Lista de Exercícios de Álgebra Linear (2)

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia Aluno(a):
Disciplina: Álgebra Linear I Matŕıcula: Turma: Peŕıodo:
Professor: Geziel Damasceno Semestre: Data: Nota:
Lista de Exerćıcios de Álgebra Linear
1. Utilize o Método de Gauss para encontrar os valores de a para os quais o sistema abaixo não tem
solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
x+ 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
2. Utilize o Método de Gauss para encontrar os valores de a para os quais o sistema abaixo não tem
solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
x+ y + z = 2
2x+ 3y + 2z = 5
2x+ y + (a2 − 1)z = a+ 1
3. Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(t) = at3 + bt2 + ct+ d cujo gráfico contém
os pontos (0, 10), (1, 7), (3,−11) e (4,−14). (Observação: Utilize o Método de Gauss-Jordan.)
4. Determine os coeficientes a, b e c da equação do ćırculo x2 + y2 + ax + by + c = 0 que passa pelos
pontos (−2, 7), (−4, 5) e (4,−3). (Observação: Utilize o Método de Gauss-Jordan.)
5. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufa-
tura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y,
1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B.
O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é 3,00, 2,00 e 4,00 reais, respectivamente.
Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa
indústria arrecadou 2900,00 reais. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram
vendidos. (Observação: Utilize o Método de Gauss-Jordan.)
6. Se posśıvel, encontre a inversa da matriz
 1 2 31 1 2
0 1 1
.
7. Se posśıvel, encontre a inversa da matriz
 1 2 21 3 1
1 3 2
.
8. Se posśıvel, encontre a inversa da matriz
 1 2 30 2 3
1 2 4
.
9. Se posśıvel, encontre a inversa da matriz

1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6
.
1
10. Se posśıvel, encontre a inversa da matriz

1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
.
11. Encontre os valores de a para os quais a matriz A =
 1 1 01 0 0
1 2 a
 é inverśıvel. Determine A−1 para
tais valores.
12. Calcule o determinante da matriz

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 usando operações elementares para trans-
formá-la em matriz triangular superior.
13. Calcule o determinante da matriz

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
 usando operações elementares para transformá-la
em matriz triangular superior.
14. Calcule o determinante da matriz

1 3 9 7
2 3 2 5
0 3 4 1
4 6 9 1
 usando operações elementares para transformá-la
em matriz triangular superior.
15. Dados os vetores ~v1 = (x1, y1, z1) e ~v2 = (x2, y2, z2), e α ∈ R definimos ~v1+~v2 = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
e α~v1 = (αx1, αy1, αz1). Prove que valem as propriedades abaixo para todo ~u, ~v e ~w, e todo α, β ∈ R.
(a) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);
(b) Existe um vetor nulo ~0 tal que ~v +~0 = ~0 + ~v = ~v para todo ~v;
(c) Para cada ~v existe um único vetor −~v tal que ~v + (−~v) = (−~v) + v = ~0;
(d) ~u+ ~v = ~v + ~u.
(e) α(β~v) = (αβ)~v;
(f) (α+ β)~v = α~v + β~v;
(g) α(~u+ ~v) = α~u+ α~v;
(h) 1~v = ~v.
16. Utilizando as propriedades do exerćıcio anterior, prove que:
(a) Existe um único vetor nulo em R3.
(b) Cada vetor ~u ∈ R3 admite apenas um simétrico (−~u) ∈ R3.
(c) Para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ R3, se ~u+ ~w = ~v + ~w, então ~u = ~v.
(d) −(−~v) = ~v para todo v ∈ R3.
(e) Sejam ~u,~v ∈ R3. Existe um único ~x ∈ R3 tal que ~x+ ~u = ~v.
(f) 0~v = ~0 para todo ~v ∈ R3.
(g) α~0 = ~0 para todo α ∈ R.
(h) Se α~v = ~0, então α = 0 ou ~v = ~0.
(i) (−1)~v = −~v para todo ~v ∈ R3.
(j) Para quaisquer α ∈ R e ~v ∈ R3 tem-se (−α)~v = α(−~v) = −(α~v).
17. Prove que o produto interno satisfaz as propriedades:
(a) 〈~u, ~u〉 ≥ 0 para todo ~u ∈ R3 e 〈~u, ~u〉 = 0⇔ ~u = ~0;
(b) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 para todo ~u,~v ∈ R3;
(c) 〈~u,~v + ~w〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉 para todo ~u,~v, ~w ∈ R3;
2
(d) 〈~u+ ~v, ~w〉 = 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉 para todo ~u,~v, ~w ∈ R3;
(e) 〈α~u,~v〉 = α〈~u,~v〉 = 〈~u, α~v〉 para todo ~u,~v, ~w ∈ R3 e para todo α ∈ R.
18. Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
19. Demonstre que a norma obedece as propriedades:
(a) ‖~v‖ ≥ 0 para todo ~v ∈ R3 e ‖~v‖ = 0⇔ ~v = ~0;
(b) ‖α~v‖ = |α|‖~v‖ para todo ~v ∈ R3 e para todo α ∈ R;
(c) |〈~u,~v〉| ≤ ‖~u‖‖~v‖ para todo ~u,~v ∈ R3 (Desigualdade de Schwarz);
(d) ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖ para todo ~u,~v ∈ R3 (Desigualdade Triangular).
20. Demonstre que, se ~u,~v ∈ R3, então:
(a) 〈~u,~v〉 = 1
4
(‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2).
(b) ‖~u‖2 + ‖~v‖2 = 1
2
(‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2).
21. Mostre que a distância cumpre as propriedades abaixo:
(a) d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0⇔ A = B;
(b) d(A,B) = d(B,A);
(c) d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C) (Desigualdade Triangular).
22. Sejam ~u e ~v vetores não nulos e θ é o ângulo entre ~u e ~v. Prove que 〈~u,~v〉 = ‖~u‖‖~v‖ cos θ.
23. Sejam ~u e ~v vetores não nulos. Mostre que a projeção de ~u sobre ~v é dada por proj~v~u =
〈~u,~v〉
〈~v,~v〉
~v.
24. Prove que proj~w(α~u+ β~v) = αproj~w~u+ βproj~w~v para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ R3 e α, β ∈ R.
25. A respeito do produto vetorial, prove que valem:
(a) ~u× ~u = ~0 para todo ~u ∈ R3;
(b) ~u× ~v = −~v × ~u para todo ~u,~v ∈ R3 (Anticomutatividade);
(c) ~u× (~v + ~w) = (~u× ~v) + (~u× ~w) para todo ~u,~v, ~w ∈ R3 (Distributividade);
(d) (α~u)× ~v = α(~u× ~v) = ~u× (α~v) para todo ~u,~v ∈ R3;
(e) ~u× ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ~u e ~v são colineares;
(f) ~u× ~v é ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v;
(g) ‖~u× ~v‖2 + 〈~u,~v〉2 = ‖~u‖2‖~v‖2 para todo ~u,~v ∈ R3 (Identidade de Lagrange);
(h) Se ~u e ~v são vetores não nulos e θ é o ângulo entre ~u e ~v, então ‖~u× ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖| sin θ|;
(i) O produto vetorial não é associativo.
26. Sejam ~u,~v, ~w ∈ R3. Prove que:
(a) Se um dos vetores é nulo, então (~u,~v, ~w) = 0;
(b) Se dois dos vetores são colineares, então (~u,~v, ~w) = 0;
(c) Se os vetores são coplanares, então (~u,~v, ~w) = 0;
(d) Se os vetores são não nulos e dois a dois não colineares. Então, (~u,~v, ~w) = 0 se, e somente se, ~u,
~v e ~w são coplanares.
(e) Se A, B, C e D são coplanares, então
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD são coplanares, ou seja, (
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) = 0.
27. A respeito do produto misto, mostre que são válidas as propriedades abaixo:
(a) (~u,~v, ~w) = (~v, ~w, ~u) = (~w, ~u,~v) para todo ~u,~v, ~w ∈ R3 (Propriedade Ćıclica);
(b) (~u,~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w) para todo ~u,~v, ~w,∈ R3;
(c) 〈~u,~v × ~w〉 = 〈~u× ~v, ~w〉 para todo ~u,~v, ~w ∈ R3 (isto é, os produtos comutam);
3
(d) (~u,~v, ~w + ~t) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v,~t) para todo ~u,~v, ~w,~t ∈ R3;
(e) (α~u,~v, ~w) = (~u, α~v, ~w) = (~u,~v, α~w) = α(~u,~v, ~w) para todo ~u,~v, ~w ∈ R3 e para todo α ∈ R.
28. Prove que (~u+ ~v,~v + ~w, ~u+ ~w) = 2(~u,~v, ~w) para todo ~u,~v, ~w ∈ R3.
29. Sejam ~u,~v, ~w ∈ R3. Demonstre que:
(a) ‖~u× ~v‖ ≤ ‖~u‖‖~v‖;
(b) |(~u,~v, ~w)| ≤ ‖~u‖‖~v‖‖~w‖.
30. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+ 2) é π
3
, determine m.
31. Considere os pontos A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) e C(2, 1, 2).
(a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo em A;
(b) Calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC;
(c) Determine o pé da altura do retângulo relativa ao vértice A.
32. O vetor ~v é ortogonal aos vetores u = (2,−1, 3) e w = (1, 0,−2) e forma ângulo agudo com o vetor ~j.
Calcule ~v, sabendo que ‖~v‖ = 3
√
6.
33. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m + 1,m,−1) determinam um paraleleṕıpedo de
volume 42. Calcular m.
34. Dados os pontos A(1,−2, 3), B(2,−1,−4), C(0, 2, 0) e D(−1,m, 1), determinar o valor de m para que
seja de 20 unidades de volume o volume do paraleleṕıpedo determinado pelos vetores
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
35. Calcule o valor de x, sendo A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) vértices de um triângulo de área
√
29
2
.
36. Considere os vetores ~u = (1, 1,0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u−2~v, ~w2 = ~u+3~v e ~w3 =~i+~j−2~k. Determine:
(a) A área do paralelogramo definido por ~w1 e ~w2;
(b) O volume do paraleleṕıpedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3.
37. Calcule a altura do paraleleṕıpedo definido pelos vetores ~u = (2, 3, 5), ~v = (−1, 3, 3) e ~w = (4,−3, 2),
cuja base é o paralelogramo definido pelos vetores ~u e ~v.
38. Considere dois vetores ~v e ~w tais que ‖~v‖ = 5 e ‖~w‖ = 2 e o ângulo entre ~v e ~w é 60◦. Determine,
como combinação linear de ~v e ~w (x~v + y ~w):
(a) Um vetor ~u tal que 〈~u,~v〉 = 20 e 〈~u, ~w〉 = 5;
(b) Um vetor ~u tal que ~u× ~v = ~0 e 〈~u, ~w〉 = 12.
39. Sejam ~u e ~v vetores não colineares e ~w = α~u+ β~v, onde α, β ∈ R∗. Determine α e β sabendo que são
válidas simultaneamente as condições:
(a) ~u, ~v e ~w possuem norma igual a 1;
(b) ~u e ~w são ortogonais;
(c) O ângulo entre ~v e ~w é 45◦.
40. Sejam ~u e ~v vetores não colineares e ~w = α~u+ β~v, onde α, β ∈ R∗. Determine α e β sabendo que são
válidas simultaneamente as condições:
(a) ~u, ~v e ~w possuem norma δ < 1;
(b) ~u e ~w são ortogonais;
(c) O ângulo entre ~v e ~w é θ radianos e θ = arccos δ2.
4