CEAD_20131_CIENCIAS_CONTABEIS_PR_-_CIENCIAS_CONTABEIS_-_MATEMATICA_APLICADA_-_NR_(A2EAD193)_CADERNO_DE_ATIVIDADES_IMPRESSAO_CCO3_Matematica_aplicada

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Caderno de Atividades
Ciências Contábeis
Disciplina 
Matemática Aplicada
Coordenação do Curso
Grasiele Lourenço
Autora
Andrea Hamazaki Feitosa
3
© 2012 Anhanguera Publicações
Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica,resumida ou modificada em língua 
portuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012
 Como citar esse documento:
FEITOSA, Andrea Hamazaki. Matemática Aplicada. 
Valinhos, pp. 1-119, 2011. Disponível em: www.
anhanguera.com. Acesso em: 01 fev. 2012.
Chanceler
Ana Maria Costa de Sousa
Reitora
Leocádia Aglaé Petry Leme
Pró-Reitor Administrativo
Antonio Fonseca de Carvalho
Pró-Reitor de Graduação
Eduardo de Oliveira Elias
Pró-Reitor de Extensão
Ivo Arcangêlo Vedrúsculo Busato
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação
Luciana Paes de Andrade
Diretor Geral de EAD 
José Manuel Moran
Diretora de Desenvolvimento de EAD 
Thais Costa de Sousa
Gerente Acadêmico de EAD 
Fábio Cardoso 
Coordenadora de Controle Didático-
Pedagógico EAD
Geise Cristina Lubas Grilo 
Diretor da Anhanguera Publicações 
Luiz Renato Ribeiro Ferreira 
Núcleo de Produção de Conteúdo e Inovações 
Tecnológicas 
Diretora 
Carina Maria Terra Alves 
Gerente de Produção 
Rodolfo Pinelli 
Coordenadora de Processos Acadêmicos 
Juliana Alves 
Coordenadora de Ambiente Virtual 
Lusana Verissimo 
Coordenador de Operações 
Marcio Olivério
4
Legenda de Ícones
Leitura Obrigatória
Agora é a sua vez
Vídeos 
Links Importantes
Ver Resposta
Finalizando
Referências
Início
5
Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principal 
motivo do seu crescimento. 
Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações e 
programas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino, 
pesquisa de iniciação científica e extensão, que oferecemos. 
Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências do 
mundo em constante transformação. 
Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentos 
no corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nas 
metodologias e nos Programas Institucionais, tais como:
· Programa de Iniciação Científica (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para o 
desenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores.
· Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudos 
para docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado.
· Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preços 
acessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores.
· Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal, 
psicopedagógica e financeira aos alunos.
· Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social, 
permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneficiando a comunidade no 
acesso aos bens educacionais e culturais.
A fim de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera 
privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenham sucesso no 
mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suas instituições. 
As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundem os valores 
da Anhanguera.
Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidade em 
todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distância 
da Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por 
todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadores 
habilitados na área pedagógica com a mesma finalidade: aliar os melhores recursos tecnológicos 
e educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para o 
desenvolvimento pessoal e profissional de nossos alunos.
A todos bons estudos!
Prof. Antonio Carbonari Netto
Presidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional 
Nossa Missão, Nossos Valores
6
Sobre o Caderno de Atividades
Caro (a) aluno (a),
 O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividades 
digitalizado. Isso significa que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos links 
de sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você também 
poderá imprimi-lo.
 
Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lo 
na aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientando 
seus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos das 
aulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempo 
e dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor tutor 
a distância.
 
Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal e 
profissional.
 
Um ótimo semestre letivo para você!
José Manuel Moran 
Diretor-Geral de EAD
Universidade Anhanguera – Uniderp
Thais Sousa
Diretora de Desenvolvimento de EAD 
Universidade Anhanguera – Uniderp
Caro Aluno,
7
Caro Aluno,
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada 
à Administração, Economia e Contabilidade, do autor Afrânio Murolo e Giácomo 
Bonetto, Editora Cengage, 2004, PLT 59.
Roteiro de Estudo
 Profª. ANDREA HAMAZAKI FEITOSAMatemática Aplicada
Tema 1
REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS
ícones:
Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente 
Virtual de Aprendizagem. Assim, para que você faça um bom estudo, siga atentamente os passos 
seguintes: 
1. Leia o material didático referente a cada aula;
2. Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
3. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro;
4. Participe dos encontros presenciais e tire suas dúvidas com o tutor presencial.
5. Após concluir o conteúdo dessa aula, acesse a sua ATPS e verifique a etapa que deverá ser 
realizada. 
8
Conteúdo
Nesta aula, você estudará: 
• Os conceitos básicos de álgebra elementar, através da resolução de equações, fatoração e 
produtos notáveis.
• Representar geometricamente a reta dos números reais para futura apresentação de gráficos.
• Como realizar de forma correta as operações aritméticas fundamentais.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. A 
conta, dee R$72,00, foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que 
, por gentileza, as mulheres não deveriam pagar. Então cada homem contribuiu com mais R$4,00 
e a conta foi paga. Quantas pessoas haviam no grupo?
• Em uma sala há 100 pessoas, sendo que 26 delas usam óculos. Sabe-se que 20% dos homens e 
40% das mulheres dese grupo usam óculos. Quantos homens há na sala?
• A planta de um terreno está na escala . Se a frente desse terreno mede 4,5 cm, quanto vale na 
realidade?
AULA 1 
Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
 REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS
No estudo deste tema, são abordadas situações-problema que contêm expressões numéricas 
envolvendo as operações aritméticas nos diversos conjuntos numéricos.
Os conceitos da álgebra elementar são tratados a partir de expressões algébricas, produtos notáveis 
e fatoração. As equações serão abordadas em situações simples de fácil compreensão.
Para alcançar os objetivos propostos, acompanhe a seguir os conceitos matemáticos fundamentais:
I. Paraque a revisão das operações aritméticas fique completa, é necessário, inicialmente, identificar 
os principais conjuntos numéricos:
Leitura Obrigatória
Conteúdos e Habilidades
9
{ }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,Ν = L ⇒ conjunto dos números naturais.
{ }, 2, 1, 0, 1, 2,Ζ = − −L L ⇒ conjunto dos números inteiros.
, , , 0pQ p q sendo q
q
 
= ∈Ζ ≠ 
 
 ⇒ℜ conjunto dos números racionais (são os números que podem ser 
escritos como uma fração). 
⇒ℜ conjunto formado pelos números racionais e irracionais.
Todos os números que não podem ser escritos como forma de fração, isto é, aqueles que têm infinitas 
casas decimais não periódicas ⇒ conjunto dos números irracionais.
II. A realização das operações aritméticas fundamentais torna-se possível pela aplicação das seguintes 
regras:
Adição e subtração de números inteiros
1. Se os números têm o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos das parcelas, e conserva-
se o sinal.
Exemplos:
2+6 = 8
–8-9=–17
2. Se os números têm sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos, e o sinal do resultado 
é o mesmo do maior valor absoluto.
Exemplos:
–5+7=2
2–3=–1
Multiplicação e divisão de números inteiros
1. Se os números tiverem o mesmo sinal, o produto e o quociente serão positivos.
Exemplos:
Para a multiplicação ( ) ( )5 6 30+ ⋅ + = + e
para a divisão ( ) ( )5 4 20− ⋅ − = +
Para a multiplicação ( ) ( )5 4 20− ⋅ − = + e
para a divisão ( ) ( )12 3 4− ÷ − = +
2. Se os números tiverem os sinais contrários, o produto e o quociente serão negativos.
Exemplos:
10
Para a multiplicação ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = − e
para a divisão ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = −
Para a multiplicação ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = − e
para a divisão ( ) ( )12 6 2− ÷ + = −
Potenciação de números inteiros
1. Se o expoente for par, a potência será positiva.
2. Se o expoente for ímpar, a potência será negativa.
Exemplos:
( )
( )
( )
( )
2
2
5
5
3 9
3 9
3 243
3 243
+ = +
− = +
+ = +
− = −
 
Operações com números racionais - Números que podem ser representados por frações 
Duas frações são denominadas equivalentes quando representam a mesma quantia do todo 
considerado.
Exemplos:
2 1
4 2
= ; 
Frações equivalentes são aquelas em que , 0, 0a c com b d
b d
= ≠ ≠
Para encontrar frações equivalentes: a c
b d
= , sendo d x b= ⋅ e d x b= ⋅
Operações com frações
· Adição e Subtração
· 
, 0a c a c b
b b b
±
± = ≠ , 0, 0a c a c b d
b d b d
±
± = ≠ ≠
⋅
 
Exemplos:
1) 1 3 5 18 23
6 5 30 30
+
+ = =
 2) 1 3 5 18 23
6 5 30 30
+
+ = = 3) 1 3 5 18 13
6 5 30 30
− −
− = =
· Multiplicação
· 
, 0, 0a c a c b d
b d b d
⋅
⋅ = ≠ ≠
⋅
 
11
Exemplo:
1 3 3
5 5 25
⋅ = 
· 
· Divisão
 , 0, 0a c a d ad b c
b d b c bc
÷ = ⋅ = ≠ ≠ 
 
Exemplo:
2 3 2 4 8
5 4 5 3 15
÷ = ⋅ =
· Potenciação
· 
( )
m n m n
m n m n
nm m n
a a a
a a a
a a
+
−
+
⋅ =
÷ =
=
· 
Propriedades de potência de mesma base:
( )
m n m n
m n m n
nm m n
a a a
a a a
a a
+
−
+
⋅ =
÷ =
=
Lembrando:
Todo número elevado a zero é igual a um: 0 1a⇒ =
Se o expoente for negativo: 
Expressões numéricas
Ordem das operações: quando existem várias operações em uma mesma expressão numérica, a 
primeira operação a ser realizada é a potenciação; depois, multiplicação; seguida de divisão; e, por 
último, a adição e a subtração (na ordem em que aparecem).
Exemplo:
3 6 5 2 4 3 30 2 4 3 15 4 16− + ⋅ ÷ + = − + ÷ + = − + + =
12
Sinais de associação: são sinais de associação os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }. 
Esses sinais indicam as prioridades das operações; isto é, deverão ser resolvidas primeiramente 
as que estiverem dentro dos parênteses, seguidas das que estiverem dentro dos colchetes e, 
finalmente, as que estiverem dentro das chaves.
Exemplo:
( ) ( ) ( ) [ ]224 2 8 32 1 3 24 6 32 16
4 2 2
    ⋅ − ÷ ÷ + = ⋅ − ÷ ÷ =    
= − ÷ = −
III. Para a compreensão dos fatos da álgebra elementar, é necessário entender que um número pode ser 
representado por uma letra com as mesmas propriedades operatórias. Portanto, uma expressão 
algébrica é toda sentença matemática que contenha letras, números ou ambos.
Exemplos: 42 ; 2 5; 8 3; 15 7x x x xy z+ − −
Para se simplificarem as expressões, devem ser obedecidas as seguintes regras operatórias:
· Para se somarem ou subtraírem as expressões algébricas, reduzem-se termos semelhantes 
(são semelhantes os termos que possuem a mesma parte literal).
· 
Exemplo: 5 2 7 3 6 3 20 8 11 5 27 5xy x y z xy x y z xy x y z+ + − + + + + = + + +
· Multiplicação
· 
6 3 94 2 8y y y⋅ = ⇒ Multiplicam-se os números (conhecidos como coeficientes da expressão), conserva-
se a variável e somam-se os expoentes.
 ( ) ( )3 2 4 5 12 15 8 10x y xy x y+ ⋅ + = + + + ⇒ Aplica-se a propriedade distributiva. 
· Divisão
4 2 215 3 5x x x÷ = ⇒ Dividem-se os números (coeficientes) e conserva-se a variável, subtraindo-se seus 
expoentes.
Produtos Notáveis
Alguns casos de produtos notáveis:
· Quadrado da soma/diferença de dois termos:
· 
( )2 2 22a b a ab b+ = + + ⇒ (quadrado do primeiro termo, mais a multiplicação do primeiro pelo segundo 
13
termo, mais o quadrado do segundo termo).⇒
⇒ (quadrado do primeiro termo, menos a multiplicação do primeiro pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo).
· Produto da soma pela diferença de dois termos:
( ) ( ) ( )2 2a b a b a b+ ⋅ − = − ⇒ (quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo).
Fatoração
Significa transformar em fatores uma determinada expressão.
Casos de fatoração:
Fator comum em evidência: ( )ay by y a b+ = +
Agrupamento: ( ) ( ) ( )( )ax ay bx by a x y b x y a b x y+ + + = + + + = + +
Trinômio do quadrado perfeito: ( )22 22a ab b a b+ + = +
Diferença de quadrados: ( )2 2 ( )a b a b a b− = + −
IV. Equações. Resolver uma equação significa encontrar o valor da variável em uma sentença aberta. O 
que determina o grau da equação é o valor do maior expoente nela contido. Assim, se o expoente 
for 1, a equação será do primeiro grau, se o expoente for 2, a equação será do segundo grau, e 
assim sucessivamente.
Uma equação do primeiro grau, em sua forma genérica, é dada por: 0ax b+ = e sua resolução é 
dada
por: bx
a
−
= .
Exemplo:
15 1 0 5 1
5
x x x −+ = ⇒ = − ⇒ =
A equação em que o expoente é 2, conhecida como equação do segundo grau, tem em sua forma 
genérica: 2 0ax bx c+ + = . Pode ser resolvida pela fórmula de Báskara:
2 4 3 0x x− + =
Exemplo:
2 4 3 0x x− + = . Temos: a=1; b=–4 e c=3. Aplicando na fórmula:
14
( ) ( )2
1
2
4 4 4 1 3 4 4 4 2
2 1 2 2
4 2 3
2
4 2 1
2
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ ± ±
= = =
⋅
+
= =
−
= =
15
Quer saber mais sobre o assunto? Então:
Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm>.
Nesse link, você encontra um resumo conceitual de todos os temas relacionados à Matemática 
necessários para os assuntos desenvolvidos neste curso. Acesso em 23/11/2011.
Visite o site <http://www.somatematica.com.br/soexercicios.php>. Esse site traz diversos exercícios de 
aritmética e álgebra elementar. Acesso em 23/11/2011.
LINKS IMPORTANTES
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm
16
Agora é a sua vez
INSTRUÇÕES
Para uma aprendizagem eficiente serão 
necessários estudos individuais. Para facilitar 
a revisão do conteúdo, retome a leitura do item 
“Leitura Obrigatória” que resume conceitos 
importantes da disciplina e apresenta exemplos 
práticos que servem de roteiro para elaborar as 
atividades propostas.
Ponto de Partida
Para solucionar problemas como o que segue, 
é necessário o conhecimento de regras básicas 
operatórias para o conjunto de números racionais, 
resolução de equações e a discussão de suas 
soluções. Caso sinta dificuldade em resolvê-lo, 
retome os passos da revisão proposta e, ao final, 
tente novamente, comparando a sua solução 
com as respostas corretas que o tutor presencial 
apresentará.
Situação-problema: O Lucro L na venda de 
um produto é dado por 
2 20 4
5 5
pL p= − −
 
(em 
milhares de reais), sendo p o seu preço. Sabendo 
queo lucro, em determinado mês, foi de R$ 24 
(em milhares de reais), descubra a que preço foi 
comercializado o produto no referido mês.
Agora é com você! Responda às questões 
a seguir para conferir o que aprendeu!
Calcule o valor das expressões exponenciais:
a) 32 
 
b) ( )32− 
 
c) 52− 
 
d) 52−
 
e) 
32
3
 
 
 
 
 
f) ( )232 
 
g) 
31
2
−
 
 
 
 
 
h) 
7
4
3
3
 
 
i) 3 41 4 3
2
−− −
 
j) 3 41 4 3
2
−− − 
Calcule: 
a) 
( ) 81 6 2
31
22
5 * 5 5
5 * 5
−− − −
−
÷
 
 
 
 
b) ( )
122 5 8
1
1 8
24
2 2 * 2
2 * 2
− −÷
 
 
 
 
Questão 01
Questão 02
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
17
Calcule o valor das expressões numéricas, 
expressando, ao final, a resposta em forma de 
fração, simplificando-a sempre que possível:
a) 
3 4
5 7
− 
 
b) 3 4
5 7
− 
 
c) 112 9 3 3
7 5 5
− + + 
 
d) 3 31*
5 4
 
 
e) 3 31*
5 4
 
 
f) 1 33 * 1
4 7
 − − 
 
 
 
g) 1 33 * 1
4 7
 − − 
 
 
 
h) 4 1
5 2
− ÷ 
 
 
 
i) 4 1
5 2
− ÷ 
 
 
 
j) 5 1
2 4
− − ÷ 
 
 
 
k) 8 9 7* * 4
7 2 3
− 
 
l) 1 1 1 2* 5
2 6 5 3
   + ÷ −   
   
 
 
m) 5 52 2 *
3 6
   + ÷   
   
 
 
n) 5 52 2 *
3 6
   + ÷   
   
 
 
o) 4 2 1* 3 8 * 25
7 7 2
      − ÷ −             
ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA
Calcule o valor da expressão numérica de 
acordo com o x dado:
a) 3 2 1 ; 1y x x x= − + = − 
 
b) 
3 4
1 ; 1
5 6
x xy x= + − = 
 
c) ( ) ( )3 21 1 1 ; 1y x x x= − + − + = − 
 
d) ( ) ( )2 234 1* 1 1 ; 13 2y x x x= − + ∗ − = 
 
e) 
34 2 1 ; 2
3 2
x xy x
x
− +
= = −
−
 
 
ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU
Duas pessoas, distantes 30 m, caminham uma 
em direção à outra. Uma pessoa caminhou 12 
m para o sul; a outra, 5 m para o norte. Qual a 
distância que separa essas duas pessoas?
a) 7 m
b) 13 m
c) 17 m
d) 60 m
e) 119 m
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 03
Questão 04
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 05
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
18
O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e, 
a cada ano, esse é depreciado em R$ 1.562,50. 
Dado pela expressão V = 25.000 – 1.562,50 t, 
em que t é o número de anos passados após 
a compra. Após quanto tempo o carro vale a 
metade do valor inicial?
A receita R é definida como preço de venda 
multiplicado pela quantidade vendida. Se uma 
determinada fábrica vende o seu produto ao preço 
de R$ 56,00, qual é a receita se são vendidas 40 
unidades?
Na produção de peças, uma indústria tem um 
custo fixo de R$ 8,00, mais um custo variável 
de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o 
número de unidades produzidas, determine o 
custo total de 100 peças.
Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm 
fabricado, respectivamente, 3.000 e 11.009 pares 
de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a 
fábrica A aumentar sucessivamente a produção 
em 70 pares por mês, e a fábrica B aumentar 
sucessivamente a produção em 290 pares 
por mês, a produção da fábrica B superará a 
produção de A a partir de qual mês? 
ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO 
PERFEITO 
Assinale a resposta correta onde a expressão 
16x² − 49 é equivalente:
a) (4x + 7) (4x – 7) 
b) (4x + 7) (4x +7) 
c) (−4x – 7) (4x +7) 
d) 4x(4x + 7)
e) 4x(4x – 7)
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 07
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 09
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 10
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 08
Questão 06
FINALIZANDO
19
Nessa aula, você viu os conceitos das operações fundamentais, os conceitos básicos de álgebra 
elementar, assim como a resolução de equações , fatoração e produtos notáveis. Entendeu que todos 
os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano, e para uma melhor compreensão e fixação 
dos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS 
e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
FINALIZANDO
20
Tema 2
Conceito de Função e Função de Primeiro Grau
ícones:
Conteúdos e Habilidades
Conteúdo
Nesta aula, você estudará:
• O conceito de função matemática como uma relação estabelecida entre duas grandezas ou 
variáveis e a sua aplicação para a resolução de situações práticas nas áreas financeiras e 
administrativas.
• Por meio de exemplos práticos, os tipos e as características de uma função como função 
crescente, decrescente, limitada e composta.
• As funções de primeiro grau.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é R$ 500. Além disso, ele recebe de 
comissão R$ 50 por produto vendido?
• O valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em 
função (está dependendo) de quanto iremos gastar de 3m de água e quantos KW de energia 
consumidos durante o mês?
• Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamentos 
mensais:
 Plano A: um valor fixo de R$110,00 mais R$20,00 por consulta dentro do período.
 Plano B: um valor fixo de R$130,00 mais R$15,00 por consulta dentro do período.
 Analisando os planos qual seria o mais vantajoso?
Leitura Obrigatória
21
 AULA 2
 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
Conceito de Função e Função de Primeiro Grau 
Para se compreender o conceito de função, é necessário entender que essa “ferramenta” permite 
analisar o comportamento de duas grandezas ou variáveis interdependentes.
Em um exemplo simples, o vendedor de materiais elétricos Carlos recebe salário de R$ 1.200,00 mais 
uma comissão de R$ 3,00 por material vendido. A função matemática que representa o salário de 
Carlos é dada por 1200 3S x= + , onde S representa o salário de Carlos e x , a quantidade vendida de 
material.
As grandezas ou variáveis relacionadas são salário e quantidade, sendo que o salário é dado em 
função da quantidade vendida de material.
Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é crescente, pois quanto maior a quantidade 
de material vendida por Carlos (ou seja, x ) maior será o salário S de Carlos.
Outro exemplo: O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e, a cada ano, esse valor é depreciado 
em 10% do valor pago. A função matemática que representa o valor do carro é 25.000 2500V t= − , 
onde V representa o valor do carro e t , o tempo de uso do carro.
As grandezas ou variáveis relacionadas são valor e tempo, sendo que o valor do carro é dado em 
função do tempo.
Analisando esse exemplo, percebe-se que a função é decrescente, pois, à medida que o tempo 
aumenta, o valor deste carro tende a diminuir.
Uma função pode ser limitada, ou seja, o estudo pode ser realizado em um determinado período de 
tempo, ou a partir de um determinado custo, ou da limitação de capacidade produtiva.
Leitura Obrigatória
22
Exemplo: Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$ 2,59 por litro. A função 
matemática que representa o valor a ser pago de combustível é 2,59V q= , onde V representa o valor 
a ser pago e q , a quantidade de litros abastecidos pelo consumidor.
As grandezas ou variáveis relacionadas são: valor e quantidade, sendo que o valor a ser pago pelo 
combustível é dado em função da quantidade de gasolina abastecida pelo consumidor. Supondo que 
o tanque de combustível de um carro comporte somente 52 litros e que o consumidor pretenda encher 
o tanque, mas sabe de antemão queno tanque existe ¼ de combustível, quanto seria o gasto deste 
consumidor para “completar” o tanque? Você poderá perceber que o consumidor irá gastar somente 
R$ 101,01.
Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é limitada, pois o tanque de combustível tem 
uma capacidade máxima de armazenagem.
Para a aplicação de funções em áreas financeiras, administrativas ou contábeis, torna-se necessário 
conhecer o conceito de oferta, demanda, receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even 
point), além de cálculos de juros simples.
DEMANDA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço), e seja D a demanda ou procura de 
mercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os compradores 
de mercados estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P em determinado período de tempo (que 
pode ser um dia, uma semana, um mês etc.). Vale reforçar que a demanda ou procura a que se refere 
o texto é a de todos os compradores da utilidade, e não a de um comprador individual. Geralmente, 
é uma função do tipo D b aP= − , onde P corresponde à demanda ou procura da utilidade P ao seu 
preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função do tipo decrescente, pois um aumento nos 
preços faz com que a demanda ou procura da utilidade diminua.
OFERTA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta 
utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e 
aptos a vender ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia, uma semana, 
um mês etc.). Vale ressaltar que a oferta a que se refere o texto é a de todos os produtores da 
utilidade e não a de um produtor individual. Geralmente, é uma função do tipo S aP b= + , onde S 
corresponde à oferta da utilidade P ao seu preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função 
do tipo crescente, pois um aumento nos preços faz com que a oferta da utilidade também tenda a 
aumentar.
PONTO DE EQUILIBRIO (break-even point): É o ponto onde a oferta e a demanda de uma 
23
determinada utilidade são iguais, ou seja, onde toda utilidade oferecida é vendida. Determina-se 
aqui o preço de equilíbrio de mercado (PE) para a dada utilidade. Portanto, é o preço para o qual a 
demanda e a oferta de mercado desta utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de 
equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado (QE).
RECEITA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) cujo preço de venda seja um preço 
unitário p . A função dada para a receita é , RT pq= onde p é o preço e q a quantidade da utilidade.
CUSTO: No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de calças.
Quantidade (q) 0 10 20 40 100
Custo (C) R$ 120 150 180 240 420
Nota-se que, com um aumento de 10 unidades na quantidade, o custo aumentará R$ 30,00; se 
há um aumento de 20 unidades na quantidade, o custo aumenta em R$ 60,00; ou, ainda, com um 
aumento de 60 unidades, o custo aumenta em R$ 180,00. Conclui-se que uma variação na variável 
independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma 
função do 1° grau. Para uma melhor compreensão, podemos calcular a taxa de variação média, que 
consiste em dividir a variação em C pela variação em q. Isto é, 30 60 180 3
10 20 60
m = = = = =L .
 Neste exemplo, a razão 3m = dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade 
na quantidade. Nota-se, ainda, que, se não for produzida qualquer quantidade de calças, haverá um 
custo fixo de R$120,00. Tal custo é atribuído à manutenção de máquinas, impostos, despesas com 
folha de pagamento etc.
De modo geral, a função custo pode ser determinada com a fórmula v fC C C= + , onde vC é o 
custo variável e fC o custo fixo. Do exemplo aqui apresentado, a função custo relacionada é 
3 120v fC C C q= + = + .
LUCRO: para obter-se a função lucro de uma determinada utilidade (bem ou serviço) deve-se fazer: 
L R C= − , ou seja, o lucro é “receita menos custo”.
24
Quer saber mais sobre o assunto? Então:
Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/matfin.htm>. Acesso em: 13 dez. 
2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas e exemplos sobre a matemática 
financeira.
Acesse o site <http://www.somatematica.com.br/financeira.php>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, 
você encontrará definições detalhadas sobre o estudo da matemática financeira.
LINKS IMPORTANTES
http://www.somatematica.com.br/financeira.php
25
unidade. Quantas unidades, aproximadamente, 
são o ponto de equilíbrio da empresa?
a) zero.
b) 200.
c) 300.
d) 600.
e) 3.000.
Uma empresa fabrica e vende um produto. O 
Departamento de Marketing da empresa trabalha 
com a Equação da Demanda apresentada a seguir, 
onde YD e XD representam, respectivamente, o 
preço e a quantidade da demanda.
YD = –2XD + 10.100
Como um primeiro passo para a elaboração do 
Plano de Produção dessa empresa, indique a 
opção que responde à pergunta:
“Quantas unidades produzir, para o preço de $ 
2.000,00?”
a) 5.000.
b) 4.050.
c) 5.100.
d) 5.150.
e) 5.200.
O gráfico a seguir descreve o estoque de blusas 
de uma loja:
Agora é a sua vez
Questão 01
Questão 02
INSTRUÇÕES
Observe no enunciado de cada questão as 
atividades que deverão ser realizadas de 
forma individual. Para auxiliar na resolução 
dos problemas propostos retome os conceitos 
específicos necessários em cada situação. 
Ponto de Partida
O proprietário de uma fábrica de brinquedos 
verificou que o custo fixo da empresa era 
de R$ 5.600,00, e o custo unitário para a 
produção de cada unidade era de R$ 6,10. 
Determine a função custo C , dada por uma 
função de primeiro grau em relação ao 
número x de brinquedos fabricados.
O que se pede neste problema é a relação 
matemática entre o número de brinquedos 
fabricados e seu custo. Caso ainda não 
lhe seja possível, sugere-se acompanhar 
as atividades a seguir propostas e, então, 
tentar novamente a sua resolução.
Agora é com você! Responda às questões a 
seguir para conferir o que aprendeu!
Suponha que o Guaíba Pôster, um pequeno 
varejista de pôsteres, tenha custos operacionais 
fixos de R$ 3.000,00, que seu preço de venda por 
unidade (pôster) seja de R$ 15,00, e seus custos 
operacionais variáveis sejam de R$ 5,00 por 
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Questão 03
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26
42 70
44 60
46 30
e)
Tamanho da blusa Quantidade
40 40
42 42
44 44
46 46
O gráfico a seguir representa o valor (em R$) 
de uma ação negociada na bolsa de valores no 
decorrer dos meses.
Considerando-se t = 1 o mês de janeiro, t = 2 
o mês de fevereiro, e assim sucessivamente, a 
média dos valores das ações é de:
a) 2,90.
b) 2,78.
c) 3,01.
d) 2,96.
e) 2,99.
Questão 04
Observe:
Para construir esse gráfico, o gerente fez 
inicialmente uma tabela com o resultado do 
levantamento do número de blusas de cada 
tamanho que havia no estoque. Assinale a 
alternativa que apresenta a tabela que o gerente 
pode ter feito.
a) 
Tamanho da blusa Quantidade
40 30
42 40
44 60
46 70
b)
Tamanho da blusa Quantidade
40 30
42 60
44 70
46 40
c)
Tamanho da blusa Quantidade
40 30
42 60
44 40
46 70
d)
Tamanho da blusa Quantidade
40 40
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27
Pipoca, em sua última partida, acertou x 
arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 
pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 
55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele 
acertou? Qual seria a tradução dessa situação 
por meio de duas equações:
a) 
25
2 3 55
x y
x y
+ =
 + =
b) 
25
2 3 55
x y
x y
− =
 − =
c) 
2 3 25
55
x y
x y
+ =
 + =
d) 
2 3 25
55
x y
x y
+ =
 + =
e) n.d.a.
Entre 9h e 17h, Rita faz uma consulta pela internet 
das mensagens de seu correio eletrônico. Se 
todos os instantes desse intervalosão igualmente 
prováveis para a consulta, a probabilidade de ela 
ter iniciado o acesso ao seu correio eletrônico 
em algum instante entre 14h35min e 15h29min 
é igual a:
a) 13,25%. 
b) 10,25%.
c) 11,25%.
d) 19,58%.
e) 23,75%.
Uma pesquisa realizada com pessoas com 
idade maior ou igual a sessenta anos residentes 
na cidade de São Paulo, publicada na revista 
Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, 
entre os idosos que nunca frequentaram a escola, 
17% apresenta algum problema cognitivo (perda 
de memória, de raciocínio e de outras funções 
cerebrais). Se, entre 2.000 idosos pesquisados, 
um em cada cinco nunca foi à escola, o número 
de idosos pesquisados nessa situação e que 
apresentam algum tipo de problema cognitivo é:
a) 168.
b) 60.
c) 40.
d) 68.
e) 50.
Um botânico mede o crescimento de uma planta, 
em centímetros, todos os dias. Ligando os 
pontos colocados por ele num gráfico, resulta a 
figura a seguir. Se for mantida sempre a relação 
entre o tempo e a altura, a planta terá, no 30º 
dia, uma altura igual a:
Questão 05
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Questão 06
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Questão 07
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Questão 08
28
a) 4 cm.
b) 5 cm.
c) 3 cm.
d) 6 cm.
e) 30 cm.
Um pintor de uma casa pretende comprar tinta e 
verniz e dispõe de R$ 1.800,00. Na loja de Tintas 
“Dois Irmãos”, o litro da tinta custa R$ 40,00 e do 
verniz, R$ 30,00. Obtenha expressão da restrição 
orçamentária e a represente graficamente.
Um comerciante compra produtos ao preço 
unitário de R$ 5,00, gasta sua condução diária 
de R$ 45,00 e vende seu produto a R$ 8,00. 
Determine seu custo diário C em função da 
quantidade comprada q. Determine também a 
sua receita R em função da quantidade vendida 
q, que se supõe igual à quantidade comprada. 
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Questão 10
Questão 09
Além disso, expresse seu lucro diário L em função 
da quantidade q.
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FINALIZANDO
29
Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de primeiro grau. Viu também 
como realizar a representação gráfica de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações 
práticas, os conceitos de taxas de variação, função de receita, custo e lucro; ponto de equilíbrio, restrição 
orçamentária e juros simples. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso 
cotidiano. Para uma melhor compreensão e fixação das questões e exemplos, resolva os exercícios 
propostos no Livro-Texto.
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS 
e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
FINALIZANDO
30
Conteúdo
Nesta aula, você estudará:
• A função do segundo grau, suas características e a sua aplicação para a resolução de problemas 
e situações nas áreas financeiras e administrativas.
• Como construir e analisar o gráfico da função de segundo grau.
• Por meio de situações práticas, aplicadas às áreas de administração, os conceitos de receita, 
custos, lucros, ponto de equilíbrio (break even point), além de outras situações, cujos modelos 
podem ser determinados por uma função de segundo grau.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior ou igual a dele mesmo?
• Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo numero e o que restou 
dividi ainda pelo mesmo número.O resultado que achei foi igual ao numero menos 1.
• Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 245m de parede. Qual é a 
medida do lado de cada azulejo.
Tema 3
Função de Segundo Grau 
ícones:
Conteúdos e Habilidades
Leitura Obrigatória
31
AULA 3
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Aprendizagem.
Função de Segundo Grau
Ao estudar a função de segundo grau por meio de suas características, você poderá resolver 
problemas práticos, como o do conhecimento da receita, que relaciona o preço e a quantidade de 
produtos comercializados. 
Pela interpretação do gráfico da função de segundo grau, denominada parábola (curva), você 
observará aspectos importantes, como sua concavidade, que depende do sinal de a , seus vértices e 
raízes. 
Uma das situações práticas é a obtenção da função receita, quando consideramos o preço e a 
quantidade comercializada. Sabe-se que a receita R é dada por R p q= ⋅ , onde p representa o preço 
unitário e q , a quantidade comercializada do produto. Por exemplo: se o preço das bolas de uma 
marca variar de acordo com a relação 4 400p q= − + , pode-se, então, obter a receita para a venda 
de bolas pela equação 2( 4 400) 4 400R q q q q= − + ⇒ − + . Nessa parábola, convém observar alguns 
aspectos importantes associados à função 24 400R q q= − + : 
Como o coeficiente de 2q , o número 4− , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada para 
baixo.
O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo 0q = , o que nos dá 24 0 400 0 0R = − ⋅ + ⋅ = .
Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0R = : 
 20 4 400 0 0 100R q q q ou q= ⇒ − + = ⇒ = = .
Leitura Obrigatória
32
O vértice ( ) ( ). 50, 10.000v vV q R= = da parábola em que 50vq = é a média aritmética das raízes e 
10.000vR = é a receita correspondente:
0 100 50
2v
q += = . Substituindo em R , obtemos: 24 50 400 50 10.000vR = − ⋅ + ⋅ = .
Especificamente para esta função, o vértice é importante, pois informa a quantidade 50vq = que 
deve ser comercializada para que se tenha a receita máxima 10.000vR = . Embora se tenha obtido 
a coordenada 50vq = 50vq =pela média aritmética das raízes da função, existem outras maneiras de se 
encontrar tal coordenada. É importante lembrar que a coordenada 50vq = determina o eixo de simetria 
da parábola, isto é, quantidades maiores que 10.000vR = proporcionam receitas menores que 10.000vR =
. Isto é natural, pois a receita está associada ao preço 4 400p q= − + , que decresce à medida que a 
demanda q aumenta.
Outra aplicação muito usada da função de segundo grau é a determinação do Lucro de uma 
empresa. Por exemplo: considerando-se a receita 24 400R q q= − + da venda de bolas e supondo-se 
o custo de produção C dado por 80 2.800C q= + , então o Lucro L da comercialização de bolas é 
( )2 24 400 80 2800 4 320 2.800L R C L q q q L q q= − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − .
Para a obtenção do gráfico, nota-se que:
Como o coeficiente de 2q é o número 4− , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada 
para baixo.
O ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo 0q = , o que nos dá 
24 0 320 0 2.800 2.800L = − ⋅ + ⋅ − = − .
Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0L = : 
 20 4 320 2.800 0 70 10L q q q ou q= ⇒ − + − = ⇒ = = .
O vértice ( ) ( ). 40, 3.600v vV q L= = da parábola em que 22v
coeficiente de qq
coeficiente de q
−
=
⋅
, ou seja, 
( )
320 40
2 4v
q −= =
⋅ −
 e vL é o lucro correspondente, 
24 40 320 40 2800 3.600vL = − ⋅ + ⋅ − = .
Com esses dados, pode-se verificar que o lucro é positivo 0L > quando se vendem entre 10 e 
70 bolas. O lucro é zero quando se vendem 10 ou 70 bolas, e o lucro é negativo 0L < quando se 
vendem entre 0 e 10 bolas ou quantidades superiores a 70 bolas. A partir do vértice e do eixo de 
simetria, nota-se que, para a quantidade de 40 bolas, o lucro máximo é de 3.600 e que o lucro cresce 
para quantidades menores que 40 e decresce para quantidades maiores que 40.
33
A caracterização geral de uma função de segundo grau é dada por: ( ) 2y f x a x b x c= = ⋅ + ⋅ + , onde 
0a ≠ .
Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, observam-se os seguintes passos:
O coeficiente a determinaa concavidade da parábola; se 0a > (positivo), a concavidade é voltada 
para cima e se 0<a (negativo), a concavidade é voltada para baixo.
O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y , e pode ser obtido fazendo 
( ) 20 0 0 0x y f a b c y c= ⇒ = = ⋅ + ⋅ + ⇒ = .
Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função, que são 
obtidas fazendo 0y = . Para a resolução dessa equação, utiliza-se a fórmula de Báskara, em que:
2
bx
a
− ± ∆
=
⋅
, onde 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ .
O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do ∆ : 
Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for positivo, 0∆ > , têm-se duas raízes reais e distintas 2 2
bx
a
− − ∆
=
⋅
 e 2 2
bx
a
− − ∆
=
⋅
.
Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for nulo, 0∆ = , têm-se duas raízes reais e iguais 0
2 2
b bx
a a
− + −
= =
⋅ ⋅
.
Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for negativo, 0∆ < , não existem raízes reais.
O vértice da parábola é dado por ( ), ,
2 4v v
bV x y
a a
− −∆ = =  ⋅ ⋅ 
.
Exemplos de Funções de Segundo Grau
1. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 
2 14 32E t t= − − + , onde E é dado em kWh, e ao tempo associa-se 0t = a janeiro, 1t = a fevereiro, e 
assim sucessivamente. Determine a quantidade de energia máxima consumida pela residência.
Solução:
Os coeficientes da função são 1a = − , 14b = − e 32c = . 
34
 A concavidade é voltada para baixo, pois 0a < .
 A parábola corta o eixo E em 32c = , pois quando 0t = , temos 21 0 14 0 32 32E = − ⋅ − ⋅ + = . 
 A parábola corta o eixo t quando 0E = , o que nos leva a: 2 14 32 0E t t= − − + = , cujas raízes, se 
existirem, são obtidas por Báskara: ( ) ( )22 4 14 4 1 32 324 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ − ⋅ = ⇒ ∆ > .
Vamos obter duas raízes reais e distintas: 
( )
( )2
14 324
2
2 2 1
bt
a
− − −− + ∆
= = = −
⋅ ⋅ −
 e 
( )
( )2
14 324
2
2 2 1
bt
a
− − −− + ∆
= = = −
⋅ ⋅ −
Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos 1 16t = e 2 2t = − .
O vértice da parábola é dado por ( ), ,
2 4v v
bV x y
a a
− −∆ = =  ⋅ ⋅ 
, isto é:
( ) ( )( ) ( ) ( )
14 324, , , 7, 81
2 4 2 1 4 1v v
bV t E
a a
 − −− −∆ − = = = =    ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −   
.
Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada ao eixo de simetria 7vt = indica que 
o consumo é crescente para os meses entre 0 e 7, e decrescente para os meses superiores a 7. Da 
mesma forma, o consumo máximo desta residência é de 81 kWh.
2. Um vendedor anotou as vendas de carro nos 30 dias em que trabalhou na loja, e notou que o 
número de vendas deste carro, dado por V em função de t (número de dias), pode ser obtido por 
2 2 1V t t= − + . Vamos estudar como essa função se comporta.
Os coeficientes da função são 1a = , 2b = − e 1c = . 
 A concavidade é voltada para cima, pois 0a > .
 A parábola corta o eixo V em 1c = , pois, quando 0t = , temos 20 2 0 1 1V = − ⋅ + = .
 A parábola corta o eixo t quando 0V = , o que nos leva a: 2 2 1 0V t t= − + = , cujas raízes, se 
existirem, são obtidas por Báskara: ( )22 4 2 4 1 1 0 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ = ⇒ ∆ = .
 Vamos obter duas raízes reais e iguais: ( )2 0 1
2 2 1
bt
a
− − +− + ∆
= = =
⋅ ⋅
.
 Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos 1t = . 
 O vértice da parábola é dado por ( ), ,
2 4v v
bV x y
a a
− −∆ = =  ⋅ ⋅ 
, isto é:
( ) ( ) ( )2 0, , , 1, 0
2 4 2 1 4 1v v
bV t V
a a
 − −− −∆ − = = = =  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
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Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 1vt = , ou seja, 
ao se esboçar o gráfico, ele irá “tocar” o eixo t neste ponto.
3. Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses, 
indicados em t , é dado pela expressão 2 10 30v t t= − + . Sabendo que o valor da ação é dado em R$, 
como ficaria a análise do comportamento desta função? Veja a seguir:
Os coeficientes da função são 1a = , 10b = − e 30c = . 
 A concavidade é voltada para cima, pois 0>a .
 A parábola corta o eixo v em 30c = , pois, quando 0=t , temos 
20 10 0 30 30v = − ⋅ + = .
 A parábola corta o eixo t quando 0v = , o que nos leva a:
2 10 30 0v t t= − + = , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: 
( )22 4 10 4 1 30 20 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ = − ⇒ ∆ < .
Não existem raízes reais, pois o discriminante é negativo, ou seja, a parábola não corta o eixo t .
 
O vértice da parábola é dado por ( ), ,
2 4v v
bV x y
a a
− −∆ = =  ⋅ ⋅ 
, isto é:
( ) ( ) ( ) ( )10 20, , , 5, 5
2 4 2 1 4 1v v
bV t v
a a
 − − − −− −∆ = = = =  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
.
Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 5vt = , 
indicando que o valor da ação é decrescente do momento em que a ação é negociada ( )0t = ao final 
do 5° mês ( )5t = , e crescente, do final do 5° mês ( )5t = ao final do 12° mês ( )12t = .
36
Quer saber mais sobre o assunto? Então:
Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm>. Acesso em: 13 dez. 
2011. Nesse site, você encontrará definições dos conceitos da teoria de conjuntos e relações e 
funções, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações.
Acesse o site <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse 
site, você encontrará definições dos conceitos das equações de segundo grau, além de uma série de 
exercícios com exemplos de aplicações.
Acesse o site <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso 
em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos das equações de 
segundo grau.
LINKS IMPORTANTES
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm
http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx
37
Agora é a sua vez
INSTRUÇÕES
Observe, no enunciado de cada questão, as 
atividades que deverão ser realizadas de 
forma individual. Para auxiliar na resolução 
dos problemas propostos, retome os 
conceitos específicos necessários em cada 
situação. 
Ponto de Partida
Além das aplicações anteriormente 
mencionadas, a análise financeira de um 
investimento pode ser realizada a partir 
de um modelo em que a função representa 
determinada aplicação, como uma função 
de segundo grau, como mostra o problema 
a seguir.
Situação-problema: Uma pessoa 
investiu em ações na bolsa durante um 
determinado período de tempo, em meses. 
O valor das ações variou de acordo com a 
função ( ) 22 8 20V t t t= − + . Considere 0t = 
o momento da compra das ações; 1t = 
após 1 mês, e assim por diante. Considere 
também o valor em milhares de reais. A 
partir desses dados, auxilie o investidor 
a acompanhar os movimentos das suas 
ações, analisando as seguintes questões:
a) Qual o valor desembolsado na compra?
b) Se ele vender as ações depois de dois 
meses terá lucro ou prejuízo?
c) Em que meses as ações tiveram seus 
maiores e menores valores?
d) De quantos meses o investidor necessita 
para recuperar o capital empregado?
Agora é com você! Responda às questões a 
seguir para conferir o que aprendeu!
O número N de apólices vendidas por 
um vendedor de seguros pode ser obtido 
pela expressão 22 28 64N t t= − + + , onde t 
representa o mês da venda. Qual o mês em que 
foi vendido o número máximo de apostas? 
a) 5.
b) 4.
c) 1.
d) 7.
e) 6.
O valor em reais (R$) de uma ação negociada 
na bolsa de valores no decorrer dos dias de 
pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t= − +
. Considere 0t = o momento inicial de análise, 
1t = após 1 dia, 2t = após 2 dias, e assim 
sucessivamente. Para quais dias as ações são 
crescentes?
a) 1,5 a 2.
b) 1 a 1,5.
c) 1 a 2.
d) 0,25 a 1.
e) 0,25 a 2.
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 01
Questão 02
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
38
produção máxima desse trabalhador?
a) 500.
b) 400.
c) 100.
d) 700.
e) 600.
O preço de uma garrafa de vinho varia de 
acordo com a relação 2 400p q= − + , ondeq representa a quantidade de garrafas 
comercializadas. Sabendo que a receita R é 
dada pela relação R p q= ⋅ , obtenha a função 
receita. Qual a quantidade de garrafas a ser 
comercializada para que a receita seja máxima?
Um comerciante de cosméticos compra 
sabonetes e creme para revenda, e tem um 
orçamento limitado para a compra. A quantidade 
de sabonetes é representada por x , a de creme 
por y , e a equação que nos dá a restrição 
orçamentária é 220 20 2000x y+ = . Expresse a 
quantidade de cremes em função da quantidade 
de sabonetes comprados. Em seguida, 
responda: se forem comprados seis sabonetes, 
quantos cremes é possível comprar?
Questão 03
O lucro na venda, por unidade, de um 
produto depende do preço p em que ele é 
comercializado, e tal dependência é expressa 
por 2 9l p= − + . Qual o lucro para o preço, 
variando de 0 a 5?
a) –9, –8, –5, 0, –7 e –16.
b) 9, 10, 13, 18, 25 e 34.
c) –9, –10, –13, –18, –25 e –34.
d) –9, –8, –5, 0, 7 e 16.
e) 9, 8, 5, 0, –7 e –16.[
O valor em reais (R$) de uma ação negociada 
na bolsa de valores no decorrer dos dias de 
pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t= − +
. Considere 0=t o momento inicial de análise, 
1t = após um dia, 2t = após dois dias, e assim 
sucessivamente. Qual a variação percentual do 
valor da ação após 20 dias?
a) 90%.
b) 88%.
c) 98%.
d) 100%.
e) 89%.
A produção de um funcionário, quando 
relacionada ao número de horas trabalhadas, 
leva à função 24 48 256P t t= − + + . Qual a 
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 05
Verifique seu desempenho nesta 
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Questão 04
Verifique seu desempenho nesta 
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Questão06
Questão07
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questão, clicando no ícone ao lado.
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
39
Para a comercialização de parafusos, um lojista 
nota que a receita é dada por 29 360R q q= − + e 
o custo é dado por 26 60 1125C q q= + + .
Determine a equação do lucro e qual a 
quantidade comercializada de parafusos para 
que o lucro seja máximo.
O preço do trigo varia no decorrer dos meses, 
de acordo com a função 2 10 240p t t= − + para 
o período de um ano; e 0t = o momento inicial 
de análise; 1t = após um mês; 2t = após dois 
meses; e assim sucessivamente. Determine o 
mês em que o preço é mínimo e qual seria esse 
preço.
Uma empresa produz detergente e sabonete 
líquido em uma das suas linhas de produção, 
sendo que os recursos são os mesmos para 
tal produção. As quantidades de detergentes 
e sabonetes líquidos produzidos podem ser 
representadas, respectivamente, por x e y . A 
interdependência dessas variáveis é dada por 
245 45 405x y+ = . Aproximadamente, quanto 
se deve produzir de detergente para que tal 
quantidade seja igual à metade da quantidade 
de sabonete líquido? Considere que as 
quantidades são dadas em milhares de litros.
Verifique seu desempenho nesta 
questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 09
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Questão10
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questão, clicando no ícone ao lado.
Questão08
40
Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de segundo grau. Viu também 
como realizar a representação gráfica de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações 
práticas, os conceitos de receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even point), além de outras 
situações cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau. Entendeu que 
todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão e 
fixação dos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS 
e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
FINALIZANDO
41
Tema 4
 Função Exponencial
ícones:
Conteúdos e Habilidades
Conteúdo
Nesta aula, você estudará: 
• A função exponencial a partir do fator multiplicativo e em sua forma geral.
• As aplicações da função exponencial no cálculo de juros compostos, na depreciação de uma 
máquina e no crescimento populacional.
• O logaritmo como uma operação inversa da potenciação e que permite conhecer o valor 
desconhecido do expoente.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Qual o montante gerado sobre um capital aplicado a uma determinada taxa de juros 
compostos.
• Qual o crescimento populacional de uma cidade em determinado período de tempo
• Quanto vale uma máquina após 10 anos de uso, com uma taxa depreciação de 2% ao ano, 
cujo valor pago no ato da compra foi de R$ 50.000,00?
AULA 4
 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
42
Função Exponecial 
Ao estudar a função exponencial por meio de suas características, você poderá resolver problemas 
práticos, como cálculo de juros compostos. Nesta modalidade, o valor apurado a cada mês 
incorpora-se ao capital. Assim, se um capital de R$ 1.200,00 for aplicado a juros de 10% ao mês, ao 
final de um mês, o valor de R$ 120,00 será incorporado ao capital para o cálculo dos juros no mês 
seguinte. Portanto, os juros serão calculados sobre R$ 1.320,00, gerando um valor de R$ 132,00. E 
assim, sucessivamente, os valores podem ser calculados mês a mês.
No entanto, para um período indefinido, torna-se importante conhecer a função matemática que 
possibilite estabelecer a relação entre o montante, o capital, a taxa de juros acumulados em um 
período de tempo. Essa função é dada por ( )1 nM C i= ⋅ + , onde M definimos como montante, C é 
o capital inicial, n a taxa (escrita de forma decimal) e n o tempo (período) de aplicação. Voltando ao 
exemplo citado, pode-se obter a função exponencial por: ( ) ( )1 1200 1 0,12n nM C i= ⋅ + = ⋅ + .
De uma forma geral, a função exponencial é definida por ( ) ( ), 0 1xf x b a a e a= ⋅ > ≠ , sendo que 
a variável é o expoente. Podem-se determinar os coeficientes a e b por meio de razões entre dois 
valores conhecidos da função. Já a função exponencial pode ser determinada a partir de um fator 
multiplicativo, para se obter o aumento percentual em uma quantidade. É importante ressaltar sua 
utilidade nos aumentos sucessivos, na caracterização da base da função exponencial, bem como 
nos decréscimos sucessivos, e a sua utilidade para estabelecer a depreciação de uma máquina no 
decorrer do tempo. O fator multiplicativo, que é a base da função exponencial, é obtido simplesmente 
pela soma de 1 à porcentagem de aumento escrita na forma decimal, isto é, 1
100
ibase = + , onde i é 
a taxa. E, para a obtenção da diminuição, basta diminuir 1 da porcentagem de diminuição escrita na 
forma decimal, isto é, 1
100
ibase = − , onde i é a taxa.
Um exemplo de função exponencial é dado quando se considera uma máquina cujo valor é 
depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior. 
Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00 e a depreciação é de 12% ao ano, 
Leitura Obrigatória
43
vamos obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que representa o valor da máquina ao 
longo do tempo. 
Usando o fator multiplicativo, obtemos: 121 1 0,88
100 100
ibase = − = − = .
Como o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00, define-se, então, a função exponencial como: 
( ) 35.000 0,88x xf x b a= ⋅ = ⋅ .
Outro exemplo de aplicação é o aumento populacional. Considere que uma cidade tem uma 
população de 550.000 habitantes e cresce a uma taxa de 1,45% ao ano. Considerando como tempo 
t, podemos encontrar a função que determina o aumento populacional P em função do tempo, isto é, 
( )P f t= . Usando o fator multiplicativo 1,451 1 1,01
100 100
ibase = + = + = , conseguimos determinar a função 
exponencial: 550.000 1,01tP = ⋅ .
Existem outras maneiras de obtenção da função exponencial:1° Caso: Identificando a evolução exponencial
Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes ( )x e às correspondentes 
variáveis dependentes ( )y período a período (isto é, dia a dia, mês a mês, ano a ano), deve-se dividir 
a variável dependente pela variável dependente do período anterior e comparar os resultados. 
Se os quocientes 32 4
1 2 3
yy y
y y y
= = =L forem iguais, tem-se um fenômeno que pode ser representado 
por uma função exponencial, sendo a base a da função 
xy b a= ⋅ o resultado das divisões assim 
realizadas. Para a obtenção de b , utiliza-se um dos valores de ( )x , e substituem-se tais valores em 
xy b a= ⋅ , e, assim, se obtém b .
44
Considere este exemplo: a população de uma cidade nos anos de 2008 a 2011 é dada na tabela a 
seguir.
Realizando-se as divisões, obtém-se:
960.159 1,017879916 1,02
943.293
= ≅
960.159 1,017879916 1,02
943.293
= ≅
977.361 1,017915783 1,02
960.159
= ≅
Verificando-se que os resultados são iguais, tem-se neste exemplo uma função exponencial cuja base 
é dada por 1,02a = ; o coeficiente b será obtido substituindo-se em 
xy b a= ⋅ o valor de 1,02a = em 
um dos pares de valores de x e y dados, por exemplo, ( ) ( ), 8,926.758x y = , onde 8 representa o ano 
de 2008.
8926.758 1,02
790.979,0294 790.979
b
b
= ⋅
= ≅
Assim, a função exponencial da população é dada por 790.979 1,02xy = ⋅ .
2° Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos
O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores xaby ⋅= em que 
xaby ⋅= , formando 
um sistema de duas equações e duas variáveis, cuja solução nos fornece os coeficientes b e b .
Por exemplo, em um armazém, os grãos de milho armazenados, com o tempo, começam a estragar, 
sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de consumo começa a decair segundo um 
modelo exponencial. A tabela a seguir relaciona os dois momentos e as respectivas quantidades de 
grãos em condições de uso.
45
Também é possível obter-se uma função exponencial que relaciona a quantidade 
de grãos em função do ano de estocagem.
Pela tabela, verifica-se que o modelo é exponencial e que os pontos 
( ) ( ), 2, 760x y = e ( ) ( ), 5, 580x y = satisfazem à equação xy b a= ⋅ ; então, substituindo:
2=x e 760y = em 2760xy b a b a= ⋅ ⇒ = ⋅
5=x e 580y = em 5580xy b a b a= ⋅ ⇒ = ⋅
Com isso, é obtido o sistema 
5
2
580
760
b a
b a
⋅
=
⋅
, que se resolve dividindo a primeira equação pela segunda:
5
2
580
760
b a
b a
⋅
=
⋅
3 30,763158 0,763158 0,91a a a= ⇒ = ⇒ =
Substituindo-se 91,0=a em 
2 760b a⋅ = , tem-se b: 20,91 760 918b b⋅ = ⇒ ≅ .
Assim, a função exponencial que fornece a quantidade de grãos sem função do tempo é dada por 
918 0,91xy = ⋅ .
46
Quer saber mais sobre o assunto? Então:
Acesse o site <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm>. Acesso em: 23 
nov. 2011. Nesse site, você encontrará os conceitos de função exponencial de forma didática.
Acesse o site <http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-exponencial.html>. Acesso em: 13 
dez. 2011. Nesse site, você encontrará definição da função exponencial e uma série de exercícios com 
exemplos de aplicações.
Assista ao vídeo sobre função exponencial, disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_
u0>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse vídeo, você encontrará a definição de função exponencial, além 
de alguns exemplos.
LINKS IMPORTANTES
VÍDEOS IMPORTANTES
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-exponencial.html
http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_u0
http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_u0
47
e) R$ 1.308.083,64.
Uma máquina copiadora, após a compra, tem 
seu valor depreciado a uma taxa de 10,6% ao 
ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por 
uma função exponencial e que o valor da compra 
é de R$ 97.000,00, obtenha o valor V como uma 
função dos anos x após a compra, e o valor da 
máquina após cinco anos.
a) 97.000 10,6xV = ⋅ e $197.277,53R
b) 97.000 9,6xV = ⋅ e $57.277,53R
c) 97.000 0,1060xV = ⋅ e $96.277,53R
d) 97.000 0,90xV = ⋅ e $77.277,53R
e) 97.000 0,90xV = ⋅ e $57.277,53R
Uma pessoa faz empréstimo de R$ 40.000,00, 
que será corrigido a uma taxa de 2,5% ao mês 
a juros compostos. Qual seria a equação que 
determina o montante M da dívida em função 
dos meses (tempo) x , isto é, ( )M f x= . E qual 
seria o montante da dívida após 16 meses?
a) 40.000 1,025 ; 59.380,22xM = ⋅
b) 40.000 1,025 ; 59.380,22xM = ⋅
c) 40.000 1,25 ; 1.421.085,22xM = ⋅
d) 40.000 1,025 ; 1.059.380,22xM = ⋅
e) 40.000 1,025 ; 51.203,34xM = ⋅
Agora é a sua vez
Questão 01
Questão 03
INSTRUÇÕES
Observe, no enunciado de cada questão, 
as atividades que deverão ser realizadas 
individualmente. Para auxiliar na resolução 
dos problemas propostos, retome os 
conceitos específicos necessários em cada 
situação. 
Ponto de Partida
Além das aplicações anteriormente 
mencionadas, a análise exponencial pode 
ser feita para a simulação do lucro obtido 
em uma aplicação financeira. Supondo que 
um investidor fará uma aplicação no valor de 
R$ 25.000,00 a juros compostos, com taxa 
de 2,5% ao mês, pergunta-se: após quantos 
meses essa aplicação dobrará o valor do 
capital? 
Agora é com você! Responda às questões a 
seguir para conferir o que aprendeu!
O montante de aplicação financeira no decorrer 
dos anos é dado por ( ) 120.000 1,09xM x = ⋅ , onde 
x representa o ano após a aplicação, e 0x = é o 
momento em que foi realizada a aplicação. Qual o 
montante, 10 anos após a aplicação?
a) R$ 284.083,64.
b) R$ 130.000,00.
c) R$ 1.200.000,00.
d) R$ 130.800,00.
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questão, clicando no ícone ao lado.
Questão 02
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questão, clicando no ícone ao lado.
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questão, clicando no ícone ao lado.
48
Com base nesses dados, responda:
a) Qual a função exponencial que relaciona a 
quantidade consumida de água em função do 
tempo (ano)?
b) Qual o aumento percentual anual no consumo 
de água?
A população de uma cidade no decorrer dos anos 
de 2005 a 2008 é dada pela tabela a seguir:
Obtenha uma função que forneça a população 
como uma função do ano, considerando que o 
ano de 2001 foi o ano inicial e que, em 2001 a 
2005, o crescimento da população foi similar ao 
da tabela.
O montante de uma dívida, no decorrer de 
t meses, é dado por ( ) 25.000 1,03tM t = ⋅ . 
Determine depois de quanto tempo o montante 
será de R$ 68.000,00
O preço médio dos componentes de um remédio 
aumenta conforme uma função exponencial. 
O preço médio inicial é de R$12,50, e a taxa 
percentual de aumento é de 1,10% ao mês. A 
função que determina o preço em função do 
tempo é dada por 12,50 1.011tP = ⋅ . Após quanto 
tempo o preço médio dos componentes duplicará?
a) 10 meses.
b) 50,36 meses.
c) 65,36 meses.
d) 63,36 meses.
e) 73,36 meses.
Dada uma função exponencial 46,98 1,56xV = ⋅
, determine qual o aumento percentual desta 
função.
a) 50%.
b) 40%.
c) 56%.
d) 76%.
e) 98%.
Estudos mostram que é exponencial o consumo 
de água em uma cidade. Foram computados os 
valores de consumo após o início do estudo, e dois 
desses valores são dados na tabela a seguir:
Questão 07
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questão, clicando no ícone ao lado.
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Questão 04
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Questão 08
Questão 05
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Questão 06
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49
Questão 09
O valor de uma conta de celular é dado por uma 
tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com 
o número de ligações. A tabela a seguir fornece os 
valores das contas dos últimos meses:
a) Determine a expressão que relaciona valor em 
função das ligações.
b) Identifique qual a tarifa fixa e o preço por 
ligação.
Uma cidade, no ano de 2006, tem 870.500 carrose, a partir de então, o número de carros cresce de 
forma exponencial a uma taxa de 10% ao ano.
a) Determine a função que relaciona o número de 
carros C em função do ano t , isto é, ( )C f t= .
b) Determine em quanto tempo vamos ter a 
quantidade de 1.100.000 carros, para o 
Governo poder estruturar-se para que o sistema 
rodoviário não entre em colapso.
Questão 10
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questão, clicando no ícone ao lado.
50
Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações da função exponencial. Viu também como identificar a 
função exponencial por meio de um fator multiplicativo. Aprendeu como analisar, com situações práticas, 
os conceitos de juros compostos, depreciação de uma máquina e crescimento populacional. Entendeu 
que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão 
e fixação das questões e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto. 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS 
e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
FINALIZANDO
Conteúdos e Habilidades
51
Tema 5
Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa 
ícones:
Conteúdo
Nesta aula, você estudará: 
• Os conceitos matemáticos e seus desenvolvimentos na prática do dia a dia.
• As Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa.
• As funções racionais explorando algumas ideias relacionadas à teoria do limite.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Ângela resolveu criar coelhos e comprou quatro casais. Na primeira gestação, cada um dos quatro 
casais gerou outros quatro casais, totalizando 16 coelhos. Qual seria o número de coelhos após 
quatro gestações?
• Qual a produção de um determinado produto, por exemplo, a produção de bolsa de uma determinada 
fábrica, considerando P a quantidade de bolsas produzidas e q a quantidade de capital aplicado 
na compra de equipamentos?
• Qual a receita obtida se aplicarmos certa quantia de valores em propaganda, onde a receita é 
dada 
por ( ) 100 400
5
xR x
x
+
=
+
?
Conteúdos e Habilidades
52
AULA 5
 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa
FUNÇÃO POTÊNCIA 
De uma forma geral a função potência é definida por ( ) ( ), 0ny f x k x k= = ⋅ ≠ , onde k e x são 
constantes. Embora o expoente possa assumir qualquer valor real, é interessante estudar três casos:
1° caso. Potências inteiras e positivas.
Exemplos: 8 7 3 240 , 24 , 90 0,44 , 600y x y x y x y x e y x= = = − = =
Ao analisar o comportamento das potências inteiras e positivas de x nota-se que:
A) Potências ímpares:( 3 5 7, , , ,y x y x y x y x= = = = K ) são funções crescentes para todos os 
valores do domínio e seus gráficos são simétricos em relação à origem dos eixos. Nota-se ainda 
que para 3 5, ,y x y x= = K os gráficos têm concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) 
quando 0x < e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0>x . Para x y= , 
cujo gráfico é uma reta, a taxa é constante (não há concavidade).
B) Potências pares: ( 2 4 8 10, , , ,y x y x y x y x= = = = K ) são funções decrescentes para 0x < e 
crescentes para 0x > e seus gráficos são simétricos em relação ao eixo y.
2° caso. Potências fracionárias e positivas.
Exemplos: 
1 2 4 1 2
3 5 7 5 76 , 4 , 9 0,12 , 60y x y x y x y x e y x= = = − = =
Você deve lembrar que a caracterização geral da função potência é dada por 
, 0 0; 0pn q e p q
q
= ≠ > > , onde , 0 0; 0pn q e p q
q
= ≠ > > , para tanto, lembre-se de que pode 
Leitura Obrigatória
53
escrever a potência fracionária em forma de raiz, isto é, 
( )
p
qn pqy f x k x y k x y k x= = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ .
Por exemplo: 
5
3 53y x y x= ⇒ = ou ainda 
1
122y x y x y x= ⇒ = ⇒ = , lembre-se 
de que este último exemplo também é conhecido como raiz quadrada e é definida somente para 0x ≥
. De modo análogo, inúmeras potências fracionárias de x são definidas somente se 0x ≥ .
As potências fracionárias são crescentes a taxas decrescentes se o expoente é maior do que 0 e 
menor do que 1 (concavidade para baixo) e crescente a taxas crescentes se o expoente é maior do 
que 1 ( concavidade para cima).
3° caso. Potências inteiras e negativas.
Exemplos: 2 32 3
1 110 ,
10
y x ou y y x ou y
x x
− −= = = =
As potências inteiras e negativas x são definidas para 0≠x , pois ao escrevê-las na forma de fração 
tem-se x como denominador.
Tais funções são conhecidas como hiperbólicas, pois seus gráficos no domínio x∈ℜ e 0x ≠ são 
hipérboles.
Potências negativas impares 1 3 5 7, , , ,y x y x y x y x− − − −= = = = K são funções decrescentes 
para todos os valores do domínio e, nos gráficos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação à 
origem dos eixos. Note ainda que tem concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando 
0<x e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0>x .
Potências negativas pares 2 4 6 8, , , ,y x y x y x y x− − − −= = = = K são funções crescentes para 
0x < , decrescentes para 0x > e, nos gráficos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação ao 
eixo y . Por ser a concavidade voltada para cima, as taxas são crescentes tanto para o crescimento 
como para o decrescimento da função.
Algumas aplicações das funções potência: no processo de produção de um produto são utilizados 
vários fatores como matéria-prima, energia, equipamentos, mão de obra e dinheiro. Tais fatores 
são chamados de insumos de produção. Na análise matemática da produção de um produto, é 
interessante estabelecer a quantidade produzida em correspondência com a quantidade de apenas 
um dos componentes do insumo, considerando fixas as demais quantidades de outros insumos. 
54
Por exemplo, a quantidade produzida P , dependendo apenas da quantidade q de matéria-prima 
utilizada na produção, considerada fixa a quantidade de mão de obra disponível, de energia utilizada, 
de dinheiro disponível etc.
Resumindo, a quantidade produzida P depende apenas da quantidade q de um insumo, isto é, 
a produção pode ser escrita como função da quantidade de um insumo, nP k q= ⋅ . Em situações 
práticas, para alguns processos de produção nota-se que a produção é proporcional a uma potência 
positiva da quantidade de insumo, ou seja, nP k q= ⋅ , onde k e n são constantes positivas.
Por exemplo: em uma determinada fábrica, na produção de sacolas plásticas, considerando P a 
quantidade de sacolas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos, 
estabeleceu-se a função da produção 30,03P q= ( P medida em milhares de unidades e q em 
milhares de reais). Pode-se construir uma tabela que dá a produção para alguns valores de insumos 
aplicados na compra de equipamentos. 
A partir da tabela acima, nota-se que aumentos de R$ 5.000,00 acarretam diferentes aumentos em P
, portanto:
Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P 
55
são cada vez maiores, ou seja, os aumentos em P são crescentes. Nessa situação, pode-se dizer 
que a função P cresce a taxas crescentes. 
Em outro exemplo, verifica-se o crescimento a uma taxa decrescente: em uma determinada linha 
de produção, o número P de aparelhos telefônicos produzidos por um grupo de operadores que 
trabalham uma quantidade q de horas, estabeleceu-se uma função desta produção por 
3
42.000P q=
. A partir dessa função consegue-se determinar uma tabela que nos dá a quantidade produzida em 
função de algumas horas trabalhadas.
Observa-se que a função 
3
42.000P q= é crescente e que os aumentos de 2 horas em q acarretam 
diferentes aumentos em P , como se vê na tabela a seguir:
Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P 
são cada vez menores, ou seja, os aumentos em P são decrescentes. Nessa situação, diz-se que a 
função P crescea taxas decrescentes. 
Outro exemplo prático da função polinomial é denominado Lei de Pareto, na qual se estuda a 
distribuição de rendas para os indivíduos de uma população de tamanho a . Notou-se que, na maioria 
dos casos, o número y de indivíduos que recebem uma renda superior a x é dado aproximadamente 
por 
( )b
ay
x r
=
−
, onde r é a menor renda considerada para a população e b um parâmetro positivo 
que varia de acordo com a população estudada.
Por exemplo, se a população estudada é de 1.500.000 habitantes , a renda mínima considerada for de 
56
R$ 250,00 e o parâmetro 3,1=b , então o número de indivíduos y que tem renda superior a x é dado
por 
( ) ( )1,3
1.500.000
250b
ay y
x r x
= ⇒ =
− −
.
Se quiser uma estimativa de quantos indivíduos têm renda superior a R$ 1.200,00, basta fazer 
1.200x = , assim:
( ) ( )1,3
1.500.000 1.500.000 202
74311.200 250b
ay y
x r
= ⇒ = = ≅
− −
 habitantes.
FUNÇÃO POLINOMIAL
De um modo geral, pode-se definir a função polinomial da seguinte maneira: 
( ) 1 2 21 2 2 1 0n n nn n ny f x a x a x a x a x a x a− −− −= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +K , onde n N∈ e 0na ≠ .
Características:
O número n é denominado o grau da função polinomial.
Os coeficientes 6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9y x x x x x x= − + − + − + + →são números reais.
Exemplos:
6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9y x x x x x x= − + − + − + + → função polinomial de grau 6.
4 3 25 17 2 8 10y x x x x= + − − + → função polinomial de grau 4.
( ) 3 27 9 20p t t t t= − + + função polinomial de grau 3.
Aplicação: o preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser 
aproximado pela função ( ) 3 27 9 20p t t t t= − + + , onde t representa o numero de meses. Construindo 
uma tabela para alguns meses, conseguiu-se: 
Tempo t 0 1 2 3 4 5
Preço p 20 23 18 11 8 15
Note que para 1=t , tem-se o preço máximo do produto e em 4=t tem-se o preço mínimo. Mais 
adiante, você verá que esses pontos são denominados pontos de “máximo local” e “mínimo local”.
57
FUNÇÃO RACIONAL
Definição de uma função racional é dada por: ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= = , onde ( )P x e ( )Q x são polinômios e
 ( ) 0Q x ≠ . Para analisar esta função, siga os seguintes passos:
1° passo. Analisar onde ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= = é definida, investigando assim se há assíntotas verticais. 
Se há assíntota vertical em ax = , analisar o comportamento da função quando ax → , ou seja, 
estudar os limites laterais lim
x a+→
 e lim
x a−→
.
2° passo. Descobrir onde ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= =
 
corta o eixo y fazendo 0x = .
3° passo. Descobrir onde ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= = corta o eixo x fazendo 0y = .
4° passo. Analisar o comportamento de ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= = quando x →−∞ .
5° passo. Analisar o comportamento de ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= = quando x →+∞ .
Exemplo: Considerando a função que dá a receita R para certo produto em função da quantia x 
investida em propaganda, foi estabelecido que: ( ) 200 500
5
xR x
x
+
=
+
. São apresentados os seguintes 
passos:
1° passo. Analisar onde 
5 0 5x x+ ≠ ⇒ ≠ −
 é definida, isto é: 5 0 5x x+ ≠ ⇒ ≠ − ,
Assim, ( )R x existe para 5x ≠ − , analise o comportamento de ( )xR quando 5−→x , ou seja, analise 
os limites ( )xRx +−→ 5lim e ( )5limx R x−→− . Para estimar os valores de ( )5limx R x+→− , monte uma tabela 
tomando valores próximos a –5, porém maiores que –5.
58
Pela tabela, percebe-se que, quando 5x −→ − , tem-se ( )R x assumindo valores cada vez maiores. 
Conclui-se, então que ( )5limx R x+→− = −∞ .
Para estimar os valores de ( )5limx R x−→− , monte uma tabela tomando valores próximos a –5, porém 
menores que –5.
Pela tabela, percebe-se que, quando 5x −→ − , tem-se ( )xR assumindo valores cada vez maiores. 
Conclui-se, então que ( )5limx R x+→− = +∞ .
Conclui-se que, a partir dos limites calculados, em 5−=x tem-se duas assíntotas verticais.
59
2° passo. Descobrir onde ( ) 200 500
5
xR x
x
+
=
+
 corta o eixo y fazendo 0=x
Isto é, ( ) ( )200 500 200 0 5000 100
5 0 5
xR x R
x
+ ⋅ +
= ⇒ = =
+ +
, assim ( )R x corta o eixo R em ( ) 1000 =R , 
em 
termos práticos R$ 100.000,00 representa a receita quando nada é investido em propaganda.
3° passo. Descobrir onde ( ) 200 500
5
xR x
x
+
=
+
 corta o eixo x fazendo ( ) 0R x = .
Isto é, 200 500 0 200 500 2,50
5
x x x
x
+
= ⇒ = − ⇒ = −
+
. Assim, ( )R x corta o eixo x em 2,50x = − .
4° passo. Analisar o comportamento de ( ) 200 500
5
xR x
x
+
=
+
quando x →−∞ .
Monte uma tabela para investigar o limite ( )limx R x→−∞ :
Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez menores, ( )xR assume valores cada 
vez mais próximos de 200, então para ( )lim 200x R x→−∞ = .
5° passo. Analisar o comportamento de ( ) ( )( )
P x
y f x
Q x
= =
 
quando x →+∞ .
60
Monte uma tabela para investigar o limite ( )limx R x→+∞ :
Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez maiores, ( )R x assume valores cada 
vez mais próximos de 200, então para ( )lim 200x R x→+∞ = . Em termos práticos, por maior que seja a 
quantidade investida em propaganda a receita obtida não ultrapassa o valor de R$ 200.000,00.
FUNÇÃO INVERSA
No início do Tema 2, a função de primeiro grau foi estudada em uma situação que relaciona o custo 
para a produção de q calças , onde conseguiu-se a função 3 120C q= + . Se for dada a quantidade 
q produzida, obtém-se o custo de produção. A partir de tal função pode-se obter outra função, em 
que, de maneira inversa, se é dado o custo C , obtém-se a quantidade q produzida. Para isso, basta 
“isolar” q na relação:
3 120
3 120
3 120
120
3
C q
q C
q C
Cq
= +
+ =
= −
−
=
A função 120
3
Cq −= é conhecida como a função da função 3 120C q= + . Simbolicamente: ( )1q f C−=
61
Quer saber mais sobre o assunto? Então:
Leia o artigo de Carlos Ramos de Souza-Dias, The intimate nature of oculomotor muscles contracture, 
que trata sobre as características das células musculares e suas influências. Disponível em: <http://
www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0004-27492010000200022>. Acesso em: 20 
dez. 2011. 
LINKS IMPORTANTES
62
O custo variável 420vC q= , onde q representa 
a unidade de um produto e vC medidos em 
reais. Quais são os custos de produção para as 
quantidades de 0, 2, 3, 5, 9 ?
a) 0, 320.000, 1.620.000, 12.500.000, 131.220.000
b) 0, 40.960.000, 12.960.000, 100.000.000, 1.049.760.000
c) 0, 32.000, 1.620.000, 1.2500.000, 131.200.000
d) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .
e) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .
Em uma empresa, no decorrer do expediente, 
para um grupo de colaboradores, nota-se 
que o número P de telefones montados é 
de aproximadamente 
4
7520P q= ⋅ , onde q 
representa o numero de horas trabalhadas a 
partir do inicio do expediente. Quantas horas 
devem se passar, aproximadamente, desde o 
início do expediente para que sejam produzidos 
5.200 telefones? 
a) 19 horas.
b) 6,31 horas. 
c) 10 horas.
d) 20 horas.
e) 3,73 horas.
Agora é a sua vez
Questão 01INSTRUÇÕES
Observe no enunciado de cada questão as 
atividades que deverão ser realizadas de 
forma individual. Para auxiliar na resolução 
dos problemas propostos retome os conceitos 
específicos necessários em cada situação. 
Ponto de Partida
Veja a importância do conhecimento do 
ponto de máximo e de mínimo de um 
polinômio. Imagine que uma empresa 
venda seus produtos de modo que o 
preço unitário dependa da quantidade de 
unidades adquiridas pelo comprador. Por 
exemplo, se, sob determinadas restrições, 
para cada x unidades vendidas o preço 
unitário é de ( )50 x− reais, então a receita 
total obtida pela venda é de ( ) 250R x x x= −
. Em economia, ( )R x é chamada função 
receita (preço unitário versus quantidades 
vendidas).
Uma análise da função receita permite 
tomar decisões acertadas no sentido de 
aperfeiçoar a lucratividade da empresa. Por 
exemplo, de acordo com a na função ( )R x 
acima, qual seria a receita máxima obtida 
com a venda de seus produtos?