14_TransformadaFourierContinuo

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Sinais e Sistemas 
Renato Dourado Maia 
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros 
Fundação Educacional Montes Claros 
A Transformada de Fourier de Tempo Contínuo 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Lembrando... 
 No nosso estudo sobre série de Fourier e Siste-
mas LTI, vimos que: 
 
 
0 0 0
0( ) ( ) ( )
jk t jk t jk t
k k k
k k k
x t a e y t a H jk e b eω ω ωω
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= → = =∑ ∑ ∑
0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk nk k k
k N k N k N
x n a e n a H e e b eω ω ω ω
=< > =< > =< >
= → = =∑ ∑ ∑
(.), , 
 
. !
H a resposta em frequência do sistema modifica as
amplitudes e fases das diversas exponeciais complexas da
entrada E já sabemos que a frequência não muda
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A Propriedade da Convolução 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FT
y t h t x t Y j H j X jω ω ω= ∗ ↔ =
A Resposta em Frequência de um 
sistema LTI é a Transformada de 
Fourier de sua Resposta ao Impulso!!! 
 Considerando que todos os sinais e sistemas de 
significado físico ou prático obedecem às com-
dições de Dirichlet, pode-se afirmar que todo sis-
tema LTI estável possui Resposta em Frequência. 
Para sistemas instáveis, estudaremos outra ferra-
menta, a transformada de Laplace. 
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A Propriedade da Multiplicação 
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
2
r t s t p t R j S j P j dω θ ω θ θ
π
+∞
−∞
= ↔ = −∫
 A multiplicação de dois sinais pode ser interpreta-
da como utilizar um sinal para modular a ampli-
tude de outro, e consequentemente, a multiplica-
ção de dois sinais é conhecida como modulação 
em amplitude, e a propriedade é também conhe-
cida como propriedade da modulação. Essa pro-
priedade tem muitas aplicações importantes em 
sistemas de comunicação!!! 
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Convolução e Multiplicação 
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
2
r t s t p t R j S j P j dω θ ω θ θ
π
+∞
−∞
= ↔ = −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FT
y t h t x t Y j H j X jω ω ω= ∗ ↔ =
 A convolução no tempo resulta em produto na 
frequência... O produto no tempo resulta em con-
volução na frequência... 
 
 Isso já era de se esperar, considerando-se a 
DUALIDADE!!! 
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Tabelas 
 Na tabela 4.1 do livro Signals and Systems, 
estão resumidas as propriedades da FT... 
 
 Na tabela 4.2, estão apresentadas as FT para si-
nais básicos... 
 
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Sistemas Caracterizados por LCCDE 
 Exemplo 1: para um sistema LTI caracterizado 
pela equação diferencial apresentada a seguir, 
determine a resposta em frequência e a resposta 
ao impulso. 
 
 ( ) ( ) ( ), 0dy t y t at
d
a x
t
+ = >
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Sistemas Caracterizados por LCCDE 
 ( ) ( ) ( ), 0dy t y t at
d
a x
t
+ = >
1( )
a
H j
j
ω
ω
=
+
( ) ( )tah t e u t−=
Não entendi 
nada... Faz 
no quadro, 
professor!!! 
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Sistemas Caracterizados por LCCDE 
 Exemplo 2: refazer o exemplo 2, mas conside-
rando a equação diferencial apresentada a se-
guir. 
2
2
( ) ( ) ( )4 3 ( ) 2 ( )d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt
+ + = +
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Sistemas Caracterizados por LCCDE 
( 2)( )
( 1)( 3)
jH j
j j
ωω
ω ω
+
=
+ +
1 2 1 2( )
( 1) ( 3)
H j
j j
ω
ω ω
= +
+ +
31 1( ) ( ) ( )
2 2
t th t e u t e u t− −= +
Frações Parciais 
Tabela 
Apêndice do livro + material 
no xerox... Estudem!!! 
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Educational Matlab GUIs 
 Demos sobre Processamento de Sinais: Convo-
lução, Série de Fourier, Transformadas, etc... 
 
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html 
 
(Acesso em 03/03/2007) 
 Acrescentei na página a Fourier Series Demo e a 
CLTI Demo. Vamos brincar um pouco com a CLTI 
Demo!  
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E Agora??? 
Estudar os exemplos e fazer os 
exercícios!!! 
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	Sinais e Sistemas
	Lembrando...
	A Propriedade da Convolução
	A Propriedade da Multiplicação
	Convolução e Multiplicação
	Tabelas
	Sistemas Caracterizados por LCCDE
	Sistemas Caracterizados por LCCDE
	Sistemas Caracterizados por LCCDE
	Sistemas Caracterizados por LCCDE
	Educational Matlab GUIs
	E Agora???