faltas e um jogador B fez 
2 faltas, então a diferença entre o que coube aos jogadores é: 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 900 
e) 1000 
 
 
23. Uma empresa irá dividir R$ 24.000,00 entre quatro funcionários de forma diretamente 
proporcional ao tempo de empresa e inversamente proporcional ao número de faltas mais um. 
Quanto coube ao funcionário mais antigo, sabendo que Thiago Pacífico trabalha a 6 anos e 
faltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e nunca faltou, Cléber trabalha a 12 anos e faltou 3 
vezes e Daniel trabalha a 10 anos e faltou apenas uma vez. 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 4.000,00 
c) R$ 6.000,00 
d) R$ 8.000,00 
e) R$ 10.000,00 
 
 
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24. Uma microempresa teve um lucro de R$ 8.000,00 que será repartido entre os três sócios, 
em partes diretamente proporcionais aos respectivos tempos de trabalho diário de cada um na 
empresa. O sócio A trabalha 3 horas diárias, B trabalha 5 e C trabalha 8. A parte 
correspondente ao sócio B é: 
a) R$ 2.250,00 
b) R$ 2.500,00 
c) R$ 2.750,00 
d) R$ 3.000,00 
e) R$ 3.250,00 
 
 
25. O orgulho de um colecionador de carros é seu velho fusca que apresenta desempenho de 
10km rodados por cada litro de gasolina, embora já tenha sofrido alguns “reparos” no tanque 
de combustível. Como esse colecionador irá participar de uma feira de carros em outra cidade 
com seu fusca, vai até um posto de combustível e abastece o carro com exatamente 30,6 litros 
de gasolina. Mas, no momento em que o colecionador inicia a viagem, aparece um vazamento 
no tanque por onde escoa 0,1 litro de gasolina por hora. Sabendo-se que o colecionador 
pretende desenvolver uma velocidade constante de 50km/h durante a viagem, a distância 
máxima que o fusca irá percorrer, até esgotar toda a gasolina do tanque, será de 
a) 300km 
b) 240 km 
c) 306km 
d) 280km 
 
26. As medidas agrárias mais utilizadas em Goiás são o alqueire, que corresponde a, 
aproximadamente, 4,8 hectares, a quarta, que é equivalente a um quarto de alqueire, e o litro, 
que é a vigésima parte de uma quarta. Se um agricultor plantar arroz em uma área de um 
alqueire e 60 litros, com uma produtividade esperada de 65 sacas por hectare, ele deverá 
colher, em sacas, 
a) 780 
b) 546 
c) 499 
d) 312 
e) 234 
 
 
27. Uma herança foi repartida entre três filhos, por ordem de idade: ao mais velho coube 
metade da herança, ao segundo, um terço dela, e o resto ao terceiro. O primeiro filho dividiu 
sua parte igualmente entre seus quatro filhos, o segundo fez o mesmo para com seus três 
filhos e o terceiro também deu tudo para seu filho único. Então: 
a) os filhos do primeiro filho ganharam mais do que seus primos. 
b) os filhos do primeiro filho ganharam tanto quanto os filhos do segundo filho. 
c) os filhos do primeiro filho ganharam tanto quanto o filho do terceiro filho. 
d) o filho do terceiro filho ganhou mais do que seus primos. 
e) todos os netos ganharam a mesma coisa. 
 
 
28. Num estádio de futebol, 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo. Por cada uma 
das seis saídas disponíveis podem passar 1000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mínimo 
necessário para que todos os torcedores saiam do estádio (em minutos). 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
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29. Leia com atenção: 
 
Você deve concordar que, em casos como este, é justo que cada um pague proporcionalmente 
ao que consumiu. A conta foi de 28 (vinte e oito) reais. Considere que Hagar tenha consumido 
o triplo do que consumiu o seu acompanhante; assim, proporcionalmente, Hagar deve pagar: 
a) R$ 18,00 
b) R$ 19,00 
c) R$ 20,00 
d) R$ 21,00 
e) R$ 24,00 
 
30. Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percurso 
um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. 
 
a) Qual o comprimento total do percurso? 
 
b) Quantos metros o atleta havia corrido? 
 
c) Quantos metros o atleta havia caminhado? 
 
 
31. Um torneira enche um tanque em 5 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. 
Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Logo, podemos afirmar 
que: 
a) o tanque esvazia em 7h 30 mim; 
b) o tanque esvazia em 8h; 
c) o tanque esvazia em 15h; 
d) o tanque transborda; 
e) o tanque esvazia em 8h 30 mim. 
 
 
32. Leia atentamente os quadrinhos. 
 
O Globo 04/09/99 
O personagem é conduzido, em linha reta, num mesmo sentido, por uma distância de 30 m e 
cada passo mede 50 cm. 
Se um dos carregadores cobrar conforme o padrão indicado, ele receberá, em reais, a quantia 
de: 
a) 400 
b) 500 
c) 600 
d) 700 
 
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33. Temos duas plantas de um mesmo terreno retangular, uma na escala 1:20 e outra na escala 
1:25. Qual é a razão entre as áreas dos retângulos da primeira e da segunda planta? 
a) 2516 
b) 54 
c) 2524 
d) 45 
e) 1625 
 
 
34. Num concurso vestibular, para um determinado curso, havia 40 vagas. O número de 
candidatos por vaga foi de 25 para 1. O número de candidatos que não conseguiram ocupar 
essas vagas está na alternativa: 
a) 960 
b) 1000 
c) 500 
d) 460 
e) 920 
 
 
35. Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e investiram, respectivamente , R$ 2.500,00; 
R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Após um ano, a aplicação estava com 
um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores regatarem somente o rendimento e 
dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferença entre os 
valores recebidos por Ana e Paulo será igual a: 
a) R$ 125,00 
b) R$ 1.000,00 
c) R$ 250,00 
d) R$ 500,00 
 
 
36. Um construtor entrega ao mestre de obras a reprodução reduzida da planta de uma casa 
desenhada em um papel ofício de 30 cm de comprimento. Se a casa a ser construída tem 27 
metros de comprimento, a escala utilizada no desenho do papel ofício foi igual a: 
a) Esc: 1:150 
b) Esc: 1:30 
c) Esc: 1:100 
d) Esc: 1:60 
e) Esc: 1:90 
 
 
37. João tem dois filhos cujas idades somam 28 anos e estão entre si na razão de 3 para 4. Se 
ele pretende dividir R$ 175,00 entre os dois, em partes inversamente proporcionais às suas 
respectivas idades, então o mais jovem deverá receber: 
a) R$ 55,00 
b) R$ 60,00 
c) R$ 75,00 
d) R$ 85,00 
e) R$ 100,00 
 
 
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38. Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y 
vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer: 
a) 
16
1
 
b) 
16
15
 
c) 
16
45
 
d) 
16
135
 
e) 
16
625
 
 
 
39. Dois números naturais, cujos produto é 432, estão entre si assim como 3 estã para 4. A 
soma desses números é igual a 
a) 42 
b) 43 
c) 48 
d) 57 
e) 62 
 
 
40. Quando meu irmão tinha a idade que tenho hoje, eu tinha 
4
1
 da idade que ele tem hoje. 
Quando eu tiver a idade que meu irmão tem hoje, as nossas idades somarão 95 anos. Hoje, a 
soma de nossas idades, em anos, é 
a) 53 
b) 58 
c) 60 
d) 65 
e) 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A D E D D B B B D A A D A C C D D A A D 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
B B C B A B D B D - A C E A C E E D A D